不変測度

Concept in mathematics

数学において、不変測度とは、何らかの関数によって保存される測度のことである。この関数は幾何学的変換であってもよい。例えば、円角は回転に対して不変であり、双曲角は圧縮写像に対して不変であり、傾きの差はせん断写像に対して不変である。^[1]

エルゴード理論は、力学系における不変測度を研究する学問です。クリロフ＝ボゴリュボフの定理は、対象とする関数と空間において、特定の条件下で不変測度が存在することを証明します。

意味

を可測空間とし、を自身への可測関数とする。上の測度は、任意の可測集合に対して、 ${\displaystyle (X,\Sigma )}$ ${\displaystyle f:X\to X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle (X,\Sigma )}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \Sigma ,}$ $${\displaystyle \mu \left(f^{-1}(A)\right)=\mu (A).}$$

推進策に関して、これは次のように述べている。 ${\displaystyle f_{*}(\mu )=\mu .}$

に対して不変である測度（通常は確率測度）の集合は、と表記されることがある。エルゴード測度の集合は、の部分集合である。さらに、 2つの不変測度の任意の凸結合も不変であるため、凸集合も不変である。凸集合は、 の端点から正確に構成される。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle M_{f}(X).}$ ${\displaystyle E_{f}(X),}$ ${\displaystyle M_{f}(X).}$ ${\displaystyle M_{f}(X)}$ ${\displaystyle E_{f}(X)}$ ${\displaystyle M_{f}(X).}$

が前述のように測定空間であり、がモノイドであり、がフロー写像である力学系 の場合、上の測度は、各写像に対して不変測度であるとき不変測度と呼ばれる。明示的には、が不変であるのは、 ${\displaystyle (X,T,\varphi ),}$ ${\displaystyle (X,\Sigma )}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \varphi :T\times X\to X}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle (X,\Sigma )}$ ${\displaystyle \varphi _{t}:X\to X.}$ ${\displaystyle \mu }$ $${\displaystyle \mu \left(\varphi _{t}^{-1}(A)\right)=\mu (A)\qquad {\text{ for all }}t\in T,A\in \Sigma .}$$

言い換えれば、は、初期条件が に従って分布しているときはいつでも、後の任意の時点でが成り立つとき、一連の確率変数（おそらくマルコフ連鎖または確率微分方程式の解）に対する不変測度である。 ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \left(Z_{t}\right)_{t\geq 0}}$ ${\displaystyle Z_{0}}$ ${\displaystyle \mu ,}$ ${\displaystyle Z_{t}}$ ${\displaystyle t.}$

動的システムが転送演算子によって記述できる場合、不変測度は演算子 の固有ベクトルであり、この演算子 の固有値はフロベニウス・ペロンの定理によって与えられる最大固有値に対応します。 ${\displaystyle 1,}$

例

スクイーズマッピングは、双曲扇形（紫色）を同じ領域に移動するため、双曲角は不変です。青と緑の長方形も同じ領域に収まります。

• 通常のボレルσ代数を持つ実数直線 を考え、次のように与えられる変換写像を固定して考える：すると、1次元ルベーグ測度は、 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle T_{a}:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ $${\displaystyle T_{a}(x)=x+a.}$$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle T_{a}.}$
• より一般的には、通常のボレルσ代数を持つ次元ユークリッド空間上で、次元ルベーグ測度はユークリッド空間の任意の等長写像に対する不変測度、すなわち、ある直交行列とベクトルに対して次のように書ける写像である。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \lambda ^{n}}$ ${\displaystyle T:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$ $${\displaystyle T(x)=Ax+b}$$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle A\in O(n)}$ ${\displaystyle b\in \mathbb {R} ^{n}.}$
• 最初の例における不変測度は、定数因子による自明な繰り込みを除いて一意である。これは必ずしもそうである必要はない。2点のみからなる集合と、各点を固定する恒等写像を考えてみよう。すると、任意の確率測度は不変となる。自明に、不変成分への分解が存在し、 ${\displaystyle \mathbf {S} =\{A,B\}}$ ${\displaystyle T=\operatorname {Id} }$ ${\displaystyle \mu :\mathbf {S} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbf {S} }$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \{A\}}$ ${\displaystyle \{B\}.}$
• ユークリッド平面における面積測度は、行列式の実数行列の特殊線型群の下で不変である。 ${\displaystyle \operatorname {SL} (2,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle 2\times 2}$ ${\displaystyle 1.}$
• すべての局所コンパクト群には、群作用（並進）に対して不変なハール測度があります。

参照

• 準不変測度

参考文献

1. Wikibooks の幾何学/統一角

• ジョン・フォン・ノイマン (1999)不変測度、アメリカ数学会 ISBN 978-0-8218-0912-9

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