1から角度の余弦を引いた値

「versin」はこの項目にリダイレクトされます。ポーランドの村については、「Versin (village)」をご覧ください。

正弦（バースサイン）は、三角関数の一種で、サンスクリット語の アーリヤバーティア^{[ 1 ]}第1部にある三角関数表に見られる。角度の正弦は、1からその余弦を引いた値である。

関連する関数はいくつかありますが、最も有名なのはカバーサインとハーフサインです。後者はハーフサインの半分であり、航海のハーフサイン公式において特に重要です。

三角関数を持つ単位円。^{[ 2 ]}

概要

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正弦（versed sine ） ^{[ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ]}または逆正弦（versed sine ） ^{[ 8 ] [ 9 ] [ 10 ] [ 11 ] [ 12 ]}は三角関数の一種で、初期の三角関数表にも既に登場している。公式ではversin、sinver、^{[ 13 ] [ 14 ]} vers、sivといった略語で表記される。^{[ 15 ] [ 16 ]}ラテン語ではsinus versus（反転正弦）、versinus、versors、sagitta （矢印）として知られる。^{[ 17 ]}

一般的な三角関数の正弦、余弦、正接で表すと、正弦は次のように表せます。 $${\displaystyle \operatorname {versin} \theta =1-\cos \theta =2\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}=\sin \theta \,\tan {\frac {\theta }{2}}}$$

詩節に対応する関連機能がいくつかあります。

• versed cosine [ ^{18 ] [ nb 1 ]または}vercosine 、略してvercosin、vercos、vcs
• 被覆正弦またはカバーサイン^{[ 19 ]}（ラテン語ではcosinus versusまたはcoversinus）、略称はcoversin、covers、^{[ 20 ] [ 21 ] [ 22 ]} cosiv、またはcvs ^{[ 23 ]}

航海において歴史的に使用されてきた半正弦の公式に特に使用されていたため、半正弦の半分の特別な表も作成されました。

• 正弦波[ ^{24 ]または}haversine （ラテン語semiversus）^{[ 25 ] [ 26 ]}は、 haversin、semiversin、semiversinus、havers、hav、^{[ 27 ] [ 28 ]} hvs、^{[注2 ]} sem、hvとも略される。^{[ 29 ]}は次のように定義される。

$${\displaystyle {\text{hav}}\ \theta =\sin ^{2}\left({\frac {\theta }{2}}\right)={\frac {1-\cos \theta }{2}}}$$

歴史と応用

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ヴァーシネとカバーシネ

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半径1、中心Oの単位円における角度θの正弦、余弦、正弦。この図は、正弦がラテン語で矢を意味するサジッタと呼ばれることもある理由も示している。^{[ 17 ] [ 30 ]}二倍角Δ  = 2 θの弧ADBを「弓」、弦ABをその「弦」と見なすと、正弦CDは明らかに「矢の軸」となる。

歴史的な三角関数のグラフを sin と cos と比較 – SVG ファイルで、グラフにマウスを合わせるかクリックすると強調表示されます。

通常の正弦関数（語源の注釈を参照）は、歴史的には直線正弦（ sinus rectus、「直線正弦」）と呼ばれることもあり、正弦対正弦（sinus versus）と対比されていた。^{[ 31 ]}これらの用語の意味は、関数の定義の元の文脈、つまり単位円を見ると明らかである。

単位円の垂直弦 ABにおいて、角度θ（対角Δの半分を表す）の正弦は距離AC（弦の半分）です。一方、θの逆正弦は弦の中心から円弧の中心までの距離CDです。したがって、cos( θ )（線分OCの長さに等しい）とversin( θ )（線分CDの長さに等しい）の合計は、半径OD（長さ1）です。このように図示すると、正弦は垂直（rectus、文字通り「まっすぐ」）で、正弦は水平（versine 、文字通り「反対向き、場違い」）です。どちらもCから円までの距離です。

この図は、ヴェルシネがラテン語で矢を意味するサジッタと呼ばれることもある理由も示しています。^{[ 17 ] [ 30 ]}二倍角Δ  = 2 θの弧ADBを「弓」、弦ABをその「弦」と見なすと、ヴェルシネCDは明らかに「矢の軸」です。

さらに、正弦を「垂直」、正弦を「水平」と解釈することに合わせて、矢状方向も横軸（グラフの水平軸）の古い同義語です。 ^{[ 30 ]}

1821年、コーシーは正弦に対してsinus versus ( siv )という用語を使用し、カバーサインに対してcosinus versus ( cosiv ) という用語を使用しました。 ^{[ 15 ] [ 16 ] [注 1 ]}

三角関数は、Oを中心とする単位円に基づいて幾何学的に構築できます。

θがゼロに近づくと、正弦( θ )はほぼ等しい2つの量の差となるため、コサインのみの三角関数表を使用する場合、破滅的な相殺を避けるために正弦を求めるのに非常に高い精度が必要となり、後者には別々の表が便利です。^{[ 12 ]}計算機やコンピューターを使用しても、四捨五入の誤差があるため、 θが小さい場合は sin ^{2 の}式を使用することをお勧めします。

バースサインのもう一つの歴史的な利点は、それが常に非負であるため、その対数がゼロになる単一の角度 ( θ = 0、2 π 、…) を除いてどこでも定義されることです。したがって、バースサインを含む式の乗算に対数表を使用できます。

実際、プトレマイオスや他のギリシャの著者によって表にまとめられた弦とは対照的に、現存する最古の正弦（半弦）値表は、紀元前3世紀に遡るインドのスーリヤ・シッダーンタから計算されたもので、正弦と逆正弦の値の表（0から90°まで3.75°刻み）でした。^{[ 31 ]}

正弦は、半角の公式sin ² ( ⁠θ/2⁠ ) = ⁠1/2⁠ versin( θ ) はプトレマイオスによって導き出され、このような表を作成するために使用されました。

ヘイバーシン

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特に半正弦は航海において重要でした。半正弦の公式に現れるからです。この公式は、角度位置（例えば経度と緯度）が与えられた場合、天体回転楕円体上の距離（地球の半径と球面に関する問題を参照）をかなり正確に計算するために使用されます。また、 sin ² ( ⁠θ/2⁠ ）を直接計算することはできませんでしたが、半正弦表があれば平方と平方根を計算する必要がなくなりました。^{[ 12 ]}

ホセ・デ・メンドーサ・イ・リオスが後にハバーシンと呼ばれるようになるものの初期の利用は1801年に記録されている。 ^{[ 14 ] [ 32 ]}

半正弦表に相当する最初の英語の文献は、1805年にジェームズ・アンドリューによって「Squares of Natural Semi-Chords（自然半弦の平方）」というタイトルで出版されました。^{[ 33 ] [ 34 ] [ 17 ]}

1835年、ジェームズ・インマン^{[ 14 ] [ 36 ] [ 37 ]}は著書^『 Navigation and Nautical Astronomy: For ^the Use of British Seamen』の第3版の中で、球面三角法を用いて地球表面上の2点^間の距離を航海に応用するための計算を簡素化するために、ハバーサイン（自然にhav.と表記されるか、10を底とする対数でlog. haversineまたはlog. havers.と表記される）という造語[35]を使用した。^{[ 3 ] [ 35 ]}インマンは、バーサインをnat. versineとnat. vers.という用語も使用した。^{[ 3 ]}

他に高く評価されているハバーサイン表としては、1856年のリチャード・ファーリーによるもの^{[ 33 ] [ 38 ]}と1876年のジョン・コールフィールド・ハニントンによるもの^{[ 33 ] [ 39 ]がある。}

ハーフサイン法は航海に引き続き使用されており、近年ではブルース・D・スタークが1995年からガウス対数を利用して月までの距離を測定する方法^{[ 40 ] [ 41 ]}や、 2014年からは視力低下のよりコンパクトな方法^{[ 29 ]など、新たな用途が見出されています。}

現代の用途

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正弦、カバーサイン、半弦、およびその逆関数の使用は何世紀も前に遡ることができますが、他の 5 つの共関数の名前の起源はずっと新しいようです。

正弦波、またはより一般的には半正弦波形の1周期（0 < θ < 2 π ）は、滑らかに（値と傾きが連続的に） 0から1 （半正弦波の場合）に、そして再び0に戻るため、信号処理および制御理論では、パルスまたはウィンドウ関数（ハンウィンドウ、ハン・ポアソンウィンドウ、テューキーウィンドウを含む）の形状としてもよく使用されます。^{[注 2 ]}これらのアプリケーションでは、ハン関数またはレイズドコサインフィルタと呼ばれます。

数学的恒等式

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定義

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${\displaystyle {\textrm {versin}}(\theta ):=2\sin ^{2}\!\left({\frac {\theta }{2}}\right)=1-\cos(\theta )\,}$[ 4 ]
${\displaystyle {\textrm {coversin}}(\theta ):={\textrm {versin}}\!\left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)=1-\sin(\theta )\,}$[ 4 ]
${\displaystyle {\textrm {vercosin}}(\theta ):=2\cos ^{2}\!\left({\frac {\theta }{2}}\right)=1+\cos(\theta )\,}$[ 18 ]
${\displaystyle {\textrm {haversin}}(\theta ):={\frac {{\textrm {versin}}(\theta )}{2}}=\sin ^{2}\!\left({\frac {\theta }{2}}\right)={\frac {1-\cos(\theta )}{2}}\,}$[ 4 ]

円回転

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これらの関数は互いの円回転です。

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {versin} (\theta )&=\mathrm {coversin} \left(\theta +{\frac {\pi }{2}}\right)=\mathrm {vercosin} \left(\theta +\pi \right)\end{aligned}}}$

微分と積分

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${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\mathrm {versin} (x)=\sin {x}}$[ 42 ]	${\displaystyle \int \mathrm {versin} (x)\,\mathrm {d} x=x-\sin {x}+C}$[ 4 ] [ 42 ]
${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\mathrm {vercosin} (x)=-\sin {x}}$	${\displaystyle \int \mathrm {vercosin} (x)\,\mathrm {d} x=x+\sin {x}+C}$
${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\mathrm {coversin} (x)=-\cos {x}}$[ 19 ]	${\displaystyle \int \mathrm {coversin} (x)\,\mathrm {d} x=x+\cos {x}+C}$[ 19 ]
${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\mathrm {haversin} (x)={\frac {\sin {x}}{2}}}$[ 24 ]	${\displaystyle \int \mathrm {haversin} (x)\,\mathrm {d} x={\frac {x-\sin {x}}{2}}+C}$[ 24 ]

逆関数

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逆関数には、 arcversine (arcversin, arcvers, ^{[ 8 ]} avers, ^{[ 43 ] [ 44 ]} aver)、arcvercosine (arcvercosin, arcvercos, avercos, avcs)、arccoversine (arccoversin, arccovers, ^{[ 8 ]} acovers, ^{[ 43 ] [ 44 ]} acvs)、arccovercosine (arccovercosin, arccovercos, acovercos, acvc)、archaversine (archaversin, archav, haversin ⁻¹ , ^{[ 45 ]} invhav, ^{[ 46 ] [ 47 ] [ 48 ]} ahav, ^{[ 43 ] [ 44 ]} ahvs, ahv, hav ^{−1 [ 49 ] [ 50 ]} )、archavercosine (archavercosin, archavercos、ahvc)、archacoversine (archacoversin、ahcv)、またはarchacovercosine (archacovercosin、archacovercos、ahcc) も存在します。

${\displaystyle \operatorname {arcversin} (y)=\arccos \left(1-y\right)\,}$[ 43 ] [ 44 ]

${\displaystyle \operatorname {arcvercos} (y)=\arccos \left(y-1\right)\,}$

${\displaystyle \operatorname {arccoversin} (y)=\arcsin \left(1-y\right)\,}$[ 43 ] [ 44 ]

${\displaystyle \operatorname {arccovercos} (y)=\arcsin \left(y-1\right)\,}$

${\displaystyle \operatorname {archaversin} (y)=2\arcsin \left({\sqrt {y}}\right)=\arccos \left(1-2y\right)\,}$[ 43 ] [ 44 ] [ 45 ] [ 46 ] [ 47 ] [ 49 ] [ 50 ]

${\displaystyle \operatorname {archavercos} (y)=2\arccos \left({\sqrt {y}}\right)=\arccos \left(2y-1\right)}$

${\displaystyle \operatorname {archacoversin} (y)=\arcsin \left(1-2y\right)\,}$

${\displaystyle \operatorname {archacovercos} (y)=\arcsin \left(2y-1\right)\,}$

その他の特性

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これらの関数は複素平面に拡張することができる。^{[ 42 ] [ 19 ] [ 24 ]}

マクローリン級数：^{[ 24 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {versin} (z)&=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}z^{2k}}{(2k)!}}\\\operatorname {haversin} (z)&=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}z^{2k}}{2(2k)!}}\end{aligned}}}$

${\displaystyle \lim _{\theta \to 0}{\frac {\operatorname {versin} (\theta )}{\theta }}=0}$^{[ 8 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\operatorname {versin} (\theta )+\operatorname {coversin} (\theta )}{\operatorname {versin} (\theta )-\operatorname {coversin} (\theta )}}-{\frac {\operatorname {exsec} (\theta )+\operatorname {excsc} (\theta )}{\operatorname {exsec} (\theta )-\operatorname {excsc} (\theta )}}&={\frac {2\operatorname {versin} (\theta )\operatorname {coversin} (\theta )}{\operatorname {versin} (\theta )-\operatorname {coversin} (\theta )}}\\[3pt][\operatorname {versin} (\theta )+\operatorname {exsec} (\theta )]\,[\operatorname {coversin} (\theta )+\operatorname {excsc} (\theta )]&=\sin(\theta )\cos(\theta )\end{aligned}}}$^{[ 8 ]}

近似値

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0から2πまでの角度に対する正弦関数と正弦関数の3つの近似値の比較

0からπ /2までの角度に対する正弦関数と正弦関数の3つの近似値の比較

弦長vが半径rに比べて小さい場合、弦長L （上記に​​示した距離AC ）から次の式で近似できる^{[ 51 ]。} $${\displaystyle v\approx {\frac {L^{2}}{2r}}.}$$

あるいは、正弦が小さく、正弦、半径、半弦長が分かっている場合は、それらを使って次の式で弧の長さs（上図のAD ）を推定することができます。 この式は中国の数学者沈括にも知られており、2世紀後に郭守敬によって矢状面も含めたより正確な式が開発されました。^{[ 52 ]} $${\displaystyle s\approx L+{\frac {v^{2}}{r}}}$$

工学で使用されるより正確な近似値^{[ 53 ]}は $${\displaystyle v\approx {\frac {s^{\frac {3}{2}}L^{\frac {1}{2}}}{8r}}}$$

任意の曲線と弦

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正弦という用語は、任意の平面曲線における直線性からの偏差を表すためにも使用されることがあります。上記の円はその特殊なケースです。曲線上の2点間の弦が与えられた場合、弦から曲線（通常は弦の中点）への垂線距離vは正弦測定値と呼ばれます。直線の場合、任意の弦の正弦は0であるため、この測定値は曲線の直線性を特徴付けます。弦の長さLが0に近づく極限において、比⁠8ボルト/L2^​⁠は瞬間曲率を表します。この用法は特に鉄道輸送でよく使用され、線路の直線性の測定を表します^{[ 54 ]。}また、これは鉄道測量におけるハラード法の基礎となっています。

サジッタ（多くの場合、サグと略される）という用語は、光学において同様に、レンズや鏡の表面を説明するために使用されます。

参照

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• 三角関数の恒等式
• エクセカントとエクコセカント
• ヴェルシエラ（アグネージの魔女）
• 指数マイナス1
• 自然対数プラス1

注記

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1. 英語の文献の中には、正弦正弦と正弦正弦を混同しているものがあります。歴史的には（例えば、Cauchy, 1821）、正弦正弦（正弦正弦）は siv( θ ) = 1−cos( θ )、余弦正弦（現在では正弦正弦とも呼ばれる）は cosiv( θ ) = 1−sin( θ )、正弦正弦（正弦正弦）は vcs θ  = 1+cos( θ ) と定義されていました。しかし、2009年にCauchyの著作を英訳したBradleyとSandiferは、余弦正弦（およびcosiv）を、正弦正弦ではなく、正弦正弦（現在では正弦正弦とも呼ばれる）と関連付けています。同様に、1968年と2000年の研究で、KornとKornは、 covers( θ )関数を、covered sineではなくversed cosineに関連付けています。
2. 信号処理やフィルタリングにおけるハーヴァーサイン関数を表すために使用される略語hvs は、無関係なヘヴィサイドステップ関数を表すために使用されることもあります。

参考文献

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さらに読む

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• ホーキング、スティーブン・W.編（2002年）『巨人の肩の上で：物理学と天文学の偉大な業績』フィラデルフィア：ランニング・プレス、ISBN 0-7624-1698-X。
• ミラー、ジェフ「数学用語の最も古い使用例（V）」。ジョン・J・オコナー、エドマンド・F・ロバートソン編。MacTutor数学史アーカイブ。セントアンドリュース大学。 2025年5月5日閲覧。

外部リンク

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• Pegg, Jr.編「Sagitta, Apothem, and Chord」 Wolframデモンストレーション・プロジェクト
• GeoGebra.org の三角関数

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