Matrix group
数学 において 、 整数 成分 を持つ 行列群 の 合同部分群 とは、成分の合同条件によって定義される 部分群である。非常に単純な例としては、 行列式1の 可逆な 2×2 整数行列の部分群があり 、その非対角成分は 偶数である。より一般的には、 合同部分群 の概念は 代数 群 の 算術部分群 、すなわち「整式構造」の概念を持ち、整数を法とする縮約写像を定義できる部分群に対して定義できる。
算術群に合同部分群が存在することは、その群に豊富な部分群を与え、特に群が 残差有限で あることを示します。算術群の代数構造に関する重要な問題は、 合同部分群問題 であり、有限 指数 の部分群はすべて本質的に合同部分群であるかどうかを問うものです。
2 × 2 行列の合同部分群は、 モジュラー形式 の古典理論における基本的な対象です。現代の 保型形式 の理論では、 より一般的な算術群において合同部分群を同様に利用しています。
モジュラー群の合同部分群 合同部分群を研究できる最も単純で興味深い設定は、モジュラー群で ある 。 [ 1 ] S L 2 ( Z ) {\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}
主合同部分群 が整数の 場合、 を法 とする縮約によって誘導される準同型写像が存在する 。 における レベルの主合同部分群は の核であり 、通常は と表記される。明示的には次のように記述される。 n ⩾ 1 {\displaystyle n\geqslant 1} π n : S L 2 ( Z ) → S L 2 ( Z / n Z ) {\displaystyle \pi _{n}:\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )\to \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )} n {\displaystyle n} Z → Z / n Z {\displaystyle \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} } n {\displaystyle n} Γ = S L 2 ( Z ) {\displaystyle \Gamma =\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )} π n {\displaystyle \pi _{n}} Γ ( n ) {\displaystyle \Gamma (n)}
Γ ( n ) = { ( a b c d ) ∈ S L 2 ( Z ) : a , d ≡ 1 ( mod n ) , b , c ≡ 0 ( mod n ) } {\displaystyle \Gamma (n)=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} ):a,d\equiv 1{\pmod {n}},\quad b,c\equiv 0{\pmod {n}}\right\}} この定義から、 における 有限 指数の 正規部分群 である ことが直ちに分かります 。 強近似定理 （この場合は 中国剰余定理 の簡単な帰結）は 、 が射影的であることを意味します。したがって、商は と同型です 。この有限群の位数を計算すると、指数に関する次の式が得られます。 Γ ( n ) {\displaystyle \Gamma (n)} Γ {\displaystyle \Gamma } π n {\displaystyle \pi _{n}} Γ / Γ ( n ) {\displaystyle \Gamma /\Gamma (n)} S L 2 ( Z / n Z ) {\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )}
[ Γ : Γ ( n ) ] = n 3 ⋅ ∏ p ∣ n ( 1 − 1 p 2 ) {\displaystyle [\Gamma :\Gamma (n)]=n^{3}\cdot \prod _{p\mid n}\left(1-{\frac {1}{p^{2}}}\right)} ここで、積はすべての素数にわたって n {\displaystyle n} を割った値です。
ならば、 の任意の有限部分群へ の制限は 単射である。これは以下の結果を示唆する。 n ⩾ 3 {\displaystyle n\geqslant 3} π n {\displaystyle \pi _{n}} Γ {\displaystyle \Gamma }
ならば、 主合同部分群は ねじれフリー です 。 n ⩾ 3 {\displaystyle n\geqslant 3} Γ ( n ) {\displaystyle \Gamma (n)} 群は を含み 、捩れを伴わない。一方、 におけるその像は 捩れを伴わず、 双 曲平面をこの部分群で割った商は3つの尖点を持つ球面となる。 Γ ( 2 ) {\displaystyle \Gamma (2)} − Id {\displaystyle -\operatorname {Id} } PSL 2 ( Z ) {\displaystyle \operatorname {PSL} _{2}(\mathbb {Z} )}
合同部分群の定義 における 部分群は、 主合同部分群 を含むような が 存在するとき、 合同部分群 と呼ばれる 。その場合、 の レベルはそのような の最小値となる 。 H {\displaystyle H} Γ = S L 2 ( Z ) {\displaystyle \Gamma =\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )} n ⩾ 1 {\displaystyle n\geqslant 1} H {\displaystyle H} Γ ( n ) {\displaystyle \Gamma (n)} l {\displaystyle l} H {\displaystyle H} n {\displaystyle n}
この定義から次のことが分かります。
合同部分群は Γ {\displaystyle \Gamma } において有限の指数を持ちます。 レベルの合同部分群は、 の部分群と1対1に対応します 。 ℓ {\displaystyle \ell } SL 2 ( Z / ℓ Z ) {\displaystyle \operatorname {SL} _{2}(\mathbb {Z} /\ell \mathbb {Z} )}
例 部分群 Γ 0 ( n ) {\displaystyle \Gamma _{0}(n)} は、 レベル の ヘッケ合同部分群 とも呼ばれ、上三角行列群の逆像として定義されます 。つまり、 n {\displaystyle n} π n {\displaystyle \pi _{n}}
Γ 0 ( n ) = { ( a b c d ) ∈ Γ : c ≡ 0 ( mod n ) } . {\displaystyle \Gamma _{0}(n)=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in \Gamma :c\equiv 0{\pmod {n}}\right\}.} インデックスは次の式で与えられます。
[ Γ : Γ 0 ( n ) ] = n ⋅ ∏ p | n ( 1 + 1 p ) {\displaystyle [\Gamma :\Gamma _{0}(n)]=n\cdot \prod _{p|n}\left(1+{\frac {1}{p}}\right)} ここで、積は n {\displaystyle n} を割り切れるすべての素数について取られます。 が素数の場合、 は 有限体 上の 射影直線 と自然一対一であり、 における の（左または右）剰余類の明示的な表現 は次の行列です。 p {\displaystyle p} Γ / Γ 0 ( p ) {\displaystyle \Gamma /\Gamma _{0}(p)} F p {\displaystyle \mathbb {F} _{p}} Γ 0 ( p ) {\displaystyle \Gamma _{0}(p)} Γ {\displaystyle \Gamma }
Id , ( 1 0 1 1 ) , … , ( 1 0 p − 1 1 ) , ( 0 − 1 1 0 ) . {\displaystyle \operatorname {Id} ,{\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}},\ldots ,{\begin{pmatrix}1&0\\p-1&1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}.} 部分群は 常に行列 を含むため、ねじれのない状態にはならない。の 像に もねじれ元が含まれるよう
なもの は無限に存在する。 Γ 0 ( n ) {\displaystyle \Gamma _{0}(n)} − I {\displaystyle -I} n {\displaystyle n} Γ 0 ( n ) {\displaystyle \Gamma _{0}(n)} P S L 2 ( Z ) {\displaystyle \mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {Z} )}
この部分群は 、単元行列の部分群の逆像である。 Γ 1 ( n ) {\displaystyle \Gamma _{1}(n)}
Γ 1 ( n ) = { ( a b c d ) ∈ Γ : a , d ≡ 1 ( mod n ) , c ≡ 0 ( mod n ) } . {\displaystyle \Gamma _{1}(n)=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in \Gamma :a,d\equiv 1{\pmod {n}},c\equiv 0{\pmod {n}}\right\}.} それらのインデックスは次の式で与えられます。
[ Γ : Γ 1 ( n ) ] = n 2 ⋅ ∏ p | n ( 1 − 1 p 2 ) {\displaystyle [\Gamma :\Gamma _{1}(n)]=n^{2}\cdot \prod _{p|n}\left(1-{\frac {1}{p^{2}}}\right)} シータ 部分群は 、によって生成される位数2の巡回群の逆像として定義される の合同部分群である 。これは指数3であり、次のように明示的に記述される: [2] Λ {\displaystyle \Lambda } Γ {\displaystyle \Gamma } ( 0 − 1 1 0 ) ∈ S L 2 ( Z / 2 Z ) {\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}0&-1\\1&0\end{smallmatrix}}\right)\in \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )}
Λ = { ( a b c d ) ∈ Γ : a c ≡ 0 ( mod 2 ) , b d ≡ 0 ( mod 2 ) } . {\displaystyle \Lambda =\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in \Gamma :ac\equiv 0{\pmod {2}},bd\equiv 0{\pmod {2}}\right\}.} これらのサブグループは、次の包含関係を満たします: Γ ( n ) ⊂ Γ 1 ( n ) ⊂ Γ 0 ( n ) {\displaystyle \Gamma (n)\subset \Gamma _{1}(n)\subset \Gamma _{0}(n)} 、および Γ ( 2 ) ⊂ Λ {\displaystyle \Gamma (2)\subset \Lambda } 。
合同部分群の性質 モジュラー群の合同部分群とそれに伴うリーマン面は、特に優れた幾何学的・位相的性質によって区別されます。以下に例を示します。
モジュラー面の合同被覆のうち種数0のものは有限個しか存在しない。 [3] （ セルバーグの3/16定理 ） が、 固有値を持つモジュラー面の合同被覆上の ラプラス-ベルトラミ演算子 の非定数固有関数である場合、 となります 。 f {\displaystyle f} λ {\displaystyle \lambda } λ ⩾ 3 16 {\displaystyle \lambda \geqslant {\tfrac {3}{16}}} 合同被覆上の滑らかな関数に対するヘッケ作用素 と呼ばれる、一群の優れた作用素も存在する。 これらは互いに可換であり、ラプラス・ベルトラミ作用素とも可換であり、後者の各固有空間において対角化可能である。これらの共通固有関数は 保型形式の基本的な例である。これらの合同部分群に関連する他の保型形式には、正則モジュラー形式があり、これは アイヒラー・シムラ同型 を介して、関連するリーマン面上のコホモロジー類として解釈できる 。
ヘッケ合同部分群の正規化子 in の 正規化子 が 調査されました。 1970 年代の Jean-Pierre Serre 、 Andrew Ogg および John G. Thompson による成果の 1 つは、 対応する モジュラー曲線 ( 双曲平面の商を で割った結果の リーマン面 )の 種数 が0 である (つまり、モジュラー曲線はリーマン球面である) 場合、 は 2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、41、47、59、または 71 であるということです。Ogg は後に モンスター群について聞いたとき、これらがまさに のサイズの 素因数 であることに気付き、この事実を説明できる人に ジャック ダニエルの ウイスキーを 1 本提供するという論文を書き上げました。これが、モジュラー関数理論とモンスター群の深いつながりを説明する モンスター密造 酒の理論の出発点となりました 。 Γ 0 ( p ) + {\displaystyle \Gamma _{0}(p)^{+}} Γ 0 ( p ) {\displaystyle \Gamma _{0}(p)} S L 2 ( R ) {\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )} Γ 0 ( p ) + {\displaystyle \Gamma _{0}(p)^{+}} p {\displaystyle p} M {\displaystyle M}
算術群では
算術群 算術群の概念は、 S L d ( Z ) {\displaystyle \mathrm {SL} _{d}(\mathbb {Z} )} の基本的な例に基づいた広範な一般化です。一般に、定義を与えるには、 上で定義された 半単純代数群 と、同じく 上で定義された、 から への 忠実な表現 が必要です。すると、 の算術群とは、 の有限指数部分格子の安定群において有限指数を持つ任意 の群です 。 G {\displaystyle \mathbf {G} } Q {\displaystyle \mathbb {Q} } ρ {\displaystyle \rho } Q {\displaystyle \mathbb {Q} } G {\displaystyle \mathbf {G} } G L d {\displaystyle \mathrm {GL} _{d}} G ( Q ) {\displaystyle \mathbf {G} (\mathbb {Q} )} Γ ⊂ G ( Q ) {\displaystyle \Gamma \subset \mathbf {G} (\mathbb {Q} )} Z d {\displaystyle \mathbb {Z} ^{d}}
合同部分群 を算術群とします。簡単にするために、 と仮定する方が適切です 。 の場合と同様に、 簡約射 が存在します。 の主合同部分群を の核 （これは表現 に先験的に依存する場合があります）と定義し 、 の 合同部分群を主合同部分群（表現に依存しない概念）を含む任意の部分群と定義できます。これらは有限群 の部分群に対応する有限インデックスの部分群であり 、レベルが定義されています。 Γ {\displaystyle \Gamma } Γ ⊂ G L n ( Z ) {\displaystyle \Gamma \subset \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {Z} )} S L 2 ( Z ) {\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )} π n : Γ → G L d ( Z / n Z ) {\displaystyle \pi _{n}:\Gamma \to \mathrm {GL} _{d}(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )} Γ {\displaystyle \Gamma } π n {\displaystyle \pi _{n}} ρ {\displaystyle \rho } Γ {\displaystyle \Gamma } π n ( Γ ) {\displaystyle \pi _{n}(\Gamma )}
例 の主合同部分群は次のように与えられる 部分群である 。 S L d ( Z ) {\displaystyle \mathrm {SL} _{d}(\mathbb {Z} )} Γ ( n ) {\displaystyle \Gamma (n)}
Γ ( n ) = { ( a i j ) ∈ S L d ( Z ) : ∀ i a i i ≡ 1 ( mod n ) , ∀ i ≠ j a i j ≡ 0 ( mod n ) } {\displaystyle \Gamma (n)=\left\{(a_{ij})\in \mathrm {SL} _{d}(\mathbb {Z} ):\forall i\,a_{ii}\equiv 1{\pmod {n}},\,\forall i\neq j\,a_{ij}\equiv 0{\pmod {n}}\right\}} すると、合同部分群は の部分群に対応する 。 S L d ( Z / n Z ) {\displaystyle \mathrm {SL} _{d}(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )}
算術群のもう一つの例は、数体 における 整数環 である 群 （ 例えば ）によって与えられます。そして、 が 有理素数を割り切る素イデアル で ある場合、 を法とする縮約写像の核である 部分群は、 を法とする縮約によって定義される主合同部分群を含むため、合同部分群となります 。 S L 2 ( O ) {\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(O)} O {\displaystyle O} O = Z [ 2 ] {\displaystyle O=\mathbb {Z} [{\sqrt {2}}]} p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} p {\displaystyle p} Γ ( p ) {\displaystyle \Gamma ({\mathfrak {p}})} p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} p {\displaystyle p}
さらに別の算術群は シーゲルモジュラー群 であり 、 S p 2 g ( Z ) {\displaystyle \mathrm {Sp} _{2g}(\mathbb {Z} )} 次のように定義されます。
S p 2 g ( Z ) = { γ ∈ G L 2 g ( Z ) : γ T ( 0 I g − I g 0 ) γ = ( 0 I g − I g 0 ) } . {\displaystyle \mathrm {Sp} _{2g}(\mathbb {Z} )=\left\{\gamma \in \mathrm {GL} _{2g}(\mathbb {Z} ):\ \gamma ^{\mathrm {T} }{\begin{pmatrix}0&I_{g}\\-I_{g}&0\end{pmatrix}}\gamma ={\begin{pmatrix}0&I_{g}\\-I_{g}&0\end{pmatrix}}\right\}.} の場合には となることに注意してください 。 の シータ部分群 は、との両方 が偶数の対角要素を持つような すべての集合です 。 [4] g = 1 {\displaystyle g=1} S p 2 ( Z ) = S L 2 ( Z ) {\displaystyle \mathrm {Sp} _{2}(\mathbb {Z} )=\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )} Γ ϑ ( n ) {\displaystyle \Gamma _{\vartheta }^{(n)}} S p 2 g ( Z ) {\displaystyle \mathrm {Sp} _{2g}(\mathbb {Z} )} ( A B C D ) ∈ S p 2 g ( Z ) {\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}A&B\\C&D\end{smallmatrix}}\right)\in \mathrm {Sp} _{2g}(\mathbb {Z} )} A B ⊤ {\displaystyle AB^{\top }} C D ⊤ {\displaystyle CD^{\top }}
プロパティ（τ） 与えられた算術群の合同部分群の族は、 常に Lubotzky–Zimmer の性質 (τ) を持ちます。 [5] これは、それらの Schreier 剰余類グラフ の族の Cheeger 定数( の固定された生成セットに関して ) が 0 から一様に有界である、言い換えればそれらは 拡張グラフ の族である、という意味だととることができます。表現論的な解釈もあります。つまり、 が リー群 の 格子 で ある場合、性質 (τ) は、 自明な表現 から離れて有界である 空間で発生する の 非自明な ユニタリ表現 と同等です( のユニタリ双対上の Fell 位相 における)。性質 (τ) は、すべての有限指数部分群の族が性質 (τ) を持つことを意味する Kazhdan の性質 (T) の弱めです。 Γ {\displaystyle \Gamma } Γ {\displaystyle \Gamma } Γ {\displaystyle \Gamma } G {\displaystyle G} G {\displaystyle G} L 2 ( G / Γ ) {\displaystyle L^{2}(G/\Gamma )} G {\displaystyle G}
で S -算術群 が -群で が 素数の有限集合である 場合、 の -算術部分群は、 の代わりに を用いた算術部分群として定義されます 。基本的な例は です。 G {\displaystyle \mathbf {G} } Q {\displaystyle \mathbb {Q} } S = { p 1 , … , p r } {\displaystyle S=\{p_{1},\ldots ,p_{r}\}} S {\displaystyle S} G ( Q ) {\displaystyle \mathbf {G} (\mathbb {Q} )} Z [ 1 / p 1 , … , 1 / p r ] ) {\displaystyle \mathbb {Z} [1/p_{1},\ldots ,1/p_{r}])} Z {\displaystyle \mathbb {Z} } SL d ( Z [ 1 / p 1 , … , 1 / p r ] ) {\displaystyle \operatorname {SL} _{d}(\mathbb {Z} [1/p_{1},\ldots ,1/p_{r}])}
を代数群 の -算術群とします 。 が のどの素数でも割り切れない整数である場合 、すべての素数は 法を法として可逆であり、したがって 射が存在することが分かります。したがって、 の合同部分群を定義することができ、そのレベルは常に のすべての素数と互いに素です 。 Γ S {\displaystyle \Gamma _{S}} S {\displaystyle S} G ⊂ GL d {\displaystyle \mathbf {G} \subset \operatorname {GL} _{d}} n {\displaystyle n} S {\displaystyle S} p i {\displaystyle p_{i}} n {\displaystyle n} π n : Γ S → G L d ( Z / n Z ) {\displaystyle \pi _{n}:\Gamma _{S}\to \mathrm {GL} _{d}(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )} Γ S {\displaystyle \Gamma _{S}} S {\displaystyle S}
合同部分群問題
SLにおける有限指数部分群 2 （Z） の合同部分群は 有限指数部分群です。では、 のすべての有限指数部分群を合同部分群が説明できるかどうかという疑問が当然湧きます。答えは断固として「ノー」です。この事実は フェリックス・クライン が既に知っていたことであり、多くの非合同有限指数部分群を示す方法は数多くあります。例えば、 Γ = S L 2 ( Z ) {\displaystyle \Gamma =\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )} Γ {\displaystyle \Gamma }
商 の 合成級数 における単純群 （ここで は正規合同部分群）は、 リー型（または巡回）の単純群 でなければならず、実際には素数 の群の1つです 。しかし、任意の に対して、 交代 群 と同型となる 有限 指数部分群が存在します （例えば、 2つの生成元を持つ任意の群上の全射、特にすべての交代群上の全射や、これらの射の核が例を示します）。したがって、これらの群は非合同でなければなりません。 Γ / Γ ′ {\displaystyle \Gamma /\Gamma '} Γ ′ {\displaystyle \Gamma '} S L 2 ( F p ) {\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {F} _{p})} p {\displaystyle p} m {\displaystyle m} Γ ′ ⊂ Γ {\displaystyle \Gamma '\subset \Gamma } Γ / Γ ′ {\displaystyle \Gamma /\Gamma '} A m {\displaystyle A_{m}} Γ ( 2 ) {\displaystyle \Gamma (2)} 全射 Γ ( 2 ) → Z {\displaystyle \Gamma (2)\to \mathbb {Z} } が存在します。 十分に大きい場合、の核は 非合同でなければなりません (これを確認する 1 つの方法は、シュライアー グラフの Cheeger 定数が 0 になることです。前の項目の精神に基づいた簡単な代数的証明もあります)。 m {\displaystyle m} Γ ( 2 ) → Z → Z / m Z {\displaystyle \Gamma (2)\to \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /m\mathbb {Z} } の指数 の合同部分群の 数は を満たします 。一方、 の 指数の有限指数部分群の数は を満たす ので、有限指数の部分群のほとんどは非合同でなければなりません。 c N {\displaystyle c_{N}} Γ {\displaystyle \Gamma } N {\displaystyle N} log c N = O ( ( log N ) 2 / log log N ) {\displaystyle \log c_{N}=O\left((\log N)^{2}/\log \log N\right)} a N {\displaystyle a_{N}} N {\displaystyle N} Γ {\displaystyle \Gamma } N log N = O ( log a N ) {\displaystyle N\log N=O(\log a_{N})}
合同核 モジュラー群の場合と同じ質問を任意の算術群に対して行うことができます。
単純な合同部分群の問題: 算術群が与えられた場合、その有限指数部分群はすべて合同部分群でしょうか? この問題は肯定的な解を持つ可能性がある。その起源は、 Hyman Bass 、 Jean-Pierre Serre 、 John Milnor 、そしてJens Mennickeらの研究にある。 彼らは、 の場合とは対照的に、 のすべての有限指数部分群が合同部分群である とき、が成り立つことを証明した。Bass–Milnor–Serreによるこの解法は、 K理論 に関連する 代数的整数論 の側面を含んでいた 。 [7] 一方、Serreの 整数体上の に関する研究は、場合によっては素朴な疑問に対する答えが「いいえ」である一方で、問題を少し緩和すると肯定的な答えが得られることを示している。 [8] S L 2 ( Z ) {\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )} n ⩾ 3 {\displaystyle n\geqslant 3} S L n ( Z ) {\displaystyle \mathrm {SL} _{n}(\mathbb {Z} )} S L 2 {\displaystyle \mathrm {SL} _{2}}
この新しい問題は、算術群 Γ {\displaystyle \Gamma } に関連付けられた特定のコンパクト位相群の観点からより適切に表現されます。 上の位相があり、 その自明な部分群の近傍の基数が有限指数の部分群の集合（原 有限位相 ）であるような位相があります。また、合同部分群のみを使用して同じように定義された別の位相があります。原有限位相は の完備化 を生じ、一方、「合同」位相は別の完備化 を生じます 。どちらも 原有限群 であり、自然な射影射があります（直感的に、合同位相では原有限位相よりも コーシー列 が従うべき 条件が少ない）。 合同 核 はこの射の核であり、上記の合同部分群の問題は、 が自明であるかどうかを問うことになります。結論を弱めると、次の問題が導かれます。 Γ {\displaystyle \Gamma } Γ ^ {\displaystyle {\widehat {\Gamma }}} Γ {\displaystyle \Gamma } Γ ¯ {\displaystyle {\overline {\Gamma }}} Γ ^ → Γ ¯ {\displaystyle {\widehat {\Gamma }}\to {\overline {\Gamma }}} C ( Γ ) {\displaystyle C(\Gamma )} C ( Γ ) {\displaystyle C(\Gamma )}
合同部分群の問題: 合同核は 有限ですか? C ( Γ ) {\displaystyle C(\Gamma )} 問題が正解を持つ場合、 は 合同部分群の性質 を持つという 。一般的にセールに帰せられる予想によれば、半単純リー群の既約算術格子が合同部分群の性質を持つのは、の 実数階数 が少なくとも2である 場合のみである 。例えば、 の格子は 常に の性質を持つはずである。 Γ {\displaystyle \Gamma } G {\displaystyle G} G {\displaystyle G} S L 3 ( R ) {\displaystyle \mathrm {SL} _{3}(\mathbb {R} )}
否定的な解決策 セールの予想は、階数1のリー群の格子は合同部分群の性質を持たないというものです。そのような群には3つの族があります。 直交 群 、 ユニタリ 群 、群 （ハミルトン四元数上の セスクイリニア形式 の等長群）、そして例外群 （ 単純リー群の一覧を 参照）です。合同部分群問題の現状は以下のとおりです。 S O ( d , 1 ) , d ⩾ 2 {\displaystyle \mathrm {SO} (d,1),d\geqslant 2} S U ( d , 1 ) , d ⩾ 2 {\displaystyle \mathrm {SU} (d,1),d\geqslant 2} S p ( d , 1 ) , d ⩾ 2 {\displaystyle \mathrm {Sp} (d,1),d\geqslant 2} F 4 − 20 {\displaystyle F_{4}^{-20}}
これは、 を持つ すべてのグループに対して負の解（予想を裏付ける）を持つことが知られています 。 の証明では2. の場合と同じ議論を使用します。一般的なケースでは、 への全射を構築するのは非常に難しく 、証明はすべてのケースで一様ではなく、次元7のいくつかの格子では トライアリティ 現象のために証明が失敗します。 [12] 次元2と3、およびより高次元の一部の格子では、議論1と3も適用されます。 S O ( d , 1 ) {\displaystyle \mathrm {SO} (d,1)} d ≠ 7 {\displaystyle d\neq 7} S L 2 ( Z ) {\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )} Z {\displaystyle \mathbb {Z} } これは の多くの格子に対して知られている が、すべてに対して知られているわけではない（ここでも議論2の一般化を用いる）。 [13] S U ( d , 1 ) {\displaystyle \mathrm {SU} (d,1)} 残りのすべてのケースでは完全にオープンです。
前向きな解決策 合同部分群問題が正解を持つと予想される多くの状況において、実際にそれが成り立つことが証明されています。以下は、関連する算術格子に対して合同部分群の性質が成り立つことが知られている代数群のリストです。ただし、関連するリー群の階数（またはより一般的には、-算術群の場合は実数因子と - 進 因子の階数の和）が2以上である必要があります 。 [ p {\displaystyle p} 14 S {\displaystyle S}
任意の非異方性群（これには、Bass–Milnor–Serre によって扱われるケースのほか、 、その他多数が含まれます） 。 S O ( p , q ) {\displaystyle \mathrm {SO} (p,q)} min ( p , q ) > 1 {\displaystyle \min(p,q)>1} 型でない任意のグループ （たとえば、実階数のシンプレクティックグループまたは直交グループのすべての異方性 形式 ） ; A n {\displaystyle A_{n}} ⩾ 2 {\displaystyle \geqslant 2} エルミート形式のユニタリ群。 型の内形と外形の場合については 未だ解明されていない。型の内形の場合の代数群は、中心単純除算代数の単位群に付随する群である。例えば、コンパクト商を持つ格子 やコンパクト商を持つ 格子では、合同部分群の性質は知られていない 。 [15] A n {\displaystyle A_{n}} A n {\displaystyle A_{n}} S L 3 ( R ) {\displaystyle \mathrm {SL} _{3}(\mathbb {R} )} S L 2 ( R ) × S L 2 ( R ) {\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )\times \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}
合同群とアデル群 アデールの環 は 、 のすべての完備化の 制限積 、すなわち A {\displaystyle \mathbb {A} } Q {\displaystyle \mathbb {Q} }
A = R × ∏ p ′ Q p {\displaystyle \mathbb {A} =\mathbb {R} \times \prod _{p}'\mathbb {Q} _{p}} ここで、積はすべての素数の 集合上にあり、は p 進数 の体であり 、要素が 制限積に属するのは、ほとんどすべての素数 に対して、が p 進整数 の 部分環に属する場合のみです 。 P {\displaystyle {\mathcal {P}}} Q p {\displaystyle \mathbb {Q} _{p}} ( x , ( x p ) p ∈ P ) {\displaystyle (x,(x_{p})_{p\in {\mathcal {P}}})} p {\displaystyle p} x p {\displaystyle x_{p}} Z p {\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}
アデル 代数群 上の 任意の代数群が与えられれば、 アデル代数群は明確に定義される。アデル代数群は標準位相を持つことができ、 が線型代数群である場合、それは の部分集合としての位相となる 。有限アデルは、すべての非アルキメデス完備化（すべての p 進体） の制限積である。 G {\displaystyle \mathbf {G} } Q {\displaystyle \mathbb {Q} } G ( A ) {\displaystyle \mathbf {G} (\mathbb {A} )} G {\displaystyle \mathbf {G} } A m {\displaystyle \mathbb {A} ^{m}} A f {\displaystyle \mathbb {A} _{f}}
が算術群である 場合、その合同部分群は次の性質によって特徴付けられます: が合同部分群である場合と、その閉包が コンパクト開部分群である場合（コンパクト性は自動的に得られる）、かつ である場合に限ります。一般に、群は における の合同閉包に等しく 、 上の合同位相は の部分群としての誘導位相であり 、特に合同完備化はその群におけるその閉包です。これらの注釈は -算術部分群にも当てはまり、有限アデルの環を に含まれないすべての素数上の制限積に置き換えます 。 Γ ⊂ G ( Q ) {\displaystyle \Gamma \subset \mathbf {G} (\mathbb {Q} )} H ⊂ Γ {\displaystyle H\subset \Gamma } H ¯ ⊂ G ( A f ) {\displaystyle {\overline {H}}\subset \mathbf {G} (\mathbb {A} _{f})} H = Γ ∩ H ¯ {\displaystyle H=\Gamma \cap {\overline {H}}} Γ ∩ H ¯ {\displaystyle \Gamma \cap {\overline {H}}} H {\displaystyle H} Γ {\displaystyle \Gamma } Γ {\displaystyle \Gamma } G ( A f ) {\displaystyle \mathbf {G} (\mathbb {A} _{f})} Γ ¯ {\displaystyle {\overline {\Gamma }}} S {\displaystyle S} S {\displaystyle S}
より一般的には、固定された算術部分群を明示的に参照することなく、部分群が 合同部分群であることを意味するものを、その合同閉包 と等しいとすることで定義することができます。したがって、離散部分群 を見ることで、すべての合同部分群を一度に調べることができます 。これは保型形式の理論において特に便利です。例えば、 アーサー・セルバーグの痕跡公式 の現代的な扱いはすべて、このアデリックな設定で行われています。 Γ ⊂ G ( Q ) {\displaystyle \Gamma \subset \mathbf {G} (\mathbb {Q} )} Γ ¯ ∩ G ( Q ) {\displaystyle {\overline {\Gamma }}\cap \mathbf {G} (\mathbb {Q} )} G ( Q ) ⊂ G ( A ) {\displaystyle \mathbf {G} (\mathbb {Q} )\subset \mathbf {G} (\mathbb {A} )}
注記 ^ モジュラー群は通常、商 P S L 2 ( Z ) = S L 2 ( Z ) / { ± Id } {\displaystyle \mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {Z} )=\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )/\{\pm \operatorname {Id} \}} として定義されますが、ここでは物事を単純化するために を使用します が、理論はほぼ同じです。 S L 2 ( Z ) {\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )} ^ アイヒラー、マーティン (1966). 代数的数と関数の理論入門 . アカデミックプレス. pp. 36–39. ^ Long, Darren D.; Maclachlan, Colin; Reid, Alan (2006). 「種数ゼロの算術フックス群」. Pure and Applied Math Quarterly 2. JH Coates教授60歳記念特別号 (2): 569–599 . doi : 10.4310/PAMQ.2006.v2.n2.a9 . ^ リヒター、オラフ (2000). 「実数体上の不定二次形式のシータ関数」. アメリカ数学会報 . 128 (3): 701– 708. doi : 10.1090/s0002-9939-99-05619-1 . ^ ローゼル、ローラン (2003). 「推測τの実証」。 発明する。数学。 （フランス語で）。 151 (2): 297–328 。 書誌コード :2003InMat.151..297C。 土井 ：10.1007/s00222-002-0253-8。 S2CID 124409226。 ^ バス、H. ジョン・ウィラード・ミルナー ; Serre, Jean-Pierre (1967)、 「SLn (n ≥ 3) および Sp2n (n ≥ 2) の合同サブグループ問題の解法」 、 Publications Mathématiques de l'IHÉS 、 33 (33): 59–137 、 doi :10.1007/BF02684586、 ISSN 1618-1913、 MR 0244257、 S2CID 123107965 （訂正） ^ ジャン・ピエール・セール (1970)。 「SL 2 の一致に関する問題 」。 数学年報 。シリーズ第 2 弾（フランス語）。 92 : 489–527 。 土井 :10.2307/1970630。 JSTOR 1970630。 ^ Agol, Ian (2013). 「仮想ハーケン予想」. Documenta Mathematica 18 : 1045–1087 . doi : 10.4171/dm/421 . S2CID 255586740 . ^ Kazhdan, David (1977). 「Weil表現のいくつかの応用」. Journal d'Analyse Mathématique . 32 : 235–248 . doi :10.1007/bf02803582. S2CID 119982784. ^ Raghunatan, MS (2004). 「合同部分群問題」. Proc. Indian Acad. Sci. Math. Sci . 114 (4): 299– 308. doi :10.1007/BF02829437. S2CID 18414386.
参考文献 
![{\displaystyle [\Gamma :\Gamma (n)]=n^{3}\cdot \prod _{p\mid n}\left(1-{\frac {1}{p^{2}}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70d869685eec8c49e24f82c79a2fc770d0b685c7)
![{\displaystyle [\Gamma :\Gamma _{0}(n)]=n\cdot \prod _{p|n}\left(1+{\frac {1}{p}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52ac9f9c26fe5e6c643c8207d0c307f9b62af5a2)
![{\displaystyle [\Gamma :\Gamma _{1}(n)]=n^{2}\cdot \prod _{p|n}\left(1-{\frac {1}{p^{2}}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/158bb99a4c253ceeb02d0df08628839a0ca481a4)
![{\displaystyle O=\mathbb {Z} [{\sqrt {2}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b3544d42f0b8e6b53c8aa87af568cdf40c39532)
![{\displaystyle \mathbb {Z} [1/p_{1},\ldots ,1/p_{r}])}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/063541d13d3badf092e976de357943db670c1b95)
![{\displaystyle \operatorname {SL} _{d}(\mathbb {Z} [1/p_{1},\ldots ,1/p_{r}])}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c315365ea484b7844add76960e206cfbee2b13b6)
