正二十面体対称性

3D symmetry group

3次元で選択された点群

反転対称性 C s、 (*) [ ] =	周期対称性 C nv , (*nn) [n] =	二面対称性 D nh , (*n22) [n,2] =
多面体群, [n,3], (*n32)
四面体対称性 T d、 (*332) [3,3] =	八面体対称性 O h、 (*432) [4,3] =	正20面体対称性 I h、 (*532) [5,3] =

正二十面体対称性基本領域

球面切頂二十面体の一般的な例であるサッカー ボールは、完全な二十面体対称性を備えています。

回転と反射により、大二十面体の対称群が形成されます。

数学、特に幾何学において、ある物体が正二十面体と同じ対称性を持つ場合、その物体は二十面体対称性を持つとされます。二十面体対称性を持つ他の多面体の例としては、正十二面体（正二十面体の双対）や菱形三十面体などがあります。

正20面体対称性を持つすべての多面体は、60個の回転対称性（または向き保存対称性）と60個の向き反転対称性（回転と鏡映を組み合わせた対称性）を持ち、全体の対称位数は120である。完全な対称群はH ₃型のコクセター群である。これはコクセター記法[5,3]とコクセター図で表される。 回転対称性の集合は、5文字の交代群 A _{5と同型な部分群を形成します。}

点群として

2 つの無限級数の柱状対称性と反柱状対称性以外に、キラルな物体の回転二十面体対称性またはキラル二十面体対称性と、完全な二十面体対称性または非キラル二十面体対称性は、最大の対称群を持つ離散点対称性(または球面上の対称性)です。

二十面体対称性は並進対称性と互換性がないため、関連する結晶点群や空間群は存在しません。

シェー。	コクセター		オーブ。	抽象 構造	注文
私	[5,3] +		532	A5​	60
私は	[5,3]		*532	A5 × 2	120

上記に対応するプレゼンテーションは次のとおりです。

${\displaystyle I:\langle s,t\mid s^{2},t^{3},(st)^{5}\rangle \ }$

${\displaystyle I_{h}:\langle s,t\mid s^{3}(st)^{-2},t^{5}(st)^{-2}\rangle .\ }$

これらは、（2,3,5）三角形群である二十面体群（回転および完全）に対応します。

最初の発表は1856年にウィリアム・ローワン・ハミルトンによるイコシアン計算に関する論文の中で行われた。^[1]

なお、交互グループ（Iの場合）などの他のプレゼンテーションも可能であることに注意してください。

視覚化

完全対称群はH ₃型のコクセター群である。これはコクセター記法[5,3]とコクセター図で表される。 回転対称性の集合は、5文字の交代群 A _{5と同型な部分群を形成します。}

ショー。 （オーブ）	コクセター 記法	要素	ミラー図
			直交	立体投影
私はh （*532）	[5,3]	ミラー ライン： 15
私 （532）	[5,3] +	回転 ポイント: 12 5 20 3 30 2

グループ構造

二十面体対称性を持つすべての多面体には、60 個の回転対称性 (または方向保存対称性) と 60 個の方向反転対称性 (回転と反射を組み合わせたもの) があり、合計対称次数は120 です。

5つの八面体からなる球面複合体の辺は、15個の鏡面を色付きの大円として表します。それぞれの八面体は、その辺によって3つの直交する鏡面を表すことができます。
黄鉛面体対称性は、正二十面体対称性の指数5の部分群であり、3本の直交する緑色の反射線と8本の赤色の3次回転点を持ちます。黄鉛面体対称性には5つの異なる向きがあります。

その二十面体回転群 Iの位数は60である。群I、5つのオブジェクトの偶数順列の交代群でA₅と同型であるI様々な化合物、特に5つの立方体正十二面体に内接する）、5つの八面体像体であり正十二面体に内接する）の2つの化合物のいずれかさせることで実現できる。群には、T_hD ₃の20のバージョン（10軸、各軸に2つずつ）およびD ₅の6つのバージョンが含まれる。

その完全二十面体群 I _hの位数は 120 です。この指数の正規部分群としてI が群I _hはI×Z₂、またはA₅×Z₂で、中心の反転は元 (恒等,-1) に対応します。ここで、Z₂は乗法的に書き表されます。

I _{h は}5つの立方体の複合体と5つの八面体の複合体に作用するが、-1 は恒等関数として作用する（立方体と八面体は中心対称であるため）。I h は10の四面体の複合体に作用する。Iは2つのキラルな半分（5つの四面体の複合体）に作用し、-1 は2つの半分を交換する。特に、I h はS _{5として作用}せず、これらの群は同型ではない。詳細は下記を参照。

このグループには、 D _3dの 10 バージョンとD _5dの 6 バージョン(反プリズムのような対称性) が含まれます。

IはPSL ₂ (5)と同型であるが、I _{hはSL 2} (5)と同型ではない。

同型性私Aと₅

Iと A ₅の間の同型性がどのようなものかを明確に説明することは有用である。次の表では、順列 P _iと Q _{i は}それぞれ 5 個と 12 個の要素に作用し、回転行列 M _iはIの要素である。 P _kが順列 P _iにP _{jを適用した積である場合、} i、j、kの値が同じであれば、 Q _kは Q _{iに Q j}を適用した積であることも真であり、ベクトルに M _{kを乗算することは、そのベクトルに M i}を乗算し、その結果に M _jを乗算することと同じである、つまり M _k = M _j × M _iである。順列 P _{i は}12345 の 60 個の偶数順列すべてであるため、1 対 1 対応が明示的に示され、したがって同型性も明示されます。

回転行列	1 2 3 4 5の 5 の順列	1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 の 12 の順列
${\displaystyle M_{1}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle P_{1}}$= ()	${\displaystyle Q_{1}}$= ()
${\displaystyle M_{2}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\\-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle P_{2}}$= (3 4 5)	${\displaystyle Q_{2}}$= (1 11 8)(2 9 6)(3 5 12)(4 7 10)
${\displaystyle M_{3}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\\{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle P_{3}}$= (3 5 4)	${\displaystyle Q_{3}}$= (1 8 11)(2 6 9)(3 12 5)(4 10 7)
${\displaystyle M_{4}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\\-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle P_{4}}$= (2 3)(4 5)	${\displaystyle Q_{4}}$= (1 12)(2 8)(3 6)(4 9)(5 10)(7 11)
${\displaystyle M_{5}={\begin{bmatrix}{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle P_{5}}$= (2 3 4)	${\displaystyle Q_{5}}$= (1 2 3)(4 5 6)(7 9 8)(10 11 12)
${\displaystyle M_{6}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle P_{6}}$= (2 3 5)	${\displaystyle Q_{6}}$= (1 7 5)(2 4 11)(3 10 9)(6 8 12)
${\displaystyle M_{7}={\begin{bmatrix}{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle P_{7}}$= (2 4 3)	${\displaystyle Q_{7}}$= (1 3 2)(4 6 5)(7 8 9)(10 12 11)
${\displaystyle M_{8}={\begin{bmatrix}0&-1&0\\0&0&1\\-1&0&0\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle P_{8}}$= (2 4 5)	${\displaystyle Q_{8}}$= (1 10 6)(2 7 12)(3 4 8)(5 11 9)
${\displaystyle M_{9}={\begin{bmatrix}-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle P_{9}}$= (2 4)(3 5)	${\displaystyle Q_{9}}$= (1 9)(2 5)(3 11)(4 12)(6 7)(8 10)
${\displaystyle M_{10}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle P_{10}}$= (2 5 3)	${\displaystyle Q_{10}}$= (1 5 7)(2 11 4)(3 9 10)(6 12 8)
${\displaystyle M_{11}={\begin{bmatrix}0&0&-1\\-1&0&0\\0&1&0\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle P_{11}}$= (2 5 4)	${\displaystyle Q_{11}}$= (1 6 10)(2 12 7)(3 8 4)(5 9 11)
${\displaystyle M_{12}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle P_{12}}$= (2 5)(3 4)	${\displaystyle Q_{12}}$= (1 4)(2 10)(3 7)(5 8)(6 11)(9 12)
${\displaystyle M_{13}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle P_{13}}$= (1 2)(4 5)	${\displaystyle Q_{13}}$= (1 3)(2 4)(5 8)(6 7)(9 10)(11 12)
${\displaystyle M_{14}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle P_{14}}$= (1 2)(3 4)	${\displaystyle Q_{14}}$= (1 5)(2 7)(3 11)(4 9)(6 10)(8 12)
${\displaystyle M_{15}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle P_{15}}$= (1 2)(3 5)	${\displaystyle Q_{15}}$= (1 12)(2 10)(3 8)(4 6)(5 11)(7 9)
${\displaystyle M_{16}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle P_{16}}$= (1 2 3)	${\displaystyle Q_{16}}$= (1 11 6)(2 5 9)(3 7 12)(4 10 8)
${\displaystyle M_{17}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\\{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle P_{17}}$= (1 2 3 4 5)	${\displaystyle Q_{17}}$= (1 6 5 3 9)(4 12 7 8 11)
${\displaystyle M_{18}={\begin{bmatrix}{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle P_{18}}$= (1 2 3 5 4)	${\displaystyle Q_{18}}$= (1 4 8 6 2)(5 7 10 12 9)
${\displaystyle M_{19}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\\-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle P_{19}}$= (1 2 4 5 3)	${\displaystyle Q_{19}}$= (1 8 7 3 10)(2 12 5 6 11)
${\displaystyle M_{20}={\begin{bmatrix}0&0&1\\-1&0&0\\0&-1&0\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle P_{20}}$= (1 2 4)	${\displaystyle Q_{20}}$= (1 7 4)(2 11 8)(3 5 10)(6 9 12)
${\displaystyle M_{21}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\\-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle P_{21}}$= (1 2 4 3 5)	${\displaystyle Q_{21}}$= (1 2 9 11 7)(3 6 12 10 4)
${\displaystyle M_{22}={\begin{bmatrix}{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle P_{22}}$= (1 2 5 4 3)	${\displaystyle Q_{22}}$= (2 3 4 7 5)(6 8 10 11 9)
${\displaystyle M_{23}={\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&-1\\-1&0&0\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle P_{23}}$= (1 2 5)	${\displaystyle Q_{23}}$= (1 9 8)(2 6 3)(4 5 12)(7 11 10)
${\displaystyle M_{24}={\begin{bmatrix}-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle P_{24}}$= (1 2 5 3 4)	${\displaystyle Q_{24}}$= (1 10 5 4 11)(2 8 9 3 12)
${\displaystyle M_{25}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle P_{25}}$= (1 3 2)	${\displaystyle Q_{25}}$= (1 6 11)(2 9 5)(3 12 7)(4 8 10)
${\displaystyle M_{26}={\begin{bmatrix}{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle P_{26}}$= (1 3 4 5 2)	${\displaystyle Q_{26}}$= (2 5 7 4 3)(6 9 11 10 8)
${\displaystyle M_{27}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle P_{27}}$= (1 3 5 4 2)	${\displaystyle Q_{27}}$= (1 10 3 7 8)(2 11 6 5 12)
${\displaystyle M_{28}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\\{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle P_{28}}$= (1 3)(4 5)	${\displaystyle Q_{28}}$= (1 7)(2 10)(3 11)(4 5)(6 12)(8 9)
${\displaystyle M_{29}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\\-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle P_{29}}$= (1 3 4)	${\displaystyle Q_{29}}$= (1 9 10)(2 12 4)(3 6 8)(5 11 7)
${\displaystyle M_{30}={\begin{bmatrix}{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle P_{30}}$= (1 3 5)	${\displaystyle Q_{30}}$= (1 3 4)(2 8 7)(5 6 10)(9 12 11)
${\displaystyle M_{31}={\begin{bmatrix}-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle P_{31}}$= (1 3)(2 4)	${\displaystyle Q_{31}}$= (1 12)(2 6)(3 9)(4 11)(5 8)(7 10)
${\displaystyle M_{32}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\\{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle P_{32}}$= (1 3 2 4 5)	${\displaystyle Q_{32}}$= (1 4 10 11 5)(2 3 8 12 9)
${\displaystyle M_{33}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\\-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle P_{33}}$= (1 3 5 2 4)	${\displaystyle Q_{33}}$= (1 5 9 6 3)(4 7 11 12 8)
${\displaystyle M_{34}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle P_{34}}$= (1 3)(2 5)	${\displaystyle Q_{34}}$= (1 2)(3 5)(4 9)(6 7)(8 11)(10 12)
${\displaystyle M_{35}={\begin{bmatrix}-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle P_{35}}$= (1 3 2 5 4)	${\displaystyle Q_{35}}$= (1 11 2 7 9)(3 10 6 4 12)
${\displaystyle M_{36}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle P_{36}}$= (1 3 4 2 5)	${\displaystyle Q_{36}}$= (1 8 2 4 6)(5 10 9 7 12)
${\displaystyle M_{37}={\begin{bmatrix}{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle P_{37}}$= (1 4 5 3 2)	${\displaystyle Q_{37}}$= (1 2 6 8 4)(5 9 12 10 7)
${\displaystyle M_{38}={\begin{bmatrix}0&-1&0\\0&0&-1\\1&0&0\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle P_{38}}$= (1 4 2)	${\displaystyle Q_{38}}$= (1 4 7)(2 8 11)(3 10 5)(6 12 9)
${\displaystyle M_{39}={\begin{bmatrix}-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle P_{39}}$= (1 4 3 5 2)	${\displaystyle Q_{39}}$= (1 11 4 5 10)(2 12 3 9 8)
${\displaystyle M_{40}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\\{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle P_{40}}$= (1 4 3)	${\displaystyle Q_{40}}$= (1 10 9)(2 4 12)(3 8 6)(5 7 11)
${\displaystyle M_{41}={\begin{bmatrix}0&0&1\\1&0&0\\0&1&0\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle P_{41}}$= (1 4 5)	${\displaystyle Q_{41}}$= (1 5 2)(3 7 9)(4 11 6)(8 10 12)
${\displaystyle M_{42}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\\{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle P_{42}}$= (1 4)(3 5)	${\displaystyle Q_{42}}$= (1 6)(2 3)(4 9)(5 8)(7 12)(10 11)
${\displaystyle M_{43}={\begin{bmatrix}-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle P_{43}}$= (1 4 5 2 3)	${\displaystyle Q_{43}}$= (1 9 7 2 11)(3 12 4 6 10)
${\displaystyle M_{44}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\\-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle P_{44}}$= (1 4)(2 3)	${\displaystyle Q_{44}}$= (1 8)(2 10)(3 4)(5 12)(6 7)(9 11)
${\displaystyle M_{45}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle P_{45}}$= (1 4 2 3 5)	${\displaystyle Q_{45}}$= (2 7 3 5 4)(6 11 8 9 10)
${\displaystyle M_{46}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle P_{46}}$= (1 4 2 5 3)	${\displaystyle Q_{46}}$= (1 3 6 9 5)(4 8 12 11 7)
${\displaystyle M_{47}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle P_{47}}$= (1 4 3 2 5)	${\displaystyle Q_{47}}$= (1 7 10 8 3)(2 5 11 12 6)
${\displaystyle M_{48}={\begin{bmatrix}-1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle P_{48}}$= (1 4)(2 5)	${\displaystyle Q_{48}}$= (1 12)(2 9)(3 11)(4 10)(5 6)(7 8)
${\displaystyle M_{49}={\begin{bmatrix}-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle P_{49}}$= (1 5 4 3 2)	${\displaystyle Q_{49}}$= (1 9 3 5 6)(4 11 8 7 12)
${\displaystyle M_{50}={\begin{bmatrix}0&0&-1\\1&0&0\\0&-1&0\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle P_{50}}$= (1 5 2)	${\displaystyle Q_{50}}$= (1 8 9)(2 3 6)(4 12 5)(7 10 11)
${\displaystyle M_{51}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle P_{51}}$= (1 5 3 4 2)	${\displaystyle Q_{51}}$= (1 7 11 9 2)(3 4 10 12 6)
${\displaystyle M_{52}={\begin{bmatrix}{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle P_{52}}$= (1 5 3)	${\displaystyle Q_{52}}$= (1 4 3)(2 7 8)(5 10 6)(9 11 12)
${\displaystyle M_{53}={\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle P_{53}}$= (1 5 4)	${\displaystyle Q_{53}}$= (1 2 5)(3 9 7)(4 6 11)(8 12 10)
${\displaystyle M_{54}={\begin{bmatrix}-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle P_{54}}$= (1 5)(3 4)	${\displaystyle Q_{54}}$= (1 12)(2 11)(3 10)(4 8)(5 9)(6 7)
${\displaystyle M_{55}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle P_{55}}$= (1 5 4 2 3)	${\displaystyle Q_{55}}$= (1 5 11 10 4)(2 9 12 8 3)
${\displaystyle M_{56}={\begin{bmatrix}-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle P_{56}}$= (1 5)(2 3)	${\displaystyle Q_{56}}$= (1 10)(2 12)(3 11)(4 7)(5 8)(6 9)
${\displaystyle M_{57}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\\{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle P_{57}}$= (1 5 2 3 4)	${\displaystyle Q_{57}}$= (1 3 8 10 7)(2 6 12 11 5)
${\displaystyle M_{58}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}\\-{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\\-{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle P_{58}}$= (1 5 2 4 3)	${\displaystyle Q_{58}}$= (1 6 4 2 8)(5 12 7 9 10)
${\displaystyle M_{59}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}&{\frac {\phi }{2}}\\{\frac {1}{2\phi }}&-{\frac {\phi }{2}}&-{\frac {1}{2}}\\{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2\phi }}\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle P_{59}}$= (1 5 3 2 4)	${\displaystyle Q_{59}}$= (2 4 5 3 7)(6 10 9 8 11)
${\displaystyle M_{60}={\begin{bmatrix}-1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle P_{60}}$= (1 5)(2 4)	${\displaystyle Q_{60}}$= (1 11)(2 10)(3 12)(4 9)(5 7)(6 8)

この非可換 単純群は、五文字対称群の唯一の非自明な正規部分群である。 ^[2]一般五次方程式のガロア群は五文字対称群と同型であり、この正規部分群は単純かつ非可換であるため、一般五次方程式は根号解を持たない。アーベル・ルフィニの定理の証明はこの単純な事実を利用しており、^[3]フェリックス・クラインはイコサヘドロン対称性の理論を用いて一般五次方程式の解析解を導出した著書を著した。^[4]現代的な解説はTóth (2002)に示されている。^[5]

よく混同されるグループ

次のグループはすべて位数が 120 ですが、同型ではありません。

• S ₅、5元対称群
• I _h、完全二十面体群（この記事の主題、H ₃とも呼ばれる）
• 2 I、二元二十面体群

これらは、次の短い完全列（後者は分割されない）と積に 対応する。

${\displaystyle 1\to A_{5}\to S_{5}\to Z_{2}\to 1}$

${\displaystyle I_{h}=A_{5}\times Z_{2}}$

${\displaystyle 1\to Z_{2}\to 2I\to A_{5}\to 1}$

言葉で言えば、

• ${\displaystyle A_{5}}$は、​ ${\displaystyle S_{5}}$
• ${\displaystyle A_{5}}$は の因数であり、これは直積である ${\displaystyle I_{h}}$
• ${\displaystyle A_{5}}$は、​ ${\displaystyle 2I}$

には例外的に既約な 3 次元表現(二十面体回転群など)がありますが、 には既約な 3 次元表現がなく、これは対称群ではない完全な二十面体群に対応しています。 ${\displaystyle A_{5}}$ ${\displaystyle S_{5}}$

これらは、5 つの元を持つ有限体上の線型群とも関連付けることができ、その部分群と被覆群を直接示す。これらのいずれも完全な 20 面体群ではない。

• ${\displaystyle A_{5}\cong \operatorname {PSL} (2,5),}$射影特殊線型群、証明についてはここを参照。
• ${\displaystyle S_{5}\cong \operatorname {PGL} (2,5),}$射影一般線型群;
• ${\displaystyle 2I\cong \operatorname {SL} (2,5),}$特殊線型群。

共役類

120 個の対称性は 10 個の共役類に分類されます。

共役類

私	I hの追加クラス
恒等式、順序1 正十二面体の面心を通る6つの軸の周りを、±72°、5次の12回転 正十二面体の面心を通る6つの軸の周りを、±144°、5次の12回転 正十二面体の頂点を通る10個の軸の周りを±120°回転（20回転、3次） 正十二面体の辺の中点を通る15本の軸の周りを15回、180°回転（2次）	中心反転、順序2 正十二面体の面心を通る6つの軸の周りを±36°、10次の回転反射で12回 正十二面体の面心を通る6つの軸の周りを±108°、10次の回転反射で12倍 正十二面体の頂点を通る10個の軸の周りを±60°、6次の20回転反射する 正十二面体の辺を通る15の平面で15回反射、次数2

完全二十面体対称群の部分群

サブグループの関係

カイラル部分群関係

以下の表の各行は、共役（すなわち幾何学的に同値）な部分群の1つのクラスを表します。「Mult.」（多重度）列は、共役クラスに含まれる異なる部分群の数を示します。

色の説明: 緑 = 反射によって生成されるグループ、赤 = 回転のみを含むキラル (方向保存) グループ。

グループは十二面体に基づいて幾何学的に記述されます。

「hts(edge)」という略語は、「このエッジを反対のエッジと半回転させる」という意味で、「face」や「vertex」についても同様です。

シェーン。	コクセター		オーブ。	フム	構造	サイク。	注文	索引	マルチ	説明
私は	[5,3]		*532	53 2/m	A 5 ×Z 2		120	1	1	フルグループ
D 2時間	[2,2]		*222	うーん	D 4 × D 2 = D 2 3		8	15	5	2つの反対のエッジを固定し、場合によっては交換する
C 5V	[5]		*55	5メートル	D 10		10	12	6	顔を整える
C 3v	[3]		*33	3メートル	D 6 =S 3		6	20	10	頂点を固定する
C 2v	[2]		*22	2mm	D 4 =D 2 2		4	30	15	エッジを固定する
Cs​	[ ]		*	2またはm	D2​		2	60	15	エッジの2つの端点を交換する反射
T h	[3 + ,4]		3*2	メートル3	A 4 × Z 2		24	5	5	黄銅面体群
D 5d	[2 + ,10]		2*5	10平方メートル	D 20 =Z 2 ×D 10		20	6	6	2つの反対面を固定し、場合によっては交換する
D 3d	[2 + ,6]		2*3	3メートル	D 12 =Z 2 ×D 6		12	10	10	2つの反対の頂点を固定し、場合によっては交換する
D 1d = C 2h	[2 + ,2]		2*	2/m	D 4 = Z 2 × D 2		4	30	15	エッジの中点を半回転し、中央を反転
S 10	[2 +、10 + ]		5×	5	Z 10 =Z 2 ×Z 5		10	12	6	面の回転と中心反転
S 6	[2 + ,6 + ]		3×	3	Z 6 =Z 2 ×Z 3		6	20	10	頂点の周りの回転と中心反転
S2​	[2 + ,2 + ]		×	1	Z 2		2	60	1	中央反転
私	[5,3] +		532	532	A5​		60	2	1	すべての回転
T	[3,3] +		332	332	A4​		12	10	5	内包された四面体の回転
D5​	[2,5] +		522	522	D 10		10	12	6	面の中心の周りの回転、およびhts(face)
D3​	[2,3] +		322	322	D 6 =S 3		6	20	10	頂点の周りの回転、およびhts(vertex)
D2​	[2,2] +		222	222	D 4 =Z 2 2		4	30	5	エッジの中点を半回転し、hts(edge)
C5​	[5] +		55	5	Z 5		5	24	6	面中心の周りの回転
C 3	[3] +		33	3	Z 3 =A 3		3	40	10	頂点の周りの回転
C 2	[2] +		22	2	Z 2		2	60	15	エッジの中点を半回転
C 1	[ ] +		11	1	Z 1		1	120	1	自明なグループ

頂点安定装置

反対側の頂点ペアの安定子は、それらが生成する軸の安定子として解釈できます。

• Iの頂点安定子は巡回群 C ₃を与える
• I _hの頂点安定子は二面体群 D ₃を与える
• Iにおける反対の頂点ペアの安定因子は二面体群D _{3を与える}
• I _hにおける反対側の頂点の安定子は ${\displaystyle D_{3}\times \pm 1}$

エッジスタビライザー

反対側のエッジの安定子は、それらが生成する長方形の安定子として解釈できます。

• Iのエッジ安定剤は巡回群Z _{2を与える}
• I _hのエッジ安定剤はクラインの4群を与える ${\displaystyle Z_{2}\times Z_{2}}$
• Iの 2 つのエッジの安定子は、クラインの 4 群 を与えます。これらは 3 つの垂直軸で 180° 回転することで 5 つあります。 ${\displaystyle Z_{2}\times Z_{2}}$
• I _hにおける 2 組のエッジの安定子はとなります。これらは 5 つあり、3 つの垂直軸の反射によって与えられます。 ${\displaystyle Z_{2}\times Z_{2}\times Z_{2}}$

顔面安定装置

向かい合う面の安定子は、それらが生成する反プリズムの安定子として解釈できます。

• Iの面安定剤は環状基C _{5を与える}
• I _hの面安定子は二面体群D _{5を与える}
• Iにおける対向する面の安定子は二面体群D _{5を与える}
• I _hの反対側の面の安定器は ${\displaystyle D_{5}\times \pm 1}$

多面体安定装置

これらにはそれぞれ 5 つの共役コピーがあり、共役作用により写像、つまり同型写像が得られます。 ${\displaystyle I{\stackrel {\sim }{\to }}A_{5}<S_{5}}$

• Iの内接四面体の安定子はTのコピーである
• I _hの内接四面体の安定子はTのコピーである
• Iの内接立方体（または正四面体、正八面体の対）の安定子はTのコピーである。
• I _hの内接立方体（または正四面体、正八面体の対）の安定子は、T _hのコピーである。

コクセター群ジェネレータ

完全二十面体対称群[5,3]（）は、以下の反射行列R ₀、R ₁、R ₂で表される生成元を持ち、関係はR ₀ ² = R ₁ ² = R ₂ ² = (R ₀ ×R ₁ ) ⁵ = (R ₁ ×R ₂ ) ³ = (R ₀ ×R ₂ ) ² = 恒等である。[5,3] ⁺ (60次の回転反射 ）は、回転 S _0,1、 S _1,2、 S _0,2のいずれか2つによって生成されます。10次の回転反射は、3つの反射すべての積である V _0,1,2によって生成されます。ここで は黄金比を表します。 ${\displaystyle \phi ={\tfrac {{\sqrt {5}}+1}{2}}}$

[5,3],

	反射			回転			回転反射
名前	R 0	R1​	R2​	S 0,1	S 1,2	S 0,2	V 0,1,2
グループ
注文	2	2	2	5	3	2	10
マトリックス	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}-1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}{\frac {1-\phi }{2}}&{\frac {-\phi }{2}}&{\frac {-1}{2}}\\{\frac {-\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1-\phi }{2}}\\{\frac {-1}{2}}&{\frac {1-\phi }{2}}&{\frac {\phi }{2}}\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}{\frac {\phi -1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {-\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1-\phi }{2}}\\{\frac {-1}{2}}&{\frac {1-\phi }{2}}&{\frac {\phi }{2}}\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}{\frac {1-\phi }{2}}&{\frac {\phi }{2}}&{\frac {-1}{2}}\\{\frac {-\phi }{2}}&{\frac {-1}{2}}&{\frac {1-\phi }{2}}\\{\frac {-1}{2}}&{\frac {\phi -1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}-1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\end{smallmatrix}}\right]}$	${\displaystyle \left[{\begin{smallmatrix}{\frac {\phi -1}{2}}&{\frac {-\phi }{2}}&{\frac {1}{2}}\\{\frac {-\phi }{2}}&{\frac {-1}{2}}&{\frac {1-\phi }{2}}\\{\frac {-1}{2}}&{\frac {\phi -1}{2}}&{\frac {\phi }{2}}\end{smallmatrix}}\right]}$
	(1,0,0) n	${\displaystyle ({\begin{smallmatrix}{\frac {\phi }{2}},{\frac {1}{2}},{\frac {\phi -1}{2}}\end{smallmatrix}})}$n	(0,1,0) n	${\displaystyle (0,-1,\phi )}$軸	${\displaystyle (1-\phi ,0,\phi )}$軸	${\displaystyle (0,0,1)}$軸

基礎領域

二十面体回転群と完全二十面体群の基本領域は次のように与えられる。

二十面体回転群 I

完全二十面体群 I h

二面体三十面体の面は基本領域である

二面体三十面体では、1 つの完全な面が基本領域です。面の向きを調整することで、同じ対称性を持つ他の立体を得ることができます。たとえば、選択した面のサブセットを平坦化して各サブセットを 1 つの面に結合したり、各面を複数の面や曲面に置き換えたりすることができます。

二十面体対称性を持つ多面体

二十面体対称性を持つ他の多面体の例としては、正十二面体（二十面体の双対）と菱形三十面体があります。

キラル多面体

クラス	シンボル	写真
アルキメデスの	sr{5,3}
カタルーニャ語	V3.3.3.3.5

完全な二十面体対称性

プラトン立体	ケプラー・ポアンソ多面体		アルキメデス立体
{5,3}	{5/2,5}	{5/2,3}	t{5,3}	t{3,5}	r{3,5}	rr{3,5}	tr{3,5}
プラトン立体	ケプラー・ポアンソ多面体		カタルーニャ語の固体
{3,5} ＝	{5.5/2} ＝	{3.5/2} ＝	バージョン3.10.10	バージョン5.6.6	バージョン3.5.3.5	バージョン3.4.5.4	バージョン4.6.10

二十面体対称性を持つ他の天体

二十面体対称性の例

• バース表面
• ウイルスの構造とカプシド
• 化学では、ドデカボレートイオン（[B ₁₂ H ₁₂ ] ²⁻）とドデカヘドラン分子（C ₂₀ H ₂₀）

二十面体対称性を持つ液晶

液晶と呼ばれる中間物質相において、二十面体対称性の存在はH. KleinertとK. Maki ^{[6]によって提唱され、その構造は同論文で初めて詳細に解析されました。レビュー記事はこちらをご覧ください。アルミニウムにおいては、この3年後に}Dan Shechtmanによって二十面体構造が実験的に発見され、2011年にノーベル賞を受賞しました。

正二十面体ナノ粒子

小さなサイズでは、多くの元素が二十面体ナノ粒子を形成し、そのエネルギーは単結晶よりも低くなることが多い。^{[7] [8]}

関連するジオメトリ

二十面体対称性は、射影特殊線型群PSL(2,5)と同値であり、モジュラー曲線X(5)の対称群であり、より一般的にはPSL(2, p )はモジュラー曲線X( p )の対称群である。モジュラー曲線X(5)は幾何学的に、各多角形面の中心に尖点を持つ十二面体であり、これが対称群を証明している。

この幾何学と関連する対称群は、フェリックス・クラインによって、リーマン球面への正則写像を持つリーマン面のモノドロミー群として研究されました。リーマン面は、0、1、無限大（ベーリー関数）のみに分岐します。尖点は無限大上にある点で、各辺の頂点と中心は 0 と 1 上にある、被覆の次数（シート数）は 5 です。

クラインの研究は、(Klein 1878) と (Klein 1879) (および関連する次数 7 と 11 の被覆) と子供の絵の発見とともに続けられ、最初の発見によってクラインの四次曲線が得られ、それに関連する幾何学は 24 個の七角形 (それぞれの中心に尖端がある) によるタイリングを持つ。

同様の幾何学はPSL(2, n )や他のモジュラー曲線のより一般的な群にも現れる。

より特異なことに、PSL(2,5)（位数60）、PSL(2,7)（位数168）、PSL(2,11)（位数660）の群の間には特別な関係があり、これらも幾何学的な解釈が可能である。PSL(2,5)はイコサヘドロン（種数0）、PSL(2,7)はクライン四次曲面（種数3）、PSL(2,11)はバッキーボール曲面（種数70）の対称性である。これらの群は、ウラジミール・アーノルドの意味で「三位一体」を形成し、様々な関係の枠組みを与える。詳細は三位一体を参照のこと。

他のプラトン立体と密接な関係があります。

参照

• 四面体対称性
• 八面体対称性
• 二元二十面体群
• イコシアン計算

参考文献

1. ウィリアム・ローワン・ハミルトン卿（1856年）「統一の根源に関する新しい体系に関する覚書」（PDF）、哲学雑誌、12：446
2. グレイ、ヘルマン（2018年）、抽象代数の歴史：代数方程式から現代代数まで、シュプリンガー、p.371、doi：10.1007 / 978-3-319-94772-3（2025年7月1日非アクティブ）、ISBN 978-3-319-94772-3{{citation}}: CS1 maint: DOI inactive as of July 2025 (link)
3. ロットマン 1998、74～75ページ。 sfn error: no target: CITEREFRotman1998 (help)
4. クライン、フェリックス（1888）、イコサヘドロンと5次方程式の解に関する講義、クーリエ社、ISBN 978-0-486-49528-6、 {{citation}}: ISBN / Date incompatibility (help)ドーバー版、Klein, Felix (1884)、Vorlesungen über das Ikosaeder und die Auflösung der Gleichungen vom fünften Grade、Teubnerから翻訳
5. Toth, Gabor (2002)、「セクション1.6、追加トピック」、Kleinのイコサヘドロン理論、Springer、p. 66
6. Kleinert, H. & Maki, K. (1981). 「コレステリック液晶の格子テクスチャ」(PDF)。物理学要塞。29 (5): 219–259。書誌コード:1981ForPh..29..219K。土井：10.1002/prop.19810290503。2020-04-26 のオリジナル(PDF)からアーカイブされました。2011 年 10 月 6 日に取得。
7. 井野 正三 (1969-10-15). 「多重双晶粒子の安定性」 .日本物理学会誌. 27 (4): 941– 953. Bibcode :1969JPSJ...27..941I. doi :10.1143/JPSJ.27.941. ISSN  0031-9015.
8. Marks, LD; Peng, L (2016-01-21). 「ナノ粒子の形状、熱力学、および運動学」 . Journal of Physics: Condensed Matter . 28 (5) 053001. Bibcode :2016JPCM...28e3001M. doi :10.1088/0953-8984/28/5/053001. ISSN  0953-8984. PMID  26792459.

• クライン、F. (1878)。 「Ueber die Transformation siebenter Ordnung der elliptischen Functionen」[楕円関数の 7 次変換について]。数学アンナレン。14 (3): 428–471。土井:10.1007/BF01677143。S2CID  121407539。シルヴィ・レヴィ編（1999年）『八正道』ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-66066-2. MR  1722410。
• Klein, F. (1879)、「Ueber die Transformation elfter Ordnung der elliptischen Functionen (楕円関数の 11 次変換について)」、Mathematische Annalen、15 ( 3–4 ): 533–555、doi :10.1007/BF02086276、S2CID  120316938、Oeuvres, Tome 3の140～165ページに収録
• クライン、フェリックス（1888）、イコサヘドロンと五次方程式の解法に関する講義、Trübner & Co.、ISBN 0-486-49528-0ジョージ・ギャビン・モリス訳 {{citation}}: ISBN / Date incompatibility (help)CS1 maint: postscript (link)
• トート、ガボール（2002）、有限メビウス群、球面の極小浸漬、モジュライ
• ピーター・R・クロムウェル『多面体』（1997年）、296ページ
• 物事の対称性2008年、ジョン・H・コンウェイ、ハイディ・バーギエル、チャイム・グッドマン＝ストラウス、ISBN 978-1-56881-220-5
• 万華鏡： HSMコクセター選集、F・アーサー・シャーク、ピーター・マクマレン、アンソニー・C・トンプソン、アジア・アイビック・ワイス編、ワイリー・インターサイエンス出版、1995年、ISBN 978-0-471-01003-6[1] 2016年7月11日にWayback Machineにアーカイブ
• NWジョンソン：幾何学と変換、（2018）ISBN 978-1-107-10340-5第11章有限対称群、11.5 球面コクセター群

外部リンク

• ワイスタイン、エリック・W.「二十面体群」。MathWorld。
• W(H3) のサブグループ Archived 2021-08-30 at the Wayback Machine (他の Coxeter グループのサブグループ Archived 2020-08-02 at the Wayback Machine ) Gotz Pfeiffer

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