中間値定理

数学的解析学において、中間値定理とは、区間[ a , b ] を定義 $域$ $と$ $する$ $連続$ $関数$ であり、かつとなる数であるとき、との間にとなるようなものが存在することを述べています。つまり、区間上の連続関数の像は、それ自体がを含む区間です。 $f$ $s$ $f(a)<s<f(b)$ $x$ $a$ $b$ $f(x)=s$ $f(a),f(b)$

例えば、とすると、がからに移動する間、のグラフは必ず水平線を通過します。区間全体にわたって関数値の集合に隙間はなく、鉛筆を紙から離さずにグラフを描くことができます。 $f\in C([1,2]),f(1)=3,f(2)=5$ $y=f(x)$ $y=4$ $x$ $1$ $2$

系であるボルツァーノの定理は、連続関数が区間内に反対符号の値を持つ場合、その区間に根を持つと述べている。 ^[1]^{[2]この定理は}実数の完全性に依存し、それと同等であるが、ワイエルシュトラスの零点定理は実閉体上の多項式の中間値定理の一種である。

中間値定理に類似した結果はボルスク・ウラム定理であり、これはぐらつくテーブルを回転させると必ず安定状態になる理由を裏付けています。ダルブーの定理は、ある区間における他の関数の微分から得られるすべての関数は、連続である必要はないものの、中間値の性質を持つことを述べています。

モチベーション

これは、実数上の連続関数の直感的な性質を捉えています。つまり、とが既知の値で上で連続している場合、のグラフはがからに移動する間、必ず水平線を横切るということです。これは、閉区間上の連続関数のグラフは、紙から鉛筆を離すことなく描くことができるという考えを表しています。^[^要出典^] $f$ $[1,2]$ $f(1)=3$ $f(2)=5$ $y=f(x)$ $y=4$ $x$ $1$ $2$

定理

中間値定理は次のように述べている。^[要出典]

実数と連続関数の閉区間を考える。すると、 $I=[a,b]$ $\mathbb {R}$ $f\colon I\to \mathbb {R}$

バージョン I.がとの間の数値である場合、つまりとなるようなが存在します。 $u$ $f(a)$ $f(b)$ $\min(f(a),f(b))<u<\max(f(a),f(b)),$ $c\in (a,b)$ $f(c)=u$
バージョンII。像集合も閉区間であり、を含みます。つまり、関数値の集合にはギャップがありません。を満たす任意の2つの関数値に対して、区間内のすべての点も関数値です。基本的に、内部ギャップのない実数のサブセットは区間です。 $f(I)$ ${\bigl [}\min(f(a),f(b)),\max(f(a),f(b)){\bigr ]}$ $c,d\in f(I)$ $c<d$ ${\bigl [}c,d{\bigr ]}$ ${\bigl [}c,d{\bigr ]}\subseteq f(I).$

バージョン Iは当然バージョン IIに含まれます。

証拠

この定理は実数の完全性に依存し、かつそれと同値である。中間値定理は有理数 Qには適用されない。なぜなら、有理数間には隙間が存在するからであり、無理数はそれらの隙間を埋めるからである。例えば、に対する関数はとを満たす。しかし、は無理数であるため、を満たす有理数は存在しない。^[^要出典^] $f(x)=x^{2}$ $x\in \mathbb {Q}$ $f(0)=0$ $f(2)=4$ $x$ $f(x)=2$ ${\sqrt {2}}$

上記にもかかわらず、実閉体上の多項式に対する中間値定理のバージョンが存在する。ワイエルシュトラスの零点定理を参照のこと。^[要出典]

証明バージョンA

この定理は、実数の完全性の性質の結果として次のように証明できる。 ^[3]

最初のケースを証明します。2番目のケースも同様です。 $f(a)<u<f(b)$

となるすべてのものの集合をとします。 $S$ $x\in [a,b]$ $f(x)<u$
はの要素なので空ではありません。 $S$ $a$ $S$
は空でなく、によって上方に有界であるため、完全性により、上限が存在します。つまり、はのすべての要素以上である最小の数値です。におけるの連続性により、に十分近い値を維持することで、の任意の要素の範囲内にを保つことができることに注意してください。は厳密な不等式であるため、がとの間の距離である場合の含意を考えます。に十分近いが以上に等しくなることはできません。つまり、にはよりも大きい値が存在するということです。 $S$ $b$ $c=\sup S$ $c$ $S$ $f$ $a$ $f(x)$ $\varepsilon >0$ $f(a)$ $x$ $a$ $f(a)<u$ $\varepsilon$ $u$ $f(a)$ $x$ $a$ $f(x)$ $u$ $a$ $S$

より詳細な証明は次のようになります。

を選択してください。すると、 $\varepsilon =u-f(a)>0$ $\exists \delta >0$ $\forall x\in [a,b]$ $|x-a|<\delta \implies |f(x)-f(a)|<u-f(a)\implies f(x)<u.$
区間を考えてみましょう。および任意のが条件を満たすことに注意してください。 $[a,\min(a+\delta ,b))=I_{1}$ $I_{1}\subseteq [a,b]$ $x\in I_{1}$ $|x-a|<\delta$
したがって、あらゆるに対してが成り立ちます。したがっては成り立ちません。 $x\in I_{1}$ $f(x)<u$ $c$ $a$
同様に、におけるの連続性により、に十分近い値を維持することで、の任意の値の範囲内にを保つことができます。は厳密な不等式であるため、がとの間の距離である場合の同様の帰結を考えてみましょう。に十分近い値はすべてより大きくなります。つまり、より小さい値での上限となる値が存在するということです。 $f$ $b$ $f(x)$ $\varepsilon >0$ $f(b)$ $x$ $b$ $u<f(b)$ $\varepsilon$ $u$ $f(b)$ $x$ $b$ $f(x)$ $u$ $b$ $S$

さらに詳しい証明は次のようになります。

を選びます。すると、となる区間を考えます。そして、すべてのが条件を満たすことに注意してください。したがって、すべてのに対してが成り立ちます。したがっては成り立ちません。 $\varepsilon =f(b)-u>0$ $\exists \delta >0$ $\forall x\in [a,b]$ $|x-b|<\delta \implies |f(x)-f(b)|<f(b)-u\implies f(x)>u.$ $(\max(a,b-\delta ),b]=I_{2}$ $I_{2}\subseteq [a,b]$ $x\in I_{2}$ $|x-b|<\delta$ $x\in I_{2}$ $f(x)>u$ $c$ $b$
およびを用いると、が成り立つはずです。ここで、であると主張します。 $c\neq a$ $c\neq b$ $c\in (a,b)$ $f(c)=u$
いくつかのを固定します。はで連続なので、、となります。 $\varepsilon >0$ $f$ $c$ $\exists \delta _{1}>0$ $\forall x\in [a,b]$ $|x-c|<\delta _{1}\implies |f(x)-f(c)|<\varepsilon$
とは開なので、が成り立つ。と設定する。すると、すべてのに対してが成り立つ。 $c\in (a,b)$ $(a,b)$ $\exists \delta _{2}>0$ $(c-\delta _{2},c+\delta _{2})\subseteq (a,b)$ $\delta =\min(\delta _{1},\delta _{2})$ $f(x)-\varepsilon <f(c)<f(x)+\varepsilon$ $x\in (c-\delta ,c+\delta )$
上限の性質により、に含まれるものが存在するので、 $a^{*}\in (c-\delta ,c]$ $S$ $f(c)<f(a^{*})+\varepsilon <u+\varepsilon .$
を選ぶと、がの最大値であるため、であることがわかります。これは、の両方の不等式がすべてのに対して有効であり、そこから、前述のようにが唯一の可能な値であると推論できることを意味します。 $a^{**}\in (c,c+\delta )$ $a^{**}\not \in S$ $c$ $S$ $f(c)>f(a^{**})-\varepsilon \geq u-\varepsilon .$ $u-\varepsilon <f(c)<u+\varepsilon$ $\varepsilon >0$ $f(c)=u$

証明バージョンB

の場合も同様なので、の場合についてのみ証明する。^[4] $f(a)<u<f(b)$ $f(a)>u>f(b)$

と等価なを定義し、と書き直しましょう。あるに対してであることを証明する必要があります。さらに集合を定義します。 $g(x)=f(x)-u$ $f(x)=g(x)+u$ $f(a)<u<f(b)$ $g(a)<0<g(b)$ $g(c)=0$ $c\in [a,b]$ $S=\{x\in [a,b]:g(x)\leq 0\}$
なぜなら、それが空虚ではないことを私たちは知っているからです。 $g(a)<0$ $a\in S$ $S$
さらに、は有界かつ空でないことがわかっているので、完全性により上限が存在します。 $S\subseteq [a,b]$ $S$ $c=\sup(S)$
の値にはとの 3 つのケースがあります。の矛盾を回避するために、と仮定しましょう。 $g(c)$ $g(c)<0,g(c)>0$ $g(c)=0$ $g(c)<0$
連続性の定義により、に対して、が存在するので、が成り立ち、これはと同等である。 $\epsilon =0-g(c)$ $\delta >0$ $x\in (c-\delta ,c+\delta )$ $|g(x)-g(c)|<-g(c)$ $g(x)<0$
1. （ただし）を選択した場合、として、が得られ、そこからおよびが得られるので、となります。したがってはの上限となります。 $x=c+{\frac {\delta }{N}}$ $N>{\frac {\delta }{b-c}}+1$ $1<N$ $x<c+\delta$ $g(x)<0$ $c<x<b$ $x\in S$ $x$ $S$
2. しかし、は最小上限の上限特性と矛盾するため、となります。 $x>c$ $c$ $g(c)\geq 0$
次に、と仮定します。同様に、を選択し、が存在することが分かっています。つまり、が成り立ちます。これをと書き直すと、が成り立ちます。 $g(c)>0$ $\epsilon =g(c)-0$ $\delta >0$ $x\in (c-\delta ,c+\delta )$ $|g(x)-g(c)|<g(c)$ $-g(c)<g(x)-g(c)<g(c)$ $g(x)>0$
1. ここでを選択すると、およびとなります。 $x=c-{\frac {\delta }{2}}$ $g(x)>0$ $a<x<c$
2. したがって、はの上限となります。 $x$ $S$
3. しかし、これは最小上限の最小の性質と矛盾しており、つまりは不可能である。 $x<c$ $c$ $g(c)>0$
両方の結果を組み合わせると、またはが唯一残る可能性であることがわかります。 $g(c)=0$ $f(c)=u$

注:中間値定理は非標準解析法を用いて証明することもできます。非標準解析法は、無限小値を含む「直感的な」議論を厳密な^{[説明が必要]} 基盤の上に置きます。^[5]

歴史

この定理の一形態は、紀元前5世紀にはすでにヘラクレアのブライソンの円の平方に関する著作の中で提唱されていました。ブライソンは、与えられた正方形より大きい円と小さい円の両方が存在するので、等しい面積の円が存在するはずだと主張しました。^{[6]この定理は1817年に}ベルナルド・ボルツァーノによって初めて証明されました。ボルツァーノは定理を次のように定式化しました。^[7]

との間の区間上の連続関数でかつとなるものを考える。するととの間にが存在してとなる。 $f,\varphi$ $\alpha$ $\beta$ $f(\alpha )<\varphi (\alpha )$ $f(\beta )>\varphi (\beta )$ $x$ $\alpha$ $\beta$ $f(x)=\varphi (x)$

この定式化と現代の定式化の等価性は、を適切な定数関数に設定することによって示せます。オーギュスタン＝ルイ・コーシーは1821 年にこの現代的な定式化と証明を提供しました。 ^{[8]両者とも関数解析の形式化の目標と}ジョゼフ＝ルイ・ラグランジュの研究に触発されました。連続関数が中間値特性を持つという考え方は、より古い起源を持っています。シモン・ステヴィンは、解の小数展開を構成するアルゴリズムを提供することにより、多項式の中間値定理を証明しました(例として3 次を使用)。このアルゴリズムは、区間を反復的に 10 の部分に分割し、反復の各ステップで追加の小数桁を生成します。 ^[9]連続性の正式な定義が与えられる前は、中間値特性は連続関数の定義の一部として与えられていました。提唱者の 1 つであるLouis Arbogast は、関数にはジャンプがなく、中間値特性を満たし、増分の大きさが変数の増分の大きさに対応すると仮定しました。^[10] $\varphi$

初期の研究者たちは、この結果は直感的に明らかであり、証明を必要としないと考えていました。ボルツァーノとコーシーの洞察は、連続性の一般的な概念（コーシーの場合は無限小を用いて、ボルツァーノの場合は実不等式を用いて）を定義し、その定義に基づく証明を提示したことでした。

ダルブー関数

ダルブー関数とは、「中間値特性」を持つ実数値関数 $f の$ ことである。つまり、中間値定理の結論を満たす関数である。すなわち、 $f$ の定義域における任意の2つの値 $a$ と $b$ 、および $f$ $($ $a$ $)$ と $f$ $($ $b$ $)$ の間にある任意の $yに対して、$ $a$ と $b$ の間に $f$ $($ $c$ $) =$ $y$ を満たす $c$ が存在する。中間値定理によれば、すべての連続関数はダルブー関数となる。しかし、すべてのダルブー関数が連続であるとは限らない。つまり、中間値定理の逆は成り立たない。

例として、関数 $f : [0, \infty) \to [-1, 1]$ を考えてみましょう。この関数は、 $x$ $> 0$ かつ $f$ $(0) = 0$ のとき $f (x) = sin(1/ x)$ で定義されます。この関数は $x$ $= 0$ において連続ではありません。なぜなら、 $x$ が 0 に近づくにつれて $f$ $($ $x$ $)$ の極限は存在しないからです。しかし、この関数は中間値の性質を持ちます。より複雑な例として、コンウェイの 13 を底とする関数が挙げられます。

実際、ダルブーの定理は、ある区間で他の関数を微分して得られるすべての関数は中間値特性を持つ（連続である必要はないが）と述べています。

歴史的に、この中間値特性は実数値関数の連続性の定義として提案されてきたが、^[11]この定義は採用されなかった。

一般化

多次元空間

ポアンカレ-ミランダの定理は、中間値定理を (1 次元) 区間から (2 次元) 長方形、より一般的にはn次元の立方体に一般化したものです。

Vrahatis ^{[12]は、三角形、あるいはより一般的には}n次元単体に対する同様の一般化を提示している。D n^を、 v ₀ ,..., v _nで表されるn +1個の頂点を持つn次元単体とする。F = ( f ₁ ,..., f _n ) をD ⁿからR ⁿへの連続関数とし、 D ⁿの境界上で0とならないものとする。Fが以下の条件を満たすとする。

1,..., nのすべてのiについて、 f _i ( v _i )の符号は、v _iの反対面上のすべての点xについてf _i ( x )の符号と反対になります。
v ₀上のf ₁、...、f _nの符号ベクトルは、v ₀ の反対面上のすべての点上のf ₁、...、f _nの符号ベクトルと等しくありません。

すると、 D ⁿの内部に点zが存在し、その点ではF ( z )=(0,...,0) が成立します。

すべてのiに対してf _i ( v _i )>0となるようにf _iを正規化することができます。その場合、条件はより単純になります。

1,..., nのすべてのiについて、f _i ( v _i )>0 であり、v _iの反対面上のすべての点xについてf _i ( x )<0 である。特に、f _i ( v ₀ )<0 である。
v _{0 の}反対側の面上のすべての点xについて、1,..., n内の少なくとも 1 つのiに対してf _i ( x )>0 が成り立ちます。

この定理はクナスター・クラトフスキー・マズルキエヴィチの補題に基づいて証明できる。この補題は不動点と零点の近似に使用できる。^[13]

一般計量空間と位相空間

中間値定理は位相的な連結性の概念と密接に関連しており、特に距離空間内の連結集合とRの連結部分集合の基本的な性質から導かれます。

とが距離空間、が連続写像、が連結な部分集合である場合、は連結です。( * ) $X$ $Y$ $f\colon X\to Y$ $E\subset X$ $f(E)$
部分集合が連結であるとは、次の性質を満たす場合のみである。( ** ) $E\subset \mathbb {R}$ $x,y\in E,\ x<r<y\implies r\in E$

実際、連結性は位相的な性質であり、(*)は位相空間に一般化されます。とが位相空間、が連続写像、が連結空間である場合、は連結です。 $X$ $Y$ $f\colon X\to Y$ $X$ $f(X)$ 連続写像における連結性の保存は、実変数の連続実数値関数の性質である中間値定理を、一般空間の連続関数に一般化したものと考えることができます。

前に述べた中間値定理の最初のバージョンを思い出してください。

中間値定理 （バージョンI）—実数の閉区間と連続関数を考える。すると、がとなる実数であるとき、となるが存在する。 $I=[a,b]$ $\mathbb {R}$ $f\colon I\to \mathbb {R}$ $u$ $\min(f(a),f(b))<u<\max(f(a),f(b))$ $c\in (a,b)$ $f(c)=u$

中間値定理は、連結性のこれらの2つの性質から直接導かれるものである。^[14]

証拠

(**)により、は連結集合となる。(*)から、像も連結であることが分かる。便宜上、と仮定しよう。そしてもう一度(**)を用いると、、あるいは何らかのに対してが成立する。は実際に成立するはずなので、望ましい結論が導かれる。の場合にも同じ議論が当てはまるので、これで終わりだ。QED $I=[a,b]$ $f(I)$ $f(a)<f(b)$ $f(a)<u<f(b)$ $u\in f(I)$ $f(c)=u$ $c\in I$ $u\neq f(a),f(b)$ $c\in (a,b)$ $f(b)<f(a)$

中間値定理は自然な形で一般化される。X $が$ 連結位相空間であり、 $(Y, <)が$ 順序位相を備えた全順序集合であるとし、 $f$ $ :$ $X$ $\to$ $Y$ を連続写像とする。a $と$ $b が$ X $内$ の2点であり、 $u が$ $Y$ 内の点であり、 $<$ に関して $f$ $($ $a$ $)$ と $f$ $($ $b$ $)$ の間にあるとすると、 $X$ には $f$ $($ $c$ $) =$ $u$ となる $c が$ 存在する。Rが連結であり、その自然な位相が順序位相であることに注目することで $、$ 元の定理が復元される。

ブラウワーの不動点定理は、1 次元で中間値定理の特殊なケースを与える関連定理です。

構成的数学において

構成的数学においては、中間値定理は成り立ちません。代わりに、その値は任意の小さな範囲でのみ見つかる可能性があるという、弱められた結論を導き出さなければなりません。

を実数、を閉区間から実数直線への点毎連続関数とし、およびとする。すると、任意の正の数に対して、単位区間内にとなる点が存在する。^[15] $a$ $b$ $f:[a,b]\to R$ $[a,b]$ $f(a)<0$ $0<f(b)$ $\varepsilon >0$ $x$ $\vert f(x)\vert <\varepsilon$

実用的な応用

同様の結果はボルスク・ウラム定理であり、これは、 -球面からユークリッド -空間への連続写像は常に、いくつかの反対称点のペアを同じ場所に写像するというものである。 $n$ $n$

1次元の場合の証明

を円上の任意の連続関数とする。円の中心を通り、2点とで交わる線を引く。をと定義する。この線を180度回転させると、代わりに値 $-$ $d$ が得られる。中間値定理により、 $d$ $= 0$ となる中間の回転角度が存在するはずであり、その結果、この角度では $f$ $($ $A$ $) =$ $f$ $($ $B$ $)となる。$ $f$ $A$ $B$ $d$ $f(A)-f(B)$

一般に、ある閉じた凸次元形状とその形状内の任意の点（必ずしも中心とは限らない）を定義域とする任意の連続関数に対して、与えられた点に関して関数値が同じである 2 つの反対称点が存在します。 $n$

この定理は、ぐらついたテーブルを回転させると安定する理由（いくつかの簡単に満たされる制約に従う）を説明する基礎にもなっている。^[16]

参照

参考文献

^ Weisstein, Eric W.「ボルツァーノの定理」。MathWorld。
^ ケイツ、デニス M. (2019).コーシーの無限微分計算。 p. 249.土井：10.1007/978-3-030-11036-9。ISBN 978-3-030-11035-2. S2CID 132587955。
^ 基本的にはクラーク、ダグラス・A.（1971）『分析の基礎』アップルトン・センチュリー・クロフツ社、284頁に準拠している。
^ Abbot, Stephen (2015). Understanding Analysis . Springer. p. 123 を若干改変。
^ サンダース、サム (2017). 「非標準解析と構成主義！」arXiv : 1704.00281 [math.LO].
^ Bos, Henk JM (2001). 「1590年以前の幾何学的手続きの正当性」.幾何学的正確性の再定義：デカルトによる初期近代における構成概念の変容. 数学・物理科学史資料集成. ニューヨーク: Springer. pp. 23– 36. doi :10.1007/978-1-4613-0087-8_2. ISBN 978-1-4612-6521-4. MR 1800805。
^ Russ, SB (1980). 「ボルツァーノの中間値定理に関する論文の翻訳」. Historia Mathematica . 7 (2): 156– 185. doi : 10.1016/0315-0860(80)90036-1 .
^ グラビナー、ジュディス・V. (1983年3月). 「誰があなたにイプシロンを与えたのか？コーシーと厳密な微積分の起源」(PDF) .アメリカ数学月刊. 90 (3): 185– 194. doi :10.2307/2975545. JSTOR 2975545.
^ Karin Usadi KatzとMikhail G. Katz (2011)「現代数学における名目主義的傾向とその歴史学に対するバージェス派の批判」『科学の基礎』doi :10.1007/s10699-011-9223-1 リンクを参照
^ オコナー、ジョン・J.;ロバートソン、エドマンド・F.、「ルイ・フランソワ・アントワーヌ・アルボガスト」、マクチューター数学史アーカイブ、セントアンドリュース大学
^ スモリンスキー、クレイグ (2017-04-07). MVT: 最も価値のある定理. シュプリンガー. ISBN 9783319529561。
^ Vrahatis, Michael N. (2016-04-01). 「単体に対するボルツァーノ定理の一般化」 .位相幾何学とその応用. 202 : 40–46 . doi :10.1016/j.topol.2015.12.066. ISSN 0166-8641.
^ Vrahatis, Michael N. (2020-04-15). 「不動点と零点の単体近似における単体の中間値定理」.トポロジーとその応用. 275 107036. doi : 10.1016/j.topol.2019.107036 . ISSN 0166-8641.
^ ルディン、ウォルター（1976年）『数学解析の原理』ニューヨーク：マグロウヒル、pp.42, 93. ISBN 978-0-07-054235-8。
^ マシュー・フランク (2020年7月14日). 「近似中間値定理における選択肢間の補間」.論理的手法コンピュータサイエンス. 16 (3) 2638. arXiv : 1701.02227 . doi :10.23638/LMCS-16(3:5)2020.
^ Keith Devlin (2007) ぐらついたテーブルを安定させる方法

さらに読む

https://mathoverflow.net/questions/253059/近似中間値定理-純粋構築数学

外部リンク

中間値定理 -結び目切断におけるボルツァーノ定理
ボルツァーノの定理 by Julio Cesar de la Yncera、Wolfram Demonstration Project。
ワイスタイン、エリック・W.「中間値定理」。MathWorld。
Belk, Jim (2012年1月2日). 「中間値定理の2次元版」. Stack Exchange .
Mizar システムの証明: http://mizar.org/version/current/html/topreal5.html#T4

[1] Weisstein, Eric W.「ボルツァーノの定理」。MathWorld。

[2] ケイツ、デニス M. (2019).コーシーの無限微分計算。 p. 249.土井：10.1007/978-3-030-11036-9。ISBN 978-3-030-11035-2. S2CID 132587955。

[3] 基本的にはクラーク、ダグラス・A.（1971）『分析の基礎』アップルトン・センチュリー・クロフツ社、284頁に準拠している。

[4] Abbot, Stephen (2015). Understanding Analysis . Springer. p. 123 を若干改変。

[5] サンダース、サム (2017). 「非標準解析と構成主義！」arXiv : 1704.00281 [math.LO].

[6] Bos, Henk JM (2001). 「1590年以前の幾何学的手続きの正当性」.幾何学的正確性の再定義：デカルトによる初期近代における構成概念の変容. 数学・物理科学史資料集成. ニューヨーク: Springer. pp. 23– 36. doi :10.1007/978-1-4613-0087-8_2. ISBN 978-1-4612-6521-4. MR 1800805。

[7] Russ, SB (1980). 「ボルツァーノの中間値定理に関する論文の翻訳」. Historia Mathematica . 7 (2): 156– 185. doi : 10.1016/0315-0860(80)90036-1 .

[grabiner-8] グラビナー、ジュディス・V. (1983年3月). 「誰があなたにイプシロンを与えたのか？コーシーと厳密な微積分の起源」(PDF) .アメリカ数学月刊. 90 (3): 185– 194. doi :10.2307/2975545. JSTOR 2975545.

[9] Karin Usadi KatzとMikhail G. Katz (2011)「現代数学における名目主義的傾向とその歴史学に対するバージェス派の批判」『科学の基礎』doi :10.1007/s10699-011-9223-1 リンクを参照

[10] オコナー、ジョン・J.;ロバートソン、エドマンド・F.、「ルイ・フランソワ・アントワーヌ・アルボガスト」、マクチューター数学史アーカイブ、セントアンドリュース大学

[11] スモリンスキー、クレイグ (2017-04-07). MVT: 最も価値のある定理. シュプリンガー. ISBN 9783319529561。

[12] Vrahatis, Michael N. (2016-04-01). 「単体に対するボルツァーノ定理の一般化」 .位相幾何学とその応用. 202 : 40–46 . doi :10.1016/j.topol.2015.12.066. ISSN 0166-8641.

[13] Vrahatis, Michael N. (2020-04-15). 「不動点と零点の単体近似における単体の中間値定理」.トポロジーとその応用. 275 107036. doi : 10.1016/j.topol.2019.107036 . ISSN 0166-8641.

[14] ルディン、ウォルター（1976年）『数学解析の原理』ニューヨーク：マグロウヒル、pp.42, 93. ISBN 978-0-07-054235-8。

[15] マシュー・フランク (2020年7月14日). 「近似中間値定理における選択肢間の補間」.論理的手法コンピュータサイエンス. 16 (3) 2638. arXiv : 1701.02227 . doi :10.23638/LMCS-16(3:5)2020.

[16] Keith Devlin (2007) ぐらついたテーブルを安定させる方法