2の平方根

Unique positive real number which when multiplied by itself gives 2

2の平方根

2 の平方根は、辺の長さが 1 の直角二等辺三角形の斜辺の長さに等しくなります。
表現
小数点	1.41421 35623 73095 0488...
連分数	${\displaystyle 1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+\ddots }}}}}}}}}$

2の平方根（約1.4142）は、自身を掛けるか2乗すると2となる正の実数です。またはと表記されます。これは代数的数であり、したがって超越数ではありません。厳密には、同じ性質を持つ負の数と区別するため、2の主平方根と呼ぶべきです。 ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle 2^{1/2}}$

幾何学的には、2の平方根は、辺の長さが1単位の正方形の対角線の長さです。これはピタゴラスの定理から導かれます。これはおそらく、無理数として知られた最初の数でした。^[1]分数⁠99/70⁠ (≈ 1.4142 857) は、分母が適度に小さい、良い有理近似値として使用されることがあります。

オンライン整数列百科事典の列A002193は、2の平方根の10進展開の数字で構成されており、ここでは60桁に切り捨てられています。 ^[2]

1.41421 35623 73095 04880 16887 24209 69807 85696 71875 37694 80731 76679

歴史

バビロニア粘土板YBC 7289と注釈付き。この粘土板には、2の平方根を60進法で（1 24 51 10）示しているほか、正方形の一辺が30で対角線が42 25 35となる例も示されています。60進法の数字30は、 0 30 = ⁠を表すこともあります。1/2⁠、この場合、0 42 25 35は約 0.7071065 になります。

バビロニアの粘土板YBC 7289 (紀元前 1800年～1600年頃) には の近似値1 24 51 10が4桁の60進数で示されており、これは約6桁の精度です。^[3]これは の3桁の60進数表現に最も近いもので、誤差はわずか –0.000042% です。 ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

${\displaystyle 1+{\frac {24}{60}}+{\frac {51}{60^{2}}}+{\frac {10}{60^{3}}}={\frac {305470}{216000}}=1.41421{\overline {296}}.}$

もう一つの初期の近似値は、古代インドの数学書であるスルバスートラ（紀元前 800～200年頃）に次のように記されています。「辺の長さをその3分の1増やし、さらにその3分の1からその4分の34を引いた値を増やす。」^[4]つまり、

${\displaystyle 1+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3\times 4}}-{\frac {1}{3\times 4\times 34}}={\frac {577}{408}}=1.41421{\overline {56862745098039}}.}$

この近似値は、 の連分数展開から導出されるペル数列に基づく、精度が徐々に上がる近似値の7番目です。分母が小さいにもかかわらず、バビロニア近似値よりわずかに精度が低いだけです。 ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

ピタゴラス学派は、正方形の対角線がその辺と通約不可能であること、あるいは現代の言葉で言えば、2の平方根が無理数であることを発見した。この発見の時期や状況については確かなことはほとんど分かっていないが、メタポントゥムのヒッパソスの名前はしばしば言及される。しばらくの間、ピタゴラス学派は、2の平方根が無理数であるという発見を公式の秘密として扱い、伝説によれば、ヒッパソスはそれを漏らしたために殺害されたが、これは伝統的な歴史家の慣習ではほとんど実質的な証拠がない。^{[5] [6]} 2の平方根はピタゴラス数^[7]あるいはピタゴラス定数と呼ばれることもある。

古代ローマ建築

古代ローマ建築において、ウィトルウィウスは2の平方根数列、あるいはアド・クアドラトゥム技法の使用について述べている。これは基本的に算術的ではなく幾何学的な方法で正方形を2倍にし、元の正方形の対角線が結果として得られる正方形の一辺と等しくなるようにする手法である。ウィトルウィウスはこの着想をプラトンに帰している。この手法は、元の正方形の角に45度の角度で接する正方形を作成することで舗装を建設するために用いられた。この比率はアトリウムの設計にも用いられ、アトリウムの幅に等しい辺を持つ正方形から取った対角線の長さをアトリウムの長さにすることで、アトリウムの設計にも用いられた。^[8]

小数値

計算アルゴリズム

整数比や小数として近似するアルゴリズムは数多く存在します。その中でも最も一般的なアルゴリズムは、多くのコンピュータや計算機の基盤として用いられている、平方根を計算するバビロニア法^[9]です。これは、任意関数の根を計算するニュートン法の一例です。その手順は以下のとおりです。 ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

まず、推定値 を選びます。推定値は、特定の精度の近似値に達するために必要な反復回数にのみ影響します。次に、その推定値を用いて、以下の再帰計算を反復します。 ${\displaystyle a_{0}>0}$

${\displaystyle a_{n+1}={\frac {1}{2}}\left(a_{n}+{\dfrac {2}{a_{n}}}\right)={\frac {a_{n}}{2}}+{\frac {1}{a_{n}}}.}$

反復ごとに近似値が向上し、正しい桁の数はほぼ倍増します。 から始めて、以降の反復では以下のようになります。 ${\displaystyle a_{0}=1}$

${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}a_{1}&={\tfrac {3}{2}}&&=\mathbf {1} .5,\\a_{2}&={\tfrac {17}{12}}&&=\mathbf {1.41} 6\ldots ,\\a_{3}&={\tfrac {577}{408}}&&=\mathbf {1.41421} 5\ldots ,\\a_{4}&={\tfrac {665857}{470832}}&&=\mathbf {1.41421356237} 46\ldots ,\\&\qquad \vdots \end{alignedat}}}$

有理近似

単純な有理近似⁠99/70⁠ (≈ 1.4142 857) が時々使われます。分母がわずか70であるにもかかわらず、正しい値との差は⁠未満です。1/10,000⁠ (約+0.72 × 10 ⁻⁴）。

次の2つのより良い有理近似は、⁠140/99⁠ (≈ 1.414 1414...) わずかに小さい誤差 (約 1.414 1414...) があります。−0.72 × 10 ⁻⁴）、および⁠239/169⁠ (≈ 1.4142 012) 誤差約−0.12 × 10 ⁻⁴。

バビロニア法を4回繰り返して得られた2の平方根の有理近似値は、₀ = 1（⁠665,857/470,832⁠）は約1.6 × 10 ⁻¹² ; その平方は ≈ 2,000 000 000 0045。

計算中の記録

1997年、金田泰正氏のチームによって、の値は137,438,953,444小数点以下の桁数まで計算されました。2006年2月、家庭用コンピュータを用いて、の計算記録が破られました。近藤茂氏は2010年に、小数点1兆桁まで計算しました。 ^[10]同様に高精度で小数展開が計算されている他の数学定数には、 π、e、黄金比などがあります。^[11]このような計算は、これらの数が正規分布に従うかどうかの経験的証拠を提供します。 ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

これは、の数字を計算した最近の記録の表です。^[11] ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

日付	名前	桁数
2025年4月4日	テック・ポー・リム	2400万​​​
2023年12月26日	ジョーダン・ラノウス	20 000 000 000 000
2022年1月5日	ティツィアン・ハンゼルマン	10 000 000 001 000
2016年6月28日	ロン・ワトキンス	10 000 000 000 000
2016年4月3日	ロン・ワトキンス	5 000 000 000 000
2016年1月20日	ロン・ワトキンス	2 000 000 000 100
2012年2月9日	アレクサンダー・イー	2 000 000 000 050
2010年3月22日	近藤茂	1 000 000 000 000

非合理性の証明

無限降下法による証明

無理数の非合理性を証明する一つの方法は、無限降下法による次の証明である。これは反駁による否定の証明でもある。つまり、「 は有理数ではない」という命題を、それが有理数であると仮定し、そこから偽を導き出すことによって証明する。 ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

1. が有理数であると仮定します。これは、比がちょうど である整数のペアが存在することを意味します。 ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$
2. 2 つの整数に共通因数がある場合、ユークリッドの互除法を使用してその因数を消去できます。
3. すると、aとb が互いに素な整数（共通因数を持たない）となるような既約分数として表すことができ、これはさらに、 aまたはbの少なくとも 1 つは奇数でなければならないことも意味します。 ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$
4. したがって、次の式が成り立ちます。(  ( ⁠ ${\displaystyle {\frac {a^{2}}{b^{2}}}=2}$ ${\displaystyle a^{2}=2b^{2}}$1つの/b⁠ ) ⁿ = ⁠1^つの/b ⁿ⁠  ) ( a ²とb ²は整数)
5. したがって、a ^{2 は}2 b ²に等しいので偶数です。（2 b ^{2 は}別の整数の 2 倍なので必然的に偶数です。）
6. したがって、a は偶数でなければなりません (奇数の平方は決して偶数にならないため)。
7. aは偶数なので、を満たす整数kが存在します。 ${\displaystyle a=2k}$
8. ステップ 4 の 2 番目の方程式のaにステップ 7 の2 kを代入すると、となり、これは と同等になります。 ${\displaystyle 2b^{2}=a^{2}=(2k)^{2}=4k^{2}}$ ${\displaystyle b^{2}=2k^{2}}$
9. 2 k ²は2 で割り切れるので偶数であり、 なので、 b ^{2 も}偶数であり、つまりbが偶数であることがわかります。 ${\displaystyle 2k^{2}=b^{2}}$
10. ステップ 5 と 8 により、aとbは両方とも偶数となり、ステップ 3 (つまり既約) と矛盾します。 ${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$

偽を導出したので、(1) が有理数であるという仮定は偽となる。これは、が有理数ではない、つまり無理数であることを意味する。 ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

この証明はアリストテレスの『解析学』第1章23節で示唆されている。^{[12]この証明は}ユークリッドの『原論』第10巻の命題117で初めて完全な証明として現れた。しかし、19世紀初頭以来、歴史家たちはこの証明は挿入されたものであり、ユークリッドに帰属するものではないと同意している。^[13]

逆数を用いた証明

矛盾点として、が有理数であると仮定する。すると、 は互いに素な正の整数 を持つ、最小の項で既約分数 として表すことができる。 であるため、 は既約分数 として表すことができる。しかし、 と は整数だけ異なるため、それらの既約分数表現の分母は同じ、すなわち でなければならない。これにより、目的の矛盾が生じる。 ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}+1={\frac {q}{p}}}$ ${\displaystyle q>p}$ ${\displaystyle ({\sqrt {2}}-1)({\sqrt {2}}+1)=2-1^{2}=1}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}-1}$ ${\displaystyle {\frac {p}{q}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}-1}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}+1}$ ${\displaystyle q=p}$

一意因数分解による証明

無限降下法による証明と同様に、 を得ます。 は同じ量なので、算術の基本定理により、両辺は同じ素因数分解を持ちます。特に、 では因数2の出現回数は同じである必要があります。しかし、因数2は右側では奇数回出現しますが、左側では偶数回出現します。これは矛盾です。 ${\displaystyle a^{2}=2b^{2}}$

有理根定理の応用

の無理数は、有理根定理からも導かれます。有理根定理は、多項式の有理根が存在する場合、それは定数項 の因数と主係数の因数の商でなければならないと述べています。 の場合、可能な有理根は と だけです。はまたは と等しくないので、 は無理数であることがわかります。この応用では、 が整数係数の単項多項式である場合の有理根定理のより強力なバージョンである整数根定理も参照してください。このような多項式では、すべての根は必然的に整数（2 は完全な平方根でないので は整数ではない）または無理数です。 ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle p(x)=x^{2}-2}$ ${\displaystyle \pm 1}$ ${\displaystyle \pm 2}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle \pm 1}$ ${\displaystyle \pm 2}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle p(x)}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

有理根定理（または整数根定理）は、完全平方ではない任意の自然数の平方根は無理数であることを示すために用いられます。平方でない任意の自然数の平方根が無理数であることを示す他の証明については、「二次無理数」または「無限降下」を参照してください。

幾何学的証明

テネンバウムの証明

図1. スタンレー・テネンバウムによる√2の無理数の幾何学的証明

簡単な証明は、1950 年代初頭の学生だったスタンレー テネンバウムによるものとされています。 ^{[14] [15]}と が互いに素な正の整数であると仮定します。すると、と は、 となる最小の正の整数です。幾何学的には、これは、辺の長さが の正方形の面積が、（より短い）辺の長さ の正方形 2 つに等しいことを意味します。これらの正方形を A と B と呼びます。これらの正方形を描いて面積を比較することができます。最も簡単な方法は、2 つの B の正方形を A の正方形に当てはめることです。これを行おうとすると、図 1 のような配置になり、2 つの B の正方形が中央で重なり合い、左上と右下に覆われていない 2 つの領域が存在します。 を主張するためには、重なり合う面積が 2 つの欠けている領域の面積に等しい、すなわち= であることを示す必要があります。言い換えれば、重なり合う領域と欠けている領域の辺の長さをそれぞれ および と表すことができ、となります。しかし、図から および がわかるので、およびの定義からおよび は整数であることがわかっているため、および がとなる最小の正の整数であるという当初の仮定に反することになります。 ${\displaystyle {\sqrt {2}}=a/b}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a^{2}=2b^{2}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a^{2}=2b^{2}}$ ${\displaystyle (2b-a)^{2}}$ ${\displaystyle 2(a-b)^{2}}$ ${\displaystyle p=2b-a}$ ${\displaystyle q=a-b}$ ${\displaystyle p^{2}=2q^{2}}$ ${\displaystyle p<a}$ ${\displaystyle q<b}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a^{2}=2b^{2}}$

したがって、と がを満たす最小の正の整数であると仮定したとしても、 を満たすより小さな整数のペアと が存在することを証明できます。との定義におけるこの矛盾は、それらが存在できず、したがって無理数であることを意味します。 ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a^{2}=2b^{2}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

アポストルの証明

図2. トム・アポストルによる√2の無理数の幾何学的証明

トム・M・アポストルは、が無理数であることを示す別の幾何学的背理法を用いた議論を展開した。^{[16]これは無限降下法による証明の例でもある。これは古典的な}コンパスと定規を用いた作図法を用いて、古代ギリシャの幾何学者が用いた方法と同様の方法で定理を証明している。これは本質的には、テンネバウムの証明と同じ代数的証明であるが、幾何学的に別の観点から見ると、同じである。 ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

図2に示すように、△  ABCを斜辺の長さm、辺の長さnの直角二等辺三角形とします。ピタゴラスの定理により、となります。mとnは整数と仮定します。m : nを最小の項で与えられた比とします。 ${\displaystyle {\frac {m}{n}}={\sqrt {2}}}$

中心Aから弧BDとCEを描き、DEを結びます。AB = AD、AC = AE、∠ BACと∠ DAEが一致することが分かります。したがって、三角形ABCとADEはSASによって合同です。

∠ EBFは直角であり、∠ BEFは半直角であるため、 △  BEFも直角二等辺三角形です。したがって、 BE = m − nよりBF = m − nとなります。対称性により、DF = m − nとなり、△  FDCも直角二等辺三角形です。また、FC = n − ( m − n ) = 2 n − mとなります。

したがって、さらに小さい直角二等辺三角形が存在し、その斜辺の長さは2 n − m、辺の長さはm − nである。これらの値はmとnよりもさらに小さい整数であり、同じ比であるため、 m : nが最小の項であるという仮説に矛盾する。したがって、 mとn は両方とも整数にはなり得ず、したがって無理数となる。 ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

建設的証明

無限降下法による証明は、「無理数」を「有理数ではない」と定義した場合には構成的に妥当であるが、「無理数」を「あらゆる有理数から定量的に区別できる」と肯定的に定義することで、より強い構成的命題を得ることができる。a とbを1 < ⁠を満たす正の整数とする。1つの/b⁠ < 3/2です（ 1<2< 9/4がこれらの境界を満たすため）。ここで、 2 b ² とa ² は等しくなれません。最初の因数 2 は奇数個ですが、2 番目の因数 2 は偶数個だからです。したがって、 | 2 b ² − a ² | ≥ 1 です。絶対差| √2 − ⁠を掛けると、1つの/b⁠ |b 2 ⁽ √2 + ⁠ 1つの/b⁠）を分子と分母に入れると、 ^[17]

${\displaystyle \left|{\sqrt {2}}-{\frac {a}{b}}\right|={\frac {|2b^{2}-a^{2}|}{b^{2}\!\left({\sqrt {2}}+{\frac {a}{b}}\right)}}\geq {\frac {1}{b^{2}\!\left({\sqrt {2}}+{\frac {a}{b}}\right)}}\geq {\frac {1}{3b^{2}}},}$

後者の不等式は、 1< ⁠と仮定しているため真である。1つの/b⁠ < 3/2、与える⁠1つの/b⁠ + √2 ≤ 3（そうでなければ量的分離は自明に証明できる）。これにより下限は⁠となる。1/3 b ²⁠差| √2 − ⁠1つの/b⁠ |排中律に頼らずに、構成的に強い形で無理数の直接的な証明をもたらす。^[18]この証明は、任意の有理数と無理数との間の明確な矛盾を構成的に示している。 ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

ピタゴラス数列による証明

この証明では、原始ピタゴラス数列の次の性質を利用しています。

a、b、cが互いに素な正の整数でa2 + b2 = ^c2となる場合、cは^決して偶数^にならない。^[19]

この補題は、2 つの同一の完全平方数を加算しても別の完全平方数が生成されないことを表すために使用できます。

逆のことが合理的であると仮定する。したがって、 ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

${\displaystyle {\sqrt {2}}={a \over b}}$

どこでそして ${\displaystyle a,b\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \gcd(a,b)=1}$

両辺を二乗すると、

${\displaystyle 2={a^{2} \over b^{2}}}$

${\displaystyle 2b^{2}=a^{2}}$

${\displaystyle b^{2}+b^{2}=a^{2}}$

ここで、( b , b , a )は原始ピタゴラス数列であり、補題よりaは決して偶数ではない。しかし、これは2 b ² = a ²という式と矛盾しており、 a は必ず偶数となる。

乗法逆数

2の平方根の逆数は広く使われている定数であり、その小数値は次の通りである。^[20]

0.70710 67811 86547 52440 08443 62104 84903 92848 35937 68847 ...

平面上の軸と45°の角度をなす単位ベクトルの座標が次のようになるため、幾何学や三角法でよく登場します。

${\displaystyle \left({\frac {\sqrt {2}}{2}},{\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)\!.}$

各座標は

${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}={\sqrt {\tfrac {1}{2}}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}=\sin 45^{\circ }=\cos 45^{\circ }.}$

プロパティ

円錐半径が√2のとき、角度の大きさと扇形面積は同じです。この図は、扇形面積uに基づく円関数と双曲線関数を示しています。

の興味深い特性の一つは ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

${\displaystyle \!\ {1 \over {{\sqrt {2}}-1}}={\sqrt {2}}+1}$

以来

${\displaystyle \left({\sqrt {2}}+1\right)\!\left({\sqrt {2}}-1\right)=2-1=1.}$

これは白銀比の性質に関係しています。

${\displaystyle {\sqrt {2}}}$複素数iと− iに対して平方根記号が適切に解釈されれば、平方根と算術演算のみを使用して虚数単位 iのコピーで表現することもできます。

${\displaystyle {\frac {{\sqrt {i}}+i{\sqrt {i}}}{i}}{\text{ and }}{\frac {{\sqrt {-i}}-i{\sqrt {-i}}}{-i}}}$

${\displaystyle {\sqrt {2}}}$は、1以外の実数の中で、無限四面体（すなわち無限指数塔）がその平方に等しい唯一の数でもあります。言い換えると、c > 1 において x 1 = c かつ n > 1 において x n +1 = c x n が成り立つ場合、n → ∞_におけるx nの極限は（この_極限が存在する^場合_） f ( c )と_呼ばれます。すると、 c > 1においてf ( c ) = c ²となる唯一の数は です。あるいは記号的に言えば、 ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

${\displaystyle {\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{~\cdot ^{~\cdot ^{~\cdot }}}}}=2.}$

${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ビエテのπの公式に現れます。

${\displaystyle {\frac {2}{\pi }}={\sqrt {\frac {1}{2}}}\cdot {\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {1}{2}}}}}\cdot {\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {1}{2}}}}}}}\cdots ,}$

これは式^{[21]と関連している。}

${\displaystyle \pi =\lim _{m\to \infty }2^{m}\underbrace {\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+\cdots +{\sqrt {2}}}}}}}}}} _{m{\text{ square roots}}}\,.}$

見た目は似ているが項の数が有限で、さまざまな三角定数に現れる：^[22] ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin {\frac {\pi }{32}}&={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}}}&\quad \sin {\frac {3\pi }{16}}&={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}}}&\quad \sin {\frac {11\pi }{32}}&={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2-{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}}}}}\\[6pt]\sin {\frac {\pi }{16}}&={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}&\quad \sin {\frac {7\pi }{32}}&={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}}}&\quad \sin {\frac {3\pi }{8}}&={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}\\[6pt]\sin {\frac {3\pi }{32}}&={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}}}}}&\quad \sin {\frac {\pi }{4}}&={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}&\quad \sin {\frac {13\pi }{32}}&={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}}}}}\\[6pt]\sin {\frac {\pi }{8}}&={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}&\quad \sin {\frac {9\pi }{32}}&={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}}}&\quad \sin {\frac {7\pi }{16}}&={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}\\[6pt]\sin {\frac {5\pi }{32}}&={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2-{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}}}}}&\quad \sin {\frac {5\pi }{16}}&={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}}}&\quad \sin {\frac {15\pi }{32}}&={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}}}\end{aligned}}}$

が無理数よりも強い性質である正規数であるかどうかは分かっていないが、その2進展開の統計的分析は、 2を底とする正規数であるという仮説と一致している。^[23] ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

表現

シリーズと製品

アイデンティティcos  ⁠π/4⁠ = 罪 ⁠π/4⁠ = ⁠1/√2⁠ は、正弦と余弦の無限積表現と合わせて、次のような積となる。

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}=\prod _{k=0}^{\infty }\left(1-{\frac {1}{(4k+2)^{2}}}\right)=\left(1-{\frac {1}{4}}\right)\!\left(1-{\frac {1}{36}}\right)\!\left(1-{\frac {1}{100}}\right)\cdots }$

そして

${\displaystyle {\sqrt {2}}=\prod _{k=0}^{\infty }{\frac {(4k+2)^{2}}{(4k+1)(4k+3)}}=\left({\frac {2\cdot 2}{1\cdot 3}}\right)\!\left({\frac {6\cdot 6}{5\cdot 7}}\right)\!\left({\frac {10\cdot 10}{9\cdot 11}}\right)\!\left({\frac {14\cdot 14}{13\cdot 15}}\right)\cdots }$

あるいは同等に、

${\displaystyle {\sqrt {2}}=\prod _{k=0}^{\infty }\left(1+{\frac {1}{4k+1}}\right)\left(1-{\frac {1}{4k+3}}\right)=\left(1+{\frac {1}{1}}\right)\!\left(1-{\frac {1}{3}}\right)\!\left(1+{\frac {1}{5}}\right)\!\left(1-{\frac {1}{7}}\right)\cdots .}$

この数は三角関数のテイラー級数で表すこともできます。例えば、cos  ⁠の級数はπ/4⁠与える

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}{\bigl (}{\frac {\pi }{4}}{\bigr )}^{2k}}{(2k)!}}.}$

x = 1のテイラー級数で、二重階乗n !!を使用すると、 ${\displaystyle {\sqrt {1+x}}}$

${\displaystyle {\sqrt {2}}=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k+1}{\frac {(2k-3)!!}{(2k)!!}}=1+{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2\cdot 4}}+{\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4\cdot 6}}-{\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6\cdot 8}}+\cdots =1+{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}-{\frac {5}{128}}+{\frac {7}{256}}+\cdots .}$

この級数の収束はオイラー変換によって加速され、

${\displaystyle {\sqrt {2}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(2k+1)!}{2^{3k+1}{(k!)}^{2}}}={\frac {1}{2}}+{\frac {3}{8}}+{\frac {15}{64}}+{\frac {35}{256}}+{\frac {315}{4096}}+{\frac {693}{16384}}+\cdots .}$

をBBP型式で表せるかどうかは分かっていない。しかし、 とについてはBBP型式が知られている。^[24] ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle \pi {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}\ln \left(1+{\sqrt {2}}~\!\right)}$

この数はエジプト分数の無限級数で表すことができ、分母はフィボナッチのような再帰関係の2n番目の項^で定義されます。a ( n ) = 34 a ( n −1) − a ( n −2), a (0) = 0, a (1) = 6: ^[25]

${\displaystyle {\sqrt {2}}={\frac {3}{2}}-{\frac {1}{2}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{a(2^{n})}}={\frac {3}{2}}-{\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{6}}+{\frac {1}{204}}+{\frac {1}{235416}}+\dots \right).}$

連分数

2の平方根と連分数の収束による近似

2 の平方根は、次の連分数表現になります。

${\displaystyle {\sqrt {2}}=1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{\ddots }}}}}}}}.}$

収束者 ⁠p/qこの表現を切り捨てることで、 2の平方根を精度が上がる方向に近似する分数の列が形成され、これはペル数（すなわち、 p ² − 2 q ² = ±1）で記述されます。最初の収束関数は次のとおりです。1/1⁠、⁠3/2⁠、⁠7/5⁠、⁠17/12⁠、⁠41/29⁠、⁠99/70⁠、⁠239/169⁠、⁠577/408⁠そして収束する次の⁠p/q⁠は⁠p + 2 q/p + q⁠ . 収束する⁠p/q⁠は とほぼ だけ異なり、これは次の式から導かれます。 ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{2{\sqrt {2}}q^{2}}}}$

${\displaystyle \left|{\sqrt {2}}-{\frac {p}{q}}\right|={\frac {|2q^{2}-p^{2}|}{q^{2}\!\left({\sqrt {2}}+{\frac {p}{q}}\right)}}={\frac {1}{q^{2}\!\left({\sqrt {2}}+{\frac {p}{q}}\right)}}\thickapprox {\frac {1}{2{\sqrt {2}}q^{2}}}}$

ネストされた正方形

次のネストされた平方式は に収束します。 ${\textstyle {\sqrt {2}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt {2}}&={\tfrac {3}{2}}-2\left({\tfrac {1}{4}}-\left({\tfrac {1}{4}}-{\bigl (}{\tfrac {1}{4}}-\cdots {\bigr )}^{2}\right)^{2}\right)^{2}\\[10mu]&={\tfrac {3}{2}}-4\left({\tfrac {1}{8}}+\left({\tfrac {1}{8}}+{\bigl (}{\tfrac {1}{8}}+\cdots {\bigr )}^{2}\right)^{2}\right)^{2}.\end{aligned}}}$^[要引用]

アプリケーション

用紙サイズ

Aシリーズの用紙サイズ

1786年、ドイツの物理学教授ゲオルク・クリストフ・リヒテンベルク^[26]は、長辺が短辺の何倍も長い紙であれば、半分に折り、短辺を合わせると、元の紙と全く同じ縦横比の紙を作ることができることを発見しました。長辺と短辺の長さのこの比率により、紙を線に沿って半分に切ると、小さい方の紙が元の紙と（おおよそ）同じ縦横比になることが保証されます。20世紀初頭にドイツが用紙サイズを標準化した際、リヒテンベルクの比率を用いて「A」シリーズの用紙サイズが作成されました^{[26] 。今日、} ISO 216 （A4、A0など）に基づく用紙サイズの（おおよその）アスペクト比は1：1です。 ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

証拠：

紙の辺の短い方と長い方を、 ${\displaystyle S=}$ ${\displaystyle L=}$

${\displaystyle R={\frac {L}{S}}={\sqrt {2}}}$ISO 216 の要件に従って。

半分に切ったシートの類似の比率を とすると、 ${\displaystyle R'={\frac {L'}{S'}}}$

${\displaystyle R'={\frac {S}{L/2}}={\frac {2S}{L}}={\frac {2}{(L/S)}}={\frac {2}{\sqrt {2}}}={\sqrt {2}}=R.}$

物理科学

2倍単位立方体の頂点間の距離は、最初の6つの自然数の平方根です。（ルジャンドルの3平方定理により、 √7は不可能です。）

物理科学において、2 の平方根に関する興味深い特性がいくつかあります。

• 2 の平方根は、十二音平均律音楽における三全音程の周波数比です。
• 2 の平方根は写真レンズのF ストップの関係を形成し、これは連続する 2 つの絞り間の面積の比率が2 であることを意味します。
• 惑星の天文交差四半期日点における太陽の天体緯度（赤緯）は、惑星の軸の傾きを で割った値に等しくなります。 ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$
• 脳には格子細胞が存在し、これは2005年にメイブリットとエドヴァルド・モーザー率いる研究グループによって発見されました。「格子細胞は海馬のすぐ隣に位置する皮質領域で発見されました。[…] この皮質領域の一方の端ではメッシュサイズが小さく、もう一方の端では非常に大きくなっています。しかし、メッシュサイズの増加は偶然ではなく、領域ごとに2の平方根で増加しています。」^[27]

参照

• 数学定数のリスト
• 3の平方根
• 5の平方根
• ゲルフォンド・シュナイダー^定数、2√2
• 白銀比、1 + √2

注記

1. ファウラー、デイヴィッド・H. (1994). 「通約不可能性発見の物語、再考」. ガヴログル、コスタス、クリスティアニディス、エフティミオス、ニコライディス（編）. 『科学史学の動向』 . ボストン科学哲学研究第151巻. ドルトレヒト：シュプリンガー. pp.  221– 236. doi :10.1007/978-94-017-3596-4. ISBN 978-9048142644。
2. Sloane, N. J. A. (編). 「シーケンスA002193 (2の平方根の10進展開)」.オンライン整数シーケンス百科事典. OEIS Foundation . 2020年8月10日閲覧。
3. ファウラー、デイビッド、ロブソン、エレノア(1998). 「古代バビロニア数学における平方根近似：YBC 7289の文脈」. Historia Mathematica . 25 (4): 366– 378. doi : 10.1006/hmat.1998.2209 . MR  1662496.368ページ参照。
   イェールバビロニアコレクション所蔵のルート(2)タブレットの写真、イラスト、説明。2012年8月13日アーカイブ、Wayback Machine
   所蔵。イェールバビロニアコレクション所蔵のルート(2)タブレット（YBC 7289）の高解像度写真、説明、分析。
4. ヘンダーソン, デイビッド・W. (2000). 「シュルバ・スートラにおける平方根」. ゴリーニ, キャサリン・A. (編). 『幾何学の働き：応用幾何学論文集』. アメリカ数学会報. 第53巻. ワシントンD.C.:アメリカ数学会. pp.  39– 45. ISBN 978-0883851647。
5. 「危険な比率」nrich.maths.org . 2023年9月18日閲覧。
6. フォン・フリッツ、クルト (1945). 「メタポントゥムのヒッパソスによる不通性の発見」Annals of Mathematics . 46 (2): 242– 264. doi :10.2307/1969021. ISSN  0003-486X. JSTOR  1969021.
7. コンウェイ、ジョン・H. ;ガイ、リチャード・K. (1996). 『数の書』 ニューヨーク：コペルニクス. p. 25. ISBN 978-1461240723。
8. ウィリアムズ、キム、オストワルド、マイケル (2015). 『古代から未来への建築と数学：第1巻：古代から1500年代まで』ビルクハウザー社. p. 204. ISBN 9783319001371。
9. 「バビロニア式」という用語は現代ではよく用いられているが、バビロニア人がYBC 7289の粘土板に見られる近似値をどのように計算したかを示す直接的な証拠はない。ファウラーとロブソンは情報に基づいた詳細な推測を提示している。ファウラーとロブソン、376ページ。フラナリー、32ページ、158ページ。 ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$
   
10. 定数と計算記録. Numbers.computation.free.fr. 2010年8月12日. 2012年3月1日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2012年9月7日閲覧。
11. y-cruncherによる記録。2022年4月7日時点のオリジナルよりアーカイブ。2022年4月7日閲覧。
12. アリストテレスが背理法による証明について書いているときに言っているのは、 「正方形の対角線は辺と不釣り合いである。なぜなら、奇数は偶数と釣り合うはずであるならば、その辺は等しいからである」ということだけだ。
13. 1826年から1829年にかけてベルリンでEFアウグストが出版したギリシャ語版『原論』では、この証明は既に付録に収められている。JLハイベルク版（1883年から1888年）でも同様である。
14. ミラー, スティーブン・J.; モンタギュー, デイヴィッド (2012年4月). 「Picturing Irrationality」.数学マガジン. 第85巻第2号. pp.  110– 114. doi :10.4169/math.mag.85.2.110. JSTOR  10.4169/math.mag.85.2.110.
15. ヤノフスキー、ノソン・S. (2016年5～6月). 「パラドックス、矛盾、そして科学の限界」.アメリカン・サイエンティスト. 第103巻第3号. pp.  166– 173. JSTOR  44808923.
16. アポストル, トム・M. (2000). 「2の平方根の無理数 ― 幾何学的証明」.アメリカ数学月刊誌. 107 (9): 841– 842. doi :10.2307/2695741. JSTOR  2695741.
17. Katz , Karin Usadi; Katz, Mikhail G. (2011). 「古典数学における意味：直観主義との対立か？」Intellectica 56 (2): 223–302 (特に第2.3節、脚注15を参照). arXiv : 1110.5456 . Bibcode :2011arXiv1110.5456U.
18. ビショップ、エレット(1985). 「現代数学における統合失調症」.ローゼンブラット、マレー(編).エレット・ビショップ：彼とその研究についての考察. 現代数学. 第39巻. プロビデンス、ロードアイランド州:アメリカ数学会. pp.  1– 32. doi :10.1090/conm/039/788163. ISBN 0821850407. ISSN  0271-4132.
19. シェルピンスキー、ヴァツワフ(2003)。ピタゴラスの三角形。シャルマ、アンビケシュワ訳。ニューヨーク州ミネオラ：ドーバー。ページ 4–6。ISBN​​ 978-0486432786。
20. Sloane, N. J. A. (編). 「数列A010503 (1/sqrt(2)の10進展開)」.オンライン整数数列百科事典. OEIS財団. 2024年11月3日閲覧。
21. クーラント、リチャード、ロビンス、ハーバート (1941). 『数学とは何か？ 思想と方法への初等的アプローチ』 ロンドン：オックスフォード大学出版局. p. 124.
22. Julian DA Wiseman 無理数における sin と cos 2009-05-06ウェイバックマシンにアーカイブ
23. Good, IJ ; Gover, TN (1967). 「一般化シリアルテストとバイナリ展開」. Journal of the Royal Statistical Society, Series A. 130 ( 1): 102– 107. doi :10.2307/2344040. JSTOR  2344040. ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$
24. Bailey, David H. (2011年2月13日). A Compendium of BBP-Type Formulas for Mathematical Constants (PDF) . 2011年6月10日時点のオリジナルよりアーカイブ(PDF) . 2010年4月30日閲覧。
25. Sloane, N. J. A. (編). 「Sequence A082405 (a(n) = 34*a(n-1) - a(n-2); a(0)=0, a(1)=6)」.オンライン整数列百科事典. OEIS Foundation . 2016年9月5日閲覧。
26. ヒューストン、キース（2016年）『ザ・ブック：現代における最も強力なオブジェクトの徹底探究』WWノートン・アンド・カンパニー、324ページ。ISBN 978-0393244809。
27. ノルデンゲン、カヤ (2016).本: Hjernen er sternen。 2016 カッゲ・フォルラグ AS. p. 81.ISBN​ 978-82-489-2018-2。

参考文献

• アリストテレス(1938) [紀元前350年頃].カテゴリー; 解釈について; 先験的分析論. ギリシャ語本文と翻訳. ローブ古典文庫. 第325巻. HP Cooke; Hugh Tredennick 訳. マサチューセッツ州ケンブリッジ: ハーバード大学出版局.先験的分析論§ I.23. ISBN 9780674993594。 {{citation}}: ISBN / Date incompatibility (help)
• フラナリー、デイヴィッド（2006年）『2の平方根：数と数列をめぐる対話』ニューヨーク：コペルニクス・ブックス、ISBN 978-0387202204。
• ファウラー、デイビッド、ロブソン、エレノア(1998). 「古バビロニア数学における平方根近似：YBC 7289の文脈」. Historia Mathematica . 25 (4): 366– 378. doi : 10.1006/hmat.1998.2209 .

外部リンク

• Gourdon, X.; Sebah, P. (2001). 「ピタゴラス定数」. 数、定数、そして計算. ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$。
• 2の平方根を500万桁まで解く、ジェリー・ボネルとロバート・J・ネミロフ著。1994年5月。
• 2の平方根は無理数である、証明集
• Haran, Brady (2012年1月27日). Root 2 (ビデオ). Numberphile. グライム, James; ボウリー, Roger.
• ⁠ 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} ⁠ 検索エンジン √2、π、eの20億の検索可能な数字

Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Square_root_of_2&oldid=1321656504"