3の平方根

3の平方根
	辺の長さが 2 の正三角形の高さは3 の平方根に等しくなります。
表現
小数点	1.73205 08075 68877 2935...
連分数

3の平方根は、自身を掛け合わせると3となる正の実数である。数学的にはまたはと表記される。より正確には、同じ性質を持つ負の数と区別するため、3の主平方根と呼ばれる。3の平方根は無理数である。また、その無理数を証明したキュレネのテオドロスにちなんで、テオドロスの定数とも呼ばれる。 ^[1] ${\textstyle {\sqrt {3}}}$ $3^{1/2}$

2013年には、その十進表記の数値は100億桁まで計算された。^[2]ここで65桁まで表記されるその十進展開は、 OEIS :A002194によって与えられている。

1.73205 08075 68877 29352 74463 41505 87236 69428 05253 81038 06280 55806

アルキメデスはその値の範囲を報告した：[ ^3] ${\textstyle ({\frac {1351}{780}})^{2}>3>({\frac {265}{153}})^{2}}$

上限はから（小数点以下 6 桁、相対誤差）の正確な近似値であり、下限はから（小数点以下 4 桁、相対誤差）の正確な近似値です。 ${\textstyle {\frac {1351}{780}}}$ ${\sqrt {3}}$ ${\textstyle {\frac {1}{608,400}}}$ ${\textstyle 3\times 10^{-7}}$ ${\textstyle {\frac {265}{153}}}$ ${\textstyle {\frac {2}{23,409}}}$ ${\textstyle 1\times 10^{-5}}$

幾何学と三角法

3 の平方根は、直径 1 の円を囲む正三角形の辺の長さとして求められます。

辺の長さが 1 の正三角形を、内角を二等分して 1 つの辺と直角になるように 2 つの等しい半分に切ると、直角三角形の斜辺の長さは 1 になり、各辺の長さはとになります。このことから、、、およびとなります。 ${\textstyle {\frac {1}{2}}}$ ${\textstyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}}$ ${\textstyle \tan {60^{\circ }}={\sqrt {3}}}$ ${\textstyle \sin {60^{\circ }}={\frac {\sqrt {3}}{2}}}$ ${\textstyle \cos {30^{\circ }}={\frac {\sqrt {3}}{2}}}$

3の平方根は、他の角度の正弦を含むさまざまな三角定数の代数式にも現れます。 ^[4]

辺の長さが 1 である正六角形の平行な辺間の距離です。

単位立方体の空間対角線の長さです。

魚の嚢の長軸と短軸の比はです。これは、その中に2つの正三角形を描くことで示されます。 ${\sqrt {3}}:1$

参考文献

^ 「3の平方根」. planetmath.org . 2025年7月23日閲覧。
^ Komsta, Łukasz (2013年12月). 「Computations | Łukasz Komsta」. komsta.net . WordPress. 2023年10月2日時点のオリジナルよりアーカイブ。2016年9月24日閲覧。
^ Knorr, Wilbur R. (1976年6月). 「アルキメデスと円の測定：新たな解釈」 . Archive for History of Exact Sciences . 15 (2): 115– 140. doi :10.1007/bf00348496. JSTOR 41133444. MR 0497462. S2CID 120954547. 2022年11月15日閲覧– SpringerLink経由.
^ Wiseman, Julian DA (2008年6月). 「Sin and Cos in Surds」. JDAWiseman.com . 2022年11月15日閲覧。

さらに読む

ポデスタ, リカルド A. (2023). 「,およびが無理数であることの幾何学的証明」.数学マガジン. 96 (1): 34– 39. arXiv : 2003.06627 . doi :10.1080/0025570X.2023.2168436. MR 4556102. ${\sqrt {3}}$ ${\sqrt {5}}$ ${\sqrt {7}}$
ウェルズ, D. (1997). 『ペンギン数字辞典』（改訂版）. ロンドン: ペンギングループ. p. 23.

外部リンク

MathWorldのテオドロス定数
ケビン・ブラウン『アルキメデスと3の平方根』

[1] 「3の平方根」. planetmath.org . 2025年7月23日閲覧。

[2] Komsta, Łukasz (2013年12月). 「Computations | Łukasz Komsta」. komsta.net . WordPress. 2023年10月2日時点のオリジナルよりアーカイブ。2016年9月24日閲覧。

[3] Knorr, Wilbur R. (1976年6月). 「アルキメデスと円の測定：新たな解釈」 . Archive for History of Exact Sciences . 15 (2): 115– 140. doi :10.1007/bf00348496. JSTOR 41133444. MR 0497462. S2CID 120954547. 2022年11月15日閲覧– SpringerLink経由.

[4] Wiseman, Julian DA (2008年6月). 「Sin and Cos in Surds」. JDAWiseman.com . 2022年11月15日閲覧。