有理数

Quotient of two integers

有理数は実数に ${\displaystyle \mathbb {Q} }$含まれ、実数は複素数に含まれます。一方、有理数には整数が含まれ、 整数には自然数が含まれます。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$

数学において、有理数は、分子pと非ゼロの分母qの2 つの整数の商または分数として表される数です。^[1]たとえば、は有理数であり、すべての整数 (たとえば) も有理数です。すべての有理数の 集合はしばしば「有理数」と呼ばれ、^[2]加算、減算、乗算、および非ゼロの有理数による除算に対して閉じて います。これはこれらの演算の下での体であるため、有理数体^[3]または有理数体とも呼ばれます。これは通常、太字のQまたは黒板太字の⁠ ⁠で表されます。 ${\displaystyle {\tfrac {p}{q}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {3}{7}}}$ ${\displaystyle -5={\tfrac {-5}{1}}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} .}$

有理数は実数です。有理数の実数は、小数展開が有限個の桁で終了するか（例：3/4 = 0.75）、最終的に同じ有限の桁の列を何度も繰り返すようになる数です（例： 9/44 = 0.20454545...）。^[4]この記述は10進数だけでなく、 2進数や16進数などの他のすべての整数の基数にも当てはまります（循環小数 § 他の基数への拡張を参照）。

有理数でない実数は無理数と呼ばれます。[ 5 ]^無理数には、 2の平方根 （⁠ ⁠ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$）、 π、e、黄金比（φ）などがあります。有理数の集合は可算であり、実数の集合は不可算であるため、ほとんどすべての実数は無理数です。^[1]

有理数体とは、整数 を含む唯一の体であり、整数を含む任意の体に含まれる。言い換えれば、有理数体は素体である。体が標数 0を持つのは、それが有理数を部分体として含む場合のみである。⁠ ⁠の有限拡大は代数体と呼ばれ、⁠ ⁠の代数的閉包は代数体である。^[6] ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

数学的解析において、有理数は実数の稠密な部分集合を形成する。実数は、コーシー列、デデキント切断、あるいは無限小数を用いて、有理数から完備化によって構成することができる（実数の構成を参照）。

用語

数学において、「有理的」は「有理数」を略した名詞としてよく使われます。形容詞「有理的」は、係数が有理数であることを意味する場合があります。例えば、有理点とは、有理座標を持つ点（つまり、座標が有理数である点）です。有理行列とは、有理数の行列ですが、要素が有理関数である行列を指すこともあります。有理多項式とは、有理係数を持つ多項式を指しますが、「有理数式上の多項式」という用語が一般的に好まれます。これは、「有理数式」と「有理関数」の混同を避けるためです（多項式は有理数式であり、係数が有理数でなくても有理関数を定義します）。しかし、有理曲線は 、有理数上で定義された曲線ではなく、有理関数によってパラメータ化できる曲線です。

語源

今日では有理数は比によって定義されますが、有理数という用語は比から派生したものではありません。むしろ、比は有理数から派生したものです。英語において、現代的な意味でのratioの最初の使用は1660年頃に確認されていますが^{[7] 、数を修飾する}ratioの使用はそれよりほぼ1世紀前の1570年に現れました^[8]。この有理数の意味は、1551年に初めて使用された数学的なirrationalの意味に由来し、「ユークリッドの翻訳（ ἄλογοςの独特の用法に従う）」で使用されました^{[9] [10] 。}

この異例の歴史は、古代ギリシャ人が「それらの（無理な）長さを数として考えることを禁じることで異端を避けた」という事実に由来しています。 ^[11]つまり、そのような長さは、非論理的という意味で無理数であり、「語ってはならない」（ギリシャ語でἄλογος）という意味です。^[12]

算術

既約分数

すべての有理数は、 aとbが互いに素な整数でb > 0であるとき、既約分数 ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\tfrac {a}{b}},}$として一意に表現できます。これはしばしば有理数の標準形と呼ばれます。

有理数⁠ ⁠ から始めて、その標準形は ${\displaystyle {\tfrac {a}{b}},}$aとb の両方をそれらの最大公約数で割り、b < 0の場合は、結果として得られる分子と分母の符号を変更することによって得られます。

整数の埋め込み

任意の整数n は有理数として表現することができ、これ ${\displaystyle {\tfrac {n}{1}},}$は有理数としての標準形です。

平等

${\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}}$もし、そして、もし、 ${\displaystyle ad=bc}$

両方の分数が標準形である場合、次のようになります。

${\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}}$かつ[ 13 ^] ${\displaystyle a=c}$ ${\displaystyle b=d}$

注文

両方の分母が正の場合（特に両方の分数が標準形の場合）：

${\displaystyle {\frac {a}{b}}<{\frac {c}{d}}}$もし、そして、もし、 ${\displaystyle ad<bc.}$

一方、分母のいずれかが負の場合、負の分母を持つ分数は、まず分子と分母の両方の符号を変更して、分母が正の分母を持つ同等の形に変換する必要があります。^[13]

追加

2 つの分数は次のように加算されます。

${\displaystyle {\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}={\frac {ad+bc}{bd}}.}$

両方の分数が標準形である場合、 bとdが互いに素な整数である場合にのみ、結果は標準形になります。^{[13] [14]}

減算

${\displaystyle {\frac {a}{b}}-{\frac {c}{d}}={\frac {ad-bc}{bd}}.}$

両方の分数が標準形である場合、 bとdが互いに素な整数である場合にのみ、結果は標準形になります。^[14]

乗算

掛け算のルールは次のとおりです。

${\displaystyle {\frac {a}{b}}\cdot {\frac {c}{d}}={\frac {ac}{bd}}.}$

ここで、元の分数が両方とも標準形であっても、結果は約分分数になる可能性がある。 ^{[13] [14]}

逆

すべての有理数には、その ${\displaystyle {\tfrac {a}{b}}}$反対数と呼ばれる加法的な逆数が存在する。

${\displaystyle -\left({\frac {a}{b}}\right)={\frac {-a}{b}}.}$

⁠ ⁠ ${\displaystyle {\tfrac {a}{b}}}$が標準形式である場合、その反対についても同様です。

非ゼロ有理数には ${\displaystyle {\tfrac {a}{b}}}$逆数（逆数とも呼ばれる）があり、

${\displaystyle \left({\frac {a}{b}}\right)^{-1}={\frac {b}{a}}.}$

⁠ ⁠ ${\displaystyle {\tfrac {a}{b}}}$が標準形である場合、その逆数の標準形は、aの符号に応じて⁠ ⁠ ${\displaystyle {\tfrac {b}{a}}}$または⁠ ⁠ の ${\displaystyle {\tfrac {-b}{-a}},}$いずれかになります。

分割

b、c、dが0でない場合、除算の規則は

${\displaystyle {\frac {\,{\dfrac {a}{b}}\,}{\dfrac {c}{d}}}={\frac {ad}{bc}}.}$

したがって、 を で割ることは、をの ${\displaystyle {\tfrac {a}{b}}}$逆数で ${\displaystyle {\tfrac {c}{d}}}$乗算することと同等で ${\displaystyle {\tfrac {a}{b}}}$ある[ 14 ^] ${\displaystyle {\tfrac {c}{d}}:}$

${\displaystyle {\frac {ad}{bc}}={\frac {a}{b}}\cdot {\frac {d}{c}}.}$

整数乗の累乗

nが非負の整数の場合、

${\displaystyle \left({\frac {a}{b}}\right)^{n}={\frac {a^{n}}{b^{n}}}.}$

結果は、同じことが当てはまる場合、標準形になります。 ${\displaystyle {\tfrac {a}{b}}.}$特に 、

${\displaystyle \left({\frac {a}{b}}\right)^{0}=1.}$

a ≠ 0 の場合、

${\displaystyle \left({\frac {a}{b}}\right)^{-n}={\frac {b^{n}}{a^{n}}}.}$

⁠ ⁠ ${\displaystyle {\tfrac {a}{b}}}$が標準形である場合、 a > 0またはnが偶数であれば、結果の標準形は⁠ ⁠ ${\displaystyle {\tfrac {b^{n}}{a^{n}}}}$です。それ以外の場合、結果の標準形は⁠ ⁠です。 ${\displaystyle {\tfrac {-b^{n}}{-a^{n}}}.}$

連分数表現

有限連分数とは次のような表現である。

${\displaystyle a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{\ddots +{\cfrac {1}{a_{n}}}}}}}}},}$

ここで、a n_は整数です。すべての有理数は有限 ${\displaystyle {\tfrac {a}{b}}}$連分数として表すことができ、その係数 a _{n は}ユークリッドの互除法を( a, b )に適用することで決定できます。

その他の表現

• 公分数: ⁠ ⁠ ${\displaystyle {\tfrac {8}{3}}}$
• 混合数字: ⁠ ⁠ ${\displaystyle 2{\tfrac {2}{3}}}$
• ビンキュラムを使った循環小数： ${\displaystyle 2.{\overline {6}}}$
• 括弧を使用した循環小数: ${\displaystyle 2.(6)}$
• 伝統的なタイポグラフィを使用した連分数: ${\displaystyle 2+{\tfrac {1}{1+{\tfrac {1}{2}}}}}$
• 短縮表記による連分数： ${\displaystyle [2;1,2]}$
• エジプト分数： ${\displaystyle 2+{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{6}}}$
• 素数分解： ${\displaystyle 2^{3}\times 3^{-1}}$
• 引用表記： ${\displaystyle 3'6}$

同じ有理数値を表す異なる方法です。

正式な建設

整数のペアの同値クラスの表現を示す図

有理数は整数の順序付きペアの同値類として構築することができる。^{[13] [14]}

より正確には、n ≠ 0となる整数のペア( m, n )の集合を⁠ ⁠ ${\displaystyle (\mathbb {Z} \times (\mathbb {Z} \setminus \{0\}))}$とする。この集合上で同値関係は次のように定義される。

${\displaystyle (m_{1},n_{1})\sim (m_{2},n_{2})\iff m_{1}n_{2}=m_{2}n_{1}.}$^{[13] [14]}

加算と乗算は次の規則によって定義できます。

${\displaystyle (m_{1},n_{1})+(m_{2},n_{2})\equiv (m_{1}n_{2}+n_{1}m_{2},n_{1}n_{2}),}$

${\displaystyle (m_{1},n_{1})\times (m_{2},n_{2})\equiv (m_{1}m_{2},n_{1}n_{2}).}$^[13]

この同値関係は合同関係であり、上で定義した加算と乗算と両立する。有理数集合は、この ${\displaystyle \mathbb {Q} }$同値関係によって定義される商集合に、上記の演算によって誘導される加算と乗算を加えたものである。（この構成は任意の ${\displaystyle (\mathbb {Z} \times (\mathbb {Z} \backslash \{0\}))/\sim ,}$整域で実行でき、その分数体を生成する。）^[13]

ペア( m, n )の同値類は次のように表されます。⁠ ⁠ ${\displaystyle {\tfrac {m}{n}}.}$ 2つのペア( m ₁ , n ₁ )と( m ₂ , n ₂ )が同じ同値類に属する（つまり、同値である）のは、次の場合のみです。

${\displaystyle m_{1}n_{2}=m_{2}n_{1}.}$

これはつまり

${\displaystyle {\frac {m_{1}}{n_{1}}}={\frac {m_{2}}{n_{2}}}}$

^{[13] [14]}の場合のみ

${\displaystyle m_{1}n_{2}=m_{2}n_{1}.}$

すべての同値類は無限個のペアで表現できる。 ${\displaystyle {\tfrac {m}{n}}}$

${\displaystyle \cdots ={\frac {-2m}{-2n}}={\frac {-m}{-n}}={\frac {m}{n}}={\frac {2m}{2n}}=\cdots .}$

各同値類は、一意の標準代表元を含む。標準代表元とは、同値類において、mとnが互いに素でn > 0となるような一意の対( m,n )である。これは有理数の最小項による表現と呼ばれる。

整数は有理数とみなされ、整数nは有理数と同一視される。 ${\displaystyle {\tfrac {n}{1}}.}$

有理数には、整数の自然順序を拡張した全順序が定義できる。

${\displaystyle {\frac {m_{1}}{n_{1}}}\leq {\frac {m_{2}}{n_{2}}}}$

もし

${\displaystyle {\begin{aligned}&(n_{1}n_{2}>0\quad {\text{and}}\quad m_{1}n_{2}\leq n_{1}m_{2})\\&\qquad {\text{or}}\\&(n_{1}n_{2}<0\quad {\text{and}}\quad m_{1}n_{2}\geq n_{1}m_{2}).\end{aligned}}}$

プロパティ

すべての有理数 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$の集合は、上に示した加算と乗算の演算とともに体を形成します。^[13]

⁠ ⁠ には恒等写像以外に ${\displaystyle \mathbb {Q} }$体自己同型性はありません。(体自己同型は 0 と 1 を固定する必要があります。2 つの固定された元の和と差を固定する必要があるため、すべての整数を固定する必要があります。2 つの固定された元の商を固定する必要があるため、すべての有理数を固定する必要があります。したがって、体自己同型は恒等写像です。)

⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$は素体であり、それ自身以外に部分体を持たない体である。^[15]有理数は、標数0 を持つ最小の体である。すべての標数 0 の体には、 ⁠ ⁠と同型な一意の部分体が含まれる。 ${\displaystyle \mathbb {Q} .}$

上記で定義された順序では、⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$はそれ自身以外の部分体を持たず、すべての順序体が⁠ ⁠と同型の一意の部分体を持つという意味で最小の順序体である[ ^{14 ]。} ${\displaystyle \mathbb {Q} .}$

⁠ ⁠は ${\displaystyle \mathbb {Q} }$整数の分数の体である⁠ ⁠ ^[16] ⁠ ⁠の代数的閉包、すなわち有理多項式の根の体とは、代数的数の体である。 ${\displaystyle \mathbb {Z} .}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$

有理数は密に順序付けられた集合である。つまり、任意の2つの有理数の間には、さらに別の有理数が存在し、したがって、無限に多くの有理数が存在する。^[13]例えば、任意の2つの分数に対して、

${\displaystyle {\frac {a}{b}}<{\frac {c}{d}}}$

（正）の場合、 ${\displaystyle b,d}$

${\displaystyle {\frac {a}{b}}<{\frac {a+c}{b+d}}<{\frac {c}{d}}.}$

可算で稠密（上記の意味で）であり、最小元や最大元を持たない任意の全順序集合は、有理数と順序同型である。 ^[17]

可算性

正有理数の可算性の説明

図に示すように、 正の有理数の集合は可算です。

より正確には、分子と分母の和の値が大きくなるにつれて分数を並べ、和が等しい場合は分子または分母のどちらか一方が大きくなるほど分数を並べることができます。こうして得られる分数の列から、約分可能な分数（図の赤色で示した部分）を取り除くと、各有理数がちょうど1つだけ含まれる列が得られます。これにより、有理数と自然数の間に一対一の関係が成立し、各有理数が列内の順位に対応付けられます。

同様の方法を使用して、すべての有理数（正と負）を番号付けできます。

すべての有理数の集合は可算であり、すべての実数の集合（および無理数の集合）は不可算であるため、有理数の集合は空集合である。つまり、ほとんどすべての実数は、ルベーグ測度の意味で無理数である。^[18]

実数と位相的性質

有理数は実数の稠密な部分集合であり、すべての実数にはそれに近い有理数が存在します。^[13]関連する性質として、有理数は正則連分数として有限展開できる唯一の数であるという点があります。^[19]

実数の通常の位相では、有理数は開集合でも閉集合でもない。^[20]

有理数は、その順序により、順序位相を持ちます。有理数は、実数の部分空間として、部分空間位相を持ちます。有理数は、絶対差計量を使用して距離空間を形成し、これにより、 ⁠ ⁠上の3番目の位相が生成されます。3つの位相はすべて一致し、有理数を位相体に変換します。有理数は、局所コンパクトではない空間の重要な例です。有理数は、孤立点のない唯一の可算計量化可能空間として位相的に特徴付けられます。この空間はまた、完全に分離されています。有理数は完全な計量空間を形成せず、実数は上記の計量の下での⁠ ⁠の完備化です。^[14] ${\displaystyle d(x,y)=|x-y|,}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} .}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle d(x,y)=|x-y|}$

p-進数

上記の絶対値メトリックに加えて、⁠ ⁠ を ${\displaystyle \mathbb {Q} }$位相体に変換する他のメトリックも存在します。

p を素数とし、任意の 0 以外の整数aに対して、pを^{n で}割る最大のpのべき乗とします。 ${\displaystyle |a|_{p}=p^{-n},}$

任意の有理数に対して、次のように設定する。 ${\displaystyle |0|_{p}=0.}$ ${\displaystyle {\frac {a}{b}},}$

${\displaystyle \left|{\frac {a}{b}}\right|_{p}={\frac {|a|_{p}}{|b|_{p}}}.}$

それから

${\displaystyle d_{p}(x,y)=|x-y|_{p}}$

⁠ ⁠ ^[21]の指標を定義する ${\displaystyle \mathbb {Q} .}$

計量空間⁠ ⁠ ${\displaystyle (\mathbb {Q} ,d_{p})}$は完全ではなく、その完備化はp進数体 ⁠ ⁠です。 ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}.}$ オストロフスキーの定理によれば、有理数⁠ ⁠上の任意の非自明な絶対値は、通常の実絶対値またはp進絶対値のいずれかに等しいとされています。 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

参照

• 二項有理数
• 浮動小数点
• フォードサークル
• ガウス有理数
• ナイーブ高さ - 有理数の最小項における高さ
• ニーヴンの定理
• 有理データ型

自然数（ℕ）、整数（ℤ）、有理数（ℚ）、実数（ℝ）、複素数（ℂ）間の包含関係

参考文献

1. Rosen, Kenneth (2007). 『離散数学とその応用（第6版）』 ニューヨーク：McGraw-Hill. pp. 105, 158–160 . ISBN 978-0-07-288008-3。
2. ラス、ハリー (2009). 『純粋数学と応用数学の原点』（イラスト入り）. クーリエ社. p. 382. ISBN 978-0-486-47186-0。382ページの抜粋
3. ロビンソン、ジュリア (1996). 『ジュリア・ロビンソン全集』アメリカ数学会 p. 104. ISBN 978-0-8218-0575-6。104ページの抜粋
4. 「有理数」.ブリタニカ百科事典. 2020年8月11日閲覧。
5. Weisstein, Eric W. 「有理数」. Wolfram MathWorld . 2020年8月11日閲覧。
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7. オックスフォード英語辞典（第2版）. オックスフォード大学出版局. 1989年.エントリー比率、名詞、2.a の意味。
8. オックスフォード英語辞典（第2版）. オックスフォード大学出版局. 1989年.エントリーrational、a. (adv.)およびn. ¹、意味 5.a.
9. オックスフォード英語辞典（第2版）. オックスフォード大学出版局. 1989年.エントリ無理数、a.およびn.、意味 3。
10. Shor, Peter (2017年5月9日). 「有理数は比から来るのか、それとも比は有理数から来るのか」. Stack Exchange . 2021年3月19日閲覧。
11. クールマン、ロバート (2016年1月29日). 「数学的迷信がいかにして1000年以上も代数学を愚弄してきたか」 . 2021年3月20日閲覧。
12. クレイマー、エドナ (1983). 『現代数学の本質と成長』プリンストン大学出版局. p. 28.
13. ビッグス、ノーマン・L. (2002).離散数学. インド: オックスフォード大学出版局. pp.  75– 78. ISBN 978-0-19-871369-2。
14. 「分数 - 数学百科事典」. encyclopediaofmath.org . 2021年8月17日閲覧。
15. 数学会（1993年）『数学百科事典 第1巻』ロンドン、イギリス：MIT出版、p.578、ISBN 0-2625-9020-4。
16. Bourbaki, N. (2003).代数II: 第4章 - 第7章. Springer Science & Business Media. p. A.VII.5.
17. Giese, Martin; Schönegge, Arno (1995年12月). 任意の2つの可算な稠密順序集合は端点なしで同型である - KIVによる形式的証明(PDF) (技術レポート) . 2021年8月17日閲覧。
18. ロイデン、ハルゼー; フィッツパトリック、パトリック (2017年2月13日).実分析（第4版）. ピアソン. pp.  7– 54. ISBN 9780134689494。
19. アンソニー・ヴァザナ、デイヴィッド・ガース (2015). 『数論入門（第2版、改訂版）』CRC Press. p. 1. ISBN 978-1-4987-1752-6。1ページの抜粋
20. リチャード・A・ホルムグレン (2012). 『離散動的システム入門（第2版、イラスト入り）』 シュプリンガー・サイエンス＆ビジネス・メディア. p. 26. ISBN 978-1-4419-8732-7。26ページの抜粋
21. Weisstein, Eric W. 「p進数」. Wolfram MathWorld . 2021年8月17日閲覧。

注記

外部リンク

• 「有理数」数学百科事典、EMSプレス、2001 [1994]
• MathWorldの「有理数」 - Wolfram Webリソース

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