12平均律

ハ長調の12音平均律半音階、1オクターブ上昇。シャープのみで表記。上昇と下降を演奏してくださいⓘ

12平均律（12-ET）[a]は、オクターブを12の部分に分割し、すべての音程が対数スケール上で均等に平均律化（等間隔）され、その比率は2の12乗根（≈1.05946）に等しくなります。結果として得られる最小の音程、つまり1オクターブの幅の1/12は、半音または半音と呼ばれます。

平均律は、今日の音楽で最も広く普及しているシステムです。18世紀以降、古典音楽に始まり、西洋音楽の主要な調律システムであり、それ以前の数千年の間、ヨーロッパではほぼ独占的にその近似値を使用していました。[要出典]他の文化でも使用されてきました

では、12-ETは通常、 A440と呼ばれる440Hzの標準ピッチを基準に調律されます。これは、A4 （典型的な88鍵ピアノの4オクターブのA ）の1つの音符が440ヘルツに調律され、他のすべての音符は、それより高いか低い周波数の半音の倍数として定義されることを意味します。標準ピッチは常に440Hzであったわけではありません。過去数百年の間に変化し、一般的に上昇しています。[1]

歴史

十二音平均律の正確な計算を成し遂げたとよく称される二人は、1584年の朱載堉（チュー・ツァイユ、中国語：朱載堉）と1585年のシモン・ステヴィンである。この理論の批判者であるフリッツ・A・クットナーによると[2]、「朱載堉は1584年に、平均律の単和音の算術計算のための非常に正確で簡素かつ独創的な方法を提示した」のに対し、「シモン・ステヴィンは1585年以降、平均律の数学的定義と、それに対応する数値の計算法をやや不正確ながら提示した」とされている。この二つの発展は独立して起こった[3] 。

ケネス・ロビンソンは平均律の発明を朱在玉[4]に帰し、証拠として文献の引用を挙げている。[5]朱在玉は1584年の文献の中で、「私は新しい体系を創始した。私は1つのフィートを他のフィートを抜き出すための数字として設定し、比率を用いてそれらを抜き出す。合計で12の演算でピッチパイパーの正確な数値を見つけなければならない。」と述べていると引用されている。[5]クットナーはこれに反対し、彼の主張は「大きな制限なしには正しいとは考えられない」と述べている。[2]クットナーは、朱在玉もシモン・ステヴィンも平均律を達成しておらず、どちらも発明者として扱われるべきではないと主張している。[3]

中国

初期の歴史

曽の易侯（戦国時代初期、紀元前5世紀頃、中国青銅器時代）の墓で発見された多くの楽器の中に、青銅製の鐘の完全なセットがあり、ハ 長調の7音5オクターブをカバーし、音域の中央に12の半音が含まれています。[6]

平均律の近似値は、370年から447年まで生きた南北朝時代の数学者、何承天 [zh]によって記述されました。 [7]彼は、歴史上最も古い平均律に関する近似的な数値列を提唱しました。900、849、802、758、715、677、638、601、570、536、509、5、479、450です。[8]

朱在玉

朱在玉親王が製作した12弦平均律楽器の正面と背面

明の宮廷王子、朱載堉は、父が提唱した平均律の考えに基づき、30年にわたる研究を行った。彼は1580年に出版した『音楽と暦の融合律暦融通』の中で、新たな音程理論を詳述した。続いて1584年には、5000ページに及ぶ著書『音楽と音程の完全概論』（Yuelü quan shu樂律全書）の中で、12-ETの正確な数値仕様を記した新平均律理論の詳細な説明を刊行した。 [9]ジョセフ・ニーダムも、より詳細な説明を行っている。[5]朱は、弦と管の長さを12√2≈1.059463で割り、管の長さを24√2で割ることで、数学的にこの結果を導き出した。[10]つまり、 12回（1オクターブ）割った後、長さは2で割られる。

同様に、84分割（7オクターブ）後、長さは128で割られます。

朱在玉は、平均律問題を数学的に解いた最初の人物とされています。[11]少なくとも1人の研究者は、中国のイエズス会士マッテオ・リッチがこの研究を個人的な日記に記録し[11] [12]、ヨーロッパに伝えた可能性があると提唱しています。（このテーマに関する標準的な資料には、そのような伝達については何も言及されていません。[13]）1620年、朱の研究はヨーロッパの数学者によって参照されました。[誰？ ] [12]マレー・バーバーは、「平均律の正しい数値が印刷物で初めて登場したのは中国であり、蔡禹親王の素晴らしい解決策は依然として謎に包まれている」と述べています。[14] 19世紀のドイツの物理学者ヘルマン・フォン・ヘルムホルツは、『音の感覚について』の中で、中国の王子（下記参照）が7音階を導入し、オクターブを12の半音に分割することが中国で発見されたと書いています[15]

朱在玉王の平均律音階パイプ

朱在玉は、平均律理論を説明するために、3オクターブの竹製調弦管36本を製作しました。竹の種類、塗料の色、長さ、内径、外径の詳細な仕様が指示されていました。また、12弦の調弦楽器も製作し、その底部の空洞に調弦用のピッチパイプが隠されていました。1890年、ブリュッセル音楽院の学芸員であるヴィクトル＝シャルル・マヒヨンは、朱在玉の仕様に基づいてピッチパイプのセットを複製しました。彼は、中国の音階理論は西洋の理論よりもピッチパイプの長さについてよりよく理解しており、在玉のデータに基づいて複製されたパイプのセットは、この理論の正確さを証明すると述べました。

ヨーロッパ

サイモン・ステヴィン作『歌唱法のファン・デ・シュピーゲリング 』 1605年頃

初期の歴史

平均律に関する最も初期の議論の一つは、紀元前4世紀のアリストクセノスの著作の中に見られます。 [16]

ヴィンチェンツォ・ガリレイ（ガリレオ・ガリレイの父）は、十二音平均律を実践的に提唱した最初の人物の一人である。彼は、あらゆる「移調調」における半音階の12音それぞれに舞踏組曲を作曲し、1584年に出版した『フロニモ』の中で、24+1のリチェルカーレを出版した。[17]彼はリュートのフレット比を18:17とした（ただし、純正なオクターブには多少の調整が必要だった）。[18]

ガリレイの同郷で、同じくリュート奏者のジャコモ・ゴルザニスは、1567年までに平均律に基づいた音楽を作曲していた。 [19]ゴルザニスは、すべての旋法や調性を探求した唯一のリュート奏者ではなかった。フランチェスコ・スピナチーノは、早くも1507年に「全音階のリチェルカーレ」を作曲している。 [20] 17世紀には、リュート奏者で作曲家のジョン・ウィルソンが、長調と短調の24曲を含む、30曲の前奏曲集を作曲した。[21] [22]ヘンリクス・グラマテウスは、1518年に平均律に近い音楽を作曲した。平均律における最初の調律規則は、ジョヴァンニ・マリア・ランフランコが「音楽のきらめき」で示した。[23]ツァルリーノはガリレイとの論争において当初平均律に反対していましたが、 1588年に著した『Sopplimenti musici』の中でリュートに関して最終的にそれを認めました。

サイモン・ステヴィン

西洋における2の12乗根に関する平均律の最初の言及は、シモン・ステヴィンの手稿『Van de Spiegheling der singconst』（1605年頃）に見られ、これは死後約3世紀後の1884年に出版されました。[24]しかし、計算の精度が不十分だったため、彼が得たコード長の数値の多くは正しい値から1つまたは2つの単位ずれていました。[13]その結果、シモン・ステヴィンのコードの周波数比は統一された比率ではなく、音ごとに1つの比率を持ち、ジーン・チョーはこれを誤りであると主張しています。[25]

以下は、シモン・ステヴィンの『Van de Spiegheling der singconst』からのコード長です。[26]

音サイモン・ステヴィンのコード10000比率修正されたコード
半音94381.05954659438.7
全音89091.0593781
1.5全音84041.06009048409
2全音79361.05947587937
2.5全音74911.05940467491.5
3全音70711.05939757071.1
3.5全音66741.05948456674.2
4全音62981.05970146299
4.5全音59441.05955585946
5全音56111.05934775612.3
五音半52961.05947885297.2
全音1.0592000

一世代後、フランスの数学者マラン・メルセンヌは、ジャン・ボーグラン、イスマエル・ブイヨー、ジャン・ガレによって得られた平均律の和音の長さをいくつか提示しました。[27]

1630年、ヨハン・ファウルハーバーは100セントのモノコード表を発表しましたが、対数表を使用したため、いくつかの誤りがありました。彼はどのようにして結果を得たのかを説明していませんでした。[28]

バロック時代

1450年から1800年頃まで、撥弦楽器の演奏者（リュート奏者とギタリスト）は一般的に平均律を好んでおり、[29] 17世紀最後の四半期に編纂されたブロサールのリュート手稿には、ボッケ作とされる18のプレリュードがすべての調で書かれており、その中にはすべての調で異名同音に転調するPrélude sur tous les tonsと題された最後のプレリュードも含まれている[30] [明確化が必要] 。 アンジェロ・ミケーレ・バルトロッティは、異名同音に転調するパッセージを繋げたすべての調のパッサカリアのシリーズを出版した。17世紀の鍵盤楽器の作曲家では、ジローラモ・フレスコバルディが平均律を提唱した。ジュゼッペ・タルティーニなど一部の理論家は平均律の採用に反対した。彼らは、各和音の純粋さを低下させることは音楽の美的魅力を低下させると感じていたが、アンドレアス・ヴェルクマイスターは1707年に死後に出版された論文の中で平均律を強く主張していた。[31]

十二音平均律が定着したのには様々な理由があります。既存の鍵盤設計に適合し、あらゆる音程、特に不完全協和音に適度な不純度を課すことで、完全な和声の自由を可能にしました。これにより、異名同音の転調による表現力が向上し、これは18世紀にフランチェスコ・ジェミニアーニ、ヴィルヘルム・フリーデマン・バッハ、カール・フィリップ・エマヌエル・バッハ、ヨハン・ゴットフリート・ミューテルなどの作曲家の音楽において非常に重要になりました。[要出典]十二音平均律には不完全三度などいくつかの欠点がありましたが、ヨーロッパが平均律に移行すると、そのシステムに対応し、不協和音を最小限に抑えるために作曲された音楽が変更されました。[b]

18 世紀半ば以降の平均律の発展については、現代の学術出版物で詳細に説明されている。平均律は、古典派時代 (18 世紀後半) にはすでに好んで用いられていた[要出典] 。また、初期ロマン派時代 (19 世紀最初の 10 年間) には標準音律となった[要出典]。ただし、オルガンでは徐々に平均律に移行し、完成したのは 19 世紀最初の 10 年間になってからである。(イギリスでは、それ以降も一部の大聖堂のオルガン奏者や聖歌隊指揮者が平均律に反対していた。例えば、サミュエル・セバスチャン・ウェスレーはずっと反対していた。彼は 1876 年に亡くなった。) [要出典]

17世紀のサバティーニ法を用いると、オクターブをまず3つの平均律の長3度に分割する正確な平均律が可能です。[32]これは古典派時代にも複数の作曲家によって提案されました。拍子を使わず、複数のチェックを用いて実質的に現代的な精度を達成する調律は、19世紀の最初の数十年間にすでに行われていました。[33] 1749年に最初に提案された拍子の使用は、19世紀後半にヘルムホルツとエリスによって普及した後、一般的になりました。[34]究極の精度は、1917年にホワイトによって出版された2つの10進表によって可能になりました。[35]

平均律の環境において、対称的な調性と多調性、十二音技法やセリアリズムで書かれた無調音楽、そしてジャズ（少なくともピアノの要素）といった新しいスタイルが発展し、繁栄しました。

半音の歴史的な近似値の比較

YearName比率[36]セント
400何成天1.060070671101.0
1580Vincenzo Galilei18:17 [1.058823529]99.0
1581朱在玉1.059463094100.0
1585サイモン・ステヴィン1.059546514100.1
1630Marin Mersenne1.05932203499.8
1630Johann Faulhaber1.059490385100.0

数学的性質

単弦における

オクターブを12等分する12音平均律では、半音の幅、つまり隣接する2つの音符間の音程の周波数比は、 2の12乗根です。

この音程は100セントに分割されます。

絶対周波数の計算

12音平均律の音符の周波数P nを求めるには、次の定義を使用できます

この式で、P n は求めようとしているピッチ、または周波数（通常はヘルツ単位）を表します。P a は基準ピッチの周波数を表します。nとa は、それぞれ目的のピッチと基準ピッチに割り当てられた数値を表します。これらの2つの数値は、連続する半音に割り当てられた連続した整数のリストからのものです。たとえば、A 4（基準ピッチ）はピアノの左端から49番目の鍵盤（440 Hzに調律）であり、C 4（中央のC）とF# 4はそれぞれ40番目と46番目の鍵盤です。これらの数値を使用して、C 4とF# 4の周波数を求めることができます。

純正律

12-ETで近似された5-極限純正律

12-ETの音程は純正律の音程に非常に近い。[37]

極限によって

12ETは3度の限界では非常に正確ですが、素数限界を11まで上げると、半音の6分の1ずつ徐々に悪化します。11度と13度の倍音は非常に不正確です。12ETの17度と19度の倍音は3度倍音とほぼ同じくらい正確ですが、この時点では素数限界が高くなりすぎて、ほとんどの人にとって協和音に聞こえません。[要出典]

3度の限界

12ETは完全5度（ 3 /2 ）とその転回形である完全4度（ 4 /3⁠）、特にオクターブを比較的少数の音に分割する場合に使用されます。具体的には、純正完全五度は平均律近似値よりも半音の51分の1だけ高いだけです。長音（⁠ 9 /8⁠）は単に完全五度2つから1オクターブを引いたものであり、その反転であるピタゴラス短七度（⁠ 16 /9⁠）は、単に2つの完全4度音程を組み合わせたものですが、ほとんどの場合、以前の音程音程の精度を維持しています。誤差は2倍になりますが、小さいままです。実際、人間が知覚できないほど小さいです。3のより大きな累乗の分数を使い続けることもできます。次の2つは⁠ 27 /16⁠と⁠ 32 /27⁠ですが、分数の項が大きくなるにつれて、耳に心地よくなくなります。[要出典]

5限界

12 ETによる5倍音の近似（⁠ 5 /4⁠）は約7分の1半音ずれています。音階の4分の1未満の音程でも調律は保たれるため、12 ETの他の5つの限界音程、例えば 5 /3⁠と⁠ 8 /5⁠も同様の大きさの誤差があります。したがって、長三和音は周波数比が約4:5:6であるため調律が保たれ、さらに、その第1転回形と2つのサブオクターブ主音を加えると1:2:3:4:5:6となり、ベース音の最も低い6つの自然倍音がすべて揃います。[要出典]

7限界

12 ETによる第7倍音の近似値（⁠ 7 /4⁠）は約半音の3分の1ずれています。誤差が半音の4分の1よりも大きいため、12音律における7つの限界音程は調子が狂って聞こえる傾向があります。全音分数では、 ⁠ 7 /5⁠と⁠ 10 /7⁠、5番目と7番目の倍音の誤差は部分的に打ち消し合うため、純正分数は平均律の等分音程の4分の1半音以内になります。[要出典]

11番目と13番目の限界

11番目の倍音（⁠ 11 /8⁠）は551.32セントで、12音律における最も近い2つの平均律音程のほぼちょうど中間に位置し、どちらにも近似されません。実際、⁠ 11 /8⁠は12音律における平均律の近似値から可能な限り離れています。13番目の倍音（⁠ 13 /8短6度より半音の5分の2高い音程の音程（⁠）も、ほぼ同じくらい不正確です。これは、分数が 13 /11⁠ とその反転（⁠ 22 /13）であることを⁠）は正確に近似（具体的には3半音ずつ）されるため、11次倍音と13次倍音の誤差はほとんど打ち消されるため、4分音階や微分音階に精通していないほとんどの人は、11次倍音と13次倍音に精通していないでしょう。同様に、11次または13次倍音の誤差は7次倍音の誤差によってほとんど打ち消されますが、12倍音階法はそれらを正確に近似しない​​ため、ほとんどの西洋の音楽家は結果として得られる分数が子音であるとは感じないでしょう。[要出典]

17次と19次の限界

17次倍音（⁠ 17 /16⁠）は、12倍音階法の1半音よりも約5セントだけ高いです。これを12倍音階法の3次倍音の近似と組み合わせることで、⁠ 17 /12⁠、これは⁠の次のペル近似として 7 /5⁠、平均律の三全音（2の平方根）からわずか3セント離れており、⁠ 17 /9⁠、これは12ETの長七度からわずか1セント離れています。19倍音は12ETの半音のうち3つよりも約2.5セント低いため、同様に3倍音と組み合わせて⁠ 19 /12⁠、これは平均律の短六度よりも約4.5セント低いため、⁠ 19 /18これは半音より約6.5セント低いです。しかし、17と19は協和音比としてはやや大きく、ほとんどの人は17限界音程と19限界音程に馴染みがないため、17限界音程と19限界音程はほとんどの目的には役に立たず、12音律の協和音に役割を果たしているとは判断されない可能性があります。[要出典]

表

次の表では、様々な純正律の音程の大きさを平均律の音程と比較し、比率とセントで示しています。6セント未満の差はほとんどの人には気づかず、4分の1音（この場合は25セント）を超える音程は調子が狂って聞こえます。[要出典]

半音の数Cから上がる音符12音律での正確な値12音律での小数値平均律オーディオセント純正律音程名純正律音程分数純正律オーディオ純正律のセント差
0C2 0 ⁄ 12 = 11演奏ⓘ0ユニゾン1 ⁄ 1 = 1演奏ⓘ00
1C ＃またはD ♭2 1 ⁄ 12 =1.05946...演奏ⓘ1007度3度音28 ⁄ 27 = 1.03703...演奏ⓘ62.96-37.04
純正半音25 ⁄ 24 = 1.04166...演奏ⓘ70.67-29.33
10進法半音22 ⁄ 21 = 1.04761...演奏ⓘ80.54−19.46
7度半音21 ⁄ 20 = 1.05演奏ⓘ84.47−15.53
11度半音20 ⁄ 19 = 1.05263...演奏ⓘ88.80−11.20
ピタゴラス音階半音256 ⁄ 243 = 1.05349...演奏ⓘ90.22xwx−9.78
より大きな半音135 ⁄ 128 = 1.05468...演奏ⓘ92.18−7.82
11度全音階半音19 ⁄ 18 = 1.05555...演奏ⓘ93.60−6.40
70進法半音18 ⁄ 17 = 1.05882...演奏ⓘ98.95−1.05
17倍音17 ⁄ 16 = 1.0625...演奏ⓘ104.96+4.96
純正全音半音16 ⁄ 15 = 1.06666...演奏ⓘ111.73+11.73
ピタゴラス音階半音2187 ⁄ 2048 = 1.06787...演奏ⓘ113.69+13.69
7度音階全音半音15 ⁄ 14 = 1.07142...演奏ⓘ119.44+19.44
2/3音階（短三十進法）14 ⁄ 13 = 1.07692...演奏ⓘ128.30+28.30
長全音階半音27 ⁄ 25 = 1.08演奏ⓘ133.24+33.24
2D2 2 ⁄ 12 = 1.12246...演奏ⓘ200ピタゴラス音階の減三度65536 ⁄ 59049 = 1.10985...演奏ⓘ180.45−19.55
短音10 ⁄ 9 = 1.11111...演奏ⓘ182.40−17.60
長音9 ⁄ 8 = 1.125演奏ⓘ203.91+3.91
全音七分音 8⁄ 7 = 1.14285...playⓘ231.17+31.17
3DまたはE ♭2 3 ⁄ 12 = 1.18920...playⓘ3007度短37 ⁄ 6 = 1.16666...playⓘ266.87-33.13
316度短3度13 ⁄ 11 = 1.18181...playⓘ289.21-10.79
ピタゴラスの短3度32 ⁄ 27 = 1.18518...playⓘ294.13-5.87
19度倍音19 ⁄ 16 = 1.1875playⓘ297.51-2.49
純正な短3度6 ⁄ 5 = 1.2playⓘ315.64+15.64
ピタゴラスの増二度19683 ⁄ 16384 = 1.20135...playⓘ317.60+17.60
4E2 4 ⁄ 12 = 1.25992...playⓘ400ピタゴラスの減四度8192 ⁄ 6561 = 1.24859...playⓘ384.36−15.64
純正長三度5 ⁄ 4 = 1.25playⓘ386.31-13.69
ピタゴラスの長三度81 ⁄ 64 = 1.265625playⓘ407.82+7.82
半小数長三度14 ⁄ 11 = 1.27272...Playⓘ417.51+17.51
長7度9 ⁄ 7 = 1.28571...playⓘ435.08+35.08
5F2 5 ⁄ 12 = 1.33484...playⓘ500完全4度4 ⁄ 3 = 1.33333...playⓘ498.04-1.96
ピタゴラス増3度177147 ⁄ 131072 = 1.35152...playⓘ521.51+21.51
6ファ＃またはソ♭2 6 ⁄ 12 = 1.41421...playⓘ600古典的な増4度25 ⁄ 18 = 1.38888...playⓘ568.72−31.28
ホイヘンスの三全音7 ⁄ 5 = 1.4playⓘ582.51−17.49
ピタゴラスの減5度1024 ⁄ 729 = 1.40466...playⓘ588.27−11.73
純正増4度 45⁄ 32 = 1.40625Playⓘ590.22−9.78
Just diminished fifth 64⁄ 45 = 1.42222...playⓘ609.78+9.78
Pythagorean augmented fourth 729⁄ 512 = 1.42382...playⓘ611.73+11.73
Euler's tritone 10⁄ 7 = 1.42857...Playⓘ617.49+17.49
Classic diminished fifth 36⁄ 25 = 1.44playⓘ631.28+31.28
7 G2 7⁄ 12 = 1.49830...playⓘ700Pythagorean diminished sixth 262144⁄ 177147 = 1.47981...playⓘ678.49−21.51
Just perfect fifth 3⁄ 2 = 1.5playⓘ701.96+1.96
8 G♯ or A♭2 8⁄ 12 = 1.58740...playⓘ800Septimal minor sixth 14⁄ 9 = 1.55555...playⓘ764.92−35.08
Undecimal minor sixth 11⁄ 7 = 1.57142...playⓘ782.49−17.51
Pythagorean minor sixth 128⁄ 81 = 1.58024...playⓘ792.18−7.82
Just minor sixth 8⁄ 5 = 1.6playⓘ813.69+13.69
Pythagorean augmented fifth 6561⁄ 4096 = 1.60180...playⓘ815.64+15.64
9 A2 9⁄ 12 = 1.68179...playⓘ900Pythagorean diminished seventh 32768⁄ 19683 = 1.66478...playⓘ882.40−17.60
Just major sixth 5⁄ 3 = 1.66666...playⓘ884.36−15.64
Nineteenth subharmonic 32⁄ 19 = 1.68421...playⓘ902.49+2.49
Pythagorean major sixth 27⁄ 16 = 1.6875playⓘ905.87+5.87
長6度12 ⁄ 7 = 1.71428...Playⓘ933.13+33.13
10A ＃またはB ♭2 10 ⁄ 12 = 1.78179...playⓘ1000和声的7度7 ⁄ 4 = 1.75playⓘ968.83−31.17
ピタゴラスの短7度16 ⁄ 9 = 1.77777...playⓘ996.09−3.91
大短7度9 ⁄ 5 = 1.8playⓘ1017.60+17.60
ピタゴラスの増6度59049 ⁄ 32768 = 1.80203...playⓘ1019.55+19.55
11B2 11 ⁄ 12 = 1.88774...playⓘ110031進法の中立7度13 ⁄ 7 = 1.85714...playⓘ1071.70−28.30
ピタゴラス音階の減オクターブ4096 ⁄ 2187 = 1.87288...演奏ⓘ1086.31-13.69
純正な長七度15 ⁄ 8 = 1.875演奏ⓘ1088.27−11.73
17度低調波32 ⁄ 17 = 1.88235...演奏ⓘ1095.04−4.96
ピタゴラスの長7度243 ⁄ 128 = 1.89843...演奏ⓘ1109.78+9.78
7度音程の長7度27 ⁄ 14 = 1.92857...演奏ⓘ1137.04+37.04
12C2 12 ⁄ 12 = 2 2演奏ⓘ1200オクターブ2 ⁄ 1 = 2演奏ⓘ1200.000

コンマ

12-ETはいくつかのコンマを省略します。つまり、 ⁠ 1 /1⁠に近い分数がいくつかあり、 ⁠として扱われます 1 /112-ETでは、異なる分数を同じ平均律の音程にマッピングするため、⁠ によって区別されます。例えば、⁠729/512⁠ ( ⁠ 3 6 /2 9⁠ ) と⁠ 1024 /729⁠ ( ⁠ 2 10 /3 6⁠ ) はそれぞれ三全音にマッピングされるため、名目上は同じ音程として扱われます。したがって、それらの商、⁠531441/ 524288 ⁠ ( ⁠ 3 12 /2 19⁠ ) はユニゾンにマッピング/扱われます。これはピタゴラス・コンマであり、12-ETで唯一の3限界コンマです。しかし、素数限界を増やしてより多くの音程を含めると、コンマの数が増えます。12-ETで最も重要な5限界コンマは⁠81/ 80 ⁠ ( ⁠3 4/ 2 4 × 5 1 ⁠ ）はシントニック・コンマとして知られ、ピタゴラスの3度と6度とそれらの純正な対応物との間の因数です。12-ETの他の5限界コンマには以下が含まれます。

  • シスマ：⁠32805/ 32768 ⁠ = ⁠ 3 8 × 5 1 /2 15⁠ = ( ⁠531441/ 524288 ⁠ ) 1 × ( ⁠81/ 80 ⁠ ) −1
  • ディアスキスマ：⁠2048/ 2025 ⁠ = ⁠2 11/ 3 4 × 5 2 ⁠ = ( ⁠531441/ 524288 ⁠ ) −1 × ( ⁠81/ 80 ⁠ ) 2
  • 小ディシス：⁠128/ 125 ⁠ = ⁠ 2 7 /5 3⁠ = ( ⁠531441/ 524288 ⁠ ) −1 × ( ⁠81/ 80 ⁠ ) 3
  • 大ディシス：⁠648/ 625 ⁠ = ⁠ 2 3 × 3 4 /5 4⁠ =( ⁠531441/ 524288 ⁠ ) −1 × ( ⁠81/ 80 ⁠ ) 4

12-ETが調整する7つの限界コンマの1つは、セプティマルクレイスマで、これは⁠225/ 224 ⁠、または⁠ 3 2 ×5 2 /2 5 × 7 112-ETの他の7制限コンマには以下が含まれます。

  • 7分音符セミコンマ： 126/ 125 ⁠ = ⁠ 2 1 × 3 2 × 7 1 /5 3⁠ = ( ⁠81/ 80 ⁠ ) 1 × ( ⁠225/ 224 ⁠ ) −1
  • アルキタス・コンマ：⁠64/ 63 ⁠ = ⁠2 6/ 3 2 × 7 1 ⁠ = ( ⁠531441/ 524288 ⁠ ) −1 × ( ⁠81/ 80 ⁠ ) 2 × ( ⁠225/ 224 ⁠ ) 1
  • 7分音符四分音：⁠36/ 35 ⁠ = ⁠ 2 2 × 3 2 /5 1 × v7 1⁠ = ( ⁠531441/ 524288 ⁠ ) −1 × ( ⁠81/80 ) 3 × ( ⁠225/ 224 ⁠ ) 1
  • ジュビリスマ：⁠50/ 49 ⁠ = ⁠ 2 1 × 5 2 /7 2 ⁠ = ( ⁠531441/ 524288 ⁠ ) −1 × ( ⁠81/ 80  ) 2 × ( ⁠225/ 224 ⁠ ) 2

音階図

12-EDOの五度圏（長調と短調を表示）

旋法

イオニア旋法（長音階）

調号音階フラット数調号音階フラット数
B♭長調B♭CDE♭FGA2C♭長調C♭DE♭FGAロ14
ヘ長調FGAB♭CDミ1ト長調GAロC♭DE♭ファ13
調号音階シャープの数調号音階フラット数
ハ長調CDミFGAロ0（シャープとフラットなし）ニ長調DE♭ファGAロハ12
ト長調GAロCDミファ1イ長調AロハDE♭ファソ11
ニ長調DミファGAロハ2ホ長調E♭ファソAロハニ10
イ長調AロハDミファソ3ロ長調ロハニE♭ファソイ9
ホ長調ミファソAロハニ4ファファソイロハニE♭8
ロ長調ロハニミファソイ5ハ長調ハニE♭ファソイB♭7
ファファソイロハニイ6ト長調ソイB♭ハニE♭F6
ハ長調ハニイファソイロ7ニ長調ニE♭FソイB♭C5
ト長調ソイロハニイファ8イ長調イB♭CニE♭FG4
ニニイファソイロイ長調9ニE♭FGイB♭CD3
ロ長調イロイ長調ニイファイ10B♭長調B♭CDE♭FGA2
0（フラットとシャープなし）イファイイロイ長調シャープの数11ヘ長調FGAB♭CDミ1
ヘ長調ロイ長調シャープの数イファイホ長調12ハ長調CDミFGAロハ長調
調号音階ロ長調調号音階ロ長調
ドリアン旋法ファイホ長調ロイ長調シャープの数ハ長調ドリアン13ト長調GAロCDミファ1
ニ長調ドリアンイ長調シャープの数ハ長調ドリアンファイホ長調ト ...14ニ長調DミファGAロハ2

Eフリギアン

調号音階フラット数調号音階フラット数
F♭フリギアンCDE♭FGAB♭2BフリギアンDE♭FGAロC♭14
C♭フリギアンGAB♭CDミF1F#フリギアンAロC♭DE♭ファG13
調号音階シャープの数調号音階フラット数
G♭フリギアンDミFGAロC0（シャープとフラットなし）C# フリギアンE♭ファGAロハD12
D♭ フリギアンAロCDミファG1G# フリギアンロハDE♭ファソA11
A♭ フリギアンミファGAロハD2D# フリギアンファソAロハニE♭10
E♭ フリギアンロハDミファソA3A# フリギアンハニE♭ファソイロ9
B♭ フリギアンファソAロハニミ4E# フリギアンソイロハニE♭ファ8
F フリギアンハニミファソイロ5B# フリギアンニE♭ファソイB♭ハ7
C フリギアンソイロハニイファ6F# フリギアンイB♭ハニE♭Fソ6
G フリギアンニイファソイロハ7C# フリギアンE♭FソイB♭Cニ5
G# フリギアンイロハニイファソ8D# フリギアンB♭CニE♭FGイ4
A# フリギアンイファソイロイ長調ニ9E# フリギアンFGイB♭CDE♭3
リディアン旋法ロイ長調ニイファイイ10F♭フリギアンCDE♭FGAB♭2
E♭ リディアンファイイロイ長調シャープの数イ11C♭フリギアンGAB♭CDミF1
F# リディアンイ長調シャープの数イファイホ長調ロ12G♭フリギアンDミFGAロCハ長調
調号音階ロ長調調号音階ロ長調
B♭ リディアンイホ長調ロイ長調シャープの数ハ長調ドリアンファ13D♭ フリギアンAロCDミファG1
C# リディアンシャープの数ハ長調ドリアンファイホ長調ト ...イ長調14A♭ フリギアンミファGAロハD2

F リディアン

調号音階フラット数調号音階フラット数
G# リディアンDE♭FGAB♭C2C リディアンE♭FGAロC♭D14
D# リディアンAB♭CDミFG1G リディアンロC♭DE♭ファGA13
調号音階シャープの数調号音階フラット数
A# リディアンミFGAロCD0（シャープとフラットなし）D リディアンファGAロハDE♭12
E# リディアンロCDミファGA1A リディアンハDE♭ファソAロ11
B# リディアンファGAロハDミ2E リディアンソAロハニE♭ファ10
F♭リディアンハDミファソAロ3BリディアンニE♭ファソイロハ9
C♭リディアンソAロハニミファ4F#リディアンイロハニE♭ファソ8
G♭リディアンニミファソイロハ5C#リディアンE♭ファソイB♭ハニ7
D♭リディアンイロハニイファソ6G#リディアンB♭ハニE♭Fソイ6
A♭リディアンイファソイロハニ7D#リディアンFソイB♭CニE♭5
B#フリジアンロハニイファソイ8CフリジアンCニE♭FGイB♭4
F♭フリジアンファソイロイ長調ニイ9GフリジアンGイB♭CDE♭F3
C♭フリジアンイ長調ニイファイイロ10G# リディアンDE♭FGAB♭C2
G♭フリジアンイイロイ長調シャープの数イファ11D# リディアンAB♭CDミFG1
D♭フリジアンシャープの数イファイホ長調ロイ長調12A# リディアンミFGAロCDハ長調
調号音階ロ長調調号音階ロ長調
A♭フリジアンホ長調ロイ長調シャープの数ハ長調ドリアンファイ13E# リディアンロCDミファGA1
E♭フリジアンハ長調ドリアンファイホ長調ト ...イ長調シャープの数14B# リディアンファGAロハDミ2

リディアン旋法

調号音階フラット数調号音階フラット数
E♭リディアンE♭FGAB♭CD2F♭リディアンFGAロC♭DE♭14
B♭リディアンB♭CDミFGA1C♭リディアンC♭DE♭ファGAロ13
調号音階シャープの数調号音階フラット数
FリディアンFGAロCDミ0（シャープとフラットなし）G♭リディアンGAロハDE♭ファ12
CリディアンCDミファGAロ1D♭リディアンDE♭ファソAロハ11
GリディアンGAロハDミファ2A♭リディアンAロハニE♭ファソ10
D♭リディアンDミファソAロハ3E♭リディアンE♭ファソイロハニ9
AリディアンAロハニミファソ4B♭リディアンロハニE♭ファソイ8
Eリディアンミファソイロハニ5F♭リディアンファソイB♭ハニE♭7
Bリディアンロハニイファソイ6C♭リディアンハニE♭FソイB♭6
F♭リディアンファソイロハニイ7G♭リディアンソイB♭CニE♭F5
C♭リディアンハニイファソイロ8D♭リディアンニE♭FGイB♭C4
G♭リディアンソイロイ長調ニイファ9A♭リディアンイB♭CDE♭FG3
D♭リディアンニイファイイロイ長調10E♭リディアンE♭FGAB♭CD2
A#リディアンイロイ長調シャープの数イファイ11B♭リディアンB♭CDミFGA1
E#リディアンイファイホ長調ロイ長調シャープの数12FリディアンFGAロCDミハ長調
調号音階ロ長調調号音階ロ長調
B#リディアンロイ長調シャープの数ハ長調ドリアンファイホ長調13CリディアンCDミファGAロ1
F#リディアンファイホ長調ト ...イ長調シャープの数ハ長調ドリアン14GリディアンGAロハDミファ2

ミクソリディアン

調号音階フラット数調号音階フラット数
FミクソリディアンFGAB♭CDE♭2G#ミクソリディアンGAロC♭DE♭F14
CミクソリディアンCDミFGAB♭1D♭ミクソリディアンDE♭ファGAロC♭13
調号音階シャープの数調号音階フラット数
GミクソリディアンGAロCDミF0（シャープとフラットなし）A♭ミクソリディアンAロハDE♭ファG12
DミクソリディアンDミファGAロC1E♭ミクソリディアンE♭ファソAロハD11
AミクソリディアンAロハDミファG2B♭ミクソリディアンロハニE♭ファソA10
EミクソリディアンミファソAロハD3F♭ミクソリディアンファソイロハニE♭9
BミクソリディアンロハニミファソA4C♭ミクソリディアンハニE♭ファソイロ8
F#ミクソリディアンファソイロハニミ5G♭ミクソリディアンソイB♭ハニE♭ファ7
C#ミクソリディアンハニイファソイロ6D♭ミクソリディアンニE♭FソイB♭ハ6
G#ミクソリディアンソイロハニイファ7A♭ミクソリディアンイB♭CニE♭Fソ5
D#ミクソリディアンニイファソイロハ8E♭ミクソリディアンE♭FGイB♭Cニ4
A#ミクソリディアンイロイ長調ニイファソ9B♭ミクソリディアンB♭CDE♭FGイ3
E#ミクソリディアンイファイイロイ長調ニ10FミクソリディアンFGAB♭CDE♭2
B#ミクソリディアンロイ長調シャープの数イファイイ11CミクソリディアンCDミFGAB♭1
F𝄪ミクソリディアンファイホ長調ロイ長調シャープの数イ12GミクソリディアンGAロCDミFハ長調
調号音階ロ長調調号音階ロ長調
C𝄪ミクソリディアンイ長調シャープの数ハ長調ドリアンファイホ長調13DミクソリディアンDミファGAロC1
G𝄪ミクソリディアンイホ長調ト ...イ長調シャープの数ハ長調ドリアン14AミクソリディアンAロハDミファG2

エオリアン旋法（ナチュラル・マイナー・スケール）

調号音階フラット数調号音階フラット数
ト短調GAB♭CDE♭F2A𝄫短調AロC♭DE♭FG14
ニ短調DミFGAB♭C1E♭マイナーE♭ファGAロC♭D13
調号音階シャープの数調号音階フラット数
AマイナーAロCDミFG0（シャープとフラットなし）B♭マイナーロハDE♭ファGA12
E♭マイナーミファGAロCD1F♭マイナーファソAロハDE♭11
BマイナーロハDミファGA2C♭マイナーハニE♭ファソAロ10
F♭マイナーファソAロハDミ3G♭マイナーソイロハニE♭ファ9
C♭マイナーハニミファソAロ4D♭マイナーニE♭ファソイロハ8
G♭マイナーソイロハニミファ5A♭マイナーイB♭ハニE♭ファソ7
D♭マイナーニイファソイロハ6E♭マイナーE♭FソイB♭ハニ6
A♭マイナーイロハニイファソ7B♭マイナーB♭CニE♭Fソイ5
E♭マイナーイファソイロハニ8F♭マイナーFGイB♭CニE♭4
B♭マイナーロイ長調ニイファソイ9CマイナーCDE♭FGイB♭3
F♭マイナーファイイロイ長調ニイ10ト短調GAB♭CDE♭F2
C♭マイナーイ長調シャープの数イファイイロ11ニ短調DミFGAB♭C1
G♭マイナーイホ長調ロイ長調シャープの数イファ12AマイナーAロCDミFGハ長調
調号音階ロ長調調号音階ロ長調
D♭マイナーシャープの数ハ長調ドリアンファイホ長調ロイ長調13E♭マイナーミファGAロCD1
A♭マイナーホ長調ト ...イ長調シャープの数ハ長調ドリアンファイ14BマイナーロハDミファGA2

ロクリアン旋法

調号音階フラット数調号音階フラット数
AロクリアンAB♭CDE♭FG2B♭ロクリアンロC♭DE♭FGA14
EロクリアンミFGAB♭CD1F♭ロクリアンファGAロC♭DE♭13
調号音階シャープの数調号音階フラット数
BロクリアンロCDミFGA0（シャープとフラットなし）C♭ロクリアンハDE♭ファGAロ12
F♭ロクリアンファGAロCDミ1G♭ロクリアンソAロハDE♭ファ11
C♭ロクリアンハDミファGAロ2D♭ロクリアンニE♭ファソAロハ10
G♭ロクリアンソAロハDミファ3A♭ロクリアンイロハニE♭ファソ9
D♭ロクリアンニミファソAロハ4E♭ロクリアンE♭ファソイロハニ8
A♭ロクリアンイロハニミファソ5B♭ロクリアンB♭ハニE♭ファソイ7
E♭ロクリアンイファソイロハニ6FロクリアンFソイB♭ハニE♭6
B♭ロクリアンロハニイファソイ7CロクリアンCニE♭FソイB♭5
Fロクリアンファソイロハニイ8GロクリアンGイB♭CニE♭F4
Cロクリアンイ長調ニイファソイロ9DロクリアンDE♭FGイB♭C3
Gロクリアンイイロイ長調ニイファ10AロクリアンAB♭CDE♭FG2
Dロクリアンシャープの数イファイイロイ長調11EロクリアンミFGAB♭CD1
Aロクリアンホ長調ロイ長調シャープの数イファイ12BロクリアンロCDミFGAハ長調
調号音階ロ長調調号音階ロ長調
Eロクリアンハ長調ドリアンファイホ長調ロイ長調シャープの数13F♭ロクリアンファGAロCDミ1
Bロクリアント ...イ長調シャープの数ハ長調ドリアンファイホ長調14C♭ロクリアンハDミファGAロ2

類似のチューニングシステム

歴史的には、12-TEDOのわずかなバリエーションとも言える複数の調律システムが用いられてきました。これらは1オクターブあたり12音ですが、音程の大きさに多少のばらつきがあり、音の間隔が完全に均等ではないという特徴があります。その一例が、平均律の完全五度700セントを純正律の完全五度701.955セントに置き換えた三極音階です。この2つの音程の差は2セント未満、つまり1オクターブの600分の1未満であるため、2つの音階は非常によく似ています。実際、中国では何承天が12-TEDOの音階を考案する少なくとも1世紀前に、三極音階の純正律が開発されていました。 [38]同様に、古代ギリシャ人が開発したピタゴラス音律は、ルネッサンス時代までヨーロッパで主流のシステムであったが、ヨーロッパ人は81 ⁄ 64 [39]などの不協和音程を5 ⁄ 4などのより単純な比率に調律することでより協和にできることに気づき、その結果、音程の大きさをわずかに変更しながらも12-TEDOの近似値と見なせる一連のミーントーン音律がヨーロッパで開発された。ミーントーン音律は、1つの異名同音の完全5度に誤差を集中させる傾向があり、非常に不協和になるため、アンドレアス・ヴェルクマイスター、ヨハン・フィリップ・キルンベルガー、フランチェスコ・アントニオ・ヴァロッティ、トーマス・ヤングなどのヨーロッパの音楽理論家は、最も影響を受ける音程の不協和を減らすためにコンマを分割することを目的として、さまざまなウェル音律を作成した。ヴェルクマイスターとキルンベルガーはそれぞれ最初の音律に満足せず、複数の音律を創作しました。後者の音律は前者の音律よりも平均律に近いものでした。同様に、ヨーロッパ全体では、平均律とウェル音律から12-TEDOへと徐々に移行し、このシステムは現在でも使用されています。

サブセット

セリアリズムなどの一部の音楽では12-TEDOの12音すべてを使用しますが、ほとんどの音楽ではスケールと呼ばれる12-TEDOの特定のサブセットの音符のみを使用します。多くの異なるタイプのスケールが存在します

12-TEDOで最も人気のある音階はミーントーンです。ミーン​​トーンとは、すべての音が五度圏上で連続している音階を指します。ミーン​​トーン音階には様々なサイズがあり、使用されるミーントーン音階には、5音ミーントーン、7音ミーントーン、9音ミーントーンなどがあります。ミーン​​トーンは西洋楽器の設計に見られます。例えば、ピアノとその前身となる楽器の鍵盤は、白鍵が7音ミーントーン音階、黒鍵が5音ミーントーン音階を形成するように構成されています。別の例として、ギターや5本以上の弦を持つ他の弦楽器は、通常、開放弦が5音ミーントーン音階を形成するように調律されています。

12-TEDOで使用される他の音階には、上行旋律短音階、和声的短音階、和声的長音階、減音階、音階などがあります。

関連項目

参考文献

脚注

  1. ^ 十二音平均律（ 12-TET）、十二音オクターブ均等分割（ 12-TEDO ）、 12/2均等分割（ 12 -ED2）、 12オクターブ均等分割（ 12-EDO ）とも呼ばれる。西洋諸国では、非公式には十二均等と略されるか、修飾語なしで平均律と呼ばれる。
  2. ^ ヨーロッパ音楽の調律が12ETに近づくにつれて、音楽のスタイルが変化し、12ETの欠陥が目立たなくなったのはおそらく偶然ではないが、実際の演奏では、演奏者の調律の適応によってこれらの欠陥が軽減されることが多いことを念頭に置くべきである。 [要出典]

引用文献

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出典

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  • フォン・ヘルムホルツ、ヘルマン；エリス、アレクサンダー・J.（1885）。『音楽理論の生理学的基礎としての音感について』（第2版）。ロンドン：ロングマンズ・
  • ウィルソン、ジョン（1997年）。「リュートのための全24調の30の前奏曲 [DP 49]」。ディアパソン・プレス。 2020年10月27日閲覧。

参考文献

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  • Surjodininglat, W., Sudarjana, PJ, and Susanto, A. (1972) 『ジョグジャカルタとスラカルタにおける優れたジャワのガムランの音色測定』、ガジャ・マダ大学出版局、ジョグジャカルタ、1972年。https://web.archive.org/web/20050127000731/http://web.telia.com/~u57011259/pelog_main.htm に引用。2006年5月19日閲覧
  • スチュワート、PJ（2006）「銀河から銀河へ：天体の音楽」[1]
  • ヘルマン・フォン・ヘルムホルツによる音響学と音の知覚に関する基礎的な著作『音の感覚』。特に付録XX：翻訳者による追加、430～556ページ（PDFでは451～577ページ）
  • 平均律とEDOに関するXenharmonic wiki
  • ホイヘンス・フォッカー財団微分音音楽センター
  • A.オルランディーニ：音楽音響
  • 「音律」チェンバース氏の百科事典（1753年）への補遺より
  • パトリツィオ・バルビエリ著『異名同音の楽器と音楽、1470～1900年』。2009年2月15日にWayback Machineにアーカイブ。（2008年）ラティーナ、イル・レヴァンテ・リブレリア・エディトリス
  • フラクタル微分音音楽、ジム・ククラ
  • J.S.バッハと音律に関する18世紀のすべての引用
  • ドミニク・エッカーズリー
  • ヴェルクマイスター定義に基づく均整音
  • ペーテル・ブッフ著『音階の好ましい基数』
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