12平均律

12音平均律のC音階。1オクターブ上昇し、シャープのみで記譜されています。上昇と下降の両方で演奏できます

12平均律（12-ET）^[a]は、1オクターブを12の音程に分割し、それら全てを対数スケール上で平均律（等間隔）に調律する音楽体系です。その比は2の12乗根（≈ 1.05946）に等しくなります。この最小音程は1オクターブの幅の1 ⁄ 12であり、半音または半音と呼ばれます。 ${\textstyle {\sqrt[{12}]{2}}}$

十二音平均律は、今日の音楽において最も広く普及している音律です。18世紀以降、古典音楽をはじめとする西洋音楽において、十二音平均律は主要な音律システムとして用いられてきました。それ以前の数千年にわたり、ヨーロッパではほぼ例外なく十二音平均律の近似値が用いられてきました。^[要出典]十二音平均律は他の文化でも用いられてきました。

現代では、12-ETは通常、 A440と呼ばれる440Hzの標準ピッチを基準に調律されます。これは、 A4 （典型的な88鍵ピアノの第4オクターブのA ）という1つの音符が440Hzに調律され、他のすべての音符はそれより半音の倍数（周波数はそれより高くても低くても）として定義されることを意味します。標準ピッチは常に440Hzであったわけではありません。過去数百年の間に変化し、一般的には上昇傾向にあります。^[1]

歴史

十二音平均律の正確な計算を成し遂げたとよく称される二人は、1584年の朱載堉（チュー・ツァイユ、中国語：朱載堉）と1585年のシモン・ステヴィンである。この理論の批判者であるフリッツ・A・クットナーによると^[2]、「朱載堉は1584年に、平均律の単和音の算術計算のための非常に正確で簡素かつ独創的な方法を提示した」のに対し、「シモン・ステヴィンは1585年以降、平均律の数学的定義と、それに対応する数値の計算法をやや不正確ながら提示した」とされている。この二つの発展は独立して起こった^{[3] 。}

ケネス・ロビンソンは平均律の発明を朱在玉^[4]に帰し、その証拠として文献からの引用を挙げている。^[5]朱在玉は1584年の文献の中で、「私は新しい体系を創始した。私は1つのフィートを他のフィートの数として定め、そこから他のフィートの数を抽出し、比率を用いて抽出する。合計で12の演算でピッチパイパーの正確な数値を求める必要がある」と述べている。^[5]クットナーはこれに反対し、彼の主張は「重大な制限なしには正しいとは考えられない」と述べている。^[2]クットナーは、朱在玉もシモン・ステヴィンも平均律を発明したわけではなく、どちらも発明者として扱われるべきではないと主張している。^[3]

中国

初期の歴史

曽の懿侯（中国青銅器時代、紀元前5世紀頃、戦国初期）の墓で発見された多くの楽器の中に、青銅製の鐘の完全なセットがあり、ハ長調のキーで7音の5オクターブをカバーし、その音域の中央に12の半音が含まれています。^[6]

平均律の近似値は、南北朝時代の数学者で370年から447年まで生きた何承天 [zh]によって記述されている。 ^[7]彼は、平均律に関する史上最古の近似数値列を考案した。900 849 802 758 715 677 638 601 570 536 509.5 479 450である。^[8]

朱在宇

明の宮廷王子、朱載堉は、父が提唱した平均律の考えに基づき、30年にわたる研究を行った。彼は1580年に出版した『音楽と暦の融合律暦融通』の中で、新たな音程理論を詳述した。続いて1584年には、5000ページに及ぶ著書『音楽と音程の完全概論』（Yuelü quan shu樂律全書）の中で、12-ETの正確な数値仕様を記した新平均律理論の詳細な説明を刊行した。 ^[9]ジョセフ・ニーダムも、より詳細な説明を行っている。^[5]朱は、弦と管の長さを^{12√2≈1.059463}で割り、管の長さを24√2で割ることで、数学的にこの結果を導き出した。^[10]つまり、 ^{12回（1オクターブ）割った後}、長さは2で割られる。

$\left({\sqrt[{12}]{2}}\right)^{12}=2$

同様に、84 分割 (7 オクターブ) した後、長さは 128 で割られました。

$\left({\sqrt[{12}]{2}}\right)^{84}=2^{7}=128$

朱在玉は平均律問題を数学的に解いた最初の人物とされている。^[11]少なくとも一人の研究者は、中国のイエズス会士マテオ・リッチがこの研究を個人の日記に記録し^[11]^[12]、それをヨーロッパに伝えたのではないかと提唱している。(このテーマに関する標準的な資料には、そのような伝達については何も触れられていない。^[13] ) 1620年、朱の研究はヨーロッパの数学者によって参照された。^[^誰?^]^[12]マレー・バーバーは「平均律の正しい数値が印刷物で初めて登場したのは中国で、そこでは蔡英文王の素晴らしい解法は未だに謎に包まれている」と述べた。^[14] 19世紀のドイツの物理学者ヘルマン・フォン・ヘルムホルツは著書『音の感覚について』の中で、中国の王子（下記参照）が7音階を導入し、オクターブを12の半音に分割することが中国で発見されたと記している。^[15]

朱在玉は平均律理論を説明するために、3オクターブの竹製音管36本を製作した。竹の種類、塗装色、長さ、内径、外径の詳細な仕様が指示されていた。また、12弦の楽器も製作し、その底部の空洞に調弦用のピッチパイプが隠されていた。1890年、ブリュッセル音楽院の学芸員ヴィクトル・シャルル・マヒヨンは、朱在玉の仕様に基づいてピッチパイプを複製した。彼は、中国の音階理論は西洋の理論よりもピッチパイプの長さについてよく知っており、在玉のデータに基づいて複製されたパイプがこの理論の正確さを証明すると述べた。

ヨーロッパ

初期の歴史

平均律に関する最も古い議論の一つは、紀元前4世紀のアリストクセノスの著作の中に見られます。 ^[16]

ヴィンチェンツォ・ガリレイ（ガリレオ・ガリレイの父）は、十二音平均律を実践的に提唱した最初の人物の一人である。彼は、あらゆる「移調調」における半音階の12音それぞれに舞踏組曲を作曲し、1584年に出版した『フロニモ』の中で、24+1のリチェルカーレを出版した。^[17]彼はリュートのフレット比を18:17とした（ただし、純正なオクターブには多少の調整が必要だった）。^[18]

ガリレイの同郷で、同じくリュート奏者のジャコモ・ゴルザニスは、1567年までに平均律に基づいた音楽を作曲していた。 ^[19]ゴルザニスは、すべての旋法や調性を探求した唯一のリュート奏者ではなかった。フランチェスコ・スピナチーノは、早くも1507年に「全音階のリチェルカーレ」を作曲している。 ^[20] 17世紀には、リュート奏者で作曲家のジョン・ウィルソンが、長調と短調の24曲を含む、30曲の前奏曲集を作曲した。^[21]^[22]ヘンリクス・グラマテウスは、1518年に平均律に近い音楽を作曲した。平均律における最初の調律規則は、ジョヴァンニ・マリア・ランフランコが「音楽のきらめき」で示した。^[23]ツァルリーノはガリレイとの論争の中で当初は平均律に反対していたが、1588年に作曲した「Sopplimenti musici」の中でリュートに関して平均律を認めた。

サイモン・ステビン

西洋で平均律の2の12乗根に関する最初の言及は、シモン・ステヴィンの手稿『歌定数論』（1605年頃）に見られ、これは彼の死後、約3世紀後の1884年に出版された。^[24]しかし、彼の計算の精度が不十分だったため、彼が得たコードの長さの数値の多くは正しい値から1つまたは2つの単位ずれていた。^[13]その結果、シモン・ステヴィンのコードの周波数比には統一された比率はなく、音ごとに1つの比率があり、ジーン・チョーはこれが間違っていると主張している。^[25]

以下はサイモン・ステヴィンの「Van de Spiegheling der singconst」のコードの長さである：^[26]

トーン	Simon StevinのChord 10000	比率	修正されたコード
半音	9438	1.0595465	9438.7
全音	8909	1.0593781
1.5音	8404	1.0600904	8409
二色調	7936	1.0594758	7937
二音半	7491	1.0594046	7491.5
三全音	7071	1.0593975	7071.1
全音半	6674	1.0594845	6674.2
四音階	6298	1.0597014	6299
4音半	5944	1.0595558	5946
五音	5611	1.0593477	5612.3
5音半	5296	1.0594788	5297.2
フルトーン		1.0592000

一世代後、フランスの数学者マラン・メルセンヌは、ジャン・ボーグラン、イスマエル・ブイヨー、ジャン・ガレによって得られたいくつかの平均律の和音の長さを提示した。^[27]

1630年、ヨハン・ファウルハーバーは100セントのモノコード表を出版しましたが、対数表を用いたため、いくつかの誤りがありました。彼はどのようにしてその結果を得たのかを説明していませんでした。^[28]

バロック時代

1450年から1800年頃まで、撥弦楽器の演奏者（リュート奏者とギタリスト）は一般的に平均律を好んでおり、^[29] 17世紀最後の四半期に編纂されたブロサールのリュート手稿には、ボッケ作とされる18のプレリュードがすべての調で書かれており、その中にはすべての調で異名同音に転調するPrélude sur tous les tonsと題された最後のプレリュードも含まれている^[30]^{[明確化が必要] 。} アンジェロ・ミケーレ・バルトロッティは、異名同音に転調するパッセージを繋げたすべての調のパッサカリアのシリーズを出版した。17世紀の鍵盤楽器の作曲家では、ジローラモ・フレスコバルディが平均律を提唱した。ジュゼッペ・タルティーニなど一部の理論家は平均律の採用に反対した。彼らは、各和音の純粋さを低下させることは音楽の美的魅力を低下させると感じていたが、アンドレアス・ヴェルクマイスターは1707年に死後に出版された論文の中で平均律を強く主張していた。^[31]

十二音平均律が定着した理由は様々である。既存の鍵盤設計に適合し、特に不完全協和音など、あらゆる音程に適度な不純度を課すことで、完全な和声的自由度を可能にした。これにより異名同音の転調による表現力が向上し、これは18世紀のフランチェスコ・ジェミニアーニ、ヴィルヘルム・フリーデマン・バッハ、カール・フィリップ・エマヌエル・バッハ、ヨハン・ゴットフリート・ミューテルといった作曲家の音楽において極めて重要となった。^[要出典]十二音平均律には不完全三度などいくつかの欠点もあったが、ヨーロッパが平均律に移行すると、そのシステムに対応し不協和音を最小限に抑えるために作曲された音楽も変化していった。^[b]

18 世紀半ば以降の平均律の発展については、現代の学術出版物で詳細に説明されている。平均律は、古典派時代 (18 世紀後半) にはすでに好んで用いられていた^[要出典] 。また、初期ロマン派時代 (19 世紀最初の 10 年間) には標準音律となった^{[要出典]。}ただし、オルガンでは徐々に平均律に移行し、完成したのは 19 世紀最初の 10 年間になってからである。(イギリスでは、それ以降も一部の大聖堂のオルガン奏者や聖歌隊指揮者が平均律に反対していた。例えば、サミュエル・セバスチャン・ウェスレーはずっと反対していた。彼は 1876 年に亡くなった。) ^[要出典]

17世紀のサバティーニ法を用いれば、オクターブをまず3つの平均律の長3度に分割することで、正確な平均律を実現できます。^[32]これは古典派時代にも複数の作曲家によって提案されました。拍子を使わず、複数のチェックを用いてほぼ現代的な精度を達成する調律は、19世紀初頭にはすでに行われていました。^[33]拍子の使用は1749年に初めて提案され、19世紀後半にヘルムホルツとエリスによって普及した後、一般的になりました。^[34]究極の精度は、1917年にホワイトによって出版された2つの10進法表によって得られました。^[35]

平均律の環境下で、対称調性や多調性、十二音技法やセリアリズムで書かれた無調音楽、ジャズ（少なくともピアノの要素）などの新しいスタイルが開発され、繁栄しました。

半音の歴史的近似値の比較

年	名前	比率^[36]	セント
400	何承天	1.060070671	101.0
1580	ヴィンチェンツォ・ガリレイ	18:17 [1.058823529]	99.0
1581	朱在宇	1.059463094	100.0
1585	サイモン・ステビン	1.059546514	100.1
1630	マラン・メルセンヌ	1.059322034	99.8
1630	ヨハン・ファウルハーバー	1.059490385	100.0

数学的性質

1オクターブを12等分する12音平均律では、半音の幅、つまり隣接する2つの音符の間隔の周波数比は、 2の12乗根になります。

${\sqrt[{12}]{2}}=2^{\frac {1}{12}}\approx 1.059463$

この間隔は 100セントに分割されます。

絶対頻度の計算

12-ET の音符の周波数 $P nを調べるには、次の定義を使用できます。$

$P_{n}=P_{a}\left({\sqrt[{12}]{2}}\right)^{(na)}$

この式で、 $P n は$ 求めようとしているピッチ、つまり周波数（通常はヘルツ単位）を指します。P $a は$ $基準$ ピッチの周波数を指します。n $と$ $a は$ 、それぞれ目的のピッチと基準ピッチに割り当てられた数値を指します。これら2つの数値は、連続する半音に割り当てられた連続する整数のリストから取得されます。たとえば、A ₄（基準ピッチ）はピアノの左端から49番目のキー（440 Hzに調律）であり、C ₄（中央のC）とF# _{4はそれぞれ40番目と46番目のキーです。これらの数値を使用して、C}₄とF# ₄の周波数を見つけることができます。

${\begin{alignedat}{3}P_{40}&=440\left({\sqrt[{12}]{2}}\right)^{(40-49)}&&\approx 261.626\ \mathrm {Hz} \\P_{46}&=440\left({\sqrt[{12}]{2}}\right)^{(46-49)}&&\approx 369.994\ \mathrm {Hz} \end{alignedat}}$

ちょうど間隔

12-ETの音程は純正律の音程に非常に近い。^[37]

制限により

12 ETは3倍音の限界では非常に正確ですが、プライム限界を11倍音まで上げると、半音の6分の1ずつ徐々に精度が悪くなります。11倍音と13倍音は非常に不正確です。12 ETの17倍音と19倍音は3倍音とほぼ同じ精度ですが、この時点でプライム限界が高すぎて、ほとんどの人にとって子音として聞こえなくなります。^[要出典]

3制限

12 ETは完全五度に非常によく近似しています（⁠ 3 /2⁠）とその転回形である完全4度（⁠ 4 /3⁠）、特にオクターブを比較的少数の音に分割する際に役立ちます。具体的には、純正完全五度は平均律の近似値よりも半音の51倍だけ高いだけです。長音（⁠ ）は 9 /8⁠）は単純に2つの完全5度から1オクターブを引いたもので、その反転であるピタゴラスの短7度（⁠ 16 /9⁠）は、単に2つの完全4度音程を組み合わせただけの音符ですが、大部分は以前の音符の精度を維持しています。誤差は2倍になりますが、それでも小さいままです。実際、人間には認識できないほど小さいのです。3のべき乗以上の分数も引き続き使用できます。次の2つは⁠ 27 /16⁠と⁠ 32 /27⁠ですが、分数の項が大きくなるにつれて、耳に心地よくなくなっていきます。^[要出典]

5個まで

12 ETの第5高調波の近似値（⁠ 5 /4⁠）は約7分の1半音ずれています。音階の4分の1未満の音程でも音程は合っているため、12音階の他の5つの音程、例えば⁠ 5 /3⁠と⁠ 8 /5⁠ は、同様の大きさの誤差を持っています。したがって、長三和音は、その周波数比が約4:5:6であるため、調和して聞こえます。さらに、その第1転回形と2つのサブオクターブ・トニックを合わせると、1:2:3:4:5:6となり、ベース音の最も低い6つの自然倍音すべてが揃います。^[要出典]

7制限

12 ETの第7高調波の近似値（⁠ 7 /4⁠）は約3分の1半音ずれています。誤差が4分の1半音を超えるため、12音階の7つの限界音程は音程がずれて聞こえる傾向があります。3全音分数では、⁠ 7 /5⁠と⁠ 10 /7⁠、第 5 倍音と第 7 倍音の誤差は部分的に打ち消し合うため、平均律の等価音の 4 分の 1 半音以内に収まります。^[要出典]

11と13の制限

第11倍音（⁠ 11 /8⁠）、551.32セントは、12平均律における最も近い2つの平均律のほぼ中間に位置し、どちらの音程にも近似されていません。実際、⁠ 11 /8⁠ は、12 ET における平均律近似からほぼかけ離れています。第 13 倍音 ( ⁠ 13 /8⁠）は、短6度より半音高い5分の2の音程で、ほぼ同様に不正確です。これは、分数が⁠ 13 /11⁠およびその反転（⁠ 22 /13⁠）は正確に近似（具体的には半音3つ分）されるため、11次倍音と13次倍音の誤差はほぼ打ち消されるため、4分音や微分音に馴染みのない人のほとんどは11次倍音と13次倍音に馴染みがないだろう。同様に、11次倍音や13次倍音の誤差は7次倍音の誤差によってほぼ打ち消される可能性があるが、12 ETはそれらの誤差を正確に近似しないため、ほとんどの西洋音楽家は結果として得られる分数が子音であるとは感じないだろう。^[要出典]

17歳と19歳の制限

第17倍音（⁠ 17 /16⁠）は、12 ETの半音より約5セント高いだけです。これを12 ETの第3倍音の近似値と組み合わせると、⁠ 17 /12⁠、これは⁠の次のペル近似として 7 /5⁠、平均律の三全音（2の平方根）からわずか3セントほど離れており、⁠ 17 /9⁠ は、12 ETの長7度からわずか1セントしか離れていません。19倍音は12 ETの半音のうち3つより約2.5セント低いだけなので、同様に3倍音と組み合わせると⁠ になります。 19 /12⁠、これは平均律の短6度より約4.5セント低く、⁠ 19 /18⁠は半音より約6.5セント低い。しかし、17と19は子音比としてはやや大きく、またほとんどの人は17の限界音程と19の限界音程に馴染みがないため、17の限界音程と19の限界音程はほとんどの用途には役に立たず、12 ETのどの子音にも影響を与えているとは判断されない可能性が高い。^[要出典]

テーブル

以下の表では、様々な純正律の音程の大きさを平均律の音程と比較し、比率とセントで示しています。6セント未満の差はほとんどの人には気付かれませんが、1/4音（この場合は25セント）を超える音程は、音程がずれていると聞こえます。^[要出典]

半音の数	Cから上がる音符	12-ETの正確な値	12-ETの10進数値	平均律オーディオ	セント	純正律音程名	純正律音程分数	正確な音程の音声	純正律のセント	違い
0	C	2 ⁰^⁄¹² = 1	1	プレイ^ⓘ	0	ユニゾン	1 ⁄ 1 = 1	プレイ^ⓘ	0	0
1	C ＃またはD ♭	2 ¹^⁄¹² = ${\sqrt[{12}]{2}}$	1.05946...	プレイ^ⓘ	100	七分音	28 ⁄ 27 = 1.03703...	プレイ^ⓘ	62.96	−37.04
						半音だけ	25 ⁄ 24 = 1.04166...	プレイ^ⓘ	70.67	−29.33
						10進数半音	22 ⁄ 21 = 1.04761...	プレイ^ⓘ	80.54	−19.46
						七分音階半音	21 ⁄ 20 = 1.05	プレイ^ⓘ	84.47	−15.53
						110進法半音	20 ⁄ 19 = 1.05263...	プレイ^ⓘ	88.80	−11.20
						ピタゴラス音階半音	256 ⁄ 243 = 1.05349...	プレイ^ⓘ	90.22xwx	−9.78
						より大きな半音	135 ⁄ 128 = 1.05468...	プレイ^ⓘ	92.18	−7.82
						110進法全音半音	19 ⁄ 18 = 1.05555...	プレイ^ⓘ	93.60	−6.40
						7進法半音	18 ⁄ 17 = 1.05882...	プレイ^ⓘ	98.95	−1.05
						第17倍音	17 ⁄ 16 = 1.0625...	プレイ^ⓘ	104.96	+4.96
						全音階の半音だけ	16 ⁄ 15 = 1.06666...	プレイ^ⓘ	111.73	+11.73
						ピタゴラス半音	2187 ⁄ 2048 = 1.06787...	プレイ^ⓘ	113.69	+13.69
						七分音階全音半音	15 ⁄ 14 = 1.07142...	プレイ^ⓘ	119.44	+19.44
						小三十進法2/3音階	14 ⁄ 13 = 1.07692...	プレイ^ⓘ	128.30	+28.30
						長音階半音	27 ⁄ 25 = 1.08	プレイ^ⓘ	133.24	+33.24
2	D	2 ²^⁄¹² = ${\sqrt[{6}]{2}}$	1.12246...	プレイ^ⓘ	200	ピタゴラス減三度	65536 ⁄ 59049 = 1.10985...	プレイ^ⓘ	180.45	−19.55
						マイナートーン	10 ⁄ 9 = 1.11111...	プレイ^ⓘ	182.40	−17.60
						メジャートーン	9 ⁄ 8 = 1.125	プレイ^ⓘ	203.91	+3.91
						七分音全音	8 ⁄ 7 = 1.14285...	プレイ^ⓘ	231.17	+31.17
3	D ＃またはE ♭	2 ³^⁄¹² = ${\sqrt[{4}]{2}}$	1.18920...	プレイ^ⓘ	300	短7度音程	7 ⁄ 6 = 1.16666...	プレイ^ⓘ	266.87	−33.13
						短3度音程	13 ⁄ 11 = 1.18181...	プレイ^ⓘ	289.21	−10.79
						ピタゴラスの短三度	32 ⁄ 27 = 1.18518...	プレイ^ⓘ	294.13	−5.87
						19次倍音	19 ⁄ 16 = 1.1875	プレイ^ⓘ	297.51	−2.49
						短3度のみ	6 ⁄ 5 = 1.2	プレイ^ⓘ	315.64	+15.64
						ピタゴラスの増2度音程	19683 ⁄ 16384 = 1.20135...	プレイ^ⓘ	317.60	+17.60
4	E	2 ⁴^⁄¹² = ${\sqrt[{3}]{2}}$	1.25992...	プレイ^ⓘ	400	ピタゴラス減四度音程	8192 ⁄ 6561 = 1.24859...	プレイ^ⓘ	384.36	−15.64
						長三度だけ	5 ⁄ 4 = 1.25	プレイ^ⓘ	386.31	−13.69
						ピタゴラスの長三度	81 ⁄ 64 = 1.265625	プレイ^ⓘ	407.82	+7.82
						10進法の長3度	14 ⁄ 11 = 1.27272...	プレイ^ⓘ	417.51	+17.51
						7度音程の長3度	9 ⁄ 7 = 1.28571...	プレイ^ⓘ	435.08	+35.08
5	F	2 ⁵^⁄¹² = ${\sqrt[{12}]{32}}$	1.33484...	プレイ^ⓘ	500	ちょうど完璧な4度	4 ⁄ 3 = 1.33333...	プレイ^ⓘ	498.04	−1.96
5	F	2 ⁵^⁄¹² = ${\sqrt[{12}]{32}}$	1.33484...	プレイ^ⓘ	500	ピタゴラスの増三度音程	177147 ⁄ 131072 = 1.35152...	プレイ^ⓘ	521.51	+21.51
6	F ＃またはG ♭	2 ⁶^⁄¹² = ${\sqrt {2}}$	1.41421...	プレイ^ⓘ	600	古典的な増四度音程	25 ⁄ 18 = 1.38888...	プレイ^ⓘ	568.72	−31.28
						ホイヘンスの三全音	7 ⁄ 5 = 1.4	プレイ^ⓘ	582.51	−17.49
						ピタゴラス減五度	1024 ⁄ 729 = 1.40466...	プレイ^ⓘ	588.27	−11.73
						ちょうど増4度	45 ⁄ 32 = 1.40625	プレイ^ⓘ	590.22	−9.78
						ちょうど減五度	64 ⁄ 45 = 1.42222...	プレイ^ⓘ	609.78	+9.78
						ピタゴラスの増四度音程	729 ⁄ 512 = 1.42382...	プレイ^ⓘ	611.73	+11.73
						オイラーの三全音	10 ⁄ 7 = 1.42857...	プレイ^ⓘ	617.49	+17.49
						古典的な減五度音程	36 ⁄ 25 = 1.44	プレイ^ⓘ	631.28	+31.28
7	G	2 ⁷^⁄¹² = ${\sqrt[{12}]{128}}$	1.49830...	プレイ^ⓘ	700	ピタゴラス減六度	262144 ⁄ 177147 = 1.47981...	プレイ^ⓘ	678.49	−21.51
7	G	2 ⁷^⁄¹² = ${\sqrt[{12}]{128}}$	1.49830...	プレイ^ⓘ	700	ちょうど完全5度	3 ⁄ 2 = 1.5	プレイ^ⓘ	701.96	+1.96
8	G ＃またはA ♭	2 ⁸^⁄¹² = ${\sqrt[{3}]{4}}$	1.58740...	プレイ^ⓘ	800	短七度音程	14 ⁄ 9 = 1.55555...	プレイ^ⓘ	764.92	−35.08
						10進法の短6度	11 ⁄ 7 = 1.57142...	プレイ^ⓘ	782.49	−17.51
						ピタゴラスの短六度	128 ⁄ 81 = 1.58024...	プレイ^ⓘ	792.18	−7.82
						短6度	8 ⁄ 5 = 1.6	プレイ^ⓘ	813.69	+13.69
						ピタゴラスの増五度音程	6561 ⁄ 4096 = 1.60180...	プレイ^ⓘ	815.64	+15.64
9	あ	2 ⁹^⁄¹² = ${\sqrt[{4}]{8}}$	1.68179...	プレイ^ⓘ	900	ピタゴラス減七度	32768 ⁄ 19683 = 1.66478...	プレイ^ⓘ	882.40	−17.60
						正六度	5 ⁄ 3 = 1.66666...	プレイ^ⓘ	884.36	−15.64
						19次低調波	32 ⁄ 19 = 1.68421...	プレイ^ⓘ	902.49	+2.49
						ピタゴラスの長六度	27 ⁄ 16 = 1.6875	プレイ^ⓘ	905.87	+5.87
						七音長六度	12 ⁄ 7 = 1.71428...	プレイ^ⓘ	933.13	+33.13
10	A ＃またはB ♭	2 ¹⁰^⁄¹² = ${\sqrt[{6}]{32}}$	1.78179...	プレイ^ⓘ	1000	ハーモニックセブンス	7 ⁄ 4 = 1.75	プレイ^ⓘ	968.83	−31.17
						ピタゴラスの短七度	16 ⁄ 9 = 1.77777...	プレイ^ⓘ	996.09	−3.91
						大短七度	9 ⁄ 5 = 1.8	プレイ^ⓘ	1017.60	+17.60
						ピタゴラスの増六度	59049 ⁄ 32768 = 1.80203...	プレイ^ⓘ	1019.55	+19.55
11	B	2 ¹¹^⁄¹² = ${\sqrt[{12}]{2048}}$	1.88774...	プレイ^ⓘ	1100	三十進法の中立7	13 ⁄ 7 = 1.85714...	プレイ^ⓘ	1071.70	−28.30
						ピタゴラス音階の減オクターブ	4096 ⁄ 2187 = 1.87288...	プレイ^ⓘ	1086.31	−13.69
						ちょうど長七度	15 ⁄ 8 = 1.875	プレイ^ⓘ	1088.27	−11.73
						17次低調波	32 ⁄ 17 = 1.88235...	プレイ^ⓘ	1095.04	−4.96
						ピタゴラスの長七度	243 ⁄ 128 = 1.89843...	プレイ^ⓘ	1109.78	+9.78
						七分音符の長七度	27 ⁄ 14 = 1.92857...	プレイ^ⓘ	1137.04	+37.04
12	C	2 ¹²^⁄¹² = 2	2	プレイ^ⓘ	1200	オクターブ	2 ⁄ 1 = 2	プレイ^ⓘ	1200.00	0

カンマ

12-ETはいくつかのコンマを省略しており、これは⁠に近い分数がいくつかあることを意味します。 1 /1⁠として扱われる 1 /1⁠ 12-ET では、異なる分数を同じ平均律の音程にマッピングするため、⁠729/512⁠（⁠ 3 ⁶ /2 ⁹⁠）と⁠ 1024 /729⁠（⁠ 2 ¹⁰ /3 ⁶⁠）はそれぞれ三全音にマッピングされるため、名目上は同じ音程として扱われます。したがって、それらの商、⁠531441/ 524288 ⁠（⁠ 3 ¹² /2 ¹⁹⁠）はユニゾンとして扱われます。これはピタゴラス・コンマであり、12-ETで唯一の3限界コンマです。しかし、プライム限界を増やし、より多くの音程を含めると、コンマの数が増えます。12-ETで最も重要な5限界コンマは⁠です。81/ 80 ⁠（⁠3 ⁴/ 2 ⁴ × 5 ¹ ⁠ ）、これはシントニックコンマとして知られ、ピタゴラスの3度と6度とそれらのちょうど対応するものとの間の因数です。12-ET の他の 5 限界コンマには次のものがあります:

分裂：⁠32805/ 32768 ⁠ = ⁠ 3 ⁸ × 5 ¹ /2 ¹⁵⁠ = ( ⁠531441/ 524288 ⁠ ) ¹ × ( ⁠81/ 80 ⁠ ) ⁻¹
ディアスキスマ：⁠2048/ 2025 ⁠ = ⁠2 ¹¹/ 3 ⁴ × 5 ² ⁠ = ( ⁠531441/ 524288 ⁠ ) ⁻¹ × ( ⁠81/ 80 ⁠）²
小文字異字体: ⁠128/ 125 ⁠ = ⁠ 2 ⁷ /5 ³⁠ = ( ⁠531441/ 524288 ⁠ ) ⁻¹ × ( ⁠81/ 80 ⁠）³
大日语：⁠648/ 625 ⁠ = ⁠ 2 ³ × 3 ⁴ /5 ⁴⁠ =( ⁠531441/ 524288 ⁠ ) ⁻¹ × ( ⁠81/ 80 ⁠）⁴

12-ETが調整する7つの限界コンマの1つは、7分音符のkleismaで、これは⁠225/ 224 ⁠、または⁠ 3 ² ×5 ² /2 ⁵ ×7 ¹⁠ . 12-ET の他の 7 制限コンマは次のとおりです。

7つのセミコンマ: ⁠126/ 125 ⁠ = ⁠ 2 ¹ × 3 ² × 7 ¹ /5 ³⁠ = ( ⁠81/ 80 ⁠ ) ¹ × ( ⁠225/ 224 ⁠ ) ⁻¹
アルキタスのコンマ：⁠64/ 63 ⁠ = ⁠2 ⁶/ 3 ² × 7 ¹ ⁠ = ( ⁠531441/ 524288 ⁠ ) ⁻¹ × ( ⁠81/ 80 ⁠ ) ² × ( ⁠225/ 224 ⁠）¹
七分音: ⁠36/ 35 ⁠ = ⁠ 2 ² × 3 ² /5 ¹ ×v7 ¹⁠ = ( ⁠531441/ 524288 ⁠ ) ⁻¹ × ( ⁠81/80⁠ ) ³ × ( ⁠225/ 224 ⁠）¹
ジュビリスマ：⁠50/ 49 ⁠ = ⁠ 2 ¹ × 5 ² /7 ²⁠ = ( ⁠531441/ 524288 ⁠ ) ⁻¹ × ( ⁠81/ 80 ⁠ ) ² × ( ⁠225/ 224 ⁠）²

スケール図

モード

イオニア旋法（メジャースケール）

調号	規模							アパートの数		調号	規模							アパートの数
ロ♭メジャー	ロ♭	C	D	E♭	F	G	あ	2		ハ長調	C𝄫	D𝄫	E𝄫	F𝄫	G𝄫	A𝄫	B𝄫	14
ヘ長調	F	G	あ	ロ♭	C	D	E	1		G𝄫メジャー	G𝄫	A𝄫	B𝄫	C𝄫	D𝄫	E𝄫	F♭	13

調号	規模							シャープの数	調号	規模							アパートの数
ハ長調	C	D	E	F	G	あ	B	0（シャープやフラットなし）	D𝄫メジャー	D𝄫	E𝄫	F♭	G𝄫	A𝄫	B𝄫	C♭	12
ト長調	G	あ	B	C	D	E	F#	1	A𝄫メジャー	A𝄫	B𝄫	C♭	D𝄫	E𝄫	F♭	ソ♭	11
ニ長調	D	E	F#	G	あ	B	ハ＃	2	E𝄫メジャー	E𝄫	F♭	ソ♭	A𝄫	B𝄫	C♭	D♭	10
主要な	あ	B	ハ＃	D	E	F#	G#	3	B𝄫メジャー	B𝄫	C♭	D♭	E𝄫	F♭	ソ♭	A♭	9
ホ長調	E	F#	G#	あ	B	ハ＃	D#	4	F♭メジャー	F♭	ソ♭	A♭	B𝄫	C♭	D♭	E♭	8
ロ長調	B	ハ＃	D#	E	F#	G#	A#	5	ハ長調	C♭	D♭	E♭	F♭	ソ♭	A♭	ロ♭	7
F#メジャー	F#	G#	A#	B	ハ＃	D#	E#	6	ト♭メジャー	ソ♭	A♭	ロ♭	C♭	D♭	E♭	F	6
ハ長調	ハ＃	D#	E#	F#	G#	A#	B#	7	D♭メジャー	D♭	E♭	F	ソ♭	A♭	ロ♭	C	5
G#メジャー	G#	A#	B#	ハ＃	D#	E#	F𝄪	8	A♭メジャー	A♭	ロ♭	C	D♭	E♭	F	G	4
D#メジャー	D#	E#	F𝄪	G#	A#	B#	C𝄪	9	E♭メジャー	E♭	F	G	A♭	ロ♭	C	D	3
A#メジャー	A#	B#	C𝄪	D#	E#	F𝄪	G𝄪	10	ロ♭メジャー	ロ♭	C	D	E♭	F	G	あ	2
E#メジャー	E#	F𝄪	G𝄪	A#	B#	C𝄪	D𝄪	11	ヘ長調	F	G	あ	ロ♭	C	D	E	1
ロ#長調	B#	C𝄪	D𝄪	E#	F𝄪	G𝄪	A𝄪	12	ハ長調	C	D	E	F	G	あ	B	0（フラットやシャープなし）

調号	規模							シャープの数		調号	規模							シャープの数
F𝄪メジャー	F𝄪	G𝄪	A𝄪	B#	C𝄪	D𝄪	E𝄪	13		ト長調	G	あ	B	C	D	E	F#	1
ハ長調	C𝄪	D𝄪	E𝄪	F𝄪	G𝄪	A𝄪	B𝄪	14		ニ長調	D	E	F#	G	あ	B	ハ＃	2

ドリアン旋法

調号	規模							アパートの数		調号	規模							アパートの数
Cドリアン	C	D	E♭	F	G	あ	ロ♭	2		D𝄫 ドリアン	D𝄫	E𝄫	F𝄫	G𝄫	A𝄫	B𝄫	C𝄫	14
Gドリアン	G	あ	ロ♭	C	D	E	F	1		A𝄫ドリアン	A𝄫	B𝄫	C𝄫	D𝄫	E𝄫	F♭	G𝄫	13

調号	規模							シャープの数	調号	規模							アパートの数
Dドリアン	D	E	F	G	あ	B	C	0（シャープやフラットなし）	E𝄫ドリアン	E𝄫	F♭	G𝄫	A𝄫	B𝄫	C♭	D𝄫	12
ドリアン	あ	B	C	D	E	F#	G	1	B𝄫ドリアン	B𝄫	C♭	D𝄫	E𝄫	F♭	ソ♭	A𝄫	11
Eドリアン	E	F#	G	あ	B	ハ＃	D	2	F♭ドリアン	F♭	ソ♭	A𝄫	B𝄫	C♭	D♭	E𝄫	10
Bドリアン	B	ハ＃	D	E	F#	G#	あ	3	C♭ドリアン	C♭	D♭	E𝄫	F♭	ソ♭	A♭	B𝄫	9
F# ドリアン	F#	G#	あ	B	ハ＃	D#	E	4	G♭ドリアン	ソ♭	A♭	B𝄫	C♭	D♭	E♭	F♭	8
C#ドリアン	ハ＃	D#	E	F#	G#	A#	B	5	D♭ドリアン	D♭	E♭	F♭	ソ♭	A♭	ロ♭	C♭	7
G# ドリアン	G#	A#	B	ハ＃	D#	E#	F#	6	A♭ドリアン	A♭	ロ♭	C♭	D♭	E♭	F	ソ♭	6
D＃ドリアン	D#	E#	F#	G#	A#	B#	ハ＃	7	E♭ドリアン	E♭	F	ソ♭	A♭	ロ♭	C	D♭	5
A＃ドリアン	A#	B#	ハ＃	D#	E#	F𝄪	G#	8	B♭ドリアン	ロ♭	C	D♭	E♭	F	G	A♭	4
E＃ドリアン	E#	F𝄪	G#	A#	B#	C𝄪	D#	9	Fドリアン	F	G	A♭	ロ♭	C	D	E♭	3
B# ドリアン	B#	C𝄪	D#	E#	F𝄪	G𝄪	A#	10	Cドリアン	C	D	E♭	F	G	あ	ロ♭	2
F𝄪 ドリアン	F𝄪	G𝄪	A#	B#	C𝄪	D𝄪	E#	11	Gドリアン	G	あ	ロ♭	C	D	E	F	1
C𝄪 ドリアン	C𝄪	D𝄪	E#	F𝄪	G𝄪	A𝄪	B#	12	Dドリアン	D	E	F	G	あ	B	C	0（フラットやシャープなし）

調号	規模							シャープの数		調号	規模							シャープの数
G𝄪 ドリアン	G𝄪	A𝄪	B#	C𝄪	D𝄪	E𝄪	F𝄪	13		ドリアン	あ	B	C	D	E	F#	G	1
D𝄪 ドリアン	D𝄪	E𝄪	F𝄪	G𝄪	A𝄪	B𝄪	C𝄪	14		Eドリアン	E	F#	G	あ	B	ハ＃	D	2

フリギア旋法

調号	規模							アパートの数		調号	規模							アパートの数
D フリギア語	D	E♭	F	G	あ	ロ♭	C	2		E𝄫フリギア語	E𝄫	F𝄫	G𝄫	A𝄫	B𝄫	C𝄫	D𝄫	14
フリギア人	あ	ロ♭	C	D	E	F	G	1		B𝄫フリギア	B𝄫	C𝄫	D𝄫	E𝄫	F♭	G𝄫	A𝄫	13

調号	規模							シャープの数	調号	規模							アパートの数
東フリギア語	E	F	G	あ	B	C	D	0（シャープやフラットなし）	F♭ フリギア	F♭	G𝄫	A𝄫	B𝄫	C♭	D𝄫	E𝄫	12
B フリギア語	B	C	D	E	F#	G	あ	1	C♭フリギアン	C♭	D𝄫	E𝄫	F♭	ソ♭	A𝄫	B𝄫	11
F# フリギア語	F#	G	あ	B	ハ＃	D	E	2	G♭フリギア	ソ♭	A𝄫	B𝄫	C♭	D♭	E𝄫	F♭	10
C# フリギア語	ハ＃	D	E	F#	G#	あ	B	3	D♭フリギアン	D♭	E𝄫	F♭	ソ♭	A♭	B𝄫	C♭	9
G# フリギア語	G#	あ	B	ハ＃	D#	E	F#	4	A♭フリギア	A♭	B𝄫	C♭	D♭	E♭	F♭	ソ♭	8
D♯フリギア語	D#	E	F#	G#	A#	B	ハ＃	5	E♭フリギア語	E♭	F♭	ソ♭	A♭	ロ♭	C♭	D♭	7
A♯ フリギア語	A#	B	ハ＃	D#	E#	F#	G#	6	B♭フリギア	ロ♭	C♭	D♭	E♭	F	ソ♭	A♭	6
E♯ フリギア語	E#	F#	G#	A#	B#	ハ＃	D#	7	F フリギア語	F	ソ♭	A♭	ロ♭	C	D♭	E♭	5
B♯フリギア語	B#	ハ＃	D#	E#	F𝄪	G#	A#	8	C フリギア語	C	D♭	E♭	F	G	A♭	ロ♭	4
F𝄪 フリギア語	F𝄪	G#	A#	B#	C𝄪	D#	E#	9	G フリギア語	G	A♭	ロ♭	C	D	E♭	F	3
C𝄪フリギア語	C𝄪	D#	E#	F𝄪	G𝄪	A#	B#	10	D フリギア語	D	E♭	F	G	あ	ロ♭	C	2
G𝄪フリギア語	G𝄪	A#	B#	C𝄪	D𝄪	E#	F𝄪	11	フリギア人	あ	ロ♭	C	D	E	F	G	1
D𝄪フリギア語	D𝄪	E#	F𝄪	G𝄪	A𝄪	B#	C𝄪	12	東フリギア語	E	F	G	あ	B	C	D	0（フラットやシャープなし）

調号	規模							シャープの数		調号	規模							シャープの数
フリギア人	A𝄪	B#	C𝄪	D𝄪	E𝄪	F𝄪	G𝄪	13		B フリギア語	B	C	D	E	F#	G	あ	1
E𝄪フリギア語	E𝄪	F𝄪	G𝄪	A𝄪	B𝄪	C𝄪	D𝄪	14		F# フリギア語	F#	G	あ	B	ハ＃	D	E	2

リディア旋法

調号	規模							アパートの数		調号	規模							アパートの数
E♭ リディアン	E♭	F	G	あ	ロ♭	C	D	2		F𝄫 リディアン	F𝄫	G𝄫	A𝄫	B𝄫	C𝄫	D𝄫	E𝄫	14
B♭リディアン	ロ♭	C	D	E	F	G	あ	1		C𝄫リディアン	C𝄫	D𝄫	E𝄫	F♭	G𝄫	A𝄫	B𝄫	13

調号	規模							シャープの数	調号	規模							アパートの数
F リディアン	F	G	あ	B	C	D	E	0（シャープやフラットなし）	G𝄫リディアン	G𝄫	A𝄫	B𝄫	C♭	D𝄫	E𝄫	F♭	12
C リディアン	C	D	E	F#	G	あ	B	1	D𝄫 リディアン	D𝄫	E𝄫	F♭	ソ♭	A𝄫	B𝄫	C♭	11
G リディアン	G	あ	B	ハ＃	D	E	F#	2	リディアン	A𝄫	B𝄫	C♭	D♭	E𝄫	F♭	ソ♭	10
D リディアン	D	E	F#	G#	あ	B	ハ＃	3	E𝄫 リディアン	E𝄫	F♭	ソ♭	A♭	B𝄫	C♭	D♭	9
リディア人	あ	B	ハ＃	D#	E	F#	G#	4	B𝄫リディアン	B𝄫	C♭	D♭	E♭	F♭	ソ♭	A♭	8
Eリディアン	E	F#	G#	A#	B	ハ＃	D#	5	F♭リディアン	F♭	ソ♭	A♭	ロ♭	C♭	D♭	E♭	7
B リディアン	B	ハ＃	D#	E#	F#	G#	A#	6	C♭リディアン	C♭	D♭	E♭	F	ソ♭	A♭	ロ♭	6
F# リディアン	F#	G#	A#	B#	ハ＃	D#	E#	7	G♭リディアン	ソ♭	A♭	ロ♭	C	D♭	E♭	F	5
C# リディアン	ハ＃	D#	E#	F𝄪	G#	A#	B#	8	D♭リディアン	D♭	E♭	F	G	A♭	ロ♭	C	4
G# リディアン	G#	A#	B#	C𝄪	D#	E#	F𝄪	9	A♭リディアン	A♭	ロ♭	C	D	E♭	F	G	3
D# リディアン	D#	E#	F𝄪	G𝄪	A#	B#	C𝄪	10	E♭ リディアン	E♭	F	G	あ	ロ♭	C	D	2
A♯ リディアン	A#	B#	C𝄪	D𝄪	E#	F𝄪	G𝄪	11	B♭リディアン	ロ♭	C	D	E	F	G	あ	1
E♯ リディアン	E#	F𝄪	G𝄪	A𝄪	B#	C𝄪	D𝄪	12	F リディアン	F	G	あ	B	C	D	E	0（フラットやシャープなし）

調号	規模							シャープの数		調号	規模							シャープの数
B# リディアン	B#	C𝄪	D𝄪	E𝄪	F𝄪	G𝄪	A𝄪	13		C リディアン	C	D	E	F#	G	あ	B	1
F𝄪 リディアン	F𝄪	G𝄪	A𝄪	B𝄪	C𝄪	D𝄪	E𝄪	14		G リディアン	G	あ	B	ハ＃	D	E	F#	2

ミクソリディアン旋法

調号	規模							アパートの数		調号	規模							アパートの数
F ミクソリディアン	F	G	あ	ロ♭	C	D	E♭	2		G𝄫 ミクソリディアン	G𝄫	A𝄫	B𝄫	C𝄫	D𝄫	E𝄫	F𝄫	14
C ミクソリディアン	C	D	E	F	G	あ	ロ♭	1		D𝄫 ミクソリディアン	D𝄫	E𝄫	F♭	G𝄫	A𝄫	B𝄫	C𝄫	13

調号	規模							シャープの数	調号	規模							アパートの数
G ミクソリディアン	G	あ	B	C	D	E	F	0（シャープやフラットなし）	ミクソリディアン	A𝄫	B𝄫	C♭	D𝄫	E𝄫	F♭	G𝄫	12
D ミクソリディアン	D	E	F#	G	あ	B	C	1	E𝄫 ミクソリディアン	E𝄫	F♭	ソ♭	A𝄫	B𝄫	C♭	D𝄫	11
ミクソリディアン	あ	B	ハ＃	D	E	F#	G	2	B𝄫 ミクソリディアン	B𝄫	C♭	D♭	E𝄫	F♭	ソ♭	A𝄫	10
E ミクソリディアン	E	F#	G#	あ	B	ハ＃	D	3	F♭ ミクソリディアン	F♭	ソ♭	A♭	B𝄫	C♭	D♭	E𝄫	9
B ミクソリディアン	B	ハ＃	D#	E	F#	G#	あ	4	C♭ ミクソリディアン	C♭	D♭	E♭	F♭	ソ♭	A♭	B𝄫	8
F# ミクソリディアン	F#	G#	A#	B	ハ＃	D#	E	5	G♭ ミクソリディアン	ソ♭	A♭	ロ♭	C♭	D♭	E♭	F♭	7
C# ミクソリディアン	ハ＃	D#	E#	F#	G#	A#	B	6	D♭ ミクソリディアン	D♭	E♭	F	ソ♭	A♭	ロ♭	C♭	6
G# ミクソリディアン	G#	A#	B#	ハ＃	D#	E#	F#	7	A♭ミクソリディアン	A♭	ロ♭	C	D♭	E♭	F	ソ♭	5
D# ミクソリディアン	D#	E#	F𝄪	G#	A#	B#	ハ＃	8	E♭ ミクソリディアン	E♭	F	G	A♭	ロ♭	C	D♭	4
A♯ ミクソリディアン	A#	B#	C𝄪	D#	E#	F𝄪	G#	9	B♭ ミクソリディアン	ロ♭	C	D	E♭	F	G	A♭	3
E♯ ミクソリディアン	E#	F𝄪	G𝄪	A#	B#	C𝄪	D#	10	F ミクソリディアン	F	G	あ	ロ♭	C	D	E♭	2
B# ミクソリディアン	B#	C𝄪	D𝄪	E#	F𝄪	G𝄪	A#	11	C ミクソリディアン	C	D	E	F	G	あ	ロ♭	1
F𝄪 ミクソリディアン	F𝄪	G𝄪	A𝄪	B#	C𝄪	D𝄪	E#	12	G ミクソリディアン	G	あ	B	C	D	E	F	0（フラットやシャープなし）

調号	規模							シャープの数		調号	規模							シャープの数
C𝄪 ミクソリディアン	C𝄪	D𝄪	E𝄪	F𝄪	G𝄪	A𝄪		13		D ミクソリディアン	D	E	F#	G	あ	B	C	1
G𝄪 ミクソリディアン	G𝄪	A𝄪	B𝄪	C𝄪	D𝄪	E𝄪		14		ミクソリディアン	あ	B	ハ＃	D	E	F#	G	2

エオリアン旋法（自然短音階）

調号	規模							アパートの数		調号	規模							アパートの数
ト短調	G	あ	ロ♭	C	D	E♭	F	2		マイナー	A𝄫	B𝄫	C𝄫	D𝄫	E𝄫	F𝄫	G𝄫	14
ニ短調	D	E	F	G	あ	ロ♭	C	1		E𝄫マイナー	E𝄫	F♭	G𝄫	A𝄫	B𝄫	C𝄫	D𝄫	13

調号	規模							シャープの数	調号	規模							アパートの数
マイナー	あ	B	C	D	E	F	G	0（シャープやフラットなし）	B𝄫マイナー	B𝄫	C♭	D𝄫	E𝄫	F♭	G𝄫	A𝄫	12
ホ短調	E	F#	G	あ	B	C	D	1	F♭マイナー	F♭	ソ♭	A𝄫	B𝄫	C♭	D𝄫	E𝄫	11
ロ短調	B	ハ＃	D	E	F#	G	あ	2	ハ短調	C♭	D♭	E𝄫	F♭	ソ♭	A𝄫	B𝄫	10
F#マイナー	F#	G#	あ	B	ハ＃	D	E	3	ト♭マイナー	ソ♭	A♭	B𝄫	C♭	D♭	E𝄫	F♭	9
ハ短調	ハ＃	D#	E	F#	G#	あ	B	4	ニ短調	D♭	E♭	F♭	ソ♭	A♭	B𝄫	C♭	8
G#マイナー	G#	A#	B	ハ＃	D#	E	F#	5	A♭マイナー	A♭	ロ♭	C♭	D♭	E♭	F♭	ソ♭	7
D#マイナー	D#	E#	F#	G#	A#	B	ハ＃	6	E♭マイナー	E♭	F	ソ♭	A♭	ロ♭	C♭	D♭	6
A#マイナー	A#	B#	ハ＃	D#	E#	F#	G#	7	ロ短調	ロ♭	C	D♭	E♭	F	ソ♭	A♭	5
E#マイナー	E#	F𝄪	G#	A#	B#	ハ＃	D#	8	ヘ短調	F	G	A♭	ロ♭	C	D♭	E♭	4
ロ短調	B#	C𝄪	D#	E#	F𝄪	G#	A#	9	ハ短調	C	D	E♭	F	G	A♭	ロ♭	3
F𝄪マイナー	F𝄪	G𝄪	A#	B#	C𝄪	D#	E#	10	ト短調	G	あ	ロ♭	C	D	E♭	F	2
ハ短調	C𝄪	D𝄪	E#	F𝄪	G𝄪	A#	B#	11	ニ短調	D	E	F	G	あ	ロ♭	C	1
G𝄪マイナー	G𝄪	A𝄪	B#	C𝄪	D𝄪	E#	F𝄪	12	マイナー	あ	B	C	D	E	F	G	0（フラットやシャープなし）

調号	規模							シャープの数		調号	規模							シャープの数
ニ短調	D𝄪	E𝄪	F𝄪	G𝄪	A𝄪	B#	C𝄪	13		ホ短調	E	F#	G	あ	B	C	D	1
マイナー	A𝄪	B𝄪	C𝄪	D𝄪	E𝄪	F𝄪	G𝄪	14		ロ短調	B	ハ＃	D	E	F#	G	あ	2

ロクリアン旋法

調号	規模							アパートの数		調号	規模							アパートの数
ロクリア人	あ	ロ♭	C	D	E♭	F	G	2		B𝄫 ロクリアン	B𝄫	C𝄫	D𝄫	E𝄫	F𝄫	G𝄫	A𝄫	14
E ロクリアン	E	F	G	あ	ロ♭	C	D	1		F♭ ロクリアン	F♭	G𝄫	A𝄫	B𝄫	C𝄫	D𝄫	E𝄫	13

調号	規模							シャープの数	調号	規模							アパートの数
B ロクリアン	B	C	D	E	F	G	あ	0（シャープやフラットなし）	C♭ ロクリアン	C♭	D𝄫	E𝄫	F♭	G𝄫	A𝄫	B𝄫	12
F# ロクリアン	F#	G	あ	B	C	D	E	1	G♭ ロクリアン	ソ♭	A𝄫	B𝄫	C♭	D𝄫	E𝄫	F♭	11
C# ロクリアン	ハ＃	D	E	F#	G	あ	B	2	D♭ ロクリアン	D♭	E𝄫	F♭	ソ♭	A𝄫	B𝄫	C♭	10
G# ロクリアン	G#	あ	B	ハ＃	D	E	F#	3	A♭ ロクリアン	A♭	B𝄫	C♭	D♭	E𝄫	F♭	ソ♭	9
D# ロクリアン	D#	E	F#	G#	あ	B	ハ＃	4	E♭ ロクリアン	E♭	F♭	ソ♭	A♭	B𝄫	C♭	D♭	8
A# ロクリアン	A#	B	ハ＃	D#	E	F#	G#	5	B♭ ロクリアン	ロ♭	C♭	D♭	E♭	F♭	ソ♭	A♭	7
E＃ロクリアン	E#	F#	G#	A#	B	ハ＃	D#	6	F ロクリアン	F	ソ♭	A♭	ロ♭	C♭	D♭	E♭	6
B# ロクリアン	B#	ハ＃	D#	E#	F#	G#	A#	7	C ロクリアン	C	D♭	E♭	F	ソ♭	A♭	ロ♭	5
F𝄪 ロクリアン	F𝄪	G#	A#	B#	ハ＃	D#	E#	8	G ロクリアン	G	A♭	ロ♭	C	D♭	E♭	F	4
C𝄪 ロクリアン	C𝄪	D#	E#	F𝄪	G#	A#	B#	9	D ロクリアン	D	E♭	F	G	A♭	ロ♭	C	3
G𝄪 ロクリアン	G𝄪	A#	B#	C𝄪	D#	E#	F𝄪	10	ロクリア人	あ	ロ♭	C	D	E♭	F	G	2
D𝄪 ロクリアン	D𝄪	E#	F𝄪	G𝄪	A#	B#	C𝄪	11	E ロクリアン	E	F	G	あ	ロ♭	C	D	1
A𝄪 ロクリアン	A𝄪	B#	C𝄪	D𝄪	E#	F𝄪	G𝄪	12	B ロクリアン	B	C	D	E	F	G	あ	0（フラットやシャープなし）

調号	規模							シャープの数		調号	規模							シャープの数
E𝄪 ロクリアン	E𝄪	F𝄪	G𝄪	A𝄪	B#	C𝄪	D𝄪	13		F# ロクリアン	F#	G	あ	B	C	D	E	1
B𝄪 ロクリアン	B𝄪	C𝄪	D𝄪	E𝄪	F𝄪	G𝄪	A𝄪	14		C# ロクリアン	ハ＃	D	E	F#	G	あ	B	2

同様のチューニングシステム

歴史的には、12-TEDOのわずかなバリエーションとも言える複数の調律システムが用いられてきました。これらは1オクターブあたり12音ですが、音程の大きさに多少のばらつきがあり、音の間隔が完全に均等ではないという特徴があります。その一例が、平均律の完全五度700セントを純正律の完全五度701.955セントに置き換えた三極音階です。この2つの音程の差は2セント未満、つまり1オクターブの600分の1未満であるため、2つの音階は非常によく似ています。実際、中国では何承天が12-TEDOの音階を考案する少なくとも1世紀前に、三極音階の純正律が開発されていました。 ^[38]同様に、古代ギリシャ人が開発したピタゴラス音律は、ルネッサンス時代までヨーロッパで主流のシステムであったが、ヨーロッパ人は81 ⁄ 64^{[39]などの不協和音程を}5 ⁄ 4などのより単純な比率に調律することでより協和にできることに気づき、その結果、音程の大きさをわずかに変更しながらも12-TEDOの近似値と見なせる一連のミーントーン音律がヨーロッパで開発された。ミーントーン音律は、1つの異名同音の完全5度に誤差を集中させる傾向があり、非常に不協和になるため、アンドレアス・ヴェルクマイスター、ヨハン・フィリップ・キルンベルガー、フランチェスコ・アントニオ・ヴァロッティ、トーマス・ヤングなどのヨーロッパの音楽理論家は、最も影響を受ける音程の不協和を減らすためにコンマを分割することを目的として、さまざまなウェル音律を作成した。ヴェルクマイスターとキルンベルガーはそれぞれ最初の音律に満足せず、複数の音律を考案しました。後者は前者よりも平均律に近いものでした。同様に、ヨーロッパ全体でも、平均律とミーントーンから、今日まで使用されている12-TEDOへと徐々に移行していきました。

サブセット

セリアリズムなど一部の音楽では12-TEDOの12音すべてが使用されますが、ほとんどの音楽では12-TEDOの特定のサブセット（スケール）の音のみが使用されます。スケールには様々な種類があります。

12-TEDO で最も人気のあるスケールの種類はミーントーンです。ミーントーンとは、すべての音が五度圏上で連続しているスケールのことです。ミーントーン音階にはさまざまなサイズがあり、使用されるミーントーン音階には、5 音ミーントーン、7 音ミーントーン、9 音ミーントーンなどがあります。ミーントーンは、西洋楽器の設計に存在します。たとえば、ピアノとその前身の楽器の鍵盤は、白鍵が 7 音ミーントーン音階、黒鍵が 5 音ミーントーン音階を形成するように構成されています。別の例として、少なくとも 5 本の弦を持つギターやその他の弦楽器は、通常、開放弦が 5 音ミーントーン音階を形成するように調弦されています。

12-TEDO で使用されるその他のスケールには、上行旋律短音階、和声的短音階、和声的長音階、減音階、およびin スケールがあります。

参照

参考文献

脚注

^ 十二音平均律（ 12-TET）、十二音オクターブ均等割（ 12-TEDO）、 12/2均等割（ 12- ED2）、 12オクターブ均等割（ 12-EDO ）とも呼ばれる。西洋諸国では非公式に十二均等と略されたり、修飾語なしで平均律と呼ばれることもある。
^ ヨーロッパの音楽のチューニングが12ETに近づくにつれて、音楽のスタイルが変化し、12ETの欠陥が目立たなくなったのはおそらく偶然ではないでしょう。ただし、実際の演奏では、演奏者のチューニングの適応によってこれらの欠陥が軽減されることが多いことを念頭に置く必要があります。^[要出典]

引用

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出典

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さらに読む

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外部リンク

EDO と平均律に関する Xenharmonic wiki
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フラクタル微分音音楽、ジム・ククラ。
JSバッハと音律に関する18世紀のすべての引用
ドミニク・エッカーズリー：「ロゼッタ再考：バッハの非常に平凡な音律」
ヴェルクマイスター定義に基づくウェル気質
スケールの好ましい基数（ピーター・ブッフ著）

[12TET-1] 十二音平均律（ 12-TET）、十二音オクターブ均等割（ 12-TEDO）、 12/2均等割（ 12- ED2）、 12オクターブ均等割（ 12-EDO ）とも呼ばれる。西洋諸国では非公式に十二均等と略されたり、修飾語なしで平均律と呼ばれることもある。

[33] ヨーロッパの音楽のチューニングが12ETに近づくにつれて、音楽のスタイルが変化し、12ETの欠陥が目立たなくなったのはおそらく偶然ではないでしょう。ただし、実際の演奏では、演奏者のチューニングの適応によってこれらの欠陥が軽減されることが多いことを念頭に置く必要があります。^[要出典]

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