2 41 多面体


4 21

1 42

2 41

修正 4 21

修正1 42

修正2 41

複直線化 4 21

三連複 4 21
E 6 コクセター平面における直交投影

8 次元幾何学では、2 41はE 8群の対称性の範囲内で構築された均一な 8 次元多面体です。

コクセター記号は2 41で、 2 ノード シーケンスの端に 1 つのリングを持つ、分岐コクセター-ディンキン図を表します。

平行化された2 41 は、 2 41の中辺上の点によって構成されます。双平行化された2 41は、 2 41の三角形の面心上の点によって構成され、平行化された1 42と同じになります。

これらの多面体は、8次元の255（2 8  − 1）個の凸一様多面体族の一部であり、一様多面体面でできており、このコクセター・ディンキン図の環のすべての順列によって定義されます。。

241多面体

2 41多面体
タイプ一様8次元多面体
家族2 k 1多面体
シュレーフリ記号{3,3,3 4,1 }
コクセターシンボル2 41
コクセター図
7つの顔17520:
240 2 31
17280 {3 6 }
6面144960:
6720 2 21
138240 {3 5 }
5面544320:
60480 2 11
483840 {3 4 }
4面1209600:
241920 2 01
967680 {3 3 }
細胞1209600 {3 2 }
顔483840 {3}
エッジ69120
頂点2160
頂点図形1 41
ペトリー多角形30角形
コクセターグループE 8 , [3 4,2,1 ]
プロパティ凸状

2 41は、 17,520面（240 2 31多面体と 17,280 7 単体）、144,960 6 面（6,720 2 21多面体と 138,240 6 単体）、544,320 5 面（60,480 2 11と 483,840 5 単体）、1,209,600 4 面（4 単体）、1,209,600 セル（四面体）、483,840面（三角形）、69,120辺、2160頂点から構成され 、頂点図形は7 次元半立方体である。

この多面体は、コクセター・ディンキン図で2 51となる一様モザイク面である。

別名

  • ELエルテは1912年に半正多面体のリストの中で、この多面体をV 2160 （頂点数が2160であることから）と名付けました。 [1]
  • これは、2 ノード シーケンスの端に単一のリングを持つ、分岐する Coxeter-Dynkin 図にちなんで、Coxeterによって2 41 と命名されました。
  • ディアコシトラコンタ・ミリアヘプタチリアディアコシオクタコンタ・ゼットン（240-17280面体ポリゼットン）; 頭字語：ベイ（ジョナサン・バウアーズ）[2]

座標

2160 個の頂点は次のように定義できます。

( 8-オルソプレックス)の(±4,0,0,0,0,0,0,0,0)の16通りの順列
（三重整流化8-オルソプレックス）の（±2,±2,±2,±2,0,0,0,0）の1120通りの順列
（±3,±1,±1,±1,±1,±1,±1,±1）の1024通りの順列で、マイナス記号の数が奇数である

工事

これは、8 次元空間内の 8 つの超平面ミラーのセットに基づくWythoff 構成によって作成されます。

ファセット情報は、Coxeter-Dynkin 図から抽出できます。。

短い枝のノードを削除すると、7単体が残ります。これらのファセットは17280個あります

4長枝の端のノードを削除すると、2 31が残ります。これらの面は240個あり、 4× 21多面体の240個の頂点の位置を中心としています。

頂点図形は、環状ノードを除去し、隣接するノードを環状にすることで決定される。これにより、7次元半立方体、1 41、。

配置行列で見ると、要素数はミラー除去とコクセター群の順序の比によって導くことができる。[3]

視覚化

2 41をE 8コクセター平面（別名ペトリー投影）に投影したもので、多面体半径と 69120 辺の長さを持つ。
H3対称性を与える基底ベクトル[u,v,w]を使用した3D投影で表示されます。
  • u = (1, φ , 0, −1, φ , 0,0,0)
  • v = ( φ , 0, 1, φ , 0, −1,0,0)
  • w = (0, 1, φ , 0, −1, φ ,0,0)
投影された2160個の2 41多面体の頂点は、3Dノルムに基づいてソート・集計され、集計されたノルムの各セットごとに透明度が増す包が生成されます。重なり合う頂点は、重なり数によって色分けされています。また、各包グループのリスト、原点からのノルム距離、およびグループ内の頂点数も表示されます。
2160 投影された 2 41多面体を 3D に投影したもの（上図）。各ノルム包群は頂点数とともに個別にリストされています。最後の 2 つの外殻は、2 つの正二十面体 (24) と 1 つの正二十十二面体 (30) が重なり合ったものであることに注目してください。
E8
[30]		[20][24]

（1）
E7
[18]		E6
[12]		[6]

（1,8,24,32）

ペトリー多角形投影は、それぞれE6、E7、E8対称性に基づき、12角形、18角形、または30角形です。2160個の頂点はすべて表示されていますが、対称性の低い形状では投影位置が重なり、異なる色の頂点として表示されます。比較のために、B6コクセター群も示されています。

D3 / B2 / A3
[4]		D4 / B3 / A2
[6]		D5 / B4
[8]
D6 / B5 / A4
[10]		D7 / B6
[12]		D8 / B7 / A6
[14]

（1,3,9,12,18,21,36）
B8
[16/2]		A5
[6]		A7
[8]
n次元の2 k 1図形
空間有限ユークリッド双曲線
n345678910
コクセター
グループ		E 3 =A 2 A 1E 4 =A 4E 5 =D 5E 6E 7E8​E 9 = = E 8 +E 10 = = E 8 ++
コクセター
図
対称[3 −1,2,1 ][3 0,2,1 ][[3 1,2,1 ]][3 2,2,1 ][3 3,2,1 ][3 4,2,1 ][3 5,2,1 ][3 6,2,1 ]
注文1212038451,8402,903,0406億9672万9600∞
グラフ--
名前2 −1,1201​2 112 212 312412 512 61

修正241多面体

修正された2 41多面体
タイプ一様8次元多面体
シュレーフリ記号t 1 {3,3,3 4,1 }
コクセターシンボルt 1 (2 41 )
コクセター図
7つの顔合計19680:

240 t 1 (2 21 )
17280 t 1 {3 6 }
2160 1 41

6面313440
5面1693440
4面4717440
細胞7257600
顔5322240
エッジ19680
頂点69120
頂点図形修正6単体プリズム
ペトリー多角形30角形
コクセターグループE 8 , [3 4,2,1 ]
プロパティ凸状

修正された 2 41は2 41多面体の修正であり、頂点は 2 41の中央の辺に配置されます。

別名

  • 整流された240-17280面体ポリゼットンの略称は、整流されたdiacositetraconta-myriaheptachiliadiacosioctaconta-zetton。略称：robay（Jonathan Bowers）[4]

工事

これは、 E 8コクセター群のルートベクトルによって定義される 8 次元空間の8 つの超平面ミラーのセットに対するWythoff 構成によって作成されます。

ファセット情報は、Coxeter-Dynkin 図から抽出できます。。

短い枝のノードを削除すると、修正された7単体が残ります。。

4長枝の端のノードを削除すると、整流された2 31が残ります。。

2長枝の端の節点を除去すると、7デミキューブ、1 41が残る。。

頂点図形は、環状ノードを除去し、隣接するノードを環状にすることで決定される。これにより、修正された6単体プリズムが得られる。。

視覚化

ペトリー多角形投影は、それぞれE6、E7、E8対称性に基づき、12角形、18角形、または30角形です。2160個の頂点はすべて表示されていますが、対称性の低い形状では投影位置が重なり、異なる色の頂点として表示されます。比較のために、B6コクセター群も示されています。

E8
[30]		[20][24]

（1）
E7
[18]		E6
[12]		[6]

（1,8,24,32）
D3 / B2 / A3
[4]		D4 / B3 / A2
[6]		D5 / B4
[8]
D6 / B5 / A4
[10]		D7 / B6
[12]		D8 / B7 / A6
[14]

（1,3,9,12,18,21,36）
B8
[16/2]		A5
[6]		A7
[8]

参照

注記

  1. ^ エルテ、1912年
  2. ^ クリッツィング、(x3o3o3o *c3o3o3o3o - 湾)。
  3. ^ コクセター『正多面体』11.8 6次元、7次元、8次元のゴセット図形、pp. 202–203
  4. ^ クリッツィング、(o3x3o3o *c3o3o3o3o - robay)。

参考文献

  • Elte, EL (1912), The Semiregular Polytopes of the Hyperspaces , Groningen: University of Groningen
  • HSM Coxeter著『Regular Polytopes』第3版、ドーバー、ニューヨーク、1973年
  • 万華鏡：HSMコクセター選集、F・アーサー・シャーク、ピーター・マクマレン、アンソニー・C・トンプソン、アジア・アイビック・ワイス編、Wiley-Interscience Publication、1995年、wiley.com、ISBN 978-0-471-01003-6
    • （論文24）HSM Coxeter,正則多面体と半正則多面体III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3–45]
  • Klitzing, Richard. 「頭字語付き 8D 均一多面体 (ポリゼータ)」x3o3o3o *c3o3o3o3o - ベイ、o3x3o3o *c3o3o3o3o - ロビー
2～10次元の基本凸正則多面体と一様多面体
家族アン​B nI 2 ( p ) / D nE 6 / E 7 / E 8 / F 4 / G 2H n
正多角形三角形四角p角形六角形五角形
均一な多面体四面体八面体•立方体デミキューブ十二面体•二十面体
均一ポリクロロンペンタコロン16セル• Tesseractデミテッセラクト24セル120セル• 600セル
一様5次元多面体5単体5-オルソプレックス• 5-キューブ5デミキューブ
一様6次元多面体6単体6-オルソプレックス• 6-キューブ6デミキューブ1 22 • 2 21
一様7次元多面体7単体7-オルソプレックス• 7-キューブ7デミキューブ1 32 • 2 31 • 3 21
一様8次元多面体8単体8-オルソプレックス• 8-キューブ8デミキューブ1 42 • 241 • 4 21
一様9次元多面体9単体9-オルソプレックス• 9-キューブ9デミキューブ
一様10次元多面体10単体10-オルソプレックス• 10-キューブ10デミキューブ
一様n多面体n -単体n -オルソプレックス• n -キューブn -デミキューブ1 k2 • 2 k1 • k 21n -五角形多面体
トピック:多面体族•正多面体•正多面体と複合多面体の一覧•多面体の演算
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