Roughly, the number of k-dimensional holes on a topological surface
代数的位相幾何学 において 、 ベッティ数は n 次元 単体複体 の連結性に基づいて 位相空間を 区別するために使用される 。最も合理的な有限次元 空間 （ コンパクト多様体 、有限 単体複体、 CW複体 など ）では、ベッティ数の列はある点以降は 0 となり（ベッティ数は空間の次元を超えると消える）、それらはすべて有限である。
n番目 の ベッティ数は n 番目の ホモロジー群 の 階数 を表し、 H n と表記されます。これは、面を 2 つの部分、つまり 0 巡回体、1 巡回体などに分割する前に行うことができるカットの最大数を示します。 [1] たとえば、 の場合 、 の場合 、 の場合 、の 場合、 などとなり ます 。無限群の階数のみが考慮されることに注意してください。たとえば 、 の場合、 は 位数 2 の 有限巡回群 であり、 となります 。ホモロジー群のこれらの有限成分はその ねじれ部分群であり、 ねじれ係数 で表されます 。 H n ( X ) ≅ 0 {\displaystyle H_{n}(X)\cong 0} b n ( X ) = 0 {\displaystyle b_{n}(X)=0} H n ( X ) ≅ Z {\displaystyle H_{n}(X)\cong \mathbb {Z} } b n ( X ) = 1 {\displaystyle b_{n}(X)=1} H n ( X ) ≅ Z ⊕ Z {\displaystyle H_{n}(X)\cong \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} } b n ( X ) = 2 {\displaystyle b_{n}(X)=2} H n ( X ) ≅ Z ⊕ Z ⊕ Z {\displaystyle H_{n}(X)\cong \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} } b n ( X ) = 3 {\displaystyle b_{n}(X)=3} H n ( X ) ≅ Z k ⊕ Z / ( 2 ) {\displaystyle H_{n}(X)\cong \mathbb {Z} ^{k}\oplus \mathbb {Z} /(2)} Z / ( 2 ) {\displaystyle \mathbb {Z} /(2)} b n ( X ) = k {\displaystyle b_{n}(X)=k}
「ベッティ数」という用語は、 エンリコ・ベッティに ちなんで アンリ・ポアンカレによって造られました。現代的な定式化は エミー・ネーター によるものです。ベッティ数は現在、 単体ホモロジー 、 コンピュータサイエンス 、 デジタル画像 などの分野で用いられています 。
幾何学的解釈 トーラスの場合、最初のベッティ数は b 1 = 2 であり、これは直感的に円形の「穴」の数と考えることができます。 非公式には、 k 次元ベッティ数は位相面上の k 次元の 穴 の数を指します。「 k 次元の 穴 」とは、 ( k +1) 次元オブジェクトの境界ではない k 次元の閉路のことです。
最初のいくつかのベッティ数は、0次元、1次元、2次元の 単体複体 に対して次のように定義されます。
b 0 は連結成分の数です。 b 1 は1次元または「円形」の穴の数です。 b 2 は、2 次元の「空隙」または「空洞」の数です。 したがって、たとえば、トーラスには 1 つの接続された表面コンポーネントがあるため b 0 = 1、2 つの「円形」の穴 (1 つは赤道面、もう 1 つは子 午面 ) があるため b 1 = 2、表面内に囲まれた 1 つの空洞があるため b 2 = 1 となります。
b k の別の解釈は 、物体が連結されたまま削除できる k 次元曲線の最大数である。例えば、トーラスは2つの1次元曲線（赤道曲線と子午線曲線）を削除した後も連結されたままであるため、 b 1 = 2 となる 。[2]
2 次元のベッティ数は、世界を 0、1、2、3 次元で見ることができるため、理解しやすくなります。
非負 整数 k に対して、 空間 Xの k 番目のベッティ数 b k ( X ) は、 X の k 番目 の ホモロジー群である アーベル群 H k ( X ) の 階数 （線形独立な生成元の数） として定義されます 。 k 番目 のホモロジー群は 、は 単体複体 の境界写像であり、 H k の階数は k 番目のベッティ数です 。同様に、 この場合のホモロジー群は Q上のベクトル空間であるため、これを H k ( X ; Q )の ベクトル空間次元 として定義することもできます。非常に単純なねじれのないケースにおける 普遍係数定理は 、これらの定義が同じであることを示しています。 H k = ker δ k / Im δ k + 1 {\displaystyle H_{k}=\ker \delta _{k}/\operatorname {Im} \delta _{k+1}} δ k {\displaystyle \delta _{k}}
より一般的には、 体 Fが与えられたとき、 F に係数を持つ k番目のベッティ数 b k ( X , F ) を H k ( X , F )のベクトル空間次元として 定義できます 。
ポアンカレ多項式 曲面の ポアンカレ多項式は 、そのベッティ数の 生成関数 として定義されます。例えば、トーラスのベッティ数は1、2、1であるため、そのポアンカレ多項式は となります 。同じ定義は、有限生成ホモロジーを持つ任意の位相空間にも適用されます。 1 + 2 x + x 2 {\displaystyle 1+2x+x^{2}}
有限生成ホモロジーを持つ位相空間が与えられた場合、ポアンカレ多項式は、係数が である 多項式を介して、そのベッティ数の生成関数として定義されます 。 x n {\displaystyle x^{n}} b n {\displaystyle b_{n}}
例
グラフのベッティ数 頂点集合を V 、辺集合を E 、連結成分集合を Cとする 位相グラフ G を考える。 グラフホモロジー のページで説明したように 、そのホモロジー群は以下のように与えられる。
H k ( G ) = { Z | C | k = 0 Z | E | + | C | − | V | k = 1 { 0 } otherwise {\displaystyle H_{k}(G)={\begin{cases}\mathbb {Z} ^{|C|}&k=0\\\mathbb {Z} ^{|E|+|C|-|V|}&k=1\\\{0\}&{\text{otherwise}}\end{cases}}} これは、辺の数に関する数学的帰納法 によって簡単に証明できます 。新しい辺は、1-サイクルの数を増やすか、連結成分の数を減らすかのいずれかです。
したがって、「ゼロ番目」のベッティ数 b 0 ( G )は| C |に等しく、これは単に連結成分の数である。 [3]
最初のベッティ数 b 1 ( G ) は | E | + | C | - | V | に等しい。これは サイクロマティック数とも呼ばれ、ベッティの論文の前に グスタフ・キルヒホフ によって導入された用語で ある。 [4] ソフトウェア工学 への応用については、 サイクロマティック複雑度を 参照のこと 。
その他のベッティ数はすべて 0 です。
単体複体のベッティ数 0-単体（a、b、c、d）と1-単体（E、F、G、H、I）からなる 単体複体 を考えます。2-単体はJのみで、図の網掛け部分です。この図には連結成分が1つ（ b 0 ）、穴が1つ（網掛け部分ではない部分です）（ b 1 ）、そして「空洞」や「空洞」は存在しません（ b 2 ）。
これは、 のランクが 1、 のランクが 1、 のランクが 0 であることを意味します。 H 0 {\displaystyle H_{0}} H 1 {\displaystyle H_{1}} H 2 {\displaystyle H_{2}}
この図のベッティ数列は 1, 1, 0, 0, ... であり、ポアンカレ多項式は です 。 1 + x {\displaystyle 1+x\,}
射影平面のベッティ数 射影平面 P のホモロジー群は 次の通りである。
H k ( P ) = { Z k = 0 Z 2 k = 1 { 0 } otherwise {\displaystyle H_{k}(P)={\begin{cases}\mathbb {Z} &k=0\\\mathbb {Z} _{2}&k=1\\\{0\}&{\text{otherwise}}\end{cases}}} ここで、 Z 2は位数2の 巡回群 です 。0次ベッティ数は再び1です。しかし、1次ベッティ数は0です。これは、 H 1 ( P ) が有限群、つまり無限成分を持たないためです。群の有限成分は P の 捩れ係数 と呼ばれます。（有理）ベッティ数 b k ( X ) はホモロジー群の 捩れ を考慮しません が、非常に有用な基本的な位相不変量です。最も直感的に言えば、 異なる次元の 穴の数を数えることができます。
プロパティ
オイラー特性 有限CW複素 K に対しては
χ ( K ) = ∑ i = 0 ∞ ( − 1 ) i b i ( K , F ) , {\displaystyle \chi (K)=\sum _{i=0}^{\infty }(-1)^{i}b_{i}(K,F),\,} ここで、 は K と任意の体 F の オイラー特性 を表します 。 χ ( K ) {\displaystyle \chi (K)}
デカルト積 任意 の2つの空間 X と Yについて、
P X × Y = P X P Y , {\displaystyle P_{X\times Y}=P_{X}P_{Y},} ここで、 は X の ポアンカレ多項式 （より一般的には、 無限次元空間の ヒルベルト・ポアンカレ級数）、すなわち X のベッティ数の 生成関数を 表します 。 P X {\displaystyle P_{X}}
P X ( z ) = b 0 ( X ) + b 1 ( X ) z + b 2 ( X ) z 2 + ⋯ , {\displaystyle P_{X}(z)=b_{0}(X)+b_{1}(X)z+b_{2}(X)z^{2}+\cdots ,\,\!} キュネスの定理を 参照 。
対称 X が n 次元多様体の場合、 任意の に対して、 と が入れ替わる対称性があります 。 k {\displaystyle k} n − k {\displaystyle n-k} k {\displaystyle k}
b k ( X ) = b n − k ( X ) , {\displaystyle b_{k}(X)=b_{n-k}(X),} 条件付き（ 閉じた 有向 多様 体）； ポアンカレ双対性 を参照。
異なる係数 体 F への依存性は、その 特性 のみを通じてである。ホモロジー群が 捩れなし で ある場合、ベッティ数は Fに依存しない。 pを素数とする 特性 p に対するp 捩れとベッティ数 の関係は 、 普遍係数定理（ Tor関数 に基づくが 、単純な場合） によって詳細に与えられる。
その他の例 円のベッティ数列は 1、1、0、0、0、... です。 ポアンカレ多項式は 1 + x {\displaystyle 1+x\,} 。 3トーラス のベッティ数列 は 1、3、3、1、0、0、0、... です。 ポアンカレ多項式は ( 1 + x ) 3 = 1 + 3 x + 3 x 2 + x 3 {\displaystyle (1+x)^{3}=1+3x+3x^{2}+x^{3}\,} 。 同様に、 n トーラス の 場合、 ポアンカレ多項式は ( 1 + x ) n {\displaystyle (1+x)^{n}\,} （ キュネスの定理 により）ベッティ数は 二項係数 です。 本質的に無限次元である空間には、非零ベッティ数の無限列が存在する可能性がある。一例として、1, 0, 1, 0, 1, ... という列を持つ無限次元 複素射影空間が 挙げられ、これは 周期長 2で周期性を持つ。この場合、ポアンカレ関数は多項式ではなく、無限級数となる。
1 + x 2 + x 4 + ⋯ {\displaystyle 1+x^{2}+x^{4}+\dotsb } 、 これは等比級数なので、有理関数として表すことができる。
1 1 − x 2 . {\displaystyle {\frac {1}{1-x^{2}}}.} より一般的には、周期的な数列は、上記を一般化して、等比級数の和として表すことができます。例えば、 生成関数は a , b , c , a , b , c , … , {\displaystyle a,b,c,a,b,c,\dots ,}
( a + b x + c x 2 ) / ( 1 − x 3 ) {\displaystyle \left(a+bx+cx^{2}\right)/\left(1-x^{3}\right)\,} より一般的には、 線形再帰列はまさに 有理関数 によって生成される列です 。したがって、ベッティ数の列が線形再帰列である場合に限り、ポアンカレ級数は有理関数として表現可能です。
コンパクト単純 リー群 のポアンカレ多項式は次のとおりです。
P S U ( n + 1 ) ( x ) = ( 1 + x 3 ) ( 1 + x 5 ) ⋯ ( 1 + x 2 n + 1 ) P S O ( 2 n + 1 ) ( x ) = ( 1 + x 3 ) ( 1 + x 7 ) ⋯ ( 1 + x 4 n − 1 ) P S p ( n ) ( x ) = ( 1 + x 3 ) ( 1 + x 7 ) ⋯ ( 1 + x 4 n − 1 ) P S O ( 2 n ) ( x ) = ( 1 + x 2 n − 1 ) ( 1 + x 3 ) ( 1 + x 7 ) ⋯ ( 1 + x 4 n − 5 ) P G 2 ( x ) = ( 1 + x 3 ) ( 1 + x 11 ) P F 4 ( x ) = ( 1 + x 3 ) ( 1 + x 11 ) ( 1 + x 15 ) ( 1 + x 23 ) P E 6 ( x ) = ( 1 + x 3 ) ( 1 + x 9 ) ( 1 + x 11 ) ( 1 + x 15 ) ( 1 + x 17 ) ( 1 + x 23 ) P E 7 ( x ) = ( 1 + x 3 ) ( 1 + x 11 ) ( 1 + x 15 ) ( 1 + x 19 ) ( 1 + x 23 ) ( 1 + x 27 ) ( 1 + x 35 ) P E 8 ( x ) = ( 1 + x 3 ) ( 1 + x 15 ) ( 1 + x 23 ) ( 1 + x 27 ) ( 1 + x 35 ) ( 1 + x 39 ) ( 1 + x 47 ) ( 1 + x 59 ) {\displaystyle {\begin{aligned}P_{SU(n+1)}(x)&=\left(1+x^{3}\right)\left(1+x^{5}\right)\cdots \left(1+x^{2n+1}\right)\\P_{SO(2n+1)}(x)&=\left(1+x^{3}\right)\left(1+x^{7}\right)\cdots \left(1+x^{4n-1}\right)\\P_{Sp(n)}(x)&=\left(1+x^{3}\right)\left(1+x^{7}\right)\cdots \left(1+x^{4n-1}\right)\\P_{SO(2n)}(x)&=\left(1+x^{2n-1}\right)\left(1+x^{3}\right)\left(1+x^{7}\right)\cdots \left(1+x^{4n-5}\right)\\P_{G_{2}}(x)&=\left(1+x^{3}\right)\left(1+x^{11}\right)\\P_{F_{4}}(x)&=\left(1+x^{3}\right)\left(1+x^{11}\right)\left(1+x^{15}\right)\left(1+x^{23}\right)\\P_{E_{6}}(x)&=\left(1+x^{3}\right)\left(1+x^{9}\right)\left(1+x^{11}\right)\left(1+x^{15}\right)\left(1+x^{17}\right)\left(1+x^{23}\right)\\P_{E_{7}}(x)&=\left(1+x^{3}\right)\left(1+x^{11}\right)\left(1+x^{15}\right)\left(1+x^{19}\right)\left(1+x^{23}\right)\left(1+x^{27}\right)\left(1+x^{35}\right)\\P_{E_{8}}(x)&=\left(1+x^{3}\right)\left(1+x^{15}\right)\left(1+x^{23}\right)\left(1+x^{27}\right)\left(1+x^{35}\right)\left(1+x^{39}\right)\left(1+x^{47}\right)\left(1+x^{59}\right)\end{aligned}}}
が閉多様体 である 幾何学的状況において 、ベッティ数の重要性は別の方向から生じる可能性がある。すなわち、ベッティ数は、 厳密な微分形式 を法とする 閉微分形式 のベクトル空間の次元を予測するからである。上記の定義との関連は、 ド・ラームの定理 と ポアンカレ双対性 （これらが適用される場合）、そして ホモロジー理論 の 普遍係数定理という 3つの基本的な結果を介している。 X {\displaystyle X}
別の解釈として、ベッティ数は 調和形式の空間の次元を与えるという解釈もある。この場合、 ホッジラプラシアン に関する ホッジ理論 の結果の一部を用いる必要がある 。
この設定では、 モース理論は 、与えられた 指数 の モース 関数の臨界点 の数の対応する交代和に関して、ベッティ数の交代和の不等式の集合を与える 。 N i {\displaystyle N_{i}}
b i ( X ) − b i − 1 ( X ) + ⋯ ≤ N i − N i − 1 + ⋯ . {\displaystyle b_{i}(X)-b_{i-1}(X)+\cdots \leq N_{i}-N_{i-1}+\cdots .} エドワード・ウィッテンは、モース関数を使って ド・ラーム複体 の 外微分 を修正することでこれらの不等式を説明しました 。 [5]
参照
参考文献 ^ Barile、Weisstein、Margherita、Eric. 「ベッティ数」。MathWorld（Wolfram Web Resource）より。 ^ GhostarchiveとWayback Machineにアーカイブ： Albin, Pierre (2019). 「代数的位相幾何学の歴史」. YouTube . ^ ペル・ハーゲ（1996年）『島嶼ネットワーク：オセアニアにおけるコミュニケーション、親族関係、分類構造』ケンブリッジ大学出版局、p.49、 ISBN 978-0-521-55232-5 。 ^ ピーター・ロバート・コティウガ (2010). ラウル・ボットの数学的遺産を祝う. アメリカ数学会. p. 20. ISBN 978-0-8218-8381-5 。 ^ ウィッテン、エドワード （1982）、「超対称性とモース理論」、 微分幾何学ジャーナル 、 17 （4）： 661-692 、 doi ： 10.4310/jdg/1214437492
フィールド 重要な概念 メトリックとプロパティ 主な結果
