有限単純群の一覧

結合的に可逆な演算を持つ非無限集合。より小さな集合に分割できない。

数学において、有限単純群の分類は、すべての有限 単純群が巡回群、交代群、または 16 のリー型群の族のいずれか、あるいは 26 の散在群のいずれかであると述べられています。

以下のリストには、すべての有限単純群と、その順序、シュアー乗数の大きさ、外部自己同型群の大きさ、通常はいくつかの小さな表現、およびすべての重複のリストが示されています。

まとめ

以下の表は、18の有限単純群族と26の散在単純群の完全なリストであり、それぞれの位数も記載されています。各族の非単純群、および族内または族間で重複するメンバーもすべて記載されています。（重複を除去する際に留意すべき点は、2つの有限単純群が同じ位数を持つことはないことですが、A ₈  =  A ₃ (2) とA ₂ (4) の位数はどちらも20160であり、qが奇数でn > 2の場合、 B _n ( q ) の位数はC _n ( q )と同じである点が異なります。  後者の群のペアのうち最小のものはB ₃ (3) とC ₃ (3) で、どちらも位数は4585351680です。）

_{交代群 A n}とリー型群A _n ( q ) の表記には、残念ながら矛盾が生じています。著者によっては、 A _nを区別するために様々なフォントを使用しています。特に本稿では、交代群 A _nをローマン体フォント、リー型群A _n ( q ) をイタリック体フォントで表記することで、両者を区別しています。

以下において、nは正の整数、q は素数pの正のべき乗であり、制約条件が適用されます。( a , b )という表記は、整数aとbの最大公約数を表します。

クラス	家族	注文	除外事項	重複
巡回群	Z p	p プライム	なし	なし
交代グループ	A n n  > 4	${\displaystyle {\frac {n!}{2}}}$	なし	A 5 ≃ A 1 (4) ≃ A 1 (5) A 6 ≃ A 1 (9) A 8 ≃ A 3 (2)
古典的なシュヴァレー群	アン（q）​	${\displaystyle {\frac {q^{{\frac {1}{2}}n(n+1)}}{(n+1,q-1)}}\prod _{i=1}^{n}\left(q^{i+1}-1\right)}$	A 1 (2)、A 1 (3)	A 1 (4) ≃ A 1 (5) ≃ A 5 A 1 (7) ≃ A 2 (2) A 1 (9) ≃ A 6 A 3 (2) ≃ A 8
	B n ( q ) n  > 1	${\displaystyle {\frac {q^{n^{2}}}{(2,q-1)}}\prod _{i=1}^{n}\left(q^{2i}-1\right)}$	B 2 (2)	B n (2 m ) ≃ C n (2 m ) B 2 (3) ≃ 2 A 3 (2 2 )
	C n ( q ) n  > 2	${\displaystyle {\frac {q^{n^{2}}}{(2,q-1)}}\prod _{i=1}^{n}\left(q^{2i}-1\right)}$	なし	C n (2 m ) ≃ B n (2 m )
	D n ( q ) n  > 3	${\displaystyle {\frac {q^{n(n-1)}(q^{n}-1)}{(4,q^{n}-1)}}\prod _{i=1}^{n-1}\left(q^{2i}-1\right)}$	なし	なし
優れたシュヴァレーグループ	E 6 ( q )	${\displaystyle {\frac {q^{36}}{(3,q-1)}}\prod _{i\in \{2,5,6,8,9,12\}}\left(q^{i}-1\right)}$	なし	なし
	E 7 ( q )	${\displaystyle {\frac {q^{63}}{(2,q-1)}}\prod _{i\in \{2,6,8,10,12,14,18\}}\left(q^{i}-1\right)}$	なし	なし
	E 8 ( q )	${\displaystyle q^{120}\prod _{i\in \{2,8,12,14,18,20,24,30\}}\left(q^{i}-1\right)}$	なし	なし
	F 4 ( q )	${\displaystyle q^{24}\prod _{i\in \{2,6,8,12\}}\left(q^{i}-1\right)}$	なし	なし
	G 2 ( q )	${\displaystyle q^{6}\prod _{i\in \{2,6\}}\left(q^{i}-1\right)}$	G 2 (2)	なし
古典的なスタインベルク群	2 A n ( q 2 ) n  > 1	${\displaystyle {\frac {q^{{\frac {1}{2}}n(n+1)}}{(n+1,q+1)}}\prod _{i=1}^{n}\left(q^{i+1}-(-1)^{i+1}\right)}$	2 A 2 (2 2 )	2 A 3 (2 2 ) ≃ B 2 (3)
	2 D n ( q 2 ) n  > 3	${\displaystyle {\frac {q^{n(n-1)}}{(4,q^{n}+1)}}\left(q^{n}+1\right)\prod _{i=1}^{n-1}\left(q^{2i}-1\right)}$	なし	なし
優れたSteinbergグループ	2 E 6 ( q 2 )	${\displaystyle {\frac {q^{36}}{(3,q+1)}}\prod _{i\in \{2,5,6,8,9,12\}}\left(q^{i}-(-1)^{i}\right)}$	なし	なし
	3 D 4 ( q 3 )	${\displaystyle q^{12}\left(q^{8}+q^{4}+1\right)\left(q^{6}-1\right)\left(q^{2}-1\right)}$	なし	なし
スズキグループ	2 B 2 ( q ) q  = 2 2 n +1	${\displaystyle q^{2}\left(q^{2}+1\right)\left(q-1\right)}$	なし	なし
リーグループ +おっぱいグループ	2 F 4 ( q ) q  = 2 2 n +1	${\displaystyle q^{12}\left(q^{6}+1\right)\left(q^{4}-1\right)\left(q^{3}+1\right)\left(q-1\right)}$	なし	なし
	2 F 4 (2)′	2 12 (2 6 + 1)(2 4 − 1)(2 3 + 1)(2 − 1)/2 =17 971 200
	2 G 2 ( q ) q = 3 2 n +1	${\displaystyle q^{3}\left(q^{3}+1\right)\left(q-1\right)}$	なし	なし
マシューグループ	M 11	7920
	M 12	95 040
	M 22	443 520
	M 23	10 200 960
	M 24	244 823 040
ヤンコグループ	J 1	175 560
	J 2	604 800
	J 3	50 232 960
	J4​	86 775 571 046 077 562 880
コンウェイグループ	Co 3	495 766 656 000
	二酸化炭素​	42 305 421 312 000
	Co 1	4 157 776 806 543 360 000
フィッシャー群	Fi 22	64 561 751 654 400
	Fi 23	4 089 470 473 293 004 800
	Fi 24 ′	1 255 205 709 190 661 721 292 800
ヒグマン・シムズ群	HS	44 352 000
マクラフリングループ	マックL	898 128 000
開催グループ	彼	4 030 387 200
ルドヴァリスグループ	ル	145 926 144 000
鈴木散発群	スズ	448 345 497 600
オナングループ	の上	460 815 505 920
原田・ノートン群	HN	273 030 912 000 000
ライオンズグループ	ライ	51 765 179 004 000 000
トンプソングループ	Th	90 745 943 887 872 000
ベビーモンスターグループ	B	4 154 781 481 226 426 191 177 580 544 000 000
モンスターグループ	M	808 017 424 794 512 875 886 459 904 961 710 757 005 754 368 000 000 000

巡回群、Z_p

シンプルさ: pが素数の場合、シンプルです。

順序: p

シューア乗数:わずか。

外部自己同型群:位数p  − 1 の巡回群。

その他の名称: Z/ p Z、C _p

注意:これらは完全ではない唯一の単純なグループです。

交代グループ、A_n、n = 3, n> 4

単純さ: n ≤ 2 および n = 4の場合に解け 、それ以外の場合は単純です。

順序: n > 1 の場合、 n !/2  。

シューア乗数: n  = 5 またはn  > 7の場合は 2 、 n = 6 または 7 の場合は 6。交代群と対称群の被覆群を 参照。

外部自己同型群:一般に 2. 例外: n  = 1、n  = 2 の場合、それは自明であり、n  = 6の場合、位数は 4 (基本アーベル) です。

その他の名前: Alt _n。

同型性： A ₁と A ₂は自明である。A ₃は位数3の巡回的である。A _4はA ₁ (3)と同型である（可解）。A ₅はA ₁ (4) およびA ₁ (5)と同型である。A _6はA ₁ (9) および導出群B ₂ (2)′ と同型である。A _8はA ₃ (2)と同型である。

備考: n > 1 の場合のn点の順列の対称群のインデックス2 の部分群 。

リー型群

表記: nは正の整数、 q > 1 は素数pのべき乗、 はある基礎有限体の位数です。外部自己同型群の位数は d ⋅ f ⋅ gと表記されます。ここでdは「対角自己同型」の群の位数、fは（巡回）「体自己同型」群の位数（フロベニウス自己同型によって生成）、gは「グラフ自己同型」群の位数（ディンキン図の自己同型 から来る）です。外部自己同型群は、多くの場合、半直積 と同型ですが、常に同型であるとは限りません。ただし、これらの群はすべて、それぞれの位数d、f、g の巡回です。ただし、型 の場合は、位数の群は であり、 の場合のみ、は3つの要素上の対称群です。表記 ( a , b ) は、整数aとbの最大公約数を表します。 ${\displaystyle D\rtimes (F\times G)}$ ${\displaystyle D,F,G}$ ${\displaystyle D_{n}(q)}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle d=4}$ ${\displaystyle C_{2}\times C_{2}}$ ${\displaystyle n=4}$ ${\displaystyle G=S_{3}}$

シュヴァレーグループ、アン_​（q）、B _n（q）n> 1,C _n（q）n> 2,D _n（q）n> 3

	シュヴァレー群、A n ( q ) 線型群	シュヴァレー群、B n ( q ) n  > 1 直交群	シュヴァレー群、C n ( q ) n  > 2 シン プレクティック群	シュヴァレー群、D n ( q ) n  > 3 直交群
シンプルさ	A 1 (2) とA 1 (3) は解けます。その他は簡単です。	B 2 (2)は単純ではないが、その導来群B 2 (2)′は指数2の単純部分群である。その他は単純である。	すべてシンプル	すべてシンプル
注文	${\displaystyle {\frac {q^{{\frac {1}{2}}n(n+1)}}{(n+1,q-1)}}\prod _{i=1}^{n}\left(q^{i+1}-1\right)}$	${\displaystyle {\frac {q^{n^{2}}}{(2,q-1)}}\prod _{i=1}^{n}\left(q^{2i}-1\right)}$	${\displaystyle {\frac {q^{n^{2}}}{(2,q-1)}}\prod _{i=1}^{n}\left(q^{2i}-1\right)}$	${\displaystyle {\frac {q^{n(n-1)}(q^{n}-1)}{(4,q^{n}-1)}}\prod _{i=1}^{n-1}\left(q^{2i}-1\right)}$
シュアー乗数	単純群については、A 1 ( 4 ) (位数2 ) 、 A 1 (9) (位数 6)、 A 2 (2) (位数 2)、A 2 (4) (位数 48、位数 3、4、4 の巡回群の積)、A 3 (2) (位数 2) を除いて、位数 ( n +1、q −1) の巡回群である。	(2, q −1)、ただしB 2 (2) = S 6（B 2 (2) の場合は 2 次、 B 2 (2)′の場合は 6 次）とB 3 (2)（2 次）およびB 3 (3)（6 次）を除く。	(2, q −1) ただしC 3 (2) (順序2)を除く。	位数は(4, q n −1)（ nが奇数の場合は巡回、 nが偶数の場合は基本アーベル）であるが、D 4 (2)（位数4、基本アーベル）は除く。
外自己同型群	n = 1の場合には(2, q −1)⋅ f ⋅1 、 n > 1の場合には ( n +1, q −1)⋅ f ⋅2  、ただしq  =  p f	qが奇数またはn > 2の場合には(2, q −1)⋅ f ⋅1 、 qが偶数かつn = 2の場合には (2, q −1)⋅ f ⋅2  （ただしq  =  p f）	(2, q −1)⋅ f ⋅1、ただしq  =  p f	n  = 4 のときは(2, q −1) 2 ⋅ f ⋅ S 3 、 n  > 4 の偶数のときは (2, q −1) 2 ⋅ f ⋅2 、 nが奇数のときは (4, q n −1)⋅ f ⋅2 であり、q  =  p f、S 3は 3 点の位数 3! の対称群です。
その他の名前	射影特殊線型群、PSL n +1 ( q )、L n +1 ( q )、PSL( n + 1, q )	O 2 n +1 ( q )、Ω 2 n +1 ( q )（qが奇数の場合）。	射影シンプレクティック群、PSp 2 n ( q )、PSp n ( q )（非推奨）、S 2 n ( q )、アーベル群（古い）。	O 2 n + ( q )、PΩ 2 n + ( q )。「ヒポアーベル群」は、この特性2の群の古い呼び名です。
同型性	A 1 (2) は位数 6 の 3 点対称群と同型である。A 1 ( 3) は交代群 A 4 (可解) と同型である。A 1 ( 4 ) とA 1 (5) はともに交代群 A 5と同型である。A 1 (7) と A 2 (2) は同型である。A 1 ( 8 ) は導出群2 G 2 (3)′ と同型である。A 1 (9) は A 6および導出群B 2 (2)′ と同型である。A 3 ( 2) は A 8 と同型である。	B n (2 m )はC n (2 m )と同型である。B 2 (2)は6点対称群と同型であり、導来群B 2 (2)′はA 1 (9)およびA 6と同型である。B 2 (3)は2 A 3 (2 2 )と同型である。	C n (2 m )はB n (2 m ) と同型である。
備考	これらの群は、一般線型群GL n +1 ( q )から行列式1の元を取り（特殊線型群SL n +1 ( q )を与える）、中心で割ることによって得られる。	これは、 2 n + 1次元の直交群から行列式とスピノルノルム写像の核を取ることで得られる群である。B 1 ( q )も存在するが、 A 1 ( q )と同じである。B 2 ( q )は、qが2のべき乗のとき、非自明なグラフ自己同型性を持つ。	この群は、 2 n次元のシンプレクティック群の中心を除算することで得られる。C 1 ( q ) も存在するが、 A 1 ( q )と同じである。C 2 ( q )も存在するが、 B 2 ( q )と同じである。	これは、次元2 nの分割直交群から、行列式の核​​（または標数2のディクソン不変量）とスピノルノルム写像を取り、中心を消すことによって得られる群である。D 4型の群は、トライアリティ自己同型を含む、位数6の非常に大きな図式自己同型群を持つ。D 2 ( q ) も存在するが、A 1 ( q )×A 1 ( q )と同じである。D 3 ( q )も存在するが、A 3 ( q )と同じである。

シュヴァレーグループ、E₆（q）、E₇（q）、E₈（q）、F₄（q）、G₂（q）

	シュヴァレー群、E 6 ( q )	シュヴァレー群、E 7 ( q )	シュヴァレー群、E 8 ( q )	シュヴァレー群、F 4 ( q )	シュヴァレー群、G 2 ( q )
シンプルさ	すべてシンプル	すべてシンプル	すべてシンプル	すべてシンプル	G 2 (2)は単純ではないが、その導来群G 2 (2)′は指数2の単純部分群である。その他は単純である。
注文	q 36 ( q 12 −1)( q 9 −1)( q 8 −1)( q 6 −1)( q 5 −1)( q 2 −1)/(3, q −1)	q 63 ( q 18 −1)( q 14 −1)( q 12 −1)( q 10 −1)( q 8 −1)( q 6 −1)( q 2 −1)/(2, q −1)	q 120 ( q 30 −1)( q 24 −1)( q 20 −1)( q 18 −1)( q 14 −1)( q 12 −1)( q 8 −1)( q 2 −1)	q 24 ( q 12 −1)( q 8 −1)( q 6 −1)( q 2 −1)	q 6 ( q 6 −1)( q 2 −1)
シュアー乗数	（3、q −1）	（2、q −1）	些細な	F 4 (2) （順序2）を除いて自明	G 2 (3) (位数3)とG 2 (4) (位数2)を除く単純群に対しては自明である
外自己同型群	(3, q −1)⋅ f ⋅2、ただしq  =  p f	(2, q −1)⋅ f ⋅1、ただしq  =  p f	1⋅ f ⋅1、ただしq  =  p f	qが奇数の場合は1⋅ f ⋅1 、 qが偶数の場合は1⋅ f ⋅2 （ q  =  p f）	qが3のべき乗でない場合は1⋅ f ⋅1 、 qが3のべき乗の場合は1⋅ f ⋅2 （ q  =  p f）
その他の名前	優れたシュヴァレーグループ	優れたシュヴァレーグループ	優れたシュヴァレーグループ	優れたシュヴァレーグループ	優れたシュヴァレーグループ
同型性					導来群G2 ( 2 )′は2A2 (32 )と同型である。
備考	27 次元の表現を 2 つ持ち、78 次元のリー代数に作用します。	56 次元の表現を持ち、133 次元の対応するリー代数に作用します。	これは248次元の対応するリー代数に作用する。E8 ( 3 )はトンプソン単純群を含む。	これらの群は27次元の例外ジョルダン代数に作用し、26次元表現を与える。また、対応する52次元のリー代数にも作用する。Qが2のべき乗のとき、 F 4 ( q ) は非自明なグラフ自己同型性を持つ。	これらの群は、有限体上の8次元ケーリー代数の自己同型群であり、7次元表現を与える。また、対応する14次元リー代数にも作用する。G 2 ( q ) は、 qが3のべき乗のとき、非自明なグラフ自己同型を持つ。さらに、これらの群は、分割ケーリー一般化六角形と呼ばれる特定の点線幾何学の自己同型群としても現れる。

スタインバーググループ、²アン_​（q²）n> 1,²D _n（q²）n> 3,²E₆（q²）、³D₄（q³）

	スタインバーグ群、2 A n ( q 2 ) n  > 1 ユニタリ群	スタインバーグ群、2 D n ( q 2 ) n  > 3 直交群	スタインバーグ群、2 E 6 ( q 2 )	スタインバーグ群、3D4（q3 ）​​
シンプルさ	2 A 2 (2 2 ) は解けます。その他は簡単です。	すべてシンプル	すべてシンプル	すべてシンプル
注文	${\displaystyle {1 \over (n+1,q+1)}q^{{\frac {1}{2}}n(n+1)}\prod _{i=1}^{n}\left(q^{i+1}-(-1)^{i+1}\right)}$	${\displaystyle {1 \over (4,q^{n}+1)}q^{n(n-1)}(q^{n}+1)\prod _{i=1}^{n-1}\left(q^{2i}-1\right)}$	q 36 ( q 12 −1)( q 9 +1)( q 8 −1)( q 6 −1)( q 5 +1)( q 2 −1)/(3, q +1)	q 12 ( q 8 + q 4 +1)( q 6 −1)( q 2 −1)
シュアー乗数	2 A 3 (2 2 ) (位数2)、2 A 3 ( 3 2 ) (位数36、位数 3,3,4 の巡回群の積)、2 A 5 (2 2 ) (位数 12、位数2,2,3の巡回群の積) を除く単純群の位数 ( n +1 , q +1 ) の巡回群	(4, q n +1)の巡回	(3, q +1) ただし2 E 6 (2 2 ) を除く (位数 12、位数 2,2,3 の巡回群の積)。	些細な
外自己同型群	( n +1, q +1)⋅ f ⋅1、ただしq 2  =  p f	(4, q n +1)⋅ f ⋅1、ただしq 2  =  p f	(3, q +1)⋅ f ⋅1、ただしq 2  =  p f	1⋅ f ⋅1、ただしq 3  =  p f
その他の名前	ねじれシュヴァレー群、射影特殊ユニタリ群、PSU n +1 ( q )、PSU( n + 1, q )、U n +1 ( q )、2 A n ( q )、2 A n ( q , q 2 )	2 D n ( q )、O 2 n − ( q )、PΩ 2 n − ( q )、ねじれシュヴァレー群。「ヒポアーベル群」は、この標数2の群の古風な名称である。	2 E 6 ( q )、ねじれシュヴァレー群	3 D 4 ( q )、D 4 2 ( q 3 )、ねじれシュバレー群
同型性	可解群2 A 2 (2 2 )は、位数9の基本アーベル群による位数8の四元数群の拡張と同型である。2 A 2 ( 3 2 )は導出群G 2 (2)′と同型である。2 A 3 (2 2 )はB 2 (3)と同型である。
備考	これは、 n + 1 次元のユニタリ グループから、行列式 1 の要素の部分群を取り、それを中心で割ることによって得られます。	これは、次元 2 nの非分割直交群から、行列式の核​​（または特性 2 のディクソン不変量）とスピノルノルムマップを取り、中心を消去することによって得られる群です。2 D 2 ( q 2 ) も存在しますが、 A 1 ( q 2 )と同じです。 2 D 3 ( q 2 ) も存在しますが、 2 A 3 ( q 2 )と同じです。	2 E 6 (2 2 )の例外的な二重被覆の 1 つはベビーモンスター群のサブグループであり、位数 4 の基本アーベル群による例外的な中心拡大はモンスター群のサブグループです。	3 D 4 (2 3 )は、根を持たない行列式3の唯一の26次元偶格子に作用する。

スズキグループ、²B₂（2^{2 n +1}）

単純さ: n ≥ 1の場合単純。群² B ₂ (2) は解ける。

順序: q ² ( q ² + 1) ( q  − 1)、ただしq  = 2 ^{2 n +1}。

シュアー乗数: n ≠ 1のときは自明、 ² B ₂のときは 4 次の基本アーベル数(8)。

外部自己同型群:

1⋅ f ⋅1,

ここでf  = 2 n + 1 です。

別名： Suz(2 ^{2 n +1} )、Sz(2 ^{2 n +1} )。

同型: ² B ₂ (2) は位数 20 のフロベニウス群である。

備考：鈴木群は、大きさが (2 ^{2 n +1} ) ² + 1の集合に作用するザッセンハウス群であり、2 ^{2 n +1}個の元 を持つ体上の4次元表現を持つ。鈴木群は、位数が3で割り切れない唯一の非巡回単純群である。散在鈴木群とは無関係である。

リーグループそしておっぱいグループ、²F₄（2^{2 n +1}）

単純さ: n ≥ 1に対して単純。 導来群² F _{4 (2)′ は}² F ₄ (2)の指数 2 の単純群であり、ベルギーの数学者ジャック・ティッツにちなんでティッツ群と呼ばれる。

順序: q ¹² ( q ⁶  + 1) ( q ⁴  − 1) ( q ³  + 1) ( q  − 1)、ただしq  = 2 ^{2 n +1}。

Tits グループの順序は 17971200 = 2 ¹¹ ⋅ 3 ³ ⋅ 5 ² ⋅ 13 です。

シューア乗数: n  ≥ 1 およびティッツ群では自明です。

外部自己同型群:

1⋅ f ⋅1,

ここで、f  = 2 n  + 1。Tits グループの順序は 2 です。

注意:他の単純なリー型群とは異なり、ティッツ群にはBN ペアがありませんが、その自己同型群には BN ペアがあるため、ほとんどの著者はティッツ群をリー型の一種の名誉群とみなしています。

リーグループ、²G₂（3^{2 n +1}）

単純さ: n ≥ 1の場合単純。 群² G ₂ (3) は単純ではないが、その導出群² G ₂ (3)′ は指数 3 の単純部分群である。

順序: q ³ ( q ³  + 1) ( q  − 1)、ただしq  = 3 ^{2 n +1}

シュアー乗数: n  ≥ 1および² G ₂ (3)′ の場合には自明である。

外部自己同型群:

1⋅ f ⋅1,

ここでf  = 2 n  + 1 です。

他の名前: Ree(3 ^{2 n +1} )、 R(3 ^{2 n +1} )、 E ₂ ^∗ (3 ^{2 n +1} ) 。

同型:導来群^2G2 (3)′は_A1 ( 8 ₎と同型である。

備考: ² G ₂ (3 ^{2 n +1} ) は3 ^{3(2 n +1)} + 1 点上の二重推移的置換表現を持ち、 3 ^{2 n +1}個の要素 を持つ体上の 7 次元ベクトル空間に作用します。

散発的なグループ

マシューグループ、M₁₁、M₁₂、M₂₂、M₂₃、M₂₄

	マシューグループ、M 11	マシューグループ、M 12	マシューグループ、M 22	マシューグループ、M 23	マシューグループ、M 24
注文	2 4 ⋅ 3 2 ⋅ 5 ⋅ 11 = 7920	2 6 ⋅ 3 3 ⋅ 5 ⋅ 11 = 95040	2 7 ⋅ 3 2 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 11 = 443520	2 7 ⋅ 3 2 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ 23 = 10200960	2 10 ⋅ 3 3 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ 23 = 244823040
シュアー乗数	些細な	注文2	12次の巡回[a]	些細な	些細な
外自己同型群	些細な	注文2	注文2	些細な	些細な
備考	11点上の4-推移的置換群であり、M 12の点安定群（M 12の5-推移的12点置換表現において）である。M 11はM 23にも含まれる。4-推移的11点置換表現において点を固定したM 11の部分群はM 10と呼ばれることもあり、交代群A 6と同型の指数2の部分群を持つ。	M 24に含まれる、12 点の5 推移的順列群。	22点上の3-推移的置換群であり、M 23の点安定群（M 23の4-推移的23点置換表現において）である。3-推移的22点置換表現において点を固定するM 22の部分群はM 21と呼ばれることもあり、PSL(3,4)（すなわち A 2 (4)）と同型である。	23 点の4 推移的置換群であり、M 24の点安定群である（M 24の 5 推移的 24 点置換表現において）。	24 点の5 推移的順列群。

ヤンコグループ、J₁、J₂、J₃、J₄

	ヤンコグループ、J 1	ヤンコグループ、J 2	ヤンコグループ、J 3	ヤンコグループ、J 4
注文	2 3 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ 19 = 175560	2 7 ⋅ 3 3 ⋅ 5 2 ⋅ 7 = 604800	2 7 ⋅ 3 5 ⋅ 5 ⋅ 17 ⋅ 19 = 50232960	2 21 ⋅ 3 3 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 11 3 ⋅ 23 ⋅ 29 ⋅ 31 ⋅ 37 ⋅ 43 = 86775571046077562880
シュアー乗数	些細な	注文2	注文3	些細な
外自己同型群	些細な	注文2	注文2	些細な
その他の名前	J(1)、J(11)	ホール・ヤンコ群、HJ	ヒグマン・ジャンコ・マッケイ・グループ、HJM
備考	これはG2 ( 11 )のサブグループなので、11個の要素を持つ体上で7次元表現を持ちます。	J 2の自己同型群 J 2 :2は、100点上の階数3のグラフであるホール・ヤンコグラフの自己同型群である。また、ホール・ヤンコ近八角形と呼ばれる正近八角形の自己同型群でもある。J 2はG 2 (4)に含まれる 。	J 3 は他の散在群（あるいは他の何とも）とは無関係であるように思われる。その三重被覆は、4つの元を持つ体上の 9次元ユニタリ表現を持つ。	2 つの要素を持つ体上で 112 次元の表現を持ちます。

コンウェイグループ、Co₁、Co₂、Co₃

	コンウェイグループ、Co 1	コンウェイグループ、Co 2	コンウェイグループ、Co 3
注文	2 21 ⋅ 3 9 ⋅ 5 4 ⋅ 7 2 ⋅ 11 ⋅ 13 ⋅ 23 = 4157776806543360000	2 18 ⋅ 3 6 ⋅ 5 3 ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ 23 = 42305421312000	2 10 ⋅ 3 7 ⋅ 5 3 ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ 23 = 495766656000
シュアー乗数	注文2	些細な	些細な
外自己同型群	些細な	些細な	些細な
その他の名前	·1	·2	·3、C 3
備考	Co 1の完全二重被覆 Co 0は、リーチ格子の自己同型群であり、·0 と表記されることもある。	Co 0のサブグループ。リーチ格子のノルム 4 ベクトルを固定します。	Co 0の部分群。リーチ格子におけるノルム6のベクトルを固定する。276点において二重推移的置換表現を持つ。

フィッシャー群、Fi₂₂、Fi₂₃、Fi₂₄′

	フィッシャーグループ、Fi 22	フィッシャーグループ、Fi 23	フィッシャーグループ、Fi 24 ′
注文	2 17 ⋅ 3 9 ⋅ 5 2 ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ 13 = 64561751654400	2 18 ⋅ 3 13 ⋅ 5 2 ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ 13 ⋅ 17 ⋅ 23 = 4089470473293004800	2 21 ⋅ 3 16 ⋅ 5 2 ⋅ 7 3 ⋅ 11 ⋅ 13 ⋅ 17 ⋅ 23 ⋅ 29 = 1255205709190661721292800
シュアー乗数	注文6	些細な	注文3
外自己同型群	注文2	些細な	注文2
その他の名前	男（22）	男（23）	男性（24）′、女性3+
備考	Fi 23に二重被覆が含まれる 3 転置群。	Fi 24 ′に含まれる3転置グループ。	トリプルカバーはモンスターグループに含まれています。

ヒグマン・シムズ群、HS

順序: 2 ⁹ ⋅ 3 ² ⋅ 5 ³ ⋅ 7 ⋅ 11 = 44352000

シューア乗数: 次数 2。

外部自己同型群:位数 2。

備考:これは、100 点の Higman Sims グラフ上のランク 3 の順列群として機能し、 Co ₂および Co ₃に含まれます。

マクラフリングループ、マクL

順序: 2 ⁷ ⋅ 3 ⁶ ⋅ 5 ³ ⋅ 7 ⋅ 11 = 898128000

シューア乗数: 次数 3。

外部自己同型群:位数 2。

備考: 275 点の McLaughlin グラフ上のランク 3 の順列群として機能し、 Co ₂および Co ₃に含まれます。

開催グループ、 彼

順序: 2 ¹⁰ ⋅ 3 ³ ⋅ 5 ² ⋅ 7 ³ ⋅ 17 = 4030387200

シューア乗数:わずか。

外部自己同型群:位数 2。

その他の名称: Held–Higman–McKay グループ、HHM、F ₇、HTH

備考:モンスター グループ内の順序 7 の要素を集中化します。

ルドヴァリスグループ、ル

順序: 2 ¹⁴ ⋅ 3 ³ ⋅ 5 ³ ⋅ 7 ⋅ 13 ⋅ 29 = 145926144000

シューア乗数:次数 2。

外部自己同型群:自明。

注意:二重被覆はガウス整数上の 28 次元格子に作用します。

鈴木散発群、スズ

順序: 2 ¹³ ⋅ 3 ⁷ ⋅ 5 ² ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ 13 = 448345497600

シューア乗数: 次数 6。

外部自己同型群:位数 2。

別名: Sz

備考: 6 重被覆は、アイゼンシュタイン整数上の 12 次元格子に作用します。リー型鈴木群とは無関係です。

オナングループ、 の上

順序: 2 ⁹ ⋅ 3 ⁴ ⋅ 5 ⋅ 7 ³ ⋅ 11 ⋅ 19 ⋅ 31 = 460815505920

シューア乗数:次数 3。

外部自己同型群:位数 2。

別名: O'Nan–Sims グループ、O'NS、O–S

備考:三重被覆には、外部自己同型によって交換された 7 つの要素を持つ体上の 45 次元表現が 2 つあります。

原田・ノートン群、HN

順序: 2 ¹⁴ ⋅ 3 ⁶ ⋅ 5 ⁶ ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ 19 = 273030912000000

シューア乗数:わずか。

外部自己同型群:位数 2。

その他の名称: F ₅、D

備考:モンスター グループ内の順序 5 の要素を集中化します。

ライオンズグループ、ライ

順序: 2 ⁸ ⋅ 3 ⁷ ⋅ 5 ⁶ ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ 31 ⋅ 37 ⋅ 67 = 51765179004000000

シューア乗数:わずか。

外部自己同型群:自明。

別名：ライオンズ・シムズグループ、LyS

備考: 5 つの要素を持つフィールド上で 111 次元の表現を持ちます。

トンプソングループ、Th

順序: 2 ¹⁵ ⋅ 3 ¹⁰ ⋅ 5 ³ ⋅ 7 ² ⋅ 13 ⋅ 19 ⋅ 31 = 90745943887872000

シューア乗数:わずか。

外部自己同型群:自明。

その他の名称: F ₃、E

備考:モンスターの次元数3の要素を集中化します。248次元表現を持ち、3を法として約分するとE ₈ (3)に包含されます。

ベビーモンスターグループ、B

注文：

   2 ⁴¹ ⋅ 3 ¹³ ⋅ 5 ⁶ ⋅ 7 ² ⋅ 11 ⋅ 13 ⋅ 17 ⋅ 19 ⋅ 23 ⋅ 31 ⋅ 47

= 4154781481226426191177580544000000

シューア乗数:次数 2。

外部自己同型群:自明。

その他の名称: F ₂

備考:二重被覆はモンスター群に含まれる。これは、複素数体上の4371次元表現（非自明な不変積を持たない）と、2つの元を持ち、可換だが結合性のない積を保つ体上の4370次元表現を持つ。

フィッシャー・グリースモンスターグループ、M

注文：

   2 ⁴⁶ ⋅ 3 ²⁰ ⋅ 5 ⁹ ⋅ 7 ⁶ ⋅ 11 ² ⋅ 13 ³ ⋅ 17 ⋅ 19 ⋅ 23 ⋅ 29 ⋅ 31 ⋅ 41 ⋅ 47 ⋅ 59 ⋅ 71

= 808017424794512875886459904961710757005754368000000000

シューア乗数:わずか。

外部自己同型群:自明。

他の名前: F ₁、M ₁、モンスターグループ、フレンドリージャイアント、フィッシャーのモンスター。

備考：他の散在群のうち6つを除くすべてを部分商として含む。モンスター群に関連する。モンスター群は、196,883次元グリース代数と無限次元モンスター頂点作用素代数の自己同型群であり、モンスターリー代数に自然に作用する。

小さな位数の非巡回単純群

注文	因数分解順序	グループ	シュアー乗数	外自己同型群
60	2 2 ⋅ 3 ⋅ 5	A 5 ≃ A 1 (4) ≃ A 1 (5)	2	2
168	2 3 ⋅ 3 ⋅ 7	A 1 (7) ≃ A 2 (2)	2	2
360	2 3 ⋅ 3 2 ⋅ 5	A 6 ≃ A 1 (9) ≃ B 2 (2)′	6	2×2
504	2 3 ⋅ 3 2 ⋅ 7	A 1 (8) ≃ 2 G 2 (3)′	1	3
660	2 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 11	A 1 (11)	2	2
1092	2 2 ⋅ 3 ⋅ 7 ⋅ 13	A 1 (13)	2	2
2448	2 4 ⋅ 3 2 ⋅ 17	A 1 (17)	2	2
2520	2 3 ⋅ 3 2 ⋅ 5 ⋅ 7	A7​	6	2
3420	2 2 ⋅ 3 2 ⋅ 5 ⋅ 19	A 1 (19)	2	2
4080	2 4 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 17	A 1 (16)	1	4
5616	2 4 ⋅ 3 3 ⋅ 13	A 2 (3)	1	2
6048	2 5 ⋅ 3 3 ⋅ 7	2 A 2 (9) ≃ G 2 (2)′	1	2
6072	2 3 ⋅ 3 ⋅ 11 ⋅ 23	A 1 (23)	2	2
7800	2 3 ⋅ 3 ⋅ 5 2 ⋅ 13	A 1 (25)	2	2×2
7920	2 4 ⋅ 3 2 ⋅ 5 ⋅ 11	M 11	1	1
9828	2 2 ⋅ 3 3 ⋅ 7 ⋅ 13	A 1 (27)	2	6
12180	2 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 29	A 1 (29)	2	2
14880	2 5 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 31	A 1 (31)	2	2
20160	2 6 ⋅ 3 2 ⋅ 5 ⋅ 7	A 3 (2) ≃ A 8	2	2
20160	2 6 ⋅ 3 2 ⋅ 5 ⋅ 7	A 2 (4)	3×4 2	D 12
25308	2 2 ⋅ 3 2 ⋅ 19 ⋅ 37	A 1 (37)	2	2
25920	2 6 ⋅ 3 4 ⋅ 5	2 A 3 (4) ≃ B 2 (3)	2	2
29120	2 6 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 13	2 B 2 (8)	2 2	3
32736	2 5 ⋅ 3 ⋅ 11 ⋅ 31	A 1 (32)	1	5
34440	2 3 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 41	A 1 (41)	2	2
39732	2 2 ⋅ 3 ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ 43	A 1 (43)	2	2
51888	2 4 ⋅ 3 ⋅ 23 ⋅ 47	A 1 (47)	2	2
58800	2 4 ⋅ 3 ⋅ 5 2 ⋅ 7 2	A 1 (49)	2	2 2
62400	2 6 ⋅ 3 ⋅ 5 2 ⋅ 13	2 A 2 (16)	1	4
74412	2 2 ⋅ 3 3 ⋅ 13 ⋅ 53	A 1 (53)	2	2
95040	2 6 ⋅ 3 3 ⋅ 5 ⋅ 11	M 12	2	2

（10万未満のご注文の場合はご記入ください）

ホール (1972) は、100 万未満の位数の非巡回単純群を 56 個挙げています。

参照

• 小グループのリスト

注記

1. シュアー乗数の初期の計算にはいくつかの誤りがあり、そのため古い書籍や論文の中には誤った値が記載されているものがあります。（この誤りが、Jankoの1976年の論文^[1]でJ ₄群の存在を裏付ける根拠として挙げられていたタイトルに誤りをもたらしました。当時、M ₂₂の完全被覆群は6⋅M ₂₂であると考えられていました。実際には、J _{4には12⋅M 22}という部分群は存在しません。）

参考文献

1. Z. Janko (1976). 「M24とM22の完全被覆群を部分群として有する、位数86,775,571,046,077,562,880の新しい有限単純群」J. Algebra . 42 : 564–596 . doi : 10.1016/0021-8693(76)90115-0 .

さらに読む

• ロジャー・W・カーター著『ライ型単純群』ISBN 0-471-50683-4
• Conway, J. H .; Curtis, RT; Norton, SP ; Parker, RA; Wilson, RA：「有限群のアトラス：単純群の最大部分群と通常特性」オックスフォード、イギリス 1985 年。
• ダニエル・ゴレンスタイン、リチャード・ライオンズ、ロナルド・ソロモン『有限単純群の分類』（第1巻）、AMS、1994年（第3巻）、AMS、1998年
• ホール、マーシャル・ジュニア（1972）、「100万以下の位数の単純群」、代数ジャーナル、20：98-102、doi：10.1016/0021-8693(72)90090-7、ISSN  0021-8693、MR  0285603
• ウィルソン、ロバート A. (2009) 『有限単純群』、Graduate Texts in Mathematics 251、vol. 251、ベルリン、ニューヨーク：Springer-Verlag、doi :10.1007/978-1-84800-988-2、ISBN 978-1-84800-987-5、Zbl  1203.20012
• 有限群表現のアトラス:散在群を含む多くの有限単純群の表現およびその他のデータが含まれています。
• ^{非アーベル単純群の位数は 10 10}まで、さらに 10 ⁴⁸まで（位数制限あり）。

外部リンク

• 非アーベル単純群の位数は 10,000,000,000 まで。

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