五角形多面体

Regular polytope whose 2D form is a pentagon

幾何学において、五角形多面体（ごかぐんけいちょうたい）は、 H _nコクセター群から構成されるn次元の正多面体である。この族は、2次元五角形多面体が五角形であることから、 HSM コクセターによって名付けられた。シュレーフリ記号で{5, 3 ^{n − 2} }（十二面体）または {3 ^{n − 2} , 5}（二十面体）と命名される。

家族

この族は1 次元多面体として始まり、 n = 5で4 次元双曲空間の無限のモザイク化として終わります。

五角形多面体には2つの種類があり、その3次元的な構成部分から、正十二面体型と正二十面体型と呼ばれることがあります。これら2つの種類は互いに双対関係にあります。

十二面体

正十二面体五角形多面体の完全なファミリーは次のとおりです。

1. 線分、{}
2. ペンタゴン、{5}
3. 正十二面体、{5, 3}（12個の五角形の面）
4. 120セル、{5, 3, 3}（120個の正十二面体セル）
5. 3次120セルハニカム、{5, 3, 3, 3}（双曲型4次元空間（∞120セル面）をテッセレーション）

それぞれの正十二面体五角形多面体の面は、1次元少ない正十二面体五角形多面体である。頂点図形は、1次元少ない単体である。

正十二面体五角形多面体

n	コクセターグループ	ペトリー多角形 投影	名前 Coxeter 図 Schläfli 記号	ファセット	要素
					頂点	エッジ	顔	細胞	4面
1	${\displaystyle H_{1}}$ [ ] (順序2)		線分 { }	2つの頂点	2
2	${\displaystyle H_{2}}$ [5] （順序10）		五角形 {5}	5つのエッジ	5	5
3	${\displaystyle H_{3}}$ [5,3] （順序120）		十二面体 {5, 3}	12個の五角形	20	30	12
4	${\displaystyle H_{4}}$ [5,3,3] （順序14400）		120セル {5, 3, 3}	120面体	600	1200	720	120
5	${\displaystyle {\bar {H}}_{4}}$ [5,3,3,3] (順序∞)		120セルハニカム {5、3、3、3}	∞ 120セル	∞	∞	∞	∞	∞

正二十面体

二十面体五角形多面体の完全なファミリーは次のとおりです。

1. 線分、{}
2. ペンタゴン、{5}
3. 正二十面体、{3, 5}（20個の三角形の面）
4. 600セル、{3, 3, 5}（600個の四面体セル）
5. 5次元ハニカム、{3, 3, 3, 5}（双曲型4次元空間（無限個の5次元セル面）をテッセレーション）

それぞれの二十面体五角形多面体の面は、次元が1つ少ない単体である。頂点図形は、次元が1つ少ない二十面体五角形多面体である。

二十面体五角形多面体

n	コクセターグループ	ペトリー多角形 投影	名前 Coxeter 図 Schläfli 記号	ファセット	要素
					頂点	エッジ	顔	細胞	4面
1	${\displaystyle H_{1}}$ [ ] (順序2)		線分 { }	2つの頂点	2
2	${\displaystyle H_{2}}$ [5] （順序10）		五角形 {5}	5つのエッジ	5	5
3	${\displaystyle H_{3}}$ [5,3] （順序120）		二十面体 {3, 5}	20個の正三角形	12	30	20
4	${\displaystyle H_{4}}$ [5,3,3] （順序14400）		600セル {3, 3, 5}	600個の四面体	120	720	1200	600
5	${\displaystyle {\bar {H}}_{4}}$ [5,3,3,3] (順序∞)		オーダー5 5セルハニカム {3、3、3、5}	∞ 5セル	∞	∞	∞	∞	∞

関連する星型多面体とハニカム

五角形多面体を星型にすると、新しい星型正多面体を形成できます。

• 2次元では五芒星{5/2}が得られる。
• 3次元では、これは4つのケプラー・ポアンソ多面体、{ 3,5/2 }、{ 5/2,3 }、{ 5,5/2 }、および{ 5/2,5 }を形成します。
• 4 次元では、これは 10 個のSchläfli–Hess ポリコーラを形成します: { 3,5,5/2 }、{ 5/2,5,3 }、{ 5,5/2,5 }、{ 5,3,5/2 } 、{ 5/ 2,3,5 }、{ 5/2,5,5/2 }、{ 5,5/2,3 }、{ 3,5/2,5 }、{ 3,3,5/2 }、および { 5/2,3,3 }。
• 4次元双曲空間には、{5/2,5,3,3}、{3,3,5,5/2}、{3,5,5/2,5}、{5,5/2,5,3}という4つの規則的な星型ハニカムが存在します。

場合によっては、星型五角形多面体自体が五角形多面体として数えられることもある。^[1]

他の多面体と同様に、通常の星は双対の星と組み合わせて化合物を形成できます。

• 2次元では、 10/2の十文字星形{10/2}が形成され、
• 3次元では、正十二面体と正二十面体の複合体が得られる。
• 4 次元では、120 セルと 600 セルの複合体が得られます。

星型多面体も組み合わせることができます。

注記

1. コクセター、HSM：正多面体（第3版）、p. 107、p. 266

参考文献

• 万華鏡：HSMコクセター選集、F・アーサー・シャーク、ピーター・マクマレン、アンソニー・C・トンプソン、アジア・アイビック・ワイス編、ワイリー・インターサイエンス出版、1995年、ISBN 978-0-471-01003-6[1] 2016年7月11日にWayback Machineにアーカイブ
  • (論文 10) HSM Coxeter、星型ポリトープ、およびシュラフリ関数 f(α,β,γ) [Elemente der Mathematik 44 (2) (1989) 25–36]
• コクセター著『正多面体』第3版、ドーバー出版、1973年。ISBN 0-486-61480-8（表I(ii): 4次元の16個の正多面体{p, q, r}、pp. 292–293）

v t e 2～10次元の基本凸正則多面体と一様多面体
家族	アン​	B n	I 2 ( p ) / D n	E 6 / E 7 / E 8 / F 4 / G 2	H n
正多角形	三角形	四角	p角形	六角形	五角形
均一な多面体	四面体	八面体•立方体	デミキューブ		十二面体•二十面体
均一ポリクロロン	ペンタコロン	16セル• Tesseract	デミテッセラクト	24セル	120セル• 600セル
一様5次元多面体	5単体	5-オルソプレックス• 5-キューブ	5デミキューブ
一様6次元多面体	6単体	6-オルソプレックス• 6-キューブ	6デミキューブ	1 22 • 2 21
一様7次元多面体	7単体	7-オルソプレックス• 7-キューブ	7デミキューブ	1 32 • 2 31 • 3 21
一様8次元多面体	8単体	8-オルソプレックス• 8-キューブ	8デミキューブ	1 42 • 2 41 • 4 21
一様9次元多面体	9単体	9-オルソプレックス• 9-キューブ	9デミキューブ
一様10次元多面体	10単体	10-オルソプレックス• 10-キューブ	10デミキューブ
一様n多面体	n -単体	n -オルソプレックス• n -キューブ	n -デミキューブ	1 k2 • 2 k1 • k 21	n五角形多面体
トピック:多面体族•正多面体•正多面体と複合多面体の一覧•多面体の演算

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