2.71828...、自然対数の底

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数学で使用される定数値

オイラー数
e 2.71828... [ 1 ]
一般情報
タイプ	超越的
歴史
発見した	1685
による	ヤコブ・ベルヌーイ
最初の言及	使用目的以外の質問、さまざまな問題の解決、エフェムでの提案。ゴール。 A. 1685
名前の由来	レオンハルト・オイラー ジョン・ネイピア

方程式y = 1/ xのグラフ。ここで、eは曲線の下の網掛け部分が 1 となるような 1 より大きい数です。

eは数学定数で、約 2.71828 に等しく、自然対数と指数関数の底である。スイスの数学者レオンハルト・オイラーにちなんでオイラー数と呼ばれることもあるが、これはオイラー数や、通常 で表される別の定数であるオイラー定数と混同される可能性がある。あるいは、e はジョン・ネイピアにちなんでネイピア定数と呼ばれることもある。^{[ 2 ] [ 3 ]}スイスの数学者ヤコブ・ベルヌーイは複利の研究中にこの定数を発見した。^{[ 4 ] [ 5 ]} ${\displaystyle \gamma }$

数eは数学において非常に重要な数であり^{[ 6 ]} 、 0、1、π、iと並んで重要な意味を持つ。これら5つはすべてオイラーの恒等式 の定式化に現れ、数学のあらゆる場面で重要かつ繰り返し使用される。 ^{[ 7 ] [ 8 ]}定数πと同様に、e は無理数であり、整数の比として表すことができない。さらに、 e は超越数であり、有理数係数を持つ非ゼロ多項式の根ではない。 ^{[ 3 ]}小数点以下30桁まで、 eの値は次のように表される。^{[ 1 ]} ${\displaystyle e^{i\pi }+1=0}$

2.71828 18284 59045 23536 02874 71352

定義

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数値eは、複利の計算で生じる式の限界 です。 $${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n},}$$

それは無限級数の和である $${\displaystyle e=\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}=1+{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1\cdot 2}}+{\frac {1}{1\cdot 2\cdot 3}}+\cdots .}$$

関数y = a ^xのグラフがx = 0で傾き1 になるような唯一の正の数aです。

が成り立ちます。ここでは (自然)指数関数であり、それ自身の導関数に等しく、次式を満たす唯一の関数です。したがって、e は自然対数の底であり、自然指数関数の逆関数でもあります。 $${\displaystyle e=\exp(1),}$$ ${\displaystyle \exp }$ ${\displaystyle \exp(0)=1.}$

数eは積分によって特徴付けられる：^{[ 9 ]} $${\displaystyle \int _{1}^{e}{\frac {dx}{x}}=1.}$$

その他の特徴については、§ 表現を参照してください。

歴史

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この定数への最初の言及は、1618年にジョン・ネイピアによる対数に関する著作の付録表の中で発表された。しかし、この表には定数そのものは含まれておらず、単にを底とする対数の一覧が記載されていた。この表は ${\displaystyle e}$ウィリアム・オートレッドによって書かれたと推定されている。1661年、クリスティアーン・ホイヘンスは幾何学的手法による対数計算方法を研究し、後から考えればeの10を底とする対数である量を計算したが、彼はeそのものを興味深い量として認識していなかった。 ^{[ 5 ] [ 10 ]}

この定数自体は1683年にヤコブ・ベルヌーイによって、利息の連続複利問題を解くために導入されました。 ^{[ 11 ] [ 12 ]}彼の解法では、定数eは、 nが複利が評価される年間の間隔の数（例えば、月次複利の場合）を表す極限として現れます。 $${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n},}$$ ${\displaystyle n=12}$

この定数を表す最初の記号はゴットフリート・ライプニッツが1690年と1691年にクリスティアーン・ホイヘンスに宛てた手紙の中で使った文字bでした。 ^{[ 13 ]}

レオンハルト・オイラーは、1727年か1728年に大砲の爆発力に関する未発表論文^{[ 14 ]}と、 1731年11月25日のクリスティアン・ゴールドバッハへの手紙の中で、定数に文字「e」を使い始めました。 ^{[ 15 ] [ 16 ]}印刷物で「e」 が初めて登場したのは、オイラーの『力学』（1736年）です。^{[ 17 ]}オイラーがなぜ文字「e」を選んだのかは不明です。^{[ 18 ]}その後、一部の研究者は文字「c」を使用しましたが、文字「e」の方が一般的で、最終的に標準となりました。^{[ 2 ]}

オイラーは、e が無限級数の和であり、n !がnの階乗であることを証明した。^{[ 5 ]}極限と無限級数を用いた2つの特徴付けの同値性は、二項定理によって証明できる。^{[ 19 ]} $${\displaystyle e=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}={\frac {1}{0!}}+{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{3!}}+{\frac {1}{4!}}+\cdots ,}$$

アプリケーション

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複利

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初期投資額1,000ドルに対し、様々な複利頻度で年間20%の利息を得られる効果。上図の限界曲線はグラフで、yはドル単位、tは年数、0.2 = 20%です。 ${\displaystyle y=1000e^{0.2t}}$

ヤコブ・ベルヌーイは1683年に複利に関する問題を研究しているときにこの定数を発見した。^{[ 5 ]}

口座は1ドルから始まり、年利100%の利息が付きます。利息が年末に一度だけ入金された場合、年末の口座残高は2ドルになります。年間を通して利息が計算され、より頻繁に入金された場合はどうなりますか？

利息が年間2回支払われる場合、6ヶ月ごとの利率は50%となるため、当初の1ドルは1.5倍に2回乗じられ、年末には1.00ドル × 1.5 ² = 2.25ドルとなる。四半期複利計算では1.00ドル × 1.25 ⁴ = 2.44140625ドル、月複利計算では1.00ドル × (1 + 1/12) ¹² = 2.613035ドルとなる。n回の複利計算期間がある場合、各期間の利息は100%/ nとなり、年末には1.00ドル ×  (1 + 1/ n ) ⁿとなる。^{[ 20 ] [ 21 ]}

ベルヌーイは、この数列がnが大きくなるほど、つまり複利計算の間隔が短くなると、極限（利子の力）に近づくことに気づきました。 ^{[ 5 ]}毎週複利計算（n = 52）すると $2.692596... になり、毎日複利計算（n = 365）すると $2.714567...（約 2 セント多く）になります。n が大きくなるにつれてこの極限に達する数字がeとして知られるようになりました。つまり、継続複利を適用すると、口座残高は $2.718281828... に達します。より一般的には、1 ドルから始まり、年利Rの口座は、 t年後には継続複利でe ^Rtドルの利回りを生み出します。ここで、Rはパーセントで表した利率の小数点以下です。つまり、5 % の利子の場合、R = 5/100 = 0.05 となります。^{[ 20 ] [ 21 ]}

ベルヌーイ試行

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n 回のベルヌーイ試行後に確率1/ nの独立したイベントが観測されない確率Pと、1 − P対nのグラフ。n が増加すると、 n回の試行後に1/ nの確率のイベントが決して出現しない確率が急速に1/ eに収束する ことがわかります。 

数e自体も確率論において、指数関数的増加とは明らかに関連しない形で応用されています。例えば、あるギャンブラーがn回に 1 回の確率で配当が出るスロットマシンをn回プレイしたとします。nが増加するにつれて、ギャンブラーがn回すべての賭けに負ける確率は1/ eに近づき、これは約 36.79% です。n = 20の場合、これはすでに 1/2.789509... (約 35.85%)です。

これはベルヌーイ試行過程の例です。ギャンブラーがスロットをプレイするたびに、n回に1回の確率で勝てます。n回プレイする確率は二項分布によってモデル化され、これは二項定理やパスカルの三角形と密接に関連しています。n回の試行でk回勝つ確率は^{[ 22 ]です。}

${\displaystyle \Pr[k~\mathrm {wins~of} ~n]={\binom {n}{k}}\left({\frac {1}{n}}\right)^{k}\left(1-{\frac {1}{n}}\right)^{n-k}.}$

特に、0回勝つ確率（k = 0）は

${\displaystyle \Pr[0~\mathrm {wins~of} ~n]=\left(1-{\frac {1}{n}}\right)^{n}.}$

上記の式の限界は、n が無限大に近づくにつれて、正確に1/ eになります。

指数関数的成長と減衰

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詳細情報:指数関数的増加と指数関数的減少

指数関数的増加は、量が時間の経過とともに常に増加する割合で増加するプロセスです。これは、量の時間に対する瞬間的な変化率（つまり、導関数）が量自体に比例するときに発生します。 ^{[ 21 ]}関数として記述すると、指数関数的に増加する量は時間の指数関数であり、つまり、時間を表す変数が指数です（2 次増加などの他の種類の増加とは対照的です）。比例定数が負の場合、量は時間の経過とともに減少し、代わりに指数関数的減少を起こしていると言われます。指数関数的増加の法則は、異なる底を使用することで、異なるが数学的に等価な形式で記述できます。底には数値eが一般的で便利な選択肢です。ここで、は量xの初期値、kは増加定数、 は量がe倍に増加するのにかかる時間です。 $${\displaystyle x(t)=x_{0}\cdot e^{kt}=x_{0}\cdot e^{t/\tau }.}$$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle \tau }$

標準正規分布

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主要記事:正規分布

平均がゼロで標準偏差が1の正規分布は標準正規分布として知られており、^{[ 23 ]}確率密度関数によって与えられる。 $${\displaystyle \phi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {1}{2}}x^{2}}.}$$

単位標準偏差（したがって単位分散）の制約により、⁠1/2⁠指数に が含まれ、曲線下の総面積が単位であるという制約により、係数 が与えられます。この関数はx = 0 を中心に対称で、最大値 に達し、x = ±1に変曲点を持ちます。 ${\displaystyle \phi (x)}$ ${\displaystyle \textstyle 1/{\sqrt {2\pi }}}$ ${\displaystyle \textstyle 1/{\sqrt {2\pi }}}$

錯乱

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主要記事:錯乱

eのもう 1 つの応用は、ピエール・レモン・ド・モンモールとヤコブ・ベルヌーイによって部分的に発見されたもので、帽子チェック問題としても知られる、混乱の問題です。^{[ 24 ]} n人のゲストがパーティに招待され、入り口でゲスト全員が執事に帽子を預けます。執事は、各ゲストの名前が 1 つ付いたn個の箱に帽子を入れます。しかし、執事はゲストの身元を尋ねていないため、帽子はランダムに選ばれた箱に入れられます。ド・モンモールの問題は、どの帽子も正しい箱に入れられない確率を求めることです。この確率は と表され、次の式で表されます。 ${\displaystyle p_{n}\!}$

${\displaystyle p_{n}=1-{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}-{\frac {1}{3!}}+\cdots +{\frac {(-1)^{n}}{n!}}=\sum _{k=0}^{n}{\frac {(-1)^{k}}{k!}}.}$

n が無限大に近づくにつれて、p _{n は}1/ eに近づく。さらに、どの帽子も正しい箱に入らないように帽子を箱に入れる方法の数は、任意の正のnに対して、最も近い整数に丸め てn !/ e となる。^{[ 25 ]}

最適計画問題

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の最大値はで発生します。同様に、底b > 1の任意の値に対して、 の最大値は で発生します（シュタイナーの問題、後述）。 ${\displaystyle {\sqrt[{x}]{x}}}$ ${\displaystyle x=e}$ ${\displaystyle x^{-1}\log _{b}x}$ ${\displaystyle x=e}$

これは、長さLの棒をn等分する問題で役立ちます。長さの積を最大化するnの値は^{[ 26 ]のいずれかです。}

${\displaystyle n=\left\lfloor {\frac {L}{e}}\right\rfloor }$または ${\displaystyle \left\lceil {\frac {L}{e}}\right\rceil .}$

この量は、確率（ の場合にほぼ）で発生するイベントから収集される情報の尺度でもあるため、秘書問題のような最適計画問題では本質的に同じ最適な分割が現れる。 ${\displaystyle x^{-1}\log _{b}x}$ ${\displaystyle 1/x}$ ${\displaystyle 36.8\%}$ ${\displaystyle x=e}$

漸近解析

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数eは、漸近挙動を伴う多くの問題において自然に現れる。例えば、階乗関数の漸近挙動に関するスターリングの公式では、数eとπの両方が現れる。^{[ 27 ]} $${\displaystyle n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}.}$$

その結果、^{[ 27 ]} $${\displaystyle e=\lim _{n\to \infty }{\frac {n}{\sqrt[{n}]{n!}}}.}$$

プロパティ

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微積分

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参照:指数関数の特徴

関数x ↦ a ^xのグラフは、 a = 2（点線）、a = e（青）、a = 4 （破線）の場合に示されています。これらはすべて点（0,1）を通りますが、赤い線（傾き1 ）はそこでのみe ^xに接します。

引数eに対する自然対数関数の値、つまりln eは 1 になります。

特に微積分学において数eを導入する主な動機は、指数関数と対数関数を用いて微分積分を行うためである。^{[ 28 ]}一般的な指数関数y = a ^xには導関数があり、その導関数は極限で与えられる。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}a^{x}&=\lim _{h\to 0}{\frac {a^{x+h}-a^{x}}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {a^{x}a^{h}-a^{x}}{h}}\\&=a^{x}\cdot \left(\lim _{h\to 0}{\frac {a^{h}-1}{h}}\right).\end{aligned}}}$

右辺の括弧で囲まれた極限は変数xに依存しません。その値は、 eを底とするaの対数となります。したがって、 aの値をeとすると、この極限は1となり、次の単純な恒等式が成立します。

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}.}$

したがって、 eを底とする指数関数は微積分を行うのに特に適しています。指数関数の底として（他の数ではなく） eを選択すると、導関数を含む計算がはるかに簡単になります。

もう1つの動機は、対数aの導関数（つまりlog _a x）^{[ 28 ]} （ x > 0の場合 ）を考えることから来ています。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\log _{a}x&=\lim _{h\to 0}{\frac {\log _{a}(x+h)-\log _{a}(x)}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {\log _{a}(1+h/x)}{x\cdot h/x}}\\&={\frac {1}{x}}\log _{a}\left(\lim _{u\to 0}(1+u)^{\frac {1}{u}}\right)\\&={\frac {1}{x}}\log _{a}e,\end{aligned}}}$

ここでu = h / xと置き換えた。eの対数aは、aがeに等しい場合、底が1である。したがって、記号的に言えば、

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\log _{e}x={\frac {1}{x}}.}$

この特殊な底を持つ対数は自然対数と呼ばれ、通常はlnと表記されます。計算中に未定の制限がないため、微分しても適切に動作します。

したがって、このような特別な数a を選択するには2つの方法があります。1つは、指数関数a ^xの導関数をa ^xと等しくし、aについて解くことです。もう1つは、aを底とする対数の導関数を1/ xと等しくし、 aについて解くことです。いずれの場合も、微積分を行うのに都合の良い底の選択に至ります。これらの2つのaの解は、実際には同じ値、つまりeであることがわかります。

5つの色付きの領域は面積が等しく、双曲線に沿った双曲線角度の単位を定義します。 ${\displaystyle xy=1.}$

指数関数のテイラー級数は、指数関数がそれ自身の導関数であり、0で評価すると1になるという事実から演繹できる。^{[ 29 ]}を設定すると、eが無限級数の和であるという定義が復元される。 $${\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}.}$$ ${\displaystyle x=1}$

自然対数関数は 1 からまでの積分として定義でき、指数関数は自然対数の逆関数として定義できます。数eは指数関数の における値、つまり自然対数が 1 となる数です。したがって、 eは次式を満たす唯一の正の実数です。 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 1/t}$ ${\displaystyle x=1}$ $${\displaystyle \int _{1}^{e}{\frac {1}{t}}\,dt=1.}$$

e ^{x は}（定数Kを乗じない限り）それ自身の導関数に等しい唯一の関数であるため、

$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}Ke^{x}=Ke^{x},}$$

したがって、それはそれ自身の反微分でもある：^{[ 30 ]}

$${\displaystyle \int Ke^{x}\,dx=Ke^{x}+C.}$$

同様に、関数族

$${\displaystyle y(x)=Ke^{x}}$$

ここでKは任意の実数または複素数であり、微分方程式の完全解である。

$${\displaystyle y'=y.}$$

不平等

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指数関数y = 2 ^xとy = 4 ^{x は}、それぞれy = x + 1のグラフとx = 1とx = −1/2で交差します。数eは、 y = e ^xがx = 0でのみ交差するような唯一の底です。eは2 から 4 の間であると推測できます。

数eは、 すべての正のxに対して成り立つ唯一の実数である。^{[ 31 ]} $${\displaystyle \left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}<e<\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x+1}}$$

また、すべての実数xに対して不等式が成り立ち 、等式が成り立つのはx = 0のときのみである。さらに、eはすべてのxに対して不等式a ^x ≥ x + 1が成り立つような指数関数の唯一の底である。^{[ 32 ]}これはベルヌーイの不等式 の極限ケースである。 $${\displaystyle e^{x}\geq x+1}$$

指数関数のような関数

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^x √ xの最大値はx = eで発生します。

シュタイナーの問題は関数の最大値を求めるものである。

$${\displaystyle f(x)=x^{\frac {1}{x}}.}$$

この最大値はまさにx = eのときに発生します。（ x がこの値の場合のみ、  ln f ( x )の導関数がゼロになることを確認できます。）

同様に、x = 1/ eは関数の最小値となる。

$${\displaystyle f(x)=x^{x}.}$$

無限テトレーション

${\displaystyle x^{x^{x^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot }}}}}}$または ${\displaystyle {^{\infty }}x}$

収束するのはx ∈ [(1/ e ) ^e , e ^{1/ e} ] ≈ [0.06599, 1.4447]の場合のみであり、^{[ 33 ] [ 34 ]}レオンハルト・オイラーの定理によって示される。^{[ 35 ] [ 36 ] [ 37 ]}

数論

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実数eは無理数である。オイラーは、その単純な連分数展開が停止しないことを示してこれを証明した。 ^{[ 38 ]}（フーリエによるeが無理数であることの証明も参照のこと。）

さらに、リンデマン・ワイエルシュトラスの定理によれば、eは超越数であり、有理係数を持つ非零多項式方程式の解ではない。e は、この目的のために特別に構築されることなく超越数であることが証明された最初の数である（リウヴィル数と比較のこと）。証明は1873年にシャルル・エルミートによってなされた。 ^{[ 39 ]} eは、正確な無理数指数が既知である数少ない超越数の一つである（ によって与えられる）。^{[ 40 ]} ${\displaystyle \mu (e)=2}$

これまで未解決の問題は、 eとπが代数的に独立であるかどうかである。これは、リンデマン＝ワイエルシュトラスの定理の未証明の一般化であるシャヌエル予想によって解決されるであろう。^{[ 41 ] [ 42 ]}

eは正規分布していると考えられており、これはeを任意の基数で表した場合、その基数で可能な数字が均一に分布している（与えられた長さの任意のシーケンスで等しい確率で発生する）ことを意味する。^{[ 43 ]}

代数幾何学において、周期とは代数関数の代数領域における積分として表される数である。定数πは周期であるが、eは周期ではないと推測されている。^{[ 44 ]}

複素数

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指数関数 e ^xはテイラー級数として表される^{[ 45 ] [ 29 ]}

$${\displaystyle e^{x}=1+{x \over 1!}+{x^{2} \over 2!}+{x^{3} \over 3!}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}.}$$

この級数はxのあらゆる複素数値に対して収束するため、 e ^xの定義を複素数に拡張するためによく使用されます。^{[ 46 ]}これとsinとcos xのテイラー級数を組み合わせると、オイラーの公式を導くことができます。

$${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x,}$$

これはすべての複素数xに対して成り立つ。^{[ 46 ]} x = πの特別な場合はオイラーの恒等式である。

$${\displaystyle e^{i\pi }+1=0,}$$これは数学における最も基本的な数の間の深い繋がりを示すことから、数学的美の典型と考えられています。さらに、これはπが超越数であることの証明に直接用いられており、これは円を二乗することが不可能であることを意味します。^{[ 47 ] [ 48 ]}さらに、この恒等式は対数の主枝において、 ^{[ 46 ]}

$${\displaystyle \ln(-1)=i\pi .}$$

さらに、指数法則を用いると、

$${\displaystyle (\cos x+i\sin x)^{n}=\left(e^{ix}\right)^{n}=e^{inx}=\cos nx+i\sin nx}$$

任意の整数nに対して、これはド・モアブルの公式である。^{[ 49 ]}

指数関数を用いたとの各表現はテイラー級数から次のように演繹できる。^{[ 46 ]} ${\displaystyle \sin(x)}$ ${\displaystyle \cos(x)}$ $${\displaystyle \cos x={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}},\qquad \sin x={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}.}$$

この表現は と略されることもある。^{[ 49 ]} ${\textstyle \cos x+i\sin x}$ ${\displaystyle \mathrm {cis} (x)}$

エントロピ

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定数は、確率論およびエルゴード理論におけるエントロピー理論で重要な役割を果たしている。^{[ 50 ]}基本的な考え方は、確率空間を有限個の測定可能な集合,に分割することを考えることである。そのエントロピーは、ランダムサンプル（または「実験」）を実行することによって確率分布に関して得られる期待情報である。分割のエントロピーは である。 したがって、関数 は根本的に重要であり、分割の特定の要素 によって寄与されるエントロピーの量を表す。この関数は のときに最大化される。これが具体的に意味するのは、特定のイベントのエントロピー寄与がのときに最大化されるということであり、可能性が高すぎるかまれすぎる結果が全体のエントロピーに寄与する度合いは小さくなる。 ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle \xi =(A_{1},\cdots ,A_{k})}$ $${\displaystyle H(\xi )=-\sum _{i=1}^{k}p(A_{i})\ln p(A_{i}).}$$ ${\displaystyle f(x)=-x\ln x}$ ${\displaystyle x=p(A_{i})}$ ${\displaystyle x=1/e}$ ${\displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle p(A_{i})=1/e}$

表現

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主要記事: eの表現の一覧

数eは、無限級数、無限積、連分数、数列の極限など、様々な方法で表すことができます。上記の極限と級数に加えて、単純な連分数もあります。

${\displaystyle e=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,...,1,2n,1,...],}$^{[ 51 ] [ 52 ]}

書き出すと次のようになります

${\displaystyle e=2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+\ddots }}}}}}}}}}}}}}.}$

次の無限積はeと評価される：^{[ 26 ]} $${\displaystyle e={\frac {2}{1}}\left({\frac {4}{3}}\right)^{1/2}\left({\frac {6\cdot 8}{5\cdot 7}}\right)^{1/4}\left({\frac {10\cdot 12\cdot 14\cdot 16}{9\cdot 11\cdot 13\cdot 15}}\right)^{1/8}\cdots .}$$

eの他の多くの級数、数列、連分数、無限積の表現が証明されています。

確率的表現

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eの表現に関する正確な解析的表現に加えて、 e を推定するための確率的手法も存在します。そのようなアプローチの一つは、 [0, 1]の一様分布から得られる独立確率変数の無限列X ₁ , X ₂ ... から始まり、最初のn 個の観測値の合計が 1 を超える最小の数nをVとします。

${\displaystyle V=\min \left\{n\mid X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{n}>1\right\}.}$

このときVの期待値はe : E( V )= eとなる。^{[ 53 ] [ 54 ]}

既知の数字

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コンピュータの導入以来、eの既知の桁数は大幅に増加している。これはコンピュータの性能向上とアルゴリズムの改良によるものである。 ^{[ 55 ] [ 56 ]}

eの既知の小数点以下の桁数

日付	小数点	計算実行者
1690	1	ヤコブ・ベルヌーイ[ 11 ]
1714	13	ロジャー・コーツ[ 57 ]
1748	23	レオンハルト・オイラー[ 58 ]
1853	137	ウィリアム・シャンクス[ 59 ]
1871	205	ウィリアム・シャンクス[ 60 ]
1884	346	J.マーカス・ブールマン[ 61 ]
1949	2,010	ジョン・フォン・ノイマン( ENIAC上)
1961	100,265	ダニエル・シャンクスとジョン・レンチ[ 62 ]
1978	11万6000	スティーブ・ウォズニアック氏によるApple IIに関するコメント[ 63 ]

2010年頃から、現代​​の高速デスクトップコンピュータの普及により、アマチュアでも許容範囲内で数兆桁のeを計算することが可能になりました。2023年12月24日、ジョーダン・ラノウスはeを35,000,000,000,000桁という記録的な計算を行いました。^{[ 64 ]}

数字を計算する

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eの桁を計算する一つの方法は、次の数列を使うことである^{[ 65 ]} $${\displaystyle e=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}.}$$

より高速な方法は、2つの再帰関数とを使用する。これらの関数は次のように定義される。 ${\displaystyle p(a,b)}$ ${\displaystyle q(a,b)}$ $${\displaystyle {\binom {p(a,b)}{q(a,b)}}={\begin{cases}{\binom {1}{b}},&{\text{if }}b=a+1{\text{,}}\\{\binom {p(a,m)q(m,b)+p(m,b)}{q(a,m)q(m,b)}},&{\text{otherwise, where }}m=\lfloor (a+b)/2\rfloor .\end{cases}}}$$

この式は、上記の級数のn番目の部分和を生成します。この手法では、バイナリ分割を用いてeを計算するため、1桁の算術演算が少なくなり、ビット計算量も削減されます。これを高速フーリエ変換に基づく整数乗算法と組み合わせることで、桁計算が非常に高速になります。^{[ 65 ]} $${\displaystyle 1+{\frac {p(0,n)}{q(0,n)}}}$$

コンピュータ文化において

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インターネット文化の出現の間、個人や組織はeという数字に敬意を表することがありました。

初期の例として、コンピュータ科学者の ドナルド・クヌースは、彼のプログラムMetafontのバージョン番号をeに近づけました。バージョンは2、2.7、2.71、2.718、…となります。^{[ 66 ]}

別の例として、 2004年のGoogleのIPO申請では、同社は典型的な端数金額ではなく、2,718,281,828米ドル（ 10億ドルを一番近いドルに切り上げたもの）を調達する意向を発表しました。^{[ 67 ]}

Googleはまた、シリコンバレーの中心部、そして後にマサチューセッツ州ケンブリッジ、ワシントン州シアトル、テキサス州オースティンにも看板^{[ 68 ]}を設置しました。看板には「{ eの連続する数字の最初の10桁の素数}.com」と書かれていました。eの最初の10桁の素数は7427466391で、これは99桁目から始まります。^{[ 69 ]}この問題を解き、宣伝されていた（現在は閉鎖されている）ウェブサイトを訪問したところ、さらに難しい問題に遭遇した。それは、7182818284、8182845904、8747135266、7427466391 という数列の 5 番目の項を探すというものだった。この数列は、eの連続する桁に見られる 10 桁の数字で構成され、その桁の合計が 49 になる数列であることが判明した。数列の 5 番目の項は 5966290435 で、127 桁目から始まる。^{[ 70 ]}この 2 番目の問題を解くと、最終的にGoogle Labs のウェブページ にたどり着き、訪問者は履歴書を提出するよう求められた。^{[ 71 ]}

公式Python 2インタープリタの最新リリースのバージョン番号は2.7.18で、eを参照しています。^{[ 72 ]}

コンピューティング

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科学計算では、定数はしばしばハードコードされます。例えば、Pythonの標準ライブラリには、 の浮動小数点近似値である が含まれています。しかし、 が整数の場合でも、を使って計算するよりも、Pythonなどの組み込み指数関数を使用する方が一般的に数値的に安定し、効率的です。^{[ 73 ]} ${\displaystyle e}$math.e = 2.718281828459045 ${\displaystyle e}$math.exp(x) ${\displaystyle e^{x}}$pow(e, x) ${\displaystyle x}$

指数関数の実装のほとんどは、範囲の縮小、ルックアップテーブル、および多項式または有理数近似（パデ近似やテイラー展開など）を使用して、幅広い入力に対して正確な結果を実現します。^{[ 74 ]}対照的に、のような汎用指数関数は、対数や乗算などの追加の中間計算を伴う場合があり、特に浮動小数点形式で使用されるpow場合は、丸め誤差が蓄積される可能性があります。 ^{[ 75 ]} ${\displaystyle e}$

非常に高い精度では、楕円関数とAGMおよびニュートン法の高速収束に基づく方法を使用して指数関数を計算することができます。^{[ 76 ]}の桁展開は次のように得られます。これは、指数関数を計算する他の既知の方法よりも漸近的に高速ですが、オーバーヘッドコストが高いため実用的ではありません。^{[ 74 ]} ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle \exp(1).}$

y-cruncherなどのツールは、 のような個々の定数の多桁の計算に最適化されており、 のテイラー級数を使用する。これは、特に様々な最適化と組み合わせた場合、非常に速く収束するからである。特に、 の級数を計算する際には、 の級数ではなく、 の級数を計算する際に二分法が適用される。これは、前者の級数の被加数が単純な有理数であるためである。これにより、の桁を計算する際の計算量はにまで低減され、漸近的にはAGM法と同じになるが、実際にははるかに安価になる。^{[ 77 ] [ 78 ]} ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle \exp(x)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle O(n\log ^{2}n)}$

参考文献

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さらに読む

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• イーライ・マオール編（2009年）『数字の物語』プリンストン科学図書館、プリンストン大学出版局、ニュージャージー州プリンストン。ISBN 978-0-691-05854-2。
• もう一つの確率的表現のための書籍Prime Obsessionの脚注10の解説
• McCartin, Brian J. (2006年3月). 「e : The Master of All」 (PDF) . The Mathematical Intelligencer . 28 (2): 10– 21. doi : 10.1007/BF02987150 . ISSN  0343-6993 . S2CID  123033482 .

外部リンク

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• 100万の場所とNASA.govの200万と500万の場所の番号e
• e近似 – Wolfram MathWorld
• 定数記号の最も初期の使用2008年1月13日
• 「 eの物語」、ロビン・ウィルソン著、グレシャム大学、2007年2月28日（音声と動画のダウンロードが可能）
• e検索エンジンe、 π、√2の20億桁を検索可能

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