次数付きリー代数

数学において、次数付きリー代数（じゅうかくつきリーだいすう）とは、リー括弧と両立する次数を持つリー代数である。言い換えれば、次数付きリー代数とは、括弧演算の下で非結合的な次数付き代数でもあるリー代数である。カルタン分解を選択することで、任意の半単純リー代数は次数付きリー代数の構造を持つことができる。任意の放物型リー代数もまた次数付きリー代数である。

次数付きリー超代数^[1]は、 次数付きリー代数の概念を拡張し、リー括弧が必ずしも反可換であるとは仮定されなくなる。これらは、次数付き代数上の微分の研究、マレー・ガーステンハーバー、小平邦彦、ドナルド・C・スペンサーの変形理論、そしてリー微分理論において現れる。

超次数リー超代数^[2]は、この概念をさらに一般化したもので、次数リー超代数にさらに超次数が付与された超代数の圏である。これは、次数リー超代数を古典的（非超対称的）な設定で構成し、その後テンソル化して超対称的な類似体を得ることで生じる。^[3] ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$

リー代数は、余積と、圏における編み込みと両立する漸化の概念を備えた、編み込みモノイド圏のクラス上で、さらに一般化されることが可能である。この方向のヒントについては、リー超代数#圏論的定義を参照のこと。

次数付きリー代数

最も基本的な形では、次数付きリー代数は、通常のリー代数とベクトル空間の次数を組み合わせたものである ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle {\mathfrak {g}}=\bigoplus _{i\in {\mathbb {Z} }}{\mathfrak {g}}_{i},}$

リー括弧はこの段階を尊重する：

${\displaystyle [{\mathfrak {g}}_{i},{\mathfrak {g}}_{j}]\subseteq {\mathfrak {g}}_{i+j}.}$

次数付きリー代数の普遍包絡代数は次数を継承します。

例

sl(2)

例えば、トレースフリーの2×2行列のリー代数は、生成元によって次数付けされます ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2)}$

${\displaystyle X={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}},\quad Y={\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}},\quad {\textrm {and}}\quad H={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}.}$

これらは、、、およびの関係を満たします。したがって、、、およびを用いると、分解は次数付きリー代数として表されます。 ${\displaystyle [X,Y]=H}$ ${\displaystyle [H,X]=2X}$ ${\displaystyle [H,Y]=-2Y}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{-1}={\textrm {span}}(X)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}={\textrm {span}}(H)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{1}={\textrm {span}}(Y)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2)={\mathfrak {g}}_{-1}\oplus {\mathfrak {g}}_{0}\oplus {\mathfrak {g}}_{1}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2)}$

自由リー代数

集合X上の自由リー代数は、群の元を生成するのに必要な最小の項数によって与えられる次数を持つ。これは、例えば、自由群の下中心級数に関連する次数付きリー代数として現れる

一般化

が任意の可換モノイドである場合、-次数リー代数の概念は通常の( -)次数リー代数を一般化し、定義関係は整数を に置き換えても成り立ちます。特に、任意の半単純リー代数は、 その随伴表現のルート空間によって次数付けされます ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \Gamma }$

次数付きリー超代数

体k上の（標数2ではない）次数付きリー超代数は、 k上の次数付きベクトル空間Eと双線型括弧演算 から構成されます

${\displaystyle [-,-]:E\otimes _{k}E\to E}$

以下の公理が満たされる。

• [-, -]はEの段階を尊重する： $${\displaystyle [E_{i},E_{j}]\subseteq E_{i+j}.}$$
• （対称性）E _iのすべてのxとE _jのすべてのyについて、 $${\displaystyle [x,y]=-(-1)^{ij}\,[y,x]}$$
• （ヤコビ恒等式）E _iのすべてのx、E _jのすべてのy、E _kのすべてのzについて、（k の標数 3 の場合、ヤコビ恒等式は、 E _oddのすべてのxに対する条件で補足される必要があります。） $${\displaystyle (-1)^{ik}[x,[y,z]]+(-1)^{ij}[y,[z,x]]+(-1)^{jk}[z,[x,y]]=0.}$$ ${\displaystyle [x,[x,x]]=0}$

例えば、E が自明な段階性を持つ場合、 k上の次数付きリー超代数は通常のリー代数に過ぎないことに注意されたい。E の段階性が偶数次に集中している場合、 ( Z -)次数付きリー代数の定義が再現される。

例と応用

次数付きリー超代数の最も基本的な例は、次数付き代数の微分の研究で現れます。Aが次数付きk代数で、次数 が

${\displaystyle A=\bigoplus _{i\in \mathbb {Z} }A_{i},}$

すると、A上の次数lのk次微分dは次のように定義される。

1. ${\displaystyle dx=0}$のために、 ${\displaystyle x\in k}$
2. ${\displaystyle d\colon A_{i}\to A_{i+l}}$、そして
3. ${\displaystyle d(xy)=(dx)y+(-1)^{il}x(dy)}$に対して。 ${\displaystyle x\in A_{i}}$

l次のすべての次数付き微分空間は で表され、これらの空間の直和はで表されます ${\displaystyle \operatorname {Der} _{l}(A)}$

${\displaystyle \operatorname {Der} (A)=\bigoplus _{l}\operatorname {Der} _{l}(A),}$

はA加群の構造を持ちます。これは可換環の微分の概念を次数圏に一般化します。

Der( A )では、次のように括弧を定義できる。

[ d , δ  ] = dδ − (−1) ^ij δd、d ∈ Der _i ( A ) およびδ ∈ Der _j ( A ) の場合。

この構造を備えたDer( A )はk上の次数付きリー超代数の構造を継承します。

その他の例：

• フレーリヒャー・ナイエンフイス括弧は、微分幾何学における接続の研究において自然に生じる次数付きリー代数の例です
• ニージェンフイス-リチャードソン括弧は、リー代数の変形に関連して生じます。

一般化

次数付きリー超代数の概念は、次数が整数だけではないように一般化できます。具体的には、符号付き半環はのペアで構成されます。ここで、は半環であり、は加法群の準同型です。すると、符号付き半環上の次数付きリー超代数は、上の加法構造に関して次数付けされたベクトル空間Eと、 E上の次数を尊重し、さらに 次を満たす双線型括弧 [-, -] で構成されます ${\displaystyle (\Gamma ,\epsilon )}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \epsilon \colon \Gamma \to \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \Gamma }$

1. ${\displaystyle [x,y]=-(-1)^{\epsilon (\deg x)\epsilon (\deg y)}[y,x]}$すべての同次要素 xとyに対して、
2. ${\displaystyle (-1)^{\epsilon (\deg x)\epsilon (\deg z)}[x,[y,z]]+(-1)^{\epsilon (\deg y)\epsilon (\deg x)}[y,[z,x]]+(-1)^{\epsilon (\deg z)\epsilon (\deg y)}[z,[x,y]]=0.}$

その他の例：

• リー超代数は、符号付き半環 上の次数付きリー超代数です。ここで、は環 上の加法構造の恒等写像です。 ${\displaystyle (\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} ,\epsilon )}$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$

注記

1. この接頭辞「超」は必ずしも標準的ではなく、著者によってはこれを完全に省略し、次数付きリー超代数を単に次数付きリー代数と呼ぶこともある。しかし、次数付きリー超代数は超対称性の代数とは何の関係もない可能性があるため、この言い逃れは全く根拠がないわけではない。これらは、次数を持つ場合にのみ超である。この次数は自然に発生するものであり、基礎にある超空間によるものではない。したがって、圏論の意味で、これらは通常の非超対象として適切に扱われる。 ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$
2. 超対称性との関連では、これらは単に次数付きリー超代数と呼ばれることが多いが、これはこの記事の以前の定義と矛盾する。
3. このように、超次数リー超代数は一対の-次数を持ち、そのうち一つは超対称で、もう一つは古典的である。 ピエール・ドリーニュは超対称な次数を超次数と呼び、古典的次数をコホモロジー次数と呼ぶ。これら二つの次数は両立しなければならないが、どのように扱うべきかについてはしばしば意見の相違がある。この困難に関するドリーニュの議論を参照のこと。 ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$

参考文献

• ニージェンフイス、アルバート、リチャードソン・ジュニア、ロジャー・W. (1966). 「次数付きリー代数におけるコホモロジーと変形」アメリカ数学会報. 72 (1): 1–29 . doi : 10.1090/s0002-9904-1966-11401-5 . MR  0195995

参照

• 微分次数リー代数
• 段階別（数学）
• リー代数の値を持つ形式

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