独立した増分

確率論において、独立増分は確率過程とランダム測度の性質である。多くの場合、過程やランダム測度は定義上独立増分を持ち、それがその重要性を裏付けている。定義上独立増分を持つ確率過程には、ウィーナー過程、すべてのレヴィ過程、すべての加法過程^[1] 、そしてポアソン点過程などがある。

確率過程の定義

を確率過程とする。ほとんどの場合、またはである。このとき、確率過程が独立増分を持つのは、任意の選択に対して、 ${\displaystyle (X_{t})_{t\in T}}$ ${\displaystyle T=\mathbb {N} }$ ${\displaystyle T=\mathbb {R} ^{+}}$ ${\displaystyle m\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle t_{0},t_{1},t_{2},\dots ,t_{m-1},t_{m}\in T}$

${\displaystyle t_{0}<t_{1}<t_{2}<\dots <t_{m}}$

ランダム変数

${\displaystyle (X_{t_{1}}-X_{t_{0}}),(X_{t_{2}}-X_{t_{1}}),\dots ,(X_{t_{m}}-X_{t_{m-1}})}$

確率的に独立である。^[2]

ランダム測定の定義

ランダム測定が 独立増分を持つためには、ランダム変数が、すべての2つの互いに素な測定可能な集合の選択とすべてのに対して確率的に独立である必要があります。^[3] ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle \xi (B_{1}),\xi (B_{2}),\dots ,\xi (B_{m})}$ ${\displaystyle B_{1},B_{2},\dots ,B_{m}}$ ${\displaystyle m\in \mathbb {N} }$

独立したS増分

を上のランダム測度とし、任意の有界測定可能集合に対して上のランダム測度を次のように 定義する。 ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle S\times T}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \xi _{B}}$ ${\displaystyle T}$

${\displaystyle \xi _{B}(\cdot ):=\xi (B\times \cdot )}$

そして、すべての有界集合に対してであり、すべてのランダム測度が独立であるとき、は独立したS増分を持つランダム測度と呼ばれる。^[4] ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle B_{1},B_{2},\dots ,B_{n}}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \xi _{B_{1}},\xi _{B_{2}},\dots ,\xi _{B_{n}}}$

応用

独立増分は多くの確率過程の基本的な性質であり、しばしばその定義に組み込まれています。ランダム測度の独立増分と独立S増分の概念は、ポアソン点過程と無限分割可能性の特徴付けにおいて重要な役割を果たします。

参考文献

1. 佐藤健・伊藤（1999）『レヴィ過程と無限に割り切れる分布』ケンブリッジ大学出版局、pp.  31– 68. ISBN 9780521553025。
2. クレンケ、アヒム (2008)。 「マーチンゲール」。確率論。ベルリン：シュプリンガー。 p. 190.土井：10.1007/978-1-84800-048-3_9。ISBN 978-1-84800-047-6。
3. Klenke, Achim (2008). 「ポアソン点過程」.確率論. ベルリン: Springer. p. 527. doi :10.1007/978-1-84800-048-3_24. ISBN 978-1-84800-047-6。
4. カレンバーグ、オラフ(2017).ランダム測定、理論と応用. 確率理論と確率モデル. 第77巻. スイス: シュプリンガー. p. 87. doi :10.1007/978-3-319-41598-7. ISBN  978-3-319-41596-3。

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