放物線

Plane curve: conic section

放物線の一部（青）と、様々な特徴（他の色）を持つ。完全な放物線には端点がない。この向きでは、放物線は左、右、そして上へと無限に伸びている。

放物線は円錐曲線の仲間です。

数学において、放物線は鏡面対称で、ほぼU字型の形状を持つ平面曲線です。放物線は、一見異なる複数の数学的記述に適合しますが、それらはすべて全く同じ曲線を定義することが証明されています。

放物線の一つの記述法は、点（焦点）と直線（準線）を用いるものです。焦点は準線上にはありません。放物線は、準線と焦点から等距離にある平面上の点の軌跡です。放物線のもう一つの記述法は、直円錐面と、その円錐面に接する別の平面に平行な平面との交点から作られる円錐曲線です。 ^[a]

二次関数（ ）のグラフは、軸がy軸に平行な放物線です。逆に、そのような放物線はすべて二次関数のグラフです。 ${\displaystyle y=ax^{2}+bx+c}$ ${\displaystyle a\neq 0}$

準線に垂直で焦点を通る直線（つまり、放物線を真ん中で分割する線）は「対称軸」と呼ばれます。放物線が対称軸と交差する点は「頂点」と呼ばれ、放物線が最も急峻に曲がる点です。対称軸に沿って頂点と焦点までの距離が「焦点距離」です。「直角」は、準線に平行で焦点を通る放物線の弦です。放物線は、上、下、左、右、またはその他の任意の方向に開くことができます。どの放物線も、他の放物線にぴったり合うように位置や大きさを調整できます。つまり、すべての放物線は幾何学的に相似です。

放物面は、光を反射する 材料で作られている場合、放物面の対称軸に平行に進み、その凹面に当たる光は、放物面上のどこで反射が起きても、焦点に向かって反射するという特性があります。逆に、焦点にある点光源から発せられた光は、平行（「コリメート」）光線に反射され、放物面は対称軸に平行のままになります。音波やその他の波でも同様の効果が得られます。この反射特性は、放物面の多くの実用的用途の基礎となっています。

パラボラは、パラボラアンテナやパラボラマイクロホンから自動車のヘッドライト反射板、弾道ミサイルの設計に至るまで、多くの重要な用途があります。物理学、工学、その他多くの分野で頻繁に利用されています。

歴史

レオナルド・ダ・ヴィンチが設計した放物線コンパス

円錐曲線に関する最古の著作は、紀元前4世紀のメナエクモスによるものです。彼は、立方体を2倍にする問題を放物線を用いて解く方法を発見しました（ただし、この解はコンパスと定規を用いた作図の要件を満たしていません）。放物線と線分で囲まれた面積、いわゆる「放物線分」は、紀元前3世紀にアルキメデスが『放物線の求積法』の中で、網羅的方法を用いて計算しました。「放物線」という名称は、円錐曲線の多くの性質を発見したアポロニウスに由来しています。「放物線」とは「応用」を意味し、「面積の応用」という概念を指し、アポロニウスが証明したように、この曲線と関連しています。^{[1]放物線やその他の円錐曲線の焦点-準線の性質は、}パップスの著作で言及されています。

ガリレオは、重力による均一な加速の結果として、発射体の軌道が放物線を描くことを証明しました。

反射望遠鏡が発明される前から、放物面反射鏡で像を作れるという考え方はよく知られていました。^[2] 17世紀初頭から中頃には、ルネ・デカルト、マラン・メルセンヌ、^[3]ジェームズ・グレゴリーなど多くの数学者によって設計が提案されました。^[4]アイザック・ニュートンが1668年に最初の反射望遠鏡を作ったとき、製作の難しさから放物面鏡の使用を断念し、球面鏡を選択しました。放物面鏡は、現代のほとんどの反射望遠鏡や衛星放送受信アンテナ、レーダー受信機に使用されています。^[5]

点の軌跡としての定義

放物線は、次のようにユークリッド平面上の点の集合（軌跡）として幾何学的に定義できます。

放物線とは、焦点 と呼ばれる固定点までの距離が、準線 と呼ばれる固定直線までの距離 と等しい点の集合です。つまり、⁠ ⁠を焦点、⁠ ⁠を準線とすると、放物線は ⁠ ⁠ となるすべての点⁠ ⁠の集合です。ここで⁠ ⁠ はユークリッド距離を表します。 ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle P}$ $${\displaystyle d(P,F)=d(P,l),}$$ ${\displaystyle d}$

この距離が最小となる点は、焦点から準線に下ろした垂線の中点です。この点は頂点と呼ばれ、焦点と準線の両方に対するその距離が放物線の 焦点距離となります。 ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle l.}$

この線は放物線の唯一の 対称軸であり、放物線の軸と呼ばれます。 ${\displaystyle FV}$

直交座標系では

対称軸はy軸

y軸に平行な軸を持つ放物線。pは半直腸である。

デカルト座標において、頂点⁠ ⁠ ${\displaystyle V}$が原点であり、準線の方程式が である場合、 のケースを調べると、焦点⁠ ⁠は正の⁠ ⁠軸上にあり、 となります。ここで⁠ ⁠は焦点距離です。 ${\displaystyle y=-f}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle F=(0,f)}$ ${\displaystyle f}$

上記の幾何学的特徴から、点が 放物線上にある場合、かつその場合のみ、 ということが分かります。を解くと、 ${\displaystyle P=(x,y)}$ $${\displaystyle x^{2}+(y-f)^{2}=(y+f)^{2}}$$ ${\displaystyle y}$ $${\displaystyle y={\frac {1}{4f}}x^{2}.}$$

この放物線はU字型（上が開いている）です。

焦点を通る水平弦は方程式⁠ ⁠ ${\displaystyle y=f}$（冒頭の図を参照）の直線上にあり、これはラタス直腸と呼ばれ、その半分は半ラタス直腸です。ラタス直腸は準線と平行です。半ラタス直腸は で表されます。ラタス直腸の端点が満たす方程式から、次の式が得られます。したがって、半ラタス直腸は焦点から準線までの距離です。パラメータ を使用すると、放物線の方程式は次のように書き直すことができます。 ${\displaystyle p}$ $${\displaystyle p=2f.}$$ ${\displaystyle p}$ $${\displaystyle x^{2}=2py.}$$

より一般的には、頂点を、焦点を、準線をとすれば、次の式が得られる。 ${\displaystyle V=(v_{1},v_{2})}$ ${\displaystyle F=(v_{1},v_{2}+f)}$ ${\displaystyle y=v_{2}-f}$ $${\displaystyle y={\frac {1}{4f}}(x-v_{1})^{2}+v_{2}={\frac {1}{4f}}x^{2}-{\frac {v_{1}}{2f}}x+{\frac {v_{1}^{2}}{4f}}+v_{2}.}$$

備考:

• 上記の式では、下向きに開いた放物線が得られます。 ${\displaystyle f<0}$
• 軸が⁠ ⁠ ${\displaystyle y}$軸と平行であるという仮説は、放物線が二次関数のグラフであることを意味します。逆に、任意の二次関数のグラフは放物線です（次のセクションを参照）。
• と を交換すると、 の形の方程式が得られます。これらの放物線は、 の場合左に開き、 の場合右に開きます。 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y^{2}=2px}$ ${\displaystyle p<0}$ ${\displaystyle p>0}$

一般的な立場

放物線：一般的な位置

焦点が、準線がの場合、次の式が得られます。 ${\displaystyle F=(f_{1},f_{2})}$ ${\displaystyle ax+by+c=0}$ $${\displaystyle {\frac {(ax+by+c)^{2}}{a^{2}+b^{2}}}=(x-f_{1})^{2}+(y-f_{2})^{2}}$$

(式の左側では、直線のヘッセ正規形を使用して距離を計算します)。 ${\displaystyle |Pl|}$

一般的な位置における放物線の媒介変数方程式については、 § 単位放物線のアフィン像を参照してください。

放物線の暗黙方程式は、2 次既約多項式 によって定義されます。つまり、は線形多項式の2 乗になります。 $${\displaystyle ax^{2}+bxy+cy^{2}+dx+ey+f=0,}$$ ${\displaystyle b^{2}-4ac=0,}$ ${\displaystyle ax^{2}+bxy+cy^{2}}$

関数のグラフとして

放物線 ${\displaystyle y=ax^{2}}$

前のセクションでは、原点を頂点とし、y軸を対称軸とする任意の放物線は関数のグラフとして考えることができる ことを示した。 $${\displaystyle f(x)=ax^{2}{\text{ with }}a\neq 0.}$$

放物線は上向きに開いており、放物線は下向きに開いています（図を参照）。上記のセクションから、次の式が得られます。 ${\displaystyle a>0}$ ${\displaystyle a<0}$

• 焦点は、​ ${\displaystyle \left(0,{\frac {1}{4a}}\right)}$
• 焦点距離は 、半直腸は、 ${\displaystyle {\frac {1}{4a}}}$ ${\displaystyle p={\frac {1}{2a}}}$
• 頂点は、​ ${\displaystyle (0,0)}$
• 準線は次の式を持つ。 ${\displaystyle y=-{\frac {1}{4a}}}$
• 点 における接線は、次の式を持ちます。 ${\displaystyle (x_{0},ax_{0}^{2})}$ ${\displaystyle y=2ax_{0}x-ax_{0}^{2}}$

放物線は単位放物線であり、方程式はです。その焦点は、半直角、準線は です。 ${\displaystyle a=1}$ ${\displaystyle y=x^{2}}$ ${\displaystyle \left(0,{\tfrac {1}{4}}\right)}$ ${\displaystyle p={\tfrac {1}{2}}}$ ${\displaystyle y=-{\tfrac {1}{4}}}$

2次の一般関数は平方完成関数 であり、これは放物線の方程式である。 $${\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c~~{\text{ with }}~~a,b,c\in \mathbb {R} ,\ a\neq 0.}$$ $${\displaystyle f(x)=a\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}+{\frac {4ac-b^{2}}{4a}},}$$

• 軸（ y軸に平行） ${\displaystyle x=-{\frac {b}{2a}}}$
• 焦点距離 、半直腸、 ${\displaystyle {\frac {1}{4a}}}$ ${\displaystyle p={\frac {1}{2a}}}$
• 頂点、​ ${\displaystyle V=\left(-{\frac {b}{2a}},{\frac {4ac-b^{2}}{4a}}\right)}$
• 焦点、​ ${\displaystyle F=\left(-{\frac {b}{2a}},{\frac {4ac-b^{2}+1}{4a}}\right)}$
• 準線 、 ${\displaystyle y={\frac {4ac-b^{2}-1}{4a}}}$
• 放物線がy軸と交差する点の座標は、 ${\displaystyle (0,c)}$
• y軸上の点における接線の方程式は次のようになります。 ${\displaystyle y=bx+c}$

単位放物線との類似性

放物線を2倍に均等に拡大すると、放物線は ${\displaystyle \color {blue}{y=2x^{2}}}$ ${\displaystyle \color {red}{y=x^{2}}}$

ユークリッド平面上の 2 つのオブジェクトは、相似性、つまり剛体運動 (並進と回転) と均一なスケーリングの任意の組み合わせによって一方が他方に変換できる場合、相似です。

頂点を持つ放物線は、平行移動によって原点を頂点とする放物線に変換できます。さらに、原点を中心に適切な回転を行うと、 y軸を対称軸とする放物線に変換できます。したがって、この放物線は剛体運動によって、方程式 を持つ放物線に変換できます。さらに、このような放物線は、均一なスケーリングによって、方程式 を持つ単位放物線に変換できます。このように、任意の放物線は相似性によって単位放物線に写像できます。^[6] ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle V=(v_{1},v_{2})}$ ${\displaystyle (x,y)\to (x-v_{1},y-v_{2})}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle y=ax^{2},\ a\neq 0}$ ${\displaystyle (x,y)\to (ax,ay)}$ ${\displaystyle y=x^{2}}$

相似三角形を用いた合成アプローチもこの結果を立証するために使用できる。^[7]

一般的な結論としては、2つの円錐曲線（必ず同じ種類）は、同じ離心率を持つ場合にのみ相似となる。 ^[6]したがって、円（離心率はすべて0）のみが放物線（離心率はすべて1）とこの性質を共有し、一般的な楕円や双曲線は共有しない。

放物線を単位放物線に写像する単純なアフィン変換は他にもあります。例えば、 です。しかし、この写像は相似ではなく、すべての放物線がアフィン同値であることを示すだけです（§ 単位放物線のアフィン像として を参照）。 ${\displaystyle y=ax^{2}}$ ${\displaystyle (x,y)\to \left(x,{\tfrac {y}{a}}\right)}$

特別な円錐曲線として

共通の頂点を持つ円錐曲線の鉛筆

x軸を対称軸とし、原点(0, 0)に頂点を1つ持ち、同じ半直角を持つ円錐曲線は、離心率を持つ方程式で表すことができます 。 ${\displaystyle p}$ $${\displaystyle y^{2}=2px+(e^{2}-1)x^{2},\quad e\geq 0,}$$ ${\displaystyle e}$

• 円錐曲線は円（鉛筆の接触円）なので、 ${\displaystyle e=0}$
• 楕円の場合、 ${\displaystyle 0<e<1}$
• 放物線の場合、方程式 ${\displaystyle e=1}$ ${\displaystyle y^{2}=2px,}$
• 双曲線の場合（図を参照）。 ${\displaystyle e>1}$

極座標で

共通の焦点を持つ円錐曲線の鉛筆

p > 0の場合、式(右開き)の放物線はの極座標表現 を持ちます。 ${\displaystyle y^{2}=2px}$ $${\displaystyle r=2p{\frac {\cos \varphi }{\sin ^{2}\varphi }},\quad \varphi \in \left[-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}}\right]\setminus \{0\}}$$ ${\displaystyle r^{2}=x^{2}+y^{2},\ x=r\cos \varphi }$

その頂点は、その焦点は です。 ${\displaystyle V=(0,0)}$ ${\displaystyle F=\left({\tfrac {p}{2}},0\right)}$

原点を焦点に移動すると、つまり、次の式が得られる。 ${\displaystyle F=(0,0)}$ $${\displaystyle r={\frac {p}{1-\cos \varphi }},\quad \varphi \neq 2\pi k.}$$

注 1:この極形式を反転すると、放物線が心臓形の逆であることが示されます。

注 2: 2 番目の極形式は、焦点を持つ円錐曲線の特殊なケースです(図を参照)。 (は離心率です)。 ${\displaystyle F=(0,0)}$ $${\displaystyle r={\frac {p}{1-e\cos \varphi }}}$$ ${\displaystyle e}$

円錐曲線と二次形式

図、説明、定義

断面を持つ円錐

この図は、軸AVを持つ円錐を表しています。点 A は円錐の頂点です。ピンク色で示された円錐の傾斜断面は、円錐の側面と同じ角度θだけ軸から傾斜しています。放物線を円錐曲線として定義すると、このピンク色の断面 EPD の境界は放物線になります。

円錐の軸に垂直な断面は、放物線の頂点Pを通ります。この断面は円ですが、図に示すように斜めから見ると楕円形になります。中心はV、PKは直径です。半径をrとします 。

円錐の軸に垂直なもう一つの円形断面は、先ほど述べたものよりも頂点Aから遠い。この断面の弦 DEは、放物線と円が交差する点を結んでいる。もう一つの弦BCはDEの垂直二等分線であり、したがって円の直径となる。これら二つの弦と放物線の対称軸PMは、すべて点Mで交差する。

DとEを除く、ラベルの付いた点はすべて同一平面上にあり、図全体の対称面上にあります。これには、上記で言及されていない点Fも含まれます。点Fは、後述の「焦点の位置」で定義および説明されています。

DMとEM の長さをx、PMの長さを yとします。

二次方程式の導出

BMとCMの長さは次のとおりです。

• ${\displaystyle {\overline {\mathrm {BM} }}=2y\cos \theta }$ （三角形のBPMは二等辺三角形です。 ${\displaystyle {\overline {PM}}\parallel {\overline {AC}}\implies \angle PMB=\angle ACB=\angle ABC}$
• ${\displaystyle {\overline {\mathrm {CM} }}=2r}$ （PMCKは平行四辺形です）。

弦BCとDEの交差弦定理を用いると、 $${\displaystyle {\overline {\mathrm {BM} }}\cdot {\overline {\mathrm {CM} }}={\overline {\mathrm {DM} }}\cdot {\overline {\mathrm {EM} }}.}$$

代入: $${\displaystyle 4ry\cos \theta =x^{2}.}$$

並べ替え: $${\displaystyle y={\frac {x^{2}}{4r\cos \theta }}.}$$

任意の円錐と放物線では、rとθは定数ですが、xとyは、水平断面 BECD が作成される任意の高さに依存する変数です。この最後の式は、これらの変数の関係を示しています。これらは、ピンク色の平面内の、P を原点とするシステムにおける点 D と点 E の直交座標として解釈できます。式ではx が2 乗されているため、D と E がy軸の反対側にあるという事実は重要ではありません。水平断面が円錐の頂点に向かって上または下に移動するか、頂点から離れて移動すると、D と E は放物線に沿って移動し、式に示されているxとyの関係を常に維持します。したがって、放物曲線は、式が満たされる点の軌跡であり、式内の二次関数の直交座標グラフになります。

焦点距離

前のセクションで証明されているように、放物線の頂点が原点にあり、正のy方向に開いている場合、その方程式はy = ⁠× ²/4階⁠、ここでfは焦点距離です。 ^[b]これを上記の最後の式と比較すると、円錐内の放物線の焦点距離はr cos θであることがわかります。

焦点の位置

上の図では、点 V は放物線の頂点から円錐の軸に下ろした垂線の足です。点 F は点 V から放物線の平面に下ろした垂線の足です。^[c]対称性により、 F は放物線の対称軸上にあります。角 VPF はθの補角であり、角 PVF は角 VPF の補角であるため、角 PVF はθです。 PVの長さはrであるため、放物線の頂点から F までの距離はr sin θです。 この距離は、放物線の焦点距離、つまり頂点から焦点までの距離に等しいことが上で示されています。 したがって、焦点と点 F は、同じ線に沿って頂点から等距離にあり、同じ点であることを意味します。 したがって、上で定義した点 F は、放物線の焦点です。

この議論は、放物線を円錐曲線として定義することから始まりましたが、今では二次関数のグラフとして記述することに至っています。これは、これら2つの記述が同等であることを示しています。どちらも全く同じ形状の曲線を定義しています。

ダンデリン球を用いた代替証明

放物線（赤）：ダンデリン球を持つ円錐の側面投影図と上面投影図

ダンデリン球を用いた別の証明も可能です。これは計算を必要とせず、基本的な幾何学的考察のみを用います（以下の導出を参照）。

垂直からの傾きが円錐の母線（頂点と円錐表面上の点を含む線、つまり生成線）と同じである平面と、直立円錐との交点は放物線（図の赤い曲線）になります。 ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle m_{0}}$

この母線は、平面 に平行な円錐の唯一の母線です。交差平面 に平行な母線が2つある場合、交差曲線は双曲線（または、交差平面に2つの母線がある場合は退化した双曲線）になります。交差平面 に平行な母線がない場合、交差曲線は楕円または円（または点）になります。 ${\displaystyle m_{0}}$ ${\displaystyle \pi }$

円錐の垂直軸を含む平面を平面とし、直線を線とします。平面の垂直からの傾きは直線と同じであり、横から見ると（つまり、平面は平面に垂直）、 となります。 ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle m_{0}}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle m_{0}}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle m_{0}\parallel \pi }$

放物線の準線性（上記の「点の軌跡としての定義」を参照）を証明するために、ダンデリン球 を使用します。ダンデリン球 は、円と平面に沿って円錐に点 で接する球です。円を含む平面 は、直線 で平面 と交差します。平面、ダンデリン球、円錐からなる系には鏡映対称性があります（対称面は です）。 ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \sigma }$

円を含む平面は平面、 、に垂直なので、それらの交線も平面 に垂直でなければなりません。直線は平面 内にあるので、です。 ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \pi \perp \sigma }$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle m_{0}}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle l\perp m_{0}}$

は放物線の焦点であり、は放物線の準線であることがわかります。 ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle l}$

1. 交差曲線上の任意の点を とします。 ${\displaystyle P}$
2. を含む円錐の母線は、点で円と交差します。 ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle A}$
3. 線分および は球 に接しているので、長さは等しくなります。 ${\displaystyle {\overline {PF}}}$ ${\displaystyle {\overline {PA}}}$ ${\displaystyle d}$
4. 母線は円と点で交差します。線分と は球面 に接するため、長さは等しくなります。 ${\displaystyle m_{0}}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle {\overline {ZD}}}$ ${\displaystyle {\overline {ZA}}}$ ${\displaystyle d}$
5. 直線を点に平行で点 を通る直線とします。 であり、点 は平面 内にあるため、直線は平面 内にあるはずです。 であるため、これもまた明らかです。 ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle m_{0}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle m_{0}\parallel \pi }$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle m_{0}\perp l}$ ${\displaystyle q\perp l}$
6. 点を点 から直線 に下ろした垂線の足とします。つまり、 は直線 の線分なので、 となります。 ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle {\overline {PB}}}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle {\overline {PB}}\parallel {\overline {ZD}}}$
7. 切片定理とから、であることがわかります。 なので、 であり、これは から焦点までの距離が から準線までの距離に等しいことを意味します。 ${\displaystyle {\overline {ZD}}={\overline {ZA}}}$ ${\displaystyle {\overline {PA}}={\overline {PB}}}$ ${\displaystyle {\overline {PA}}={\overline {PF}}}$ ${\displaystyle {\overline {PF}}={\overline {PB}}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle l}$

反射特性の証明

放物線の反射特性

反射特性とは、放物面が光を反射できる場合、対称軸に平行に入射した光は焦点に向かって反射されるという性質です。これは、光が光線として進行するという仮定に基づく幾何光学から導き出されます。

放物線y = x ²を考えてみましょう。すべての放物線は相似形なので、この単純な例が他のすべての放物線を代表します。

構築と定義

点Eは放物線上の任意の点です。焦点はF、頂点はA（原点）、直線FA は対称軸です。直線ECは対称軸に平行で、X軸とDで交差し、準線とCで交差します。点Bは線分FCの中点です。

控除

頂点 A は焦点 F からも準線からも等距離にあります。C は準線上にあるため、 F と C のy座標は絶対値が等しく、符号が反対です。B はFCの中点です。そのx座標は D の半分、つまりx /2です。直線BEの傾きはEDとBDの長さの商であり、これは⁠× ²/x /2⁠ = 2 x。しかし、 2 xは E における放物線の傾き（1次導関数）でもあります。したがって、線分BEは E における放物線の接線です。

EFとECの距離は等しい。なぜなら、 E は放物線上にあり、 F は焦点、 C は準線上にあるからである。したがって、 B はFCの中点であるため、三角形 △FEB と △CEB は（3辺が）合同であり、 αで示した角度も合同である。（E の上の角度は、垂直に反対角∠BEC である。）これは、放物線に入射し、対称軸に平行に E に到達する光線が直線BEで反射され、図の赤で示されているように直線EFに沿って進むことを意味する（直線が何らかの形で光を反射すると仮定）。BE はE における放物線の接線であるため、E における放物線の微小な弧によっても同じ反射が行われます。したがって、放物線に入り、放物線の対称軸と平行に移動して E に到達する光は、放物線によって焦点に向かって反射されます。

反射光に関するこの結論は、図の左側に示すように、放物線上のすべての点に当てはまります。これが反射特性です。

その他の結果

上記の議論から単純に導き出せる他の定理もあります。

接線二等分性

上記の証明と付随する図は、接線BEが角∠FECを二等分することを示しています。言い換えれば、放物線の任意の点における接線は、その点と焦点を結ぶ直線と準線に垂直な直線との間の角度を二等分します。

焦点からの接線と垂線の交点

焦点から接線への垂直

三角形△FBEと△CBEは合同なので、FBは接線BEに垂直です。Bはx軸上にあり、x軸は放物線の頂点における接線です。したがって、放物線の任意の接線と、焦点からその接線に引いた垂線との交点は、放物線の頂点における接線上にあることになります。アニメーション図^[8]とペダル曲線を参照してください。

凸面に当たった光の反射

光が線CEに沿って進む場合、光は対称軸と平行に移動し、放物線の凸面 E に当たります。上の図から、この光は線分FEの延長線に沿って焦点から直接反射されることがわかります。

代替証明

放物線と接線

鏡映二等分法と接線二等分法の性質に関する上記の証明は、微積分学の一分野を用いています。ここでは幾何学的な証明を示します。

この図では、 F は放物線の焦点であり、 T と U はその準線上にあります。 P は放物線上の任意の点です。PTは準線に垂直で、線分MP は角 ∠FPT を二等分します。 Q は放物線上の別の点であり、QU は準線に垂直です。FP  =  PTかつFQ  =  QUであることがわかっています。明らかに、QT  >  QUなので、QT  >  FQです。二等分線MP上のすべての点は F と T から等距離ですが、 Q は T よりも F に近いです。つまり、 Q はMPの左側、つまり焦点と同じ側にあります。 Q が放物線上の他の場所 (点 P 以外) にある場合も同じことが当てはまり、点 P を除く放物線全体がMPの焦点側にあります。したがって、MP はP における放物線の接線です。これは角度 ∠FPT を二等分するので、接線二等分の性質が証明されます。

最後の段落の論理は、上記の反射性の証明を修正するために適用できます。これは、角度αが等しい場合、直線BEがEにおける放物線の接線であることを効果的に証明します。反射性は前述の通りです。

ピンと紐の構造

パラボラ：ピンストリング構造

焦点と準線による放物線の定義は、ピンと紐を使って描くときに使えます。^[9]

1. 放物線の焦点 と準線を選択します。 ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle l}$
2. 三角定規の三角形を取り、長さのあるひもを用意します（図を参照）。 ${\displaystyle |AB|}$
3. 紐の一方の端を三角形の頂点にピンで留め、もう一方の端を焦点に留めます。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle F}$
4. 直角の 2 番目の辺が準線に沿って自由にスライドできるように三角形を配置します。
5. ペンを手に取り、紐を三角形にしっかりと固定します。
6. 準線に沿って三角形を動かすと、ペンは放物線の弧を描きます。これは(放物線の定義を参照)。 ${\displaystyle |PF|=|PB|}$

パスカルの定理に関連する性質

放物線は、無限遠直線上の点（無限遠直線上の点、つまり における接線）を持つ、非退化射影円錐曲線のアフィン部分とみなすことができます。パスカルの定理における5点、4点、3点の退化は、少なくとも1つの接線を扱う円錐曲線の性質です。この接線を無限遠直線とし、その接点をy軸の無限遠点とすると、放物線に関する3つの命題が得られます。 ${\displaystyle Y_{\infty }}$ ${\displaystyle g_{\infty }}$ ${\displaystyle Y_{\infty }}$

放物線の以下の性質は、相似不変量である接続、交差、平行という項のみを扱っています。したがって、単位放物線の性質は、方程式 で証明すれば十分です。 ${\displaystyle y=x^{2}}$

4点プロパティ

放物線の4点性

任意の放物線は、適切な座標系で方程式によって記述できます。 ${\displaystyle y=ax^{2}}$

放物線 の4点を とし、と の交点を とし、との交点をとします（図を参照）。すると、の交点は と平行になります。（ とは放物線の軸に平行です。） ${\displaystyle P_{1}=(x_{1},y_{1}),\ P_{2}=(x_{2},y_{2}),\ P_{3}=(x_{3},y_{3}),\ P_{4}=(x_{4},y_{4})}$ ${\displaystyle y=ax^{2}}$ ${\displaystyle Q_{2}}$ ${\displaystyle P_{1}P_{4}}$ ${\displaystyle x=x_{2},}$ ${\displaystyle Q_{1}}$ ${\displaystyle P_{2}P_{3}}$ ${\displaystyle x=x_{1}}$ ${\displaystyle P_{3}P_{4}}$ ${\displaystyle Q_{1}Q_{2}}$ ${\displaystyle x=x_{1}}$ ${\displaystyle x=x_{2}}$

証明:単位放物線の簡単な計算。 ${\displaystyle y=x^{2}}$

応用:放物線の 4 点特性は、点 の構築に使用できます。ただし、と は与えられています。 ${\displaystyle P_{4}}$ ${\displaystyle P_{1},P_{2},P_{3}}$ ${\displaystyle Q_{2}}$

注意:放物線の 4 点特性は、パスカルの定理の 5 点退化のアフィンバージョンです。

3点-1接線の性質

3点-1接線の性質

放物線の3点を、方程式 と、割線 と直線 の交点、そして割線 と直線の交点とします（図参照）。このとき、点 における接線は直線 に平行です。（直線と は放物線の軸に平行です。） ${\displaystyle P_{0}=(x_{0},y_{0}),P_{1}=(x_{1},y_{1}),P_{2}=(x_{2},y_{2})}$ ${\displaystyle y=ax^{2}}$ ${\displaystyle Q_{2}}$ ${\displaystyle P_{0}P_{1}}$ ${\displaystyle x=x_{2}}$ ${\displaystyle Q_{1}}$ ${\displaystyle P_{0}P_{2}}$ ${\displaystyle x=x_{1}}$ ${\displaystyle P_{0}}$ ${\displaystyle Q_{1}Q_{2}}$ ${\displaystyle x=x_{1}}$ ${\displaystyle x=x_{2}}$

証明：単位放物線 に対して を実行できます。簡単な計算で、直線 の傾きは点 における接線 の傾きと同じであることがわかります。 ${\displaystyle y=x^{2}}$ ${\displaystyle Q_{1}Q_{2}}$ ${\displaystyle 2x_{0}}$ ${\displaystyle P_{0}}$

応用:放物線の 3 点 1 接線の性質は、が与えられているときに、点 での接線の構築に使用できます。 ${\displaystyle P_{0}}$ ${\displaystyle P_{1},P_{2},P_{0}}$

注:放物線の 3 点 1 接線の性質は、パスカルの定理の 4 点退化のアフィン バージョンです。

2点-2接線の性質

2点-2接線の性質

放物線の2点を、方程式 の接線と直線の交点を、そして点 の接線と直線の交点をとします（図を参照）。このとき、割線 は直線 に平行です。（直線と は放物線の軸に平行です。） ${\displaystyle P_{1}=(x_{1},y_{1}),\ P_{2}=(x_{2},y_{2})}$ ${\displaystyle y=ax^{2}}$ ${\displaystyle Q_{2}}$ ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle x=x_{2}}$ ${\displaystyle Q_{1}}$ ${\displaystyle P_{2}}$ ${\displaystyle x=x_{1}}$ ${\displaystyle P_{1}P_{2}}$ ${\displaystyle Q_{1}Q_{2}}$ ${\displaystyle x=x_{1}}$ ${\displaystyle x=x_{2}}$

証明:単位放物線の簡単な計算。 ${\displaystyle y=x^{2}}$

応用: 2 点 - 2 接線の性質は、と での接線が与えられている場合、点 での放物線の接線の構築に使用できます。 ${\displaystyle P_{2}}$ ${\displaystyle P_{1},P_{2}}$ ${\displaystyle P_{1}}$

注 1:放物線の 2 点 - 2 接線の性質は、パスカルの定理の 3 点退化のアフィンバージョンです。

注 2: 2 点 - 2 接線の性質は、放物線の次の性質と混同しないでください。放物線の性質も 2 点と 2 接線を扱いますが、パスカルの定理とは関係ありません。

軸方向

軸方向の構築

上記の記述は、点を構成するために放物線の軸方向が分かっていることを前提としています。次の性質は、与えられた2点とその接線のみによって点を決定し、その結果、直線は放物線の軸に平行になります。 ${\displaystyle Q_{1},Q_{2}}$ ${\displaystyle Q_{1},Q_{2}}$ ${\displaystyle Q_{1}Q_{2}}$

させて

1. ${\displaystyle P_{1}=(x_{1},y_{1}),\ P_{2}=(x_{2},y_{2})}$放物線の2点とし、その接線とする。 ${\displaystyle y=ax^{2}}$ ${\displaystyle t_{1},t_{2}}$
2. ${\displaystyle Q_{1}}$接線の交点とする。 ${\displaystyle t_{1},t_{2}}$
3. ${\displaystyle Q_{2}}$への平行線とへの平行線との交点になります(図を参照)。 ${\displaystyle t_{1}}$ ${\displaystyle P_{2}}$ ${\displaystyle t_{2}}$ ${\displaystyle P_{1}}$

すると、その直線は放物線の軸に平行となり、次の式が成り立ちます。 ${\displaystyle Q_{1}Q_{2}}$ ${\displaystyle x=(x_{1}+x_{2})/2.}$

証明:単位放物線に対して (上記の性質と同様に) 実行できます。 ${\displaystyle y=x^{2}}$

応用：この性質は、2点とその接線が与えられている場合、放物線の軸の方向を決定するために使用できます。別の方法として、2本の平行弦の中点を決定する方法があります。平行弦のセクションを参照してください。

注：この性質は、非退化円錐曲線の2つの透視三角形の定理のアフィンバージョンです。 ^[10]

関連: Chord には 2 つの追加プロパティがあります。 ${\displaystyle P_{1}P_{2}}$

1. その傾きは接線との傾きの調和平均です。 ${\displaystyle t_{1}}$ ${\displaystyle t_{2}}$
2. それは放物線との交点における接線に平行です。 ${\displaystyle Q_{1}Q_{2}}$

シュタイナー世代

放物線

放物線のシュタイナー生成

シュタイナーは、非退化円錐曲線の構築に以下の手順を確立しました (シュタイナー円錐曲線を参照)。

2 点における2 つの線分束 (すべての線分はそれぞれ とを含む) とから への射影写像 (透視写像ではない)が与えられると、対応する線分の交点は非退化射影円錐曲線を形成します。 ${\displaystyle B(U),B(V)}$ ${\displaystyle U,V}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle B(U)}$ ${\displaystyle B(V)}$

この手順は放物線上の点の簡単な構築に使用できます。 ${\displaystyle y=ax^{2}}$

• 頂点にある鉛筆と、 y軸に平行な線の集合を考えます。 ${\displaystyle S(0,0)}$ ${\displaystyle \Pi _{y}}$
  1. を放物線上の点とし、 、 とします。 ${\displaystyle P=(x_{0},y_{0})}$ ${\displaystyle A=(0,y_{0})}$ ${\displaystyle B=(x_{0},0)}$
  2. 線分はn個の等間隔の線分に分割され、この分割が線分上に（方向 ）投影されます（図を参照）。この投影により、鉛筆から鉛筆への射影写像が得られます。 ${\displaystyle {\overline {BP}}}$ ${\displaystyle BA}$ ${\displaystyle {\overline {AP}}}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \Pi _{y}}$
  3. 直線とy軸のi番目の平行線との交点は放物線上の点です。 ${\displaystyle SB_{i}}$

証明:簡単な計算。

注:シュタイナーの生成は楕円と双曲線にも利用できます。

二重放物線

2次双放物線とベジェ曲線（右：パラメータの曲線点と分割点） ${\displaystyle Q_{0},Q_{1}}$ ${\displaystyle t=0.4}$

双対放物線は、通常の放物線の接線の集合で構成されます。

シュタイナーの円錐生成は、点と線の意味を変更することで、双対円錐の生成に適用できます。

2 本の直線上の 2 つの点集合と、これらの点集合間の射影写像 (透視写像ではない) が与えられている場合、対応する点の接続線は非退化の双対円錐を形成します。 ${\displaystyle u,v}$ ${\displaystyle \pi }$

双対放物線の要素を生成するには、まず

1. 直線上にない3点 ${\displaystyle P_{0},P_{1},P_{2}}$
2. 線分を等間隔の線分に分割し、図に示すように数字を追加します。 ${\displaystyle {\overline {P_{0}P_{1}}}}$ ${\displaystyle {\overline {P_{1}P_{2}}}}$ ${\displaystyle n}$
3. すると、その線は放物線の接線となり、双対放物線の要素となります。 ${\displaystyle P_{0}P_{1},P_{1}P_{2},(1,1),(2,2),\dotsc }$
4. 放物線は制御点を持つ 2 次ベジェ曲線です。 ${\displaystyle P_{0},P_{1},P_{2}}$

証明は、次数 2 のベジェ曲線に対するde Casteljau アルゴリズムの結果です。

円周角と3点形式

放物線の円周角

方程式を持つ放物線は、異なるx座標を持つ3点によって一意に決定されます。係数を決定するための通常の手順は、点の座標を方程式に代入することです。その結果得られる3つの方程式からなる線形連立方程式は、例えばガウスの消去法やクラメールの定理によって解くことができます。別の方法としては、放物線の円周角定理を用いる方法があります。 ${\displaystyle y=ax^{2}+bx+c,\ a\neq 0}$ ${\displaystyle (x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}),(x_{3},y_{3})}$ ${\displaystyle a,b,c}$

以下では、2直線の角度は、放物線の準線に対する直線の傾きの差によって測定されます。つまり、放物線方程式の場合、2つの直線の等式間の角度は次のように測定されます。 ${\displaystyle y=ax^{2}+bx+c,}$ ${\displaystyle y=m_{1}x+d_{1},\ y=m_{2}x+d_{2}}$ ${\displaystyle m_{1}-m_{2}.}$

円の円周角定理と同様に、放物線の円周角定理もある。^{[11] [12]}

異なるx座標を持つ4点（図参照）が、方程式を満たす放物線上にある場合、かつ、その場合の角度は、上で定義したように、等しい。つまり、 ${\displaystyle P_{i}=(x_{i},y_{i}),\ i=1,\ldots ,4,}$ ${\displaystyle y=ax^{2}+bx+c}$ ${\displaystyle P_{3}}$ ${\displaystyle P_{4}}$ $${\displaystyle {\frac {y_{4}-y_{1}}{x_{4}-x_{1}}}-{\frac {y_{4}-y_{2}}{x_{4}-x_{2}}}={\frac {y_{3}-y_{1}}{x_{3}-x_{1}}}-{\frac {y_{3}-y_{2}}{x_{3}-x_{2}}}.}$$

(証明: 簡単な計算: 点が放物線上にある場合は、座標を変換して方程式 を得ることができ、点が放物線上にある場合は方程式 が得られます。) ${\displaystyle y=ax^{2}}$ ${\displaystyle {\frac {y_{i}-y_{j}}{x_{i}-x_{j}}}=x_{i}+x_{j}}$

結果として、異なるx座標を持つ3点によって決定される放物線の方程式（ ）は（2つのx座標が等しい場合、それらの点を通るx軸に平行な準線を持つ放物線は存在しない）となる。1つ に依存する分母を掛け合わせると、より標準的な形式が得られる。 ${\displaystyle {\color {green}x},{\color {red}y}}$ ${\displaystyle P_{i}=(x_{i},y_{i}),\ i=1,2,3,}$ $${\displaystyle {\frac {{\color {red}y}-y_{1}}{{\color {green}x}-x_{1}}}-{\frac {{\color {red}y}-y_{2}}{{\color {green}x}-x_{2}}}={\frac {y_{3}-y_{1}}{x_{3}-x_{1}}}-{\frac {y_{3}-y_{2}}{x_{3}-x_{2}}}.}$$ ${\displaystyle {\color {green}x},}$ $${\displaystyle (x_{1}-x_{2}){\color {red}y}=({\color {green}x}-x_{1})({\color {green}x}-x_{2})\left({\frac {y_{3}-y_{1}}{x_{3}-x_{1}}}-{\frac {y_{3}-y_{2}}{x_{3}-x_{2}}}\right)+(y_{1}-y_{2}){\color {green}x}+x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}.}$$

極-極関係

放物線：極と極の関係

適切な座標系では、任意の放物線は方程式で記述できます。ある点における接線の方程式は、接線集合上の放物線の点集合上の関数です 。 ${\displaystyle y=ax^{2}}$ ${\displaystyle P_{0}=(x_{0},y_{0}),\ y_{0}=ax_{0}^{2}}$ $${\displaystyle y=2ax_{0}(x-x_{0})+y_{0}=2ax_{0}x-ax_{0}^{2}=2ax_{0}x-y_{0}.}$$ $${\displaystyle (x_{0},y_{0})\to y=2ax_{0}x-y_{0}}$$

明らかに、この関数は のすべての点の集合に拡張することができ、の点と の直線との間の一対一写像は となる。逆写像は となる。 この関係は放物線 の極-極関係と呼ばれ、点 は極であり、対応する直線 はその極 である。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle y=mx+d,\ m,d\in \mathbb {R} }$ $${\displaystyle {\text{line }}y=mx+d~~\rightarrow ~~{\text{point }}({\tfrac {m}{2a}},-d).}$$

計算により、放物線の極-極関係の次の特性を確認します。

• 放物線上の点（極）の場合、極線はその点における接線です（図を参照）。 ${\displaystyle P_{1},\ p_{1}}$
• 放物線の外側の極の場合、その極と放物線との交点は、2 つの接線が交わる点です(図を参照)。 ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P_{2},\ p_{2}}$
• 放物線内の点の場合、極座標は放物線と共通する点を持ちません (図:および を参照)。 ${\displaystyle P_{3},\ p_{3}}$ ${\displaystyle P_{4},\ p_{4}}$
• 2 つの極線の交点 (図を参照) は、それらの極を結ぶ線の極です (図を参照)。 ${\displaystyle p_{3},p_{4}}$ ${\displaystyle P_{3},P_{4}}$
• 放物線の焦点と準線は極と極のペアです。

注:極-極関係は楕円と双曲線にも存在します。

接線特性

直腸間膜に関連する2つの接線特性

対称軸が放物線と点Qで交わり、焦点を点F、点Qからの距離をfとする。焦点を通る対称軸への垂線が放物線と点Tで交わるとする。すると、(1) FからTまでの距離は2fであり、(2) 放物線の点Tにおける接線は対称軸と45°の角度で交わる。^{[13] : 26}

垂直接線は準線上で交差する

正視特性

放物線の2本の接線が互いに垂直である場合、それらは準線上で交差します。逆に、準線上で交差する2本の接線は互いに垂直です。言い換えれば、準線上の任意の点において、放物線全体が直角をなします。

ランバートの定理

放物線の3本の接線が三角形を形成するとします。ランベルトの定理によれば、放物線の焦点は三角形の外接円上にあります。 ^{[14] [8] ：系20}

ツッカーマンのランバートの定理の逆は、三角形を囲む3本の線分が与えられ、そのうちの2本が三角形の外接円に焦点がある放物線に接している場合、3本目の線分も放物線に接している、というものである。^[15]

弦と弧に関する事実

弦のパラメータから計算された焦点距離

弦が放物線と対称軸に垂直に交差していると仮定する。弦と放物線が交差する点間の弦の長さをcとし、対称軸に沿って測った放物線の頂点から弦までの距離をdとする。放物線の焦点距離fは次式で与えられる。 $${\displaystyle f={\frac {c^{2}}{16d}}.}$$

証拠

放物線の頂点が原点、対称軸がy軸となる直交座標系を用いるとします。放物線は上向きに開きます。この放物線の方程式は、焦点距離fをfとすると、 4 fy = x ²であることが、本稿の別の箇所で示されています。弦の正のx端では、 x = ⁠c/2⁠そしてy = dです。この点は放物線上にあるので、これらの座標は上の式を満たす必要があります。したがって、代入すると となります。このことから、 となります。 ${\displaystyle 4fd=\left({\tfrac {c}{2}}\right)^{2}}$ ${\displaystyle f={\tfrac {c^{2}}{16d}}}$

放物線と弦で囲まれた領域

放物線（マゼンタ）と直線（下の水色）の間には弦（青）が描かれています。弦自体は、直線が放物線と交差する点で終わります。

放物線と弦（図参照）で囲まれた面積は、それを囲む平行四辺形の面積の3分の2です。平行四辺形の一辺は弦であり、対辺は放物線の接線です。^{[16] [17]}他の平行辺の傾きは面積とは無関係です。ここでのように、他の平行辺は放物線の対称軸と平行に描かれることがよくありますが、これは任意です。

この定理と同等だが細部が異なる定理が、紀元前3世紀にアルキメデスによって導かれました。彼は平行四辺形ではなく三角形の面積を用いました。 ^[d]放物線の求積法を参照。

弦の長さがbで放物線の対称軸に垂直であり、放物線の頂点から弦までの垂線距離がhである場合、平行四辺形はbとhの辺を持つ長方形である。したがって、放物線と弦に囲まれた放物線分の面積Aは $${\displaystyle A={\frac {2}{3}}bh.}$$

この式は三角形の面積と比較することができます: ⁠1/2⁠ bh。

一般的に、囲まれた面積は次のように計算できます。まず、放物線上で、その傾きが弦の傾きと等しくなる点を見つけます。これは微積分法を用いるか、放物線の対称軸に平行で弦の中点を通る直線を用いて行うことができます。必要な点は、この直線が放物線と交差する点です。^[e]次に、 「点から直線までの距離」に示されている公式を用いて、この点から弦までの垂線距離を計算します。この値に弦の長さを掛けると平行四辺形の面積が得られ、さらに2/3を掛けると必要な囲まれた面積が得られます。

弦の中点と終点に関する系

平行弦の中点

上記の議論から導かれる帰結として、放物線が複数の平行弦を持つ場合、それらの中点はすべて対称軸に平行な直線上に位置する。これらの弦のいずれかの端点を通って放物線に接線を引くと、2本の接線は対称軸に平行な同じ直線上で交差する（放物線の軸方向を参照）。^[f]

弧の長さ

点 X が焦点距離fの放物線上に位置し、点 X から放物線の対称軸までの垂線距離がpである場合、放物線の弧の長さは、すべて同じ単位で表されていると仮定すると、次のようにfとpから計算できます。 ^[g] $${\displaystyle {\begin{aligned}h&={\frac {p}{2}},\\q&={\sqrt {f^{2}+h^{2}}},\\s&={\frac {hq}{f}}+f\ln {\frac {h+q}{f}}.\end{aligned}}}$$

この量sは、X と放物線の頂点の間の円弧の長さです。

X と放物線の反対側の対称的な反対の点との間の円弧の長さは2 sです。

垂直距離p に正または負の符号を与えることで、対称軸 X のどちら側に位置するかを示すことができます。p の符号を反転すると、hとsの符号も反転しますが、絶対値は変わりません。これらの値に符号が付いている場合、放物線上の任意の2点間の弧の長さは常に、それらのsの値の差で表されます。この計算は対数の性質を用いることで簡略化できます。 $${\displaystyle s_{1}-s_{2}={\frac {h_{1}q_{1}-h_{2}q_{2}}{f}}+f\ln {\frac {h_{1}+q_{1}}{h_{2}+q_{2}}}.}$$

これは、たとえば、放物面反射鏡や放物面トラフを作成するために必要な材料のサイズを計算する場合に役立ちます。

この計算は、あらゆる方向の放物線に適用できます。対称軸がy軸に平行な場合に限定されません。

扇形の面積を求める幾何学的構成

Sは焦点、Vは放物線VGの主頂点です。SVに垂直なVXを描きます。

VG上の任意の点BからVXへ垂線BQを下ろします。BQと交わる垂線STを描き、必要であれば延長してTで交差させます。Bに垂線BJを描き、VXとJで交差させます。

放物線の場合、線分VBV（弦VBと弧VBで囲まれた面積）は、∆VBQ / 3に等しく、 でもあります。 ${\displaystyle BQ={\frac {VQ^{2}}{4SV}}}$

放物線扇形の面積。 ${\displaystyle SVB=\triangle SVB+{\frac {\triangle VBQ}{3}}={\frac {SV\cdot VQ}{2}}+{\frac {VQ\cdot BQ}{6}}}$

三角形TSBと三角形QBJは相似なので、 $${\displaystyle VJ=VQ-JQ=VQ-{\frac {BQ\cdot TB}{ST}}=VQ-{\frac {BQ\cdot (SV-BQ)}{VQ}}={\frac {3VQ}{4}}+{\frac {VQ\cdot BQ}{4SV}}.}$$

したがって、放物線扇形の面積は、上で求めたように、VJ の長さから求めることができます。 ${\displaystyle SVB={\frac {2SV\cdot VJ}{3}}}$

S、V、Bを通る円はJも通ります。

逆に、扇形SVBの面積が指定された値に等しくなるように、放物線VG上の点Bを求める場合、VX上の点Jを決定し、S、V、Jを通る円を描きます。SJは直径なので、円の中心は円の中点にあり、SVの垂直二等分線上にあり、SVからVJの半分の距離にあります。求められる点Bは、この円が放物線と交差する点です。

S方向の反二乗力によって物体が放物線に沿って移動すると、点Bが前進するにつれて面積SVBは一定の割合で増加する。したがって、点Bが放物線に沿って移動すると、点Jは点VXに沿って一定速度で移動する。

物体が SV に垂直に移動している頂点での速度がvである場合、 J の速度は3 v /4に等しくなります。

この構成は、どちらの半径も軸SVと一致しない場合も含むように、次のように単純に拡張できる。AをVG上のVとBの間の不動点とし、点HをVXとAにおけるSAへの垂線との交点とする。以上のことから、放物扇形の面積は となる。 ${\displaystyle SAB={\frac {2SV\cdot (VJ-VH)}{3}}={\frac {2SV\cdot HJ}{3}}}$

逆に、特定の領域SABの点Bを求める必要がある場合は、前述と同様に、HJと点Bから点Jを求めます。ニュートンの『プリンキピア』第1巻、命題16、系6によれば、焦点に向かう力を受けながら放物線上を運動する物体の速度は、半径の平方根に反比例します。Aにおける速度がvの場合、頂点Vにおける速度は となり、点Jは一定速度 で移動します。 ${\displaystyle {\sqrt {\frac {SA}{SV}}}v}$ ${\displaystyle {\frac {3v}{4}}{\sqrt {\frac {SA}{SV}}}}$

上記の構成はアイザック・ニュートンによって考案され、『自然哲学原理』第 1 巻に命題 30 として記載されています。

頂点における焦点距離と曲率半径

放物線の焦点距離は頂点における曲率半径の半分です。

証拠

• 
  画像は反転されています。ABはx軸です。Cは原点です。Oは中心です。Aは( x , y )です。OA = OC = Rです。PA = xです。CP = yです。OP = ( R − y )です。その他の点と線は、この目的には無関係です。
• 
  頂点における曲率半径は焦点距離の2倍です。上図に示されている測定値は、焦点距離の4倍である直腸間距離を単位としています。
• 

半径R、中心が点(0, R )である円上の点( x , y )を考える。円は原点を通る。点が原点に近い場合、ピタゴラスの定理から次のことがわかる 。 $${\displaystyle {\begin{aligned}x^{2}+(R-y)^{2}&=R^{2},\\[1ex]x^{2}+R^{2}-2Ry+y^{2}&=R^{2},\\[1ex]x^{2}+y^{2}&=2Ry.\end{aligned}}}$$

しかし、( x , y )が原点に非常に近い場合、x軸は円の接線であるため、yはxに比べて非常に小さく、y ²は他の項と比較して無視できるほど小さい。したがって、原点に非常に近い

$${\displaystyle x^{2}=2Ry.}$$

1

これを放物線と比較してみましょう

$${\displaystyle x^{2}=4fy,}$$

2

これは、頂点が原点にあり、上向きに開いており、焦点距離がfです(この記事の前のセクションを参照)。

式(1)と式(2)は、 R = 2 fのとき等価である。したがって、これは円と放物線が原点およびその極めて近傍で一致する条件である。放物線の頂点である原点における曲率半径は、焦点距離の2倍である。

推論

球体の小さな部分である凹面鏡は、ほぼ放物面鏡のように動作し、平行光を球体の中心と表面の中間の点に焦点を合わせます。

単位放物線のアフィン像として

単位放物線のアフィン像としての放物線

放物線の別の定義ではアフィン変換を使用します。

任意の放物線は、方程式 を持つ単位放物線のアフィン像です。 ${\displaystyle y=x^{2}}$

パラメトリック表現

ユークリッド平面のアフィン変換は の形を持ち、は正則行列（行列式は0ではない）、 は任意のベクトルである。が行列 の列ベクトルである場合、単位放物線は の放物線に写像される 。 ${\displaystyle {\vec {x}}\to {\vec {f}}_{0}+A{\vec {x}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\vec {f}}_{0}}$ ${\displaystyle {\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (t,t^{2}),\ t\in \mathbb {R} }$ $${\displaystyle {\vec {x}}={\vec {p}}(t)={\vec {f}}_{0}+{\vec {f}}_{1}t+{\vec {f}}_{2}t^{2},}$$

• ${\displaystyle {\vec {f}}_{0}}$放物線の点である。
• ${\displaystyle {\vec {f}}_{1}}$は点における接線ベクトルであり、 ${\displaystyle {\vec {f}}_{0}}$
• ${\displaystyle {\vec {f}}_{2}}$放物線の軸（頂点を通る対称軸）に平行です。

頂点

一般に、アフィン変換が相似でない限り、2 つのベクトルは垂直ではなく、頂点ではありません。 ${\displaystyle {\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2}}$ ${\displaystyle {\vec {f}}_{0}}$

点における接線ベクトルは である。頂点において接線ベクトルは に直交する。したがって、頂点のパラメータは方程式の解であり、頂点はである。 ${\displaystyle {\vec {p}}(t)}$ ${\displaystyle {\vec {p}}'(t)={\vec {f}}_{1}+2t{\vec {f}}_{2}}$ ${\displaystyle {\vec {f}}_{2}}$ ${\displaystyle t_{0}}$ $${\displaystyle {\vec {p}}'(t)\cdot {\vec {f}}_{2}={\vec {f}}_{1}\cdot {\vec {f}}_{2}+2tf_{2}^{2}=0,}$$ $${\displaystyle t_{0}=-{\frac {{\vec {f}}_{1}\cdot {\vec {f}}_{2}}{2f_{2}^{2}}},}$$ $${\displaystyle {\vec {p}}(t_{0})={\vec {f}}_{0}-{\frac {{\vec {f}}_{1}\cdot {\vec {f}}_{2}}{2f_{2}^{2}}}{\vec {f}}_{1}+{\frac {({\vec {f}}_{1}\cdot {\vec {f}}_{2})^{2}}{4(f_{2}^{2})^{2}}}{\vec {f}}_{2}.}$$

焦点距離とフォーカス

焦点距離は適切なパラメータ変換によって決定できます（放物線の幾何学的形状は変化しません）。焦点距離は、したがって放物線の焦点は、 $${\displaystyle f={\frac {f_{1}^{2}\,f_{2}^{2}-({\vec {f}}_{1}\cdot {\vec {f}}_{2})^{2}}{4|f_{2}|^{3}}}.}$$ $${\displaystyle F:\ {\vec {f}}_{0}-{\frac {{\vec {f}}_{1}\cdot {\vec {f}}_{2}}{2f_{2}^{2}}}{\vec {f}}_{1}+{\frac {f_{1}^{2}\,f_{2}^{2}}{4(f_{2}^{2})^{2}}}{\vec {f}}_{2}.}$$

暗黙的表現

の媒介変数表現をクラメールの定理で解き、 を使うと、次の暗黙表現が得られる。 ${\displaystyle \;t,t^{2}\;}$ ${\displaystyle \;t\cdot t-t^{2}=0\;}$ $${\displaystyle \det({\vec {x}}\!-\!{\vec {f}}\!_{0},{\vec {f}}\!_{2})^{2}-\det({\vec {f}}\!_{1},{\vec {x}}\!-\!{\vec {f}}\!_{0})\det({\vec {f}}\!_{1},{\vec {f}}\!_{2})=0.}$$

宇宙の放物線

このセクションの放物線の定義は、空間内でベクトルを許容する場合、空間内であっても任意の放物線のパラメトリック表現を与えます。 ${\displaystyle {\vec {f}}\!_{0},{\vec {f}}\!_{1},{\vec {f}}\!_{2}}$

二次ベジェ曲線として

二次ベジェ曲線とその制御点

2次ベジェ曲線は、制御点と呼ばれる3つの点、によって定義される曲線です。 ${\displaystyle {\vec {c}}(t)}$ ${\displaystyle P_{0}:{\vec {p}}_{0}}$ ${\displaystyle P_{1}:{\vec {p}}_{1}}$ ${\displaystyle P_{2}:{\vec {p}}_{2}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {c}}(t)&=\sum _{i=0}^{2}{\binom {2}{i}}t^{i}(1-t)^{2-i}{\vec {p}}_{i}\\[1ex]&=(1-t)^{2}{\vec {p}}_{0}+2t(1-t){\vec {p}}_{1}+t^{2}{\vec {p}}_{2}\\[2ex]&=\left({\vec {p}}_{0}-2{\vec {p}}_{1}+{\vec {p}}_{2}\right)t^{2}+\left(-2{\vec {p}}_{0}+2{\vec {p}}_{1}\right)t+{\vec {p}}_{0},\quad t\in [0,1].\end{aligned}}}$$

この曲線は放物線の弧です（§ 単位放物線のアフィン像を参照）。

数値積分

シンプソンの法則：関数のグラフは放物線の弧に置き換えられる

数値積分法の一つでは、関数のグラフを放物線の弧に置き換え、放物線の弧を積分します。放物線は3点によって決定されます。1つの弧の公式は $${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {b-a}{6}}\cdot \left(f(a)+4f\left({\frac {a+b}{2}}\right)+f(b)\right).}$$

この方法はシンプソンの法則と呼ばれます。

二次曲線の平面切断として

次の二次曲面には平面断面として放物線が含まれています。

• 楕円錐、
• 放物面円筒、
• 楕円放物面、
• 双曲放物面、
• 一枚の双曲面、
• 2枚の双曲面。

• 
  楕円錐
• 
  放物面円筒
• 
  楕円放物面
• 
  双曲放物面
• 
  一枚の双曲面
• 
  2枚の双曲面

三等分線として

放物線による角の三等分

放物線は三等分線として用いることができ、定規とコンパスを用いて任意の角度を正確に三等分することができます。これは、コンパスと定規のみを用いた作図では角度の三等分が不可能であることと矛盾しません。なぜなら、コンパスと定規を用いた作図の古典的な規則では放物線の使用は認められていないからです。

を三等分するには、頂点が座標系の原点にくるように、 x軸上に辺を置きます。座標系には放物線 も含まれます。原点を中心とする半径1の単位円 は、角 のもう一方の辺 と交差し、この交点からy軸に垂線を引きます。その垂線の中点を通るy軸への平行線と、 における単位円の接線は、で交差します。 を中心とする半径 の円は、放物線 で交差します。 からx軸に引いた垂線は、単位円 で交差し、のちょうど3分の1になります。 ${\displaystyle \angle AOB}$ ${\displaystyle OB}$ ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle y=2x^{2}}$ ${\displaystyle OA}$ ${\displaystyle (0,1)}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle OC}$ ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle P_{2}}$ ${\displaystyle \angle P_{2}OB}$ ${\displaystyle \angle AOB}$

この構成の正しさは、 のx座標がであることを示すことで確認できます。 の周りの円と放物線で示される方程式系を解くと、 3次方程式 が得られます。そして、三倍角の公式から、が確かにその3次方程式の解であることが示されます。 ${\displaystyle P_{1}}$ ${\displaystyle \cos(\alpha )}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle 4x^{3}-3x-\cos(3\alpha )=0}$ ${\displaystyle \cos(3\alpha )=4\cos(\alpha )^{3}-3\cos(\alpha )}$ ${\displaystyle \cos(\alpha )}$

この三等分法はルネ・デカルトが著書『幾何学』 （1637年）で述べたものである。^[18]

一般化

実数を任意の体で置き換えても、放物線の多くの幾何学的特性は依然として有効です。 ${\displaystyle y=x^{2}}$

1. 線は最大 2 点で交差します。
2. どの点でも、その線は接線となります。 ${\displaystyle (x_{0},x_{0}^{2})}$ ${\displaystyle y=2x_{0}x-x_{0}^{2}}$

場が特性 2 (つまり、) を持つ場合、本質的に新しい現象が発生します。つまり、接線はすべて平行です。 ${\displaystyle 1+1=0}$

代数幾何学において、放物線は、座標が( x , x ² , x ³ , ..., x ⁿ )である有理正規曲線によって一般化されます。標準的な放物線はn = 2の場合であり、n = 3の場合はねじれ三次曲線として知られています。さらに一般化されるのは、複数の入力変数がある場合のヴェロネーゼ多様体です。

二次形式理論において、放物面は二次形式x ²（またはその他のスケーリング）のグラフであり、楕円放物面は正定値二次形式x ² + y ²（またはその他のスケーリング）のグラフであり、双曲放物面は不定値二次形式 x ² − y ²のグラフである。より多くの変数への一般化により、このようなオブジェクトがさらに得られる。

pの他の値に対する曲線y = x ^{p は}、伝統的に高次放物線と呼ばれ、元々はpとq が両方とも正の整数であるときにx ^p = ky ^qの形式で暗黙的に扱われ、その形式では代数曲線であるとみなされていました。これらは、 xの正の分数べき乗に対する明示的な式y = x ^{p / q}に対応します。負の分数べき乗は、暗黙的な方程式x ^p y ^q = kに対応し、伝統的に高次双曲線と呼ばれています。解析的には、x は無理数べき乗（ xが正の値の場合）にもなり、解析特性はxを有理数べき乗した場合と類似していますが、結果として得られる曲線はもはや代数的ではなく、代数幾何学で解析することはできません。

現実世界では

自然界では、放物線や放物面の近似は様々な状況で見られます。物理学の歴史において放物線の最もよく知られた例は、空気抵抗のない均一な重力場の影響下で運動する粒子または物体の軌道です（例えば、空気摩擦を無視して空中を飛ぶボールなど）。

発射物の放物線軌道は、 17世紀初頭にガリレオ・ガリレイが傾斜面を転がるボールの実験で発見しました。彼は後に、著書『二つの新科学についての対話』でこれを数学的に証明しました。^{[19] [h]}飛び込み台から飛び込むダイバーのように空間に広がった物体の場合、物体自体は回転しながら複雑な運動をしますが、物体の重心はそれでも放物線に沿って動きます。物理世界のすべての場合と同様に、軌道は常に放物線の近似値になります。たとえば空気抵抗がある場合、形状は常に歪みますが、低速では形状は放物線によく近似します。弾道学などの高速では、形状は大きく歪み、放物線に似なくなります。

17 世紀と 18 世紀にアイザック ニュートン卿が説明した物理学の理論によれば、放物線が発生する可能性がある別の仮説的な状況は、 2 体軌道、たとえば太陽の重力の影響下にある小惑星またはその他の物体の軌道です。放物線軌道は自然界には存在しません。単純な軌道は、最も一般的には双曲線または楕円に似ています。放物線軌道は、これら 2 種類の理想的な軌道の退化した中間ケースです。放物線軌道をたどる物体は、周回する物体の脱出速度とまったく同じ速度で移動します。楕円軌道または双曲線軌道の物体は、それぞれ脱出速度よりも遅い、または速い速度で移動します。長周期彗星は、太陽系内を移動しながら太陽の脱出速度に近い速度で移動するため、その軌道はほぼ放物線になります。

放物線の近似値は、単純な吊橋の主ケーブルの形状にも見られます。吊橋のチェーンの曲線は、常に放物線と懸垂線の中間の曲線になりますが、実際には、荷重 (つまり道路) の重量がケーブル自体よりもはるかに大きいため、曲線は一般に放物線に近くなり、計算では放物線の 2 次多項式が使用されます。^{[20] [21]}均一な荷重 (水平に吊り下げられたデッキなど) の影響下では、通常は懸垂線形状のケーブルが放物線に向かって変形します (懸垂線 § 吊橋の曲線を参照)。非弾性チェーンとは異なり、応力がない長さがゼロの自由に吊り下げられたバネは放物線の形状になります。吊橋のケーブルは、理想的には純粋に張力がかかっており、曲げなどの他の力を受ける必要はありません。同様に、放物線アーチの構造は純粋に圧縮力がかかっています。

放物面は物理的な場面でもいくつか登場する。最もよく知られている例は放物面反射鏡で、これは光やその他の形態の電磁放射を共通の焦点に集める、あるいは逆に点光源からの光を焦点で平行ビームにコリメートする鏡または類似の反射装置である。放物面反射鏡の原理は紀元前3世紀に幾何学者アルキメデスによって発見されたと考えられている。疑わしい伝説によると^{[22]アルキメデスは}シラクサをローマ艦隊から守るために放物面鏡を製作し、太陽光線を集中させてローマ船の甲板に火をつけたという。この原理は17世紀に望遠鏡に応用された。今日、放物面反射鏡は世界中の多くの場所でマイクロ波や衛星放送受信アンテナや送信アンテナによく使われている。

パラボラ マイクでは、パラボラ反射鏡を使用してマイクに音を集中させ、高度な指向性性能を実現します。

放物面は、容器に閉じ込められ、中心軸を中心に回転する液体の表面にも見られます。この場合、遠心力によって液体は容器の壁を登り、放物面を形成します。これが液体鏡望遠鏡の原理です。

NASAの「ヴォミット・コメット」など、実験目的で無重力状態を作り出すために使用される航空機は、自由落下中の物体の進路を追跡するために、短時間、垂直の放物線の軌道をたどり、ほとんどの目的で無重力と同じ効果を生み出します。

ギャラリー

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  ストロボフラッシュで毎秒25枚の速度で撮影した、跳ねるボール。ボールはバウンドするたびに、特に最初のバウンド以降は著しく非球面化する。これにスピンと空気抵抗が加わり、外側に広がる曲線は、予想される完全な放物線からわずかにずれる。
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  噴水の放物線状の水の軌跡。
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  コホーテク彗星が太陽系内部を通過した際の軌道（赤色）は、ほぼ放物線状を描いている。青色の軌道は地球の軌道である。
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  吊橋の支持ケーブルは放物線と懸垂線の中間の曲線を描きます。
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  ナイアガラ川にかかるレインボーブリッジは、カナダ（左）とアメリカ合衆国（右）を結んでいます。放物線状のアーチが圧縮され、道路の重量を支えています。
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  建築で使用される放物線状のアーチ
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  回転する液面によって形成される放物線状の形状。密度の異なる2種類の液体が、2枚の透明なプラスチックシートの間の狭い空間を完全に満たしています。シート間の隙間は、底面、側面、および上面で閉じられています。全体は、中心を通る垂直軸を中心に回転します。（回転炉を参照）
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  パラボラ反射鏡付きソーラークッカー
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  パラボラアンテナ
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  アメリカの大学フットボールの試合で使用される、光学的に透明なプラスチック反射器を備えたパラボラ マイク。
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  太陽エネルギーを集めるための放物面トラフの配列
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  エジソンのサーチライト。台車に取り付けられていた。このライトには放物面反射鏡が付いていた。
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  無重力状態をシミュレートするために放物線軌道を飛行する飛行機に乗った物理学者スティーブン・ホーキング

参照

• 共焦点円錐曲線 § 共焦点放物線
• 退化した円錐曲線
• ドーム § 放物面ドーム
• 放物型偏微分方程式
• 二次方程式
• 二次関数
• 普遍放物線定数

脚注

1. 接線平面は、円錐の頂点を通る線に沿って円錐面に接します。
2. 上記のリードで述べたように、放物線の焦点距離は、放物線の頂点と焦点の間の距離です。
3. 点Vは円錐の小さい方の円断面の中心です。点Fは放物面（ピンク色）にあり、直線VFは放物面に対して垂直です。
4. アルキメデスは、放物線で囲まれた部分の面積が、その部分に内接する三角形の面積の4/3であることを証明しました。平行四辺形の面積は三角形の2倍であることは容易に証明できるため、アルキメデスの証明は平行四辺形を用いた定理も証明しています。
5. この方法は微積分によって容易に正しいことが証明できます。アルキメデスもこの方法を知っており、使用していましたが、彼は微積分が発明される約2000年前に生きていました。
6. この文の証明は、上記の正射影性の証明から推論できます。そこでは、放物線y = x ²の( p , p ² )と( q , q ² )における接線が、 x座標がpとqの平均となる点で交差することが示されています。したがって、これらの2点間に弦がある場合、接線の交点は弦の中点と同じx座標を持ちます。
7. この計算では、平方根 q は正でなければなりません。ln aはaの 自然対数です。
8. しかし、ニュートンが認識したように、この放物線形状は実際の軌道の楕円形状の近似に過ぎず、対象領域における重力が一定（地球の中心に向かわない）であると仮定することによって得られる。多くの場合、この差は無視でき、運動を追跡するためのより単純な式につながる。

参考文献

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2. ウィルソン、レイ・N. (2004). 反射望遠鏡光学：基本設計理論とその歴史的発展（第2版）. シュプリンガー. p. 3. ISBN 3-540-40106-7。3ページの抜粋。
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4. スターゲイザー、123、132ページ。
5. Fitzpatrick, Richard (2007年7月14日). 「球面ミラー」.電磁気学と光学講義.テキサス大学オースティン校. 近軸光学. 2011年10月5日閲覧.
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20. トロヤノ、レオナルド・フェルナンデス (2003).橋梁エンジニアリング: グローバルな視点。トーマス・テルフォード。 p. 536.ISBN​ 0-7277-3215-3。
21. チャールズ・スチュワート・ドリューリー（1832年）『吊り橋の回想録』オックスフォード大学、159ページ。
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さらに読む

• ロックウッド、EH（1961年）『曲線の本』ケンブリッジ大学出版局。

外部リンク

• 「放物線」数学百科事典、EMSプレス、2001 [1994]
• ワイスタイン、エリック・W.「パラボラ」。マスワールド。
• インタラクティブな放物線ドラッグフォーカス、対称軸、準線、標準および頂点形式を参照
• アルキメデスの三角形と放物線の二乗（カット・ザ・ノット）
• 切断時の放物線の2つの接線
• 切断時の直線の包絡線としての放物線
• カット・ザ・ノットのパラボリックミラー
• 結び目を切る3つの放物線の接線
• 切断時の放物線の焦点特性
• カット・ザ・ノットのパラボラ・アズ・エンベロープII
• インタラクティブなダイナミック ジオメトリ スケッチであるダイナミック ジオメトリ スケッチにおける放物線の類似性。
• フランス・ファン・スホーテン：数学オーフェニンゲン、1659

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