二次関数

Polynomial function of degree two

数学において、一変数の二次関数とは^[1]の形の関数である。

${\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c,\quad a\neq 0,}$

ここで、 ⁠ ⁠ ${\displaystyle x}$はその変数、⁠ ⁠ ${\displaystyle a}$、⁠ ⁠ ${\displaystyle b}$、⁠ ⁠ ${\displaystyle c}$は係数です。式 ⁠ ⁠は、特に ${\displaystyle \textstyle ax^{2}+bx+c}$関数としてではなく、それ自体として扱う場合、二次多項式、つまり2次多項式です。初等数学では、多項式とそれに関連する多項式関数が区別されることはめったになく、二次関数と二次多項式という用語はほぼ同義であり、しばしば二次と略されます。

2 つの実根( x軸の交差)を持つ二次多項式。

実一変数二次関数のグラフは放物線です。二次関数を零と等しくすると、結果は二次方程式となります。二次方程式の解は、対応する二次関数の零点（または根）であり、零点は2つ、1つ、または0つです。解は二次方程式の公式で記述されます。

二次多項式または二次関数は、複数の変数を含むことができます。例えば、2変数の二次関数（変数⁠ ⁠ ${\displaystyle x}$と⁠ ⁠ ） ${\displaystyle y}$は、以下の形になります。

${\displaystyle f(x,y)=ax^{2}+bxy+cy^{2}+dx+ey+f,}$

⁠ ⁠ ${\displaystyle a}$、⁠ ⁠ ${\displaystyle b}$、⁠ ⁠ ${\displaystyle c}$の少なくとも1つがゼロではありません。一般に、このような二次関数の零点は、 ⁠ ⁠ – ⁠ ⁠平面における円錐曲線（円またはその他の楕円、放物線、または双曲線）を描きます。二次関数は、任意の数の変数を持つことができます。その零点の集合は二次曲面を形成し、これは3変数の場合は曲面、一般的な場合は超曲面です。 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

語源

形容詞「quadratic （平方）」はラテン語のquadrātum （正方形）に由来します。⁠​​ ⁠のような項の2乗は、辺が⁠ ⁠の正方形の面積であるため、代数学では「平方」と呼ばれます。 ${\displaystyle \textstyle x^{2}}$ ${\displaystyle x}$

用語

係数

二次関数の係数は実数または複素数としてとられることが多いが、任意の環としてとられることもあり、その場合、定義域と余域はこの環になる（多項式の評価を参照）。

程度

「二次多項式」という用語を用いる場合、著者は「次数がちょうど2である」という意味で用いる場合もあれば、「次数が最大で2である」という意味で用いる場合もあります。次数が2未満の場合は、「退化している」ケースと呼ばれることがあります。通常は文脈からどちらを指しているのかが分かります。

「次数」という言葉は、例えば2次多項式のように「次数」の意味で使われることがあります。しかし、「多項式の次数」が多項式の非零項の最大次数を指すのに対し、「次数」はより一般的には、べき級数の非零項の最低次数を指します。

変数

二次多項式には、単一の変数 x（単変数の場合）またはx、y、zなどの複数の変数（多変数の場合）が含まれる場合があります。

1変数の場合

任意の一変数二次多項式は次のように表される。

${\displaystyle ax^{2}+bx+c,}$

ここで、xは変数、a、b、c は係数を表します。このような多項式は、二次方程式 でよく見られます。 この方程式の解は根と呼ばれ、係数を用いて二次方程式の公式として表すことができます。各二次多項式には、グラフが放物線となる二次関数が関連付けられています。 ${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0.}$

二変量と多変量の場合

2変数の2次多項式は次のように表される。

${\displaystyle ax^{2}+by^{2}+cxy+dx+ey+f,}$

ここで、xとyは変数、a、b、c、d、e、fは係数であり、a、b、cのいずれかが非ゼロである。このような多項式は円錐曲線の研究において基本的な要素である。円錐曲線の暗黙方程式は二次多項式をゼロに等しくすることで得られ、二次関数の零点は（おそらく退化した）円錐曲線を形成するからである。

同様に、3 つ以上の変数を持つ二次多項式は、二次曲面または超曲面に対応します。

2 次項のみを持つ二次多項式は二次形式と呼ばれます。

一変数二次関数の形

一変数二次関数は3つの形式で表現できる: ^[2]

• ${\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c}$は標準形 と呼ばれ、
• ${\displaystyle f(x)=a(x-r_{1})(x-r_{2})}$は因数分解形式と呼ばれ、r ₁とr ₂はそれぞれ2次関数の根と対応する2次方程式の解です。
• ${\displaystyle f(x)=a(x-h)^{2}+k}$は頂点形式と呼ばれ、hとkはそれぞれ頂点のx座標とy座標です。

係数a は、3つの形式すべてで同じ値です。標準形式を因数分解形式に変換するには、 2つの根r ₁とr ₂を決定する二次方程式の公式のみが必要です。標準形式を頂点形式に変換するには、平方完成と呼ばれる処理が必要です。因数分解形式（または頂点形式）を標準形式に変換するには、因数を乗算、展開、および/または分配する必要があります。

一変数関数のグラフ

${\displaystyle f(x)=ax^{2}|_{a\in \{0.1,0.3,1,3\}}}$

${\displaystyle f(x)=x^{2}+bx|_{b\in \{1,2,3,4\}}}$

${\displaystyle f(x)=x^{2}+bx|_{b\in \{-1,-2,-3,-4\}}}$

形式に関わらず、一変数二次関数のグラフは放物線になります（右図参照）。同様に、これは二変数二次方程式のグラフです。 ${\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c}$ ${\displaystyle y=ax^{2}+bx+c}$

• a > 0の場合、放物線は上向きに開きます。
• a < 0の場合、放物線は下向きに開きます。

係数a はグラフの曲率を制御します。a の値が大きいほど、 グラフはより閉じた（急激に曲がった）外観になります。

係数bとaは、放物線の対称軸の位置（頂点のx座標と頂点形式のhパラメータ）を制御します。

${\displaystyle x=-{\frac {b}{2a}}.}$

係数cは放物線の高さを制御します。より具体的には、放物線がy軸と交差する高さです。

頂点

放物線の頂点は放物線が曲がる場所であるため、転回点とも呼ばれます。二次関数が頂点形式の場合、頂点は( h , k )です。平方完成法を用いると、標準形を

${\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c}$

の中へ

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&=ax^{2}+bx+c\\&=a(x-h)^{2}+k\\&=a\left(x-{\frac {-b}{2a}}\right)^{2}+\left(c-{\frac {b^{2}}{4a}}\right),\\\end{aligned}}}$

したがって、放物線の頂点（h、k）は標準形では

${\displaystyle \left(-{\frac {b}{2a}},c-{\frac {b^{2}}{4a}}\right).}$^[3]

二次関数が因数分解されている場合

${\displaystyle f(x)=a(x-r_{1})(x-r_{2})}$

2つの根の平均、すなわち、

${\displaystyle {\frac {r_{1}+r_{2}}{2}}}$

は頂点のx座標であり、したがって頂点( h , k )は

${\displaystyle \left({\frac {r_{1}+r_{2}}{2}},f\left({\frac {r_{1}+r_{2}}{2}}\right)\right).}$

頂点は、a < 0の場合は最大点、 a > 0の場合は最小点でもあります。

垂直線

${\displaystyle x=h=-{\frac {b}{2a}}}$

頂点を通る軸は放物線の対称軸でもあります。

最大ポイントと最小ポイント

微積分を使用すると、関数の最大値または最小値である頂点は、導関数の根を見つけることによって得られます。

${\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c\quad \Rightarrow \quad f'(x)=2ax+b}$

xはf '( x )の根であり、 f '( x ) = 0となる。

${\displaystyle x=-{\frac {b}{2a}}}$

対応する関数値

${\displaystyle f(x)=a\left(-{\frac {b}{2a}}\right)^{2}+b\left(-{\frac {b}{2a}}\right)+c=c-{\frac {b^{2}}{4a}},}$

したがって、頂点座標（h、k）は次のように表される。

${\displaystyle \left(-{\frac {b}{2a}},c-{\frac {b^{2}}{4a}}\right).}$

一変数関数の根

y = ax ² + bx + cのグラフ。ここでaと判別式b ² − 4 acは正であり、

• ルートとy切片は赤で表示
• 頂点と対称軸は青色で表示
• ピンク色の焦点と準線

y = ax ² + bx + cの複素根の視覚化：放物線は頂点（オレンジ色）を中心に180°回転している。x切片は中点を中心に90°回転しており、直交平面は複素平面（緑色）として解釈されている。^[4]

正確なルーツ

一変数二次関数の根（または零点）r ₁とr ₂

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&=ax^{2}+bx+c\\&=a(x-r_{1})(x-r_{2}),\\\end{aligned}}}$

は、 f ( x )=0となるxの値です。

係数 a、b、cが実数または複素数の場合、根は

${\displaystyle r_{1}={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}},}$

${\displaystyle r_{2}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.}$

根の大きさの上限

二次方程式の根の絶対値は、黄金比^[5]よりも大きくなることはない。 ${\displaystyle ax^{2}+bx+c}$ ${\displaystyle {\frac {\max(|a|,|b|,|c|)}{|a|}}\times \phi ,}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}.}$

一変数二次関数の平方根

一変数二次関数の平方根は、4 つの円錐曲線のいずれかを生じ、ほとんどの場合、楕円または双曲線になります。

となる場合、両辺を二乗すればわかるように、この方程式は双曲線を描きます。双曲線の軸の方向は、対応する放物線の最小点の縦座標によって決まります。縦座標が負の値の場合、双曲線の長軸（頂点を通る）は水平になり、正の値の場合、双曲線の長軸は垂直になります。 ${\displaystyle a>0,}$ ${\displaystyle y=\pm {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}}$ ${\displaystyle y_{p}=ax^{2}+bx+c.}$

となる場合、方程式は円または楕円を描くか、あるいは何も描かないかのいずれかになります。対応する放物線の最大点の縦座標が正であれば、その平方根は楕円を描きますが、縦座標が負であれば、空点の軌跡を描きます。 ${\displaystyle a<0,}$ ${\displaystyle y=\pm {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}}$ ${\displaystyle y_{p}=ax^{2}+bx+c}$

反復

関数を反復する には、1 回の反復からの出力を次の反復の入力として使用して、関数を繰り返し適用します。 ${\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c}$

の解析形式、つまりのn^回目の反復を常に推定できるわけではありません。(上付き文字は負の数にまで拡張でき、逆が存在する場合は の逆の反復を表します。) しかし、解析的に扱いやすいケースがいくつかあります。 ${\displaystyle f^{(n)}(x)}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle f(x)}$

例えば、反復方程式

${\displaystyle f(x)=a(x-c)^{2}+c}$

1つは

${\displaystyle f(x)=a(x-c)^{2}+c=h^{(-1)}(g(h(x))),}$

どこ

${\displaystyle g(x)=ax^{2}}$そして ${\displaystyle h(x)=x-c.}$

つまり帰納的に、

${\displaystyle f^{(n)}(x)=h^{(-1)}(g^{(n)}(h(x)))}$

が得られる。これは次のように簡単に計算できる。 ${\displaystyle g^{(n)}(x)}$

${\displaystyle g^{(n)}(x)=a^{2^{n}-1}x^{2^{n}}.}$

最後に、

${\displaystyle f^{(n)}(x)=a^{2^{n}-1}(x-c)^{2^{n}}+c}$

解決策として。

fとgの関係の詳細については位相共役性を参照してください。また、一般的な反復におけるカオス的挙動については複素二次多項式を参照してください。

ロジスティックマップ

${\displaystyle x_{n+1}=rx_{n}(1-x_{n}),\quad 0\leq x_{0}<1}$

パラメータ2< r <4の場合には、特定のケースで解くことができる。そのうちの一つはカオス的であり、もう一つはそうではない。カオス的なケースr =4では、解は次のようになる。

${\displaystyle x_{n}=\sin ^{2}(2^{n}\theta \pi )}$

ここで、初期条件パラメータは で与えられる。有理数 の場合、有限回の反復処理の後、は周期的な列に写像される。しかし、ほとんどすべてが無理数であり、無理数 の場合、それ自体を繰り返すことはない。つまり、非周期的であり、初期条件 に敏感に依存するため、カオス的であると言われる。 ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \theta ={\tfrac {1}{\pi }}\sin ^{-1}(x_{0}^{1/2})}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle x_{n}}$

r =2のときのロジスティック写像の解は

${\displaystyle x_{n}={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}(1-2x_{0})^{2^{n}}}$

不安定な固定点0以外の任意の値に対しては、nが無限大に近づくにつれて項は0に近づくので、安定な固定点に近づく。 ${\displaystyle x_{0}\in [0,1)}$ ${\displaystyle (1-2x_{0})\in (-1,1)}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle (1-2x_{0})^{2^{n}}}$ ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}.}$

二変数二次関数

二変数二次関数は、次の形式の二次多項式である。

${\displaystyle f(x,y)=Ax^{2}+By^{2}+Cx+Dy+Exy+F,}$

ここで、A、B、C、D、Eは固定係数であり、Fは定数項である。このような関数は二次曲面を表す。をゼロに設定すると、曲面と平面の交点が表され、これは円錐曲線に相当する点の軌跡となる。 ${\displaystyle f(x,y)}$ ${\displaystyle z=0,}$

最小/最大

関数に最大値や最小値がない場合、そのグラフは双曲放物面を形成します。 ${\displaystyle 4AB-E^{2}<0,}$

関数がA > 0かつB > 0のときに最小値を持ち、 A < 0かつB < 0のときに最大値を持つ場合、そのグラフは楕円放物面を形成します。この場合、最小値または最大値は次のようになります。 ${\displaystyle 4AB-E^{2}>0,}$ ${\displaystyle (x_{m},y_{m}),}$

${\displaystyle x_{m}=-{\frac {2BC-DE}{4AB-E^{2}}},}$

${\displaystyle y_{m}=-{\frac {2AD-CE}{4AB-E^{2}}}.}$

かつ関数に最大値や最小値がない場合は、そのグラフは放物線状の円筒形を形成します。 ${\displaystyle 4AB-E^{2}=0}$ ${\displaystyle DE-2CB=2AD-CE\neq 0,}$

であり、関数が直線で最大/最小値を達成する場合、つまりA >0 の場合には最小値、 A <0の場合には最大値を達成し、そのグラフは放物線状の円筒を形成します。 ${\displaystyle 4AB-E^{2}=0}$ ${\displaystyle DE-2CB=2AD-CE=0,}$

参照

• 二次形式
• 二次方程式
• 円錐曲線の行列表現
• 二次曲面
• 複素二次写像の周期点
• 数学関数のリスト

参考文献

1. Weisstein, Eric Wolfgang. 「二次方程式」. MathWorld . 2013年1月6日閲覧。
2. ヒューズ・ハレット、デボラ・J.、コナリー、エリック、マッカラム、ウィリアム・ジョージ(2007). 『大学代数』ジョン・ワイリー・アンド・サンズ社p. 205. ISBN 9780471271758。
3. コールマン、パーシー（1914年）『座標幾何学』オックスフォード大学出版局、137頁。
4. 「複素根を可視化 - 数学の楽しい事実」 。 2016年10月1日閲覧。
5. ロード、ニック (2007年11月1日). 「二次方程式の根の黄金比」 . The Mathematical Gazette . 91 (522): 549. doi :10.1017/S0025557200182324. JSTOR  40378441.

• Glencoe, McGraw-Hill (2003). Algebra 1 . Glencoe/McGraw-Hill. ISBN 9780078250835。
• サクソン, ジョン・H. (1991年5月).代数2.サクソン出版社. ISBN 9780939798629。

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