2 21 多面体

一様6次元多面体

2 21	修正 2 21	切り捨て 2 21
（1 22）	2 21 修正（1 22修正）
E 6 コクセター平面における直交投影

6次元幾何学において、2 ₂₁多面体は、 E ₆群の対称性の範囲内で構築される一様6次元多面体です。これはソロルド・ゴセットによって発見され、1900年の論文で発表されました。彼はこれを6次元半正則図形と呼びました。^[1]シュレーフリ多面体とも呼ばれます。

コクセター記号は2 ₂₁で、分岐コクセター・ディンキン図を表し、2ノード列の一方の端に単一の環を持つ。彼は​​また、立方面上の27本の直線との関連を研究した^{[2] 。これらの直線は2} ₂₁の頂点と自然に一致する。

平行化された2 _{21 は}、 2 ₂₁の中辺上の点によって構成されます。双平行化された2 ₂₁は、 2 ₂₁の三角形の面心上の点によって構成され、平行化された1 ₂₂と同じになります。

これらの多面体は、6 次元の39 個の凸均一多面体ファミリーの一部であり、均一な 5 多面体面と頂点図形で構成され、このCoxeter-Dynkin 図のリングのすべての順列によって定義されます。。

2₂₁多面体

2 21多面体
タイプ	一様6次元多面体
家族	k 21多面体
シュレーフリ記号	{3,3,3 2,1 }
コクセターシンボル	2 21
コクセター・ディンキン図	または
5面	合計99: 27 2 11 72 {3 4 }
4面	648: 432 {3 3 } 216 {3 3 }
細胞	1080 {3,3}
顔	720 {3}
エッジ	216
頂点	27
頂点図形	1 21 ( 5-デミキューブ)
ペトリー多角形	十二角形
コクセターグループ	E 6、[3 2,2,1 ]、順序番号51840
プロパティ	凸状

2 _{21 は}27個の頂点と99個の面を持ち、そのうち27個は5次元正多面体、72個は5次元単体である。その頂点図形は5次元半立方体である。

この6次元多面体は、視覚化のために、その27個の頂点が12角形の正多角形（ペトリー多角形と呼ばれる）に収まる特殊な歪んだ正投影方向で表示されることが多い。216本の辺は、12個の頂点からなる2つの環と、中心に投影された3つの頂点の間に描かれる。高次の要素（面、セルなど）もこの投影図上に抽出して描画することができる。

シュレーフリグラフはこの多面体の1 次元骨格です。

別名

• ELエルテは1912年に半正多面体のリストの中で、この多面体をV ₂₇（27頂点）と名付けました。^[3]
• イコシヘプタ・ヘプタコンタディ・ペトン- 27-72面体ポリペトン（頭字語：jak）（ジョナサン・バウワーズ）^[4]

座標

27頂点は8次元空間で4× ₂₁多面体の辺図形として表現できます。

(-2, 0, 0, 0, -2, 0, 0, 0),( 0,-2, 0, 0,-2, 0, 0, 0),( 0, 0, -2, 0, -2, 0, 0, 0),( 0, 0, 0, -2, -2, 0, 0, 0),( 0, 0, 0, 0, -2, 0, 0, -2),( 0, 0, 0, 0, 0, -2, -2, 0)

( 2, 0, 0, 0, -2, 0, 0, 0),( 0, 2, 0, 0, -2, 0, 0, 0),( 0, 0, 2, 0, -2, 0, 0, 0),( 0, 0, 0, 2, -2, 0, 0, 0),( 0, 0, 0, 0, -2, 0, 0, 2)

(-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1),(-1,-1,-1, 1,-1,-1,-1, 1),(-1,-1, 1,-1,-1,-1,-1, 1),(-1,-1, 1, 1,-1,-1,-1,-1),(-1, 1,-1,-1,-1,-1,-1, 1),(-1, 1,-1, 1,-1,-1,-1,-1),(-1, 1, 1,-1,-1,-1,-1,-1),（1、-1、-1、-1、-1、-1、-1、1）、（1,-1, 1,-1,-1,-1,-1,-1）、（1,-1,-1, 1,-1,-1,-1,-1）、（1、1、-1、-1、-1、-1、-1、-1）、(-1, 1, 1, 1,-1,-1,-1, 1),( 1,-1, 1, 1,-1,-1,-1, 1),（1、1、-1、1、-1、-1、-1、1）、（1、1、1、-1、-1、-1、-1、1）、（1、1、1、1、-1、-1、-1、-1）

工事

その構成はE ₆群に基づいている。ファセット情報はコクセター・ディンキン図から抽出できる。短枝上のノードを削除すると5単体が残り、2長枝の末端の節点を除去すると、5-オルソプレックスは交互型（2 ₁₁）となる。すべての単体面は 5 オルソプレックス面と接していますが、オルソプレックスの交互面は単体または別のオルソプレックスに接しています。

頂点図形は、環状ノードを除去し、隣接するノードを環状にすることで決定される。これにより、5次元半立方体 （1 ₂₁多面体）が形成される。辺図形は頂点図形の頂点図形であり、平行化された5セル多面体（0 ₂₁多面体）である。。

配置行列で見ると、要素数はコクセター群の順序から導くことができる。^[5]

E 6		k面	f k	f 0	f 1	f 2	f 3	f 4		f 5		k桁	注記
D5​		（）	f 0	27	16	80	160	80	40	16	10	h{4,3,3,3}	E 6 / D 5 = 51840 / 1920 = 27
A 4 A 1		{ }	f 1	2	216	10	30	20	10	5	5	r{3,3,3}	E 6 /A 4 A 1 = 51840/120/2 = 216
A 2 A 2 A 1		{3}	f 2	3	3	720	6	6	3	2	3	{3}x{ }	E 6 /A 2 A 2 A 1 = 51840/6/6/2 = 720
A 3 A 1		{3,3}	f 3	4	6	4	1080	2	1	1	2	{ }v()	E 6 /A 3 A 1 = 51840/24/2 = 1080
A4​		{3,3,3}	f 4	5	10	10	5	432	*	1	1	{ }	E 6 / A 4 = 51840/120 = 432
A 4 A 1				5	10	10	5	*	216	0	2		E 6 /A 4 A 1 = 51840/120/2 = 216
A5​		{3,3,3,3}	f 5	6	15	20	15	6	0	72	*	（）	E 6 / A 5 = 51840/720 = 72
D5​		{3,3,3,4}		10	40	80	80	16	16	*	27		E 6 / D 5 = 51840 / 1920 = 27

画像

この投影では、頂点は多重度に応じて、赤、オレンジ、黄色の順に色分けされています。色分けされた頂点の数は括弧内に表示されます。

コクセター平面 正投影図

E6 [12]	D5 [8]	D4 / A2 [6]	B6 [12/2]
（1,3）	（1,3）	（3,9）	（1,3）
A5 [6]	A4 [5]	A3 / D3 [4]
（1,3）	（1,2）	（1,4,7）

幾何学的な折り畳み

2 ₂₁は、 E6/F4コクセター・ディンキン図の幾何学的折り畳みによって24セルと関連しています。これはコクセター平面投影で確認できます。24セルの24頂点は、2 ₂₁に見られるのと同じ2つの環に投影されます。

E 6	F4​
2 21	24セル

この多面体はユークリッド 6 次元空間をモザイク状に並べることができ、次のコクセター・ディンキン図で2 _{22 のハニカムを形成できます。}。

関連する複合多面体

正複素多角形 ₃ {3} ₃ {3} ₃、は2 ₂₁多面体として実数表現され、 ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$4次元空間において、エドマンド・ヘスにちなんでヘッセ多面体と呼ばれる。27個の頂点、72個の3-辺、27個の3{3}3面を持つ。複素鏡映群は₃ [3] ₃ [3] ₃ 、位数648である。

関連する多面体

2 _{21 は、}半正多面体の次元系列の4番目のものです。各漸進的​​一様多面体は、前の多面体の頂点図形として構成されます。ソロルド・ゴセットは1900年に、この系列がすべての正多面体の面、つまりすべての単体と正多面体を含むと特定しました。

n次元のk 21個の図形
空間	有限						ユークリッド	双曲線
エン​	3	4	5	6	7	8	9	10
コクセター グループ	E 3 =A 2 A 1	E 4 =A 4	E 5 =D 5	E 6	E 7	E8​	E 9 = = E 8 + ${\displaystyle {\tilde {E}}_{8}}$	E 10 = = E 8 ++ ${\displaystyle {\bar {T}}_{8}}$
コクセター 図
対称	[3 −1,2,1 ]	[3 0,2,1 ]	[3 1,2,1 ]	[3 2,2,1 ]	[3 3,2,1 ]	[3 4,2,1 ]	[3 5,2,1 ]	[3 6,2,1 ]
注文	12	120	1,920	51,840	2,903,040	6億9672万9600	∞
グラフ							-	-
名前	−1 21	0 21	1 21	221	3月21日	4 21	5月21日	6月21日

2 ₂₁多面体は次元数 2 _{k 1}の 4 番目です。

n次元の2 k 1図形
空間	有限						ユークリッド	双曲線
n	3	4	5	6	7	8	9	10
コクセター グループ	E 3 =A 2 A 1	E 4 =A 4	E 5 =D 5	E 6	E 7	E8​	E 9 = = E 8 + ${\displaystyle {\tilde {E}}_{8}}$	E 10 = = E 8 ++ ${\displaystyle {\bar {T}}_{8}}$
コクセター 図
対称	[3 −1,2,1 ]	[3 0,2,1 ]	[[3 1,2,1 ]]	[3 2,2,1 ]	[3 3,2,1 ]	[3 4,2,1 ]	[3 5,2,1 ]	[3 6,2,1 ]
注文	12	120	384	51,840	2,903,040	6億9672万9600	∞
グラフ							-	-
名前	2 −1,1	201​	2 11	221	2 31	2 41	2 51	2 61

2 ₂₁多面体は次元数 2 _{2 k}の 2 番目です。

2 _{2 k}次元のn次元 図形

空間	有限			ユークリッド	双曲線
n	4	5	6	7	8
コクセター グループ	A 2 A 2	A5​	E 6	${\displaystyle {\tilde {E}}_{6}}$=E 6 +	E 6 ++
コクセター 図
グラフ				∞	∞
名前	2 2,-1	2 20	221	2 22	223

修正2₂₁多面体

修正された2 21多面体
タイプ	一様6次元多面体
シュレーフリ記号	t 1 {3,3,3 2,1 }
コクセターシンボル	t 1 (2 21 )
コクセター・ディンキン図	または
5面	合計126件: 72 t 1 {3 4 } 27 t 1 {3 3 ,4} 27 t 1 {3,3 2,1 }
4面	1350
細胞	4320
顔	5040
エッジ	2160
頂点	216
頂点図形	整流5セルプリズム
コクセターグループ	E 6、[3 2,2,1 ]、順序番号51840
プロパティ	凸状

平行四辺形2 ₂₁は216の頂点と126の面を持ち、そのうち72は平行四辺形 5 単体、27は平行四辺形 5 正多面体、27は平行四辺形5 半立方体である。その頂点図形は平行四辺形 5 セルのプリズムである。

別名

• 27-72面体ポリペトン（略称：rojak）として整形されたイコシヘプタ-ヘプタコンタディ-ペトン（ジョナサン・バウアーズ）^[6]

工事

その構成はE ₆グループに基づいており、この多面体を表す環状Coxeter-Dynkin 図から情報を抽出できます。短枝の環を除去すると、整流された5単体が残り、もう一方の2長分岐の末端の環を除去すると、整流された5-オルソ錯体は交互構造t ₁ (2 ₁₁ )となる。同じ長さ2の枝の端にある環を取り除くと、5デミキューブが残る：(1 ₂₁ )、。

頂点図形は、環状環を除去し、隣接する環を環状にすることで決定される。これにより、平行化された5セルプリズムt ₁ {3,3,3}x{}が得られる。。

画像

この投影では、頂点は多重度に応じて、赤、オレンジ、黄色の順に色分けされます。

コクセター平面 正投影図

E6 [12]	D5 [8]	D4 / A2 [6]	B6 [12/2]
A5 [6]	A4 [5]	A3 / D3 [4]

切り捨て2₂₁多面体

切断された2 21多面体
タイプ	一様6次元多面体
シュレーフリ記号	t{3,3,3 2,1 }
コクセターシンボル	t(2 21 )
コクセター・ディンキン図	または
5面	72+27+27
4面	432+216+432+270
細胞	1080+2160+1080
顔	720+4320
エッジ	216+2160
頂点	432
頂点図形	（）vr{3,3,3}
コクセターグループ	E 6、[3 2,2,1 ]、順序番号51840
プロパティ	凸状

切り詰められた2 ₂₁は、432個の頂点、2376個の辺、5040個の面、4320個のセル、1350個の4面体、126個の5面体を持ちます。その頂点図形は、平行化された5セルピラミッドです。

別名

• 切頂イコシヘプタ-ヘプタコンタディ-ペトン（切頂27-72面体ポリペトン、略称：tojak）^[7]

画像

この投影では、頂点は多重度に応じて、赤、オレンジ、黄色、緑、シアン、青、紫の順に色分けされます。

コクセター平面 正投影図

E6 [12]	D5 [8]	D4 / A2 [6]	B6 [12/2]
A5 [6]	A4 [5]	A3 / D3 [4]

参照

• E6多面体のリスト

注記

1. ゴセット、1900年
2. Coxeter, HSM (1940). 「 27個の頂点が一般立方面上の直線に対応する多面体2 _{21 」.} Amer. J. Math . 62 (1): 457– 486. doi :10.2307/2371466. JSTOR  2371466.
3. エルテ、1912年
4. クリッツィング、(x3o3o3o3o *c3o - jak)。
5. コクセター『正多面体』11.8 6次元、7次元、8次元のゴセット図形、pp. 202–203
6. クリツィング、(o3x3o3o3o *c3o - ロジャック)。
7. クリッツィング、(x3x3o3o3o *c3o - tojak)。

参考文献

• T. ゴセット：n次元空間における正則図形と半正則図形について、メッセンジャー・オブ・マスマティクス、マクミラン、1900年
• Elte, EL (1912), The Semiregular Polytopes of the Hyperspaces , Groningen: University of Groningen
• 万華鏡：HSMコクセター選集、F・アーサー・シャーク、ピーター・マクマレン、アンソニー・C・トンプソン、アジア・アイビック・ワイス編、Wiley-Interscience Publication、1995年、wiley.com、ISBN 978-0-471-01003-6
  • (論文 17) Coxeter、Coxeter-Dynkin ダイアグラムの進化、[Nieuw Archief voor Wiskunde 9 (1991) 233-248] 図 1 を参照: (p. 232) (ポリトープのノードエッジ グラフ)
• Klitzing, Richard. 「頭字語付き 6D 均一多面体 (ポリペタ)」x3o3o3o3o *c3o - jak、o3x3o3o3o *c3o - ロジャック、x3x3o3o3o *c3o - tojak

v t e 2～10次元の基本凸正則多面体と一様多面体
家族	アン​	B n	I 2 ( p ) / D n	E 6 / E 7 / E 8 / F 4 / G 2	H n
正多角形	三角形	四角	p角形	六角形	五角形
均一な多面体	四面体	八面体•立方体	デミキューブ		十二面体•二十面体
均一ポリクロロン	ペンタコロン	16セル• Tesseract	デミテッセラクト	24セル	120セル• 600セル
一様5次元多面体	5単体	5-オルソプレックス• 5-キューブ	5デミキューブ
一様6次元多面体	6単体	6-オルソプレックス• 6-キューブ	6デミキューブ	1 22 • 221
一様7次元多面体	7単体	7-オルソプレックス• 7-キューブ	7デミキューブ	1 32 • 2 31 • 3 21
一様8次元多面体	8単体	8-オルソプレックス• 8-キューブ	8デミキューブ	1 42 • 2 41 • 4 21
一様9次元多面体	9単体	9-オルソプレックス• 9-キューブ	9デミキューブ
一様10次元多面体	10単体	10-オルソプレックス• 10-キューブ	10デミキューブ
一様n多面体	n -単体	n -オルソプレックス• n -キューブ	n -デミキューブ	1 k2 • 2 k1 • k 21	n -五角形多面体
トピック:多面体族•正多面体•正多面体と複合多面体の一覧•多面体の演算

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