5 21 ハニカム

均一なテッセレーションの種類

5 21ハニカム
タイプ	均一なハニカム
家族	k 21多面体
シュレーフリ記号	{3,3,3,3,3,3 2,1 }
コクセターシンボル	5月21日
コクセター・ディンキン図
8面	5 11 {3 7 }
7つの顔	{3 6 } ハニカムの完全自己同型群の下で、この7 単体には 2 つの異なる軌道があることに注意してください。 ${\displaystyle {\tilde {E}}_{8}}$
6面	{3 5 }
5面	{3 4 }
4面	{3 3 }
細胞	{3 2 }
顔	{3}
細胞図	1 21
顔の形	2 21
エッジ図	3月21日
頂点図形	4 21
対称群	${\displaystyle {\tilde {E}}_{8}}$, [3 5,2,1 ]

幾何学において、5 ₂₁ハニカムは8次元ユークリッド空間の一様モザイク模様である。記号5 _21はコクセターに由来し、コクセター・ディンキン図の3つの枝の長さにちなんで名付けられた。^[1]

頂点に球を配置することで、8次元において球を可能な限り密に詰め込むことができます。これは、 2016年にマリーナ・ヴィアゾフスカによってモジュラー形式理論を用いて証明されました。ヴィアゾフスカはこの研究により、2022年にフィールズ賞を受賞しました。

このハニカムはゴセットによって初めて研究され、彼はこれを9次元半正則図形と呼んだ^[2]（ゴセットはn次元のハニカムを退化したn +1多面体とみなした）。

5 _{21ハニカムの各頂点は、2160 個}の 8 直交複体と 17280 個の 8 単体に囲まれています。

ゴセットのハニカム図形の頂点図形は、半正則4 ≒ ₂₁多面体である。これはk≒ ₂₁族の最後の図形である。

このハニカムは、その対称群 (アフィンワイル群) がk ≤ 6のk面に対して推移的に作用するという意味で、非常に正則です。k ≤ 7 のk面はすべて単体です。 ${\displaystyle {\tilde {E}}_{8}}$

工事

これは、8 次元空間内の 9 つの超平面ミラーのセットに基づくWythoff 構成によって作成されます。

ファセット情報は、Coxeter-Dynkin 図から抽出できます。

2 長さの枝の末端のノードを削除すると、8 オルソプレックス、 6 ₁₁が残ります。

長さ 1 の枝の端にあるノードを削除すると、8 単体が残ります。

頂点図形は、環状ノードを削除し、隣接するノードを環状にすることで決定されます。これにより、4 ₂₁多面体が作成されます。

辺図形は、頂点図形から環状ノードを削除し、隣接するノードを環状にすることで決定されます。これにより、3 ₂₁多面体が作成されます。

面図形は、環状ノードを削除し、隣接するノードを環状にすることで、辺図形から決定されます。これにより、2 ₂₁多面体が作成されます。

面図形から環状ノードを削除し、隣接するノードを環状にすることで、セル図形が決定されます。これにより、1 ₂₁多面体が作成されます。

キスナンバー

このモザイクの各頂点は、8 次元で最も密に詰め込まれた7 次元球の中心です。その接吻数は240 で、頂点図 4 ₂₁の頂点で表されます。

E8格子

${\displaystyle {\tilde {E}}_{8}}$は指数5760のサブグループとして含む^。[3]とはどちらも異なるノードからのアフィン拡張として見ることができる。 ${\displaystyle {\tilde {A}}_{8}}$ ${\displaystyle {\tilde {E}}_{8}}$ ${\displaystyle {\tilde {A}}_{8}}$ ${\displaystyle A_{8}}$

${\displaystyle {\tilde {E}}_{8}}$は指数270の部分群として含む^。[4]と はどちらも異なるノードからのアフィン拡張として見ることができる。 ${\displaystyle {\tilde {D}}_{8}}$ ${\displaystyle {\tilde {E}}_{8}}$ ${\displaystyle {\tilde {D}}_{8}}$ ${\displaystyle D_{8}}$

5 ₂₁の頂点配置はE8格子と呼ばれる。^[5]

E8格子は、2つの8デミキューブハニカムの頂点の和（D8 2格子またはD8 +格子と呼ばれる_）^として構成_する^{ことも、3つの}8単体ハニカムの頂点の和（A8 3格子と呼ばれる_）^として構成することもできます。^[6]

＝∪＝∪∪

規則的な複雑なハニカム

複素数座標系を用いると、記号3{3}3{3}3{3}3{3}3とコクセター図で表される正多面体として構成することもできる。 ${\displaystyle \mathbb {C} ^{4}}$ _{その要素は}^、頂点1個、辺80個、面270_個、セル_{80個、ウィッ}ティング多面体_セル1個です。[ ₇ ]

関連する多面体とハニカム

5 _{21 は、1900年に}ソロルド・ゴセットによって同定された半正多面体の次元系列の7番目のものです。この系列の各要素は、前の要素を頂点図形としています。これらの多面体のすべての面は正多面体、すなわち単体と直交多面体です。

n次元のk 21の図形
空間	有限						ユークリッド	双曲線
エン​	3	4	5	6	7	8	9	10
コクセター グループ	E 3 =A 2 A 1	E 4 =A 4	E 5 =D 5	E 6	E 7	E8​	E 9 = = E 8 + ${\displaystyle {\tilde {E}}_{8}}$	E 10 = = E 8 ++ ${\displaystyle {\bar {T}}_{8}}$
コクセター 図
対称	[3 −1,2,1 ]	[3 0,2,1 ]	[3 1,2,1 ]	[3 2,2,1 ]	[3 3,2,1 ]	[3 4,2,1 ]	[3 5,2,1 ]	[3 6,2,1 ]
注文	12	120	1,920	51,840	2,903,040	6億9672万9600	∞
グラフ							-	-
名前	−1 21	0 21	1 21	2 21	3月21日	4 21	521	6月21日

参照

• E8格子
• 1 ₅₂ハニカム
• 2 ₅₁ハニカム

注記

1. コクセター、1973年、第5章「万華鏡」
2. n次元空間における正則図形と半正則図形について」.メッセンジャー・オブ・マスマティクス. 29 : 43–48 .
3. NWジョンソン：幾何学と変換、（2018）12.5：ユークリッドコクセター群、p.294
4. ジョンソン（2011）p.177
5. 「ラティスE8」。
6. 万華鏡：HSMコクセター選集、論文18「極端な形態」（1950年）
7. コクセター正凸多面体、12.5 ウィッティング多面体

参考文献

• コクセター 『幾何学の美：12のエッセイ』ドーバー出版、1999年、ISBN 978-0-486-40919-1（第3章：ワイトフの一様多面体の構成）
• コクセター, HSM (1973).正多面体（第3版）. ニューヨーク: Dover Publications. ISBN 0-486-61480-8。
• 万華鏡：HSMコクセター選集、F・アーサー・シャーク、ピーター・マクマレン、アンソニー・C・トンプソン、アジア・アイビック・ワイス編、Wiley-Interscience Publication、1995年、wiley.com、ISBN 978-0-471-01003-6
  • （論文24）HSM Coxeter,正則多面体と半正則多面体III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3–45]
• NWジョンソン：幾何学と変換（2015）

v t e 2～9次元の基本凸正則ハニカムと一様ハニカム
空間	家族	${\displaystyle {\tilde {A}}_{n-1}}$	${\displaystyle {\tilde {C}}_{n-1}}$	${\displaystyle {\tilde {B}}_{n-1}}$	${\displaystyle {\tilde {D}}_{n-1}}$	${\displaystyle {\tilde {G}}_{2}}$/ / ${\displaystyle {\tilde {F}}_{4}}$ ${\displaystyle {\tilde {E}}_{n-1}}$
E 2	均一なタイリング	0 [3]	δ 3	hδ 3	qδ 3	六角
E 3	均一な凸型ハニカム	0 [4]	δ 4	hδ 4	qδ 4
E4​	均一な4ハニカム	0 [5]	δ 5	hδ 5	qδ 5	24セルハニカム
E 5	均一な5ハニカム	0 [6]	δ 6	hδ 6	qδ 6
E 6	均一な6ハニカム	0 [7]	δ 7	hδ 7	qδ 7	2 22
E 7	均一な7ハニカム	0 [8]	δ 8	hδ 8	qδ 8	1 33 • 3 31
E8​	均一な8ハニカム	0 [9]	δ 9	hδ 9	qδ 9	1 52 • 2 51 • 521
E9​	均一な9ハニカム	0 [10]	δ 10	hδ 10	qδ 10
E 10	均一な10ハニカム	0 [11]	δ 11	hδ 11	qδ 11
E n −1	均一な（n −1）ハニカム	0 [ n ]	δ n	hδ n	qδ n	1 k 2 • 2 k 1 • k 21

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