均一なk 21多面体

幾何学において、一様 k ₂₁多面体（いちようきょうたい、英: uniform k 21 polytope）とは、 E _n コクセター群から構成されるk + 4 次元の多面体であり、正多面体面のみを持つ。この族は、 k節点列の末端に単一の環を持つ分岐コクセター・ディンキン図から、コクセター記号k ₂₁と名付けられた。

ソロルド・ゴセットは、 1900年に正多面体と半正多面体の列挙の一環としてこの族を発見したため、ゴセットの半正多面体と呼ばれることもあります。ゴセットは、5次元から9次元までの次元に基づいて、例えば5次元半正多面体という名前を付けました。

家族

ゴセットによって特定された数列は、8次元空間における無限のモザイク状（空間充填ハニカム）として終わり、E8格子と呼ばれる。（最終形式はゴセットによって発見されなかったが、E9格子と呼ばれる：6 _{21 。これは、すべての頂点が無限遠にある∞ 9}次元単体および∞ 9次元直交複合面で構成された双曲的9次元空間のモザイク状である。）

この族は6次元多面体として一意に始まります。三角柱と5次元正方格子は、完全性を保つために最初から含まれています。デミペンテラクトは、デミハイパーキューブ族にも存在します。

E ₆対称性内には均一な多面体が多数存在しますが、E6 多面体のように対称群によって名前が付けられることもあります。

ゴセ半正多面体の完全なファミリーは次のとおりです。

三角柱：−1 ₂₁（2つの三角形と3つの正方形の面）
5セル：0 ₂₁、四面体（5つの四面体と5つの八面体セル）
デミペンテラクト：1 ₂₁、5セルの半規則図形（5セル面が16個、16セル面が10個）
2 21 多面体：2 ₂₁、6-ic半正則図形（72の5-単体面と27の5-正多面体面）
3 21 多面体：3 ₂₁、7-ic半正図形（576個の6-単体面と126個の6-正多面体面）
4 21 多面体：4 ₂₁、8-ic半正則図形（17280個の7-単体面と2160個の7-正多面体面）
5 21 ハニカム: 5 ₂₁、9-ic 半正則チェックタイルユークリッド 8 次元空間 (∞ 8-単体および∞ 8-正相面)
6 21 ハニカム: 6 ₂₁、双曲型 9 次元空間 (∞ 9単体および∞ 9 正多面体ファセット)をモザイク状に並べる

各多面体は（ n −1）単体面と（n −1）正多面体面から構成される。

正角面はコクセター群 D _{n −1}から構成され、シュレーフリ記号は通常の{3 ⁿ⁻² ,4}ではなく{3 ^{1, n −1,1 }で表される。この構成は、2つの「面型」の含意に基づく。各正角面の}稜線の周囲の面の半分は別の正角面に接し、残りの半分は単体面に接する。一方、単体面の稜線はすべて正角面に接する。

それぞれの頂点図形は、前の図形と同じ形状を持ちます。例えば、5セルの直角定理では、頂点図形は三角柱になります。

要素

ゴセット半正定規図形
n -ic	k ₂₁	グラフ	名前コクセター図	ファセット		要素
n -ic	k ₂₁	グラフ	名前コクセター図	( n − 1)-単体 {3 ^{n −2} }	( n − 1)-オルソプレックス {3 ^{n −4,1,1} }	頂点	エッジ	顔	細胞	4面	5面	6面	7つの顔
3-ic	−1 ₂₁		三角柱	2つの三角形	3つの正方形	6	9	5
4-ic	0 ₂₁		整流5セル	5つの四面体	5つの八面体	10	30	30	10
5-ic	1 ₂₁		デミペンテラクト	16 5セル	10 16セル	16	80	160	120	26
6-ic	2 ₂₁		2 ₂₁多面体	72 5単体	27 5-オルソプレックス	27	216	720	1080	648	99
7-ic	3_月21日		3 ₂₁多面体	576 6単体	126 6-オルソプレックス	56	756	4032	10080	12096	6048	702
8-ic	4 ₂₁		4 ₂₁多面体	17280 7単体	2160 7-オルソプレックス	240	6720	60480	241920	483840	483840	207360	19440
9-ic	5_月21日		5 ₂₁ハニカム	∞ 8単体	∞ 8-オルソプレックス	∞
10-ic	6_月21日		6 ₂₁ハニカム	∞ 9単体	∞ 9-オルソプレックス	∞

参照

均一な_2k1 _多面体族
均一な_1k2 _多面体族

参考文献

T. ゴセット：n次元空間における正則図形と半正則図形について、メッセンジャー・オブ・マスマティクス、マクミラン、1900年
A. ブール・ストット(1910)。「正多面体と空間充填からの半正則の幾何学的演繹」(PDF)。アムステルダムのVerhandelingen der Koninklijke Academy van Wetenschappen。Ⅹ（１）．アムステルダム：ヨハネス・ミュラー。 2025 年 4 月 29 日のオリジナル(PDF)からアーカイブ。
PH シュート(1911)。「正多面体から派生した規則多面体の解析的処理」(PDF)。アムステルダムのVerhandelingen der Koninklijke Academy van Wetenschappen。セクション I.XI ( 3)。アムステルダム：ヨハネス・ミュラー。 2025 年 1 月 22 日のオリジナル(PDF)からアーカイブ。
PH シュート(1913)。「正多面体から派生した規則多面体の解析的処理」(PDF)。アムステルダムのVerhandelingen der Koninklijke Academy van Wetenschappen。セクション II、III、IV。Ⅹ（5）。アムステルダム：ヨハネス・ミュラー。 2025 年 2 月 22 日のオリジナル(PDF)からアーカイブ。
HSM Coxeter : 正則および半正則多面体、パート I、数学時代、シュプリンガー、ベルリン、1940
NWジョンソン：均一多面体とハニカムの理論、博士論文、トロント大学、1966年
HSM Coxeter: 正則および準正則ポリトープ、パート II、数学時代、シュプリンガー、ベルリン、1985
HSM Coxeter: 正則および準正則多面体、パート III、数学時代、シュプリンガー、ベルリン、1988
G.ブラインドおよびR.ブラインド、「準正多面体」、Commentari Mathematici Helvetici 66 (1991) 150–154
ジョン・H・コンウェイ、ハイディ・バーギエル、チャイム・グッドマン＝ストラウス著『The Symmetries of Things』 2008年、ISBN 978-1-56881-220-5（第26章、411～413ページ：ゴセットシリーズ：n ₂₁）

外部リンク

PolyGloss v0.05: ゴセット図（Gossetoicosatope）
正多面体、半正多面体、正面多面体、アルキメデス多面体 Archived 2011-07-19 at the Wayback Machine

v t e 2～10次元の基本凸正則多面体と一様多面体
家族	$アン $	$B n$	$I 2 (p)$ / $D n$	$E 6$ / $E 7$ / $E 8$ / $F 4$ / $G 2$	$H n$
正多角形	三角形	四角	p角形	六角形	五角形
均一な多面体	四面体	八面体•立方体	デミキューブ		十二面体•二十面体
均一ポリクロロン	ペンタコロン	16セル• Tesseract	デミテッセラクト	24セル	120セル• 600セル
一様5次元多面体	5単体	5-オルソプレックス• 5-キューブ	5デミキューブ
一様6次元多面体	6単体	6-オルソプレックス• 6-キューブ	6デミキューブ	1 ₂₂ • 2 ₂₁
一様7次元多面体	7単体	7-オルソプレックス• 7-キューブ	7デミキューブ	1 ₃₂ • 2 ₃₁ • 3 ₂₁
一様8次元多面体	8単体	8-オルソプレックス• 8-キューブ	8デミキューブ	1 ₄₂ • 2 ₄₁ • 4 ₂₁
一様9次元多面体	9単体	9-オルソプレックス• 9-キューブ	9デミキューブ
一様10次元多面体	10単体	10-オルソプレックス• 10-キューブ	10デミキューブ
一様n多面体	n -単体	n -オルソプレックス• n -キューブ	n -デミキューブ	1 _{2目編み目}• 2 _{1目編み目}• 21目編み目	n -五角形多面体
トピック:多面体族•正多面体•正多面体と複合多面体の一覧•多面体の演算

v t e 2～9次元の基本凸正則ハニカムと一様ハニカム
空間	家族	${\tilde {A}}_{n-1}$	${\tilde {C}}_{n-1}$	${\tilde {B}}_{n-1}$	${\チルダ {D}}_{n-1}$	${\tilde {G}}_{2}$ / / ${\tilde {F}}_{4}$ ${\チルダ {E}}_{n-1}$
E ²	均一なタイリング	0 _[3]	δ ₃	hδ ₃	qδ ₃	六角
E ³	均一な凸型ハニカム	0 _[4]	δ ₄	hδ ₄	qδ ₄
E4	均一な4ハニカム	0 _[5]	δ ₅	hδ ₅	qδ ₅	24セルハニカム
E ⁵	均一な5ハニカム	0 _[6]	δ ₆	hδ ₆	qδ ₆
E ⁶	均一な6ハニカム	0 _[7]	δ ₇	hδ ₇	qδ ₇	2 ₂₂
E ⁷	均一な7ハニカム	0 _[8]	δ ₈	hδ ₈	qδ ₈	1 ₃₃ • 3 ₃₁
E8	均一な8ハニカム	0 _[9]	δ ₉	hδ ₉	qδ ₉	1 ₅₂ • 2 ₅₁ • 5 ₂₁
E9	均一な9ハニカム	0 _[10]	δ ₁₀	hδ ₁₀	qδ ₁₀
E ¹⁰	均一な10ハニカム	0 _[11]	δ ₁₁	hδ ₁₁	qδ ₁₁
E ^{n −1}	均一な（n −1）ハニカム	0 _{[ n ]}	δ _n	hδ _n	qδ _n	1 ₂_目編み• 2 ₁_目編み• 21目編み