切り捨てエラー

Error from taking a finite sum of an infinite series

数値解析や科学計算において、切り捨て誤差は数学的プロセスを近似することによって生じる誤差である。^{[1] [2]}切り捨てという用語は、これらの単純化には計算を可能にし実用的にするために無限級数展開の切り捨てが含まれることが多いという事実に由来する。

例

無限級数

の和級数は次のような無限級数で与えられる。 ${\displaystyle e^{x}}$ $${\displaystyle e^{x}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\cdots }$$

実際には、これらの項をすべて使うには無限の計算時間を要するため、使える項の数は有限個に限られます。そこで、級数の3つの項だけを使うと仮定してみましょう。 $${\displaystyle e^{x}\approx 1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}}$$

この場合、切り捨て誤差は ${\displaystyle {\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\cdots }$

例A:

次の無限級数が与えられた場合、級数の最初の 3 つの項のみを使用した場合 のx = 0.75の切り捨て誤差を求めます。 $${\displaystyle S=1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots ,\qquad \left|x\right|<1.}$$

解決

この級数の最初の3項だけを使うと、 $${\displaystyle {\begin{aligned}S_{3}&=\left(1+x+x^{2}\right)_{x=0.75}\\&=1+0.75+\left(0.75\right)^{2}\\&=2.3125\end{aligned}}}$$

無限等比級数の和は 次のように与えられる。 $${\displaystyle S=a+ar+ar^{2}+ar^{3}+\cdots ,\ r<1}$$ $${\displaystyle S={\frac {a}{1-r}}}$$

この級数では、a = 1、r = 0.75なので、 $${\displaystyle S={\frac {1}{1-0.75}}=4}$$

したがって、切り捨て誤差は $${\displaystyle \mathrm {TE} =4-2.3125=1.6875}$$

差別化

関数の正確な一階微分の定義は次のように与えられる。 $${\displaystyle f'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}$$

しかし、数値的に導関数を計算する場合、は有限でなければなりません。有限であることを選択することで生じる誤差は、微分という数学的プロセスにおける打ち切り誤差です。 ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle h}$

例A:

の1次導関数を計算する際に、ステップサイズを として切り捨てを求めます。 ${\displaystyle f(x)=5x^{3}}$ ${\displaystyle x=7}$ ${\displaystyle h=0.25}$

解決：

の1次導関数は であり、 では、 ${\displaystyle f(x)=5x^{3}}$ $${\displaystyle f'(x)=15x^{2},}$$ ${\displaystyle x=7}$ $${\displaystyle f'(7)=735.}$$

おおよその値は次のように与えられる。 $${\displaystyle f'(7)={\frac {f(7+0.25)-f(7)}{0.25}}=761.5625}$$

したがって、切り捨て誤差は $${\displaystyle \mathrm {TE} =735-761.5625=-26.5625}$$

統合

からまでの関数の正確な積分の定義は次のように与えられます。 ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

を実数 の閉区間上で定義された関数とし、 をIの分割とします。ここで、および です。 ${\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ $${\displaystyle P=\left\{[x_{0},x_{1}],[x_{1},x_{2}],\dots ,[x_{n-1},x_{n}]\right\},}$$ $${\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\cdots <x_{n}=b.}$$ $${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*})\,\Delta x_{i}}$$ ${\displaystyle \Delta x_{i}=x_{i}-x_{i-1}}$ ${\displaystyle x_{i}^{*}\in [x_{i-1},x_{i}]}$

これは、曲線の下の面積を無限の長方形を使って求めていることを意味します。しかし、数値的に積分を計算する場合、使用できる長方形の数は有限です。無限の数の長方形ではなく有限の数の長方形を選択することで生じる誤差は、積分という数学的プロセスにおける打ち切り誤差です。

例A.

積分では、 等しい幅のセグメントを持つ2 つのセグメントの左側リーマン和が使用される場合の切り捨て誤差を求めます。 $${\displaystyle \int _{3}^{9}x^{2}{dx}}$$

解決

正確な値は次の通りです $${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{3}^{9}{x^{2}{dx}}&=\left[{\frac {x^{3}}{3}}\right]_{3}^{9}\\&=\left[{\frac {9^{3}-3^{3}}{3}}\right]\\&=234\end{aligned}}}$$

同じ幅の2つの長方形を使用して曲線の下の面積を近似すると（図2参照）、積分の近似値は

$${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{3}^{9}x^{2}\,dx&\approx \left.\left(x^{2}\right)\right|_{x=3}(6-3)+\left.\left(x^{2}\right)\right|_{x=6}(9-6)\\&=(3^{2})3+(6^{2})3\\&=27+108\\&=135\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Truncation Error}}&={\text{Exact Value}}-{\text{Approximate Value}}\\&=234-135\\&=99.\end{aligned}}}$$

時々、丸め誤差（コンピュータで有限精度の浮動小数点数を使用することで生じる）が、特に数値が切り捨てによって丸められた場合に、誤って「切り捨て誤差」と呼ばれることがあります。これは「切り捨て誤差」の正しい用法ではありませんが、「数値の切り捨て」と呼ぶことは許容される場合があります。

追加

切り捨てエラーは、 の場合にコンピュータ内で発生する可能性があります。これは、の場合（当然のことですが）に発生します。ここで、の切り捨てエラーは 1 です。この切り捨てエラーは、コンピュータが非常に大きな整数の最下位桁を保存しないために発生します。 ${\displaystyle (A+B)+C\neq A+(B+C)}$ ${\displaystyle A=-10^{25},B=10^{25},C=1}$ ${\displaystyle (A+B)+C=(0)+C=1}$ ${\displaystyle A+(B+C)=A+(B)=0}$ ${\displaystyle A+(B+C)}$

参照

• 量子化誤差

参考文献

1. アトキンソン、ケンドール・E. (1989).数値解析入門（第2版）. ニューヨーク: ワイリー. p. 20. ISBN 978-0-471-62489-9. OCLC  803318878。
2. ストアー、ヨゼフ; ブリルシュ、ローランド (2002)、『数値解析入門（第3版）』、プリンストン、ニュージャージー州: 視覚障害者および失読症者のための録音、OCLC  50556273

• アトキンソン、ケンドール E. (1989)、『数値解析入門』（第2版）、ニューヨーク：ジョン・ワイリー・アンド・サンズ、p. 20、ISBN 978-0-471-50023-0
• ステア、ジョセフ。 Bulirsch、Roland (2002)、数値解析入門 (第 3 版)、ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag、p. 1、ISBN 978-0-387-95452-3。

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