24セルを切り捨て

24細胞	切断された24細胞	切断された24細胞
一方の[3,4]を中心としたシュレーゲル図（反対側の細胞は[4,3]）

幾何学において、切断された 24 セルは、通常の24 セルの切断として形成される均一な 4 次元多面体(4 次元均一な多面体)です。

切り捨てには、ビット切り捨てを含めて 2 段階あります。

切断された24細胞

シュレーゲル図
切頂24細胞
型	一様4次元多面体
シュレーフリ記号	t{3,4,3} tr{3,3,4}= t{3 ^1,1,1 } = $t\left\{{\begin{array}{l}3\\3,4\end{array}}\right\}$ $t\left\{{\begin{array}{l}3\\3\\3\end{array}}\right\}$
コクセター図
細胞	48	24 4.6.6 24 4.4.4
顔	240	144 {4} 96 {6}
辺	384
頂点	192
頂点図形	正三角錐
対称群	F ₄ [3,4,3]、位数1152
回転部分群	[3,4,3] ⁺、位数576
交換子部分群	[3 ⁺ ,4,3 ⁺ ]、順序288
特性	凸型
均一な屈折率	23 24 25

切頂24セル、または切頂イコシトラコロンは、均一な4次元多面体（または均一な4次元多面体）であり、48個のセル（24個の立方体と24個の切頂八面体）で囲まれています。各頂点は3つの切頂八面体と1つの立方体を繋ぎ、正三角錐の頂点図形を形成します。

構築

切頂24セルは、3つの対称群を持つ多面体から構築できます

F ₄ [3,4,3]: 24セルの切り捨て。
B ₄ [3,3,4]: 16セルの切頂八面体セルの2つのファミリーを持つ切頂八面体セル。
D ₄ [3 ^1,1,1 ]:半八面体を完全に切断したもので、切断された八面体セルの3つのファミリーを持つ。

コクセター群	${F}_{4}$ = [3,4,3]	${C}_{4}$ = [4,3,3]	${D}_{4}$ = [3,3 ^1,1 ]
シュレーフリ記号	t{3,4,3}	tr{3,3,4}	t{3 ^1,1,1 }
次数	1152	384	192
完全対称群	[3,4,3]	[4,3,3]	<[3,3 ^1,1 ]> = [4,3,3] [3[3 ^1,1,1 ]] = [3,4,3]
コクセター図
ファセット	3: 1:	2: 1: 1:	1,1,1: 1:
頂点図形

ゾノトープ

これもゾノトープです。ベクトル(+1,-1,0,0)の12通りの順列の中で、反対側の2つを結ぶ6つの線分のミンコフスキー和として形成されます

直交座標

辺の長さが平方根(2)の切頂24セルの頂点の直交座標は、以下のすべての座標順列と符号の組み合わせです

(0,1,2,3) [4!×2 ³ = 192頂点]

双対構成は、すべての座標順列と符号の座標を持つ。

(1,1,1,5) [4×2 ⁴ = 64頂点]

(1,3,3,3) [4×2 ⁴ = 64頂点]

(2,2,2,4) [4×2 ⁴ = 64頂点]

構造

24個の立方体セルは正方形の面で切頂八面体と結合しており、24個の切頂八面体は六角形の面で互いに結合しています

投影

切頂24セルを3次元空間に平行投影すると、切頂八面体が先に投影され、次の配置になります

投影エンベロープは切頂直方八面体です。
切頂八面体のうち 2 つは、外皮の中央にある切頂八面体に投影されます。
6つの直方体の体積が、この中央の切頂八面体の正方形の面と、大菱形立方八面体の八角形の面の中心を繋いでいます。これらは12個の立方体セルの像であり、各像は2つのセルで構成されています。
大菱形八面体の 12 個の正方形の面は、残りの 12 個の立方体の像です。
大菱形八面体の 6 つの八角形の面は、切頂八面体 6 つの像です。
投影エンベロープの六角形の面と中央の切頂八面体の間にある 8 つの (不均一な) 切頂八面体のボリュームは、残りの 16 個の切頂八面体のイメージであり、各イメージにセルのペアが存在します。

画像

正投影図
鋸歯状平面	F ₄
グラフ
二面対称性	[12]
コクセター平面	B ₃ / A ₂ (a)	B ₃ / A ₂ (b)
グラフ
二面対称性	[6]	[6]
コクセター平面	B ₄	B ₂ / A ₃
グラフ
二面対称性	[8]	[4]

シュレーゲル図（立方格子が見える）	シュレーゲル図 24個の切頂八面体セルのうち8個が見える
切頂四面体を中心とした立体投影

ネット
切断された24細胞	切断された24細胞の双対

切断された24細胞

24セルの二分円
シュレーゲル図。切り取られた立方体を中心に、1つおきのセルを隠した図
型	一様4次元多面体
シュレーフリ記号	2t{3,4,3}
コクセター図
細胞	48 ( 3.8.8 )
顔	336	192 {3} 144 {8}
辺	576
頂点	288
辺の図形	3.8.8
頂点図形	正方二蝶形面
双多面体	二蝶形面の288細胞
対称群	Aut (F ₄ ), [[3,4,3]], 位数 2304
特性	凸状、等角状、等軸状、等容積状
均一な屈折率	26 27 28

ビットトランケーテッド24細胞・48細胞、またはテトラコントクタクロンは、 24細胞から派生した4次元均一多面体（または均一4次元多面体）です

EL エルテは1912 年にこれを半正多面体であると特定しました。

これは、24 セルをビット切り詰めることによって構築されます (深さの途中で切り詰めると、デュアル24 セルが生成されます)。

一様4次元多面体であるため、頂点推移的である。さらに、セル推移的であり、48個の切頂立方体から構成される。また、辺推移的であり、辺ごとに3個の切頂立方体セルがあり、各辺の周囲に1つの三角形と2つの八角形が存在する。

ビットトランケーテッド24セルの48個のセルは、24セルの24個のセルと24個の頂点に対応します。したがって、48個のセルの中心はF ₄型のルートシステムを形成します。

その頂点図形は正方二蝶形、すなわち2つの対辺の長さが1で、4つの側辺の長さがすべて√(2+√2)である四面体です。

別名

ビットランケーテッド24セル（ノーマン・W・ジョンソン）
48細胞を細胞推移的な4次元多面体として
二切頂多八面体
二切頂多八面体
テトラコンタオクタクロロン（続き）（ジョナサン・バウワーズ）

構造

切頂立方体は、八角形の面を介して互いに逆方向に結合されています。つまり、隣接する2つの切頂立方体は互いに45度回転しており、2つの三角形の面が辺を共有していません

向かい合う八角形の面によって繋がれた切頂立方体の列は8つの周期を形成し、それぞれの切頂立方体は3つの周期に属します。一方、向かい合う三角形の面によって繋がれた切頂立方体の列は6つの周期を形成し、それぞれの切頂立方体は4つの周期に属します。

配置行列では、要素間のすべての接続数が表示されます。対角fベクトル数は、ウィトフ構成によって導出されます。これは、部分群順序の完全群順序を、一度に1つの鏡像を除去することによって分割するものです。辺は4つの対称位置にあります。正方形は3つの位置、六角形は2つの位置、八角形は1つの位置にあります。最終的に、4種類のセルは、基本単体の4つの角を中心にして存在します。^[1]

F ₄	k面	f _k	f ₀	f ₁		f ₂			f ₃		k の数字	ノート
A ₁ A ₁	（）	f ₀	288	2	2	1	4	1	2	2	s{2,4}	F ₄ /A ₁ A ₁ = 288
	{ }	f ₁	2	288	*	1	2	0	2	1	{ }v( )
	{ }	f ₁	2	*	288	0	2	1	1	2	{ }v( )
A ₂ A ₁	{3}	f ₂	3	3	0	96	*	*	2	0	{ }	F ₄ /A ₂ A ₁ = 1152/6/2 = 96
B2	t{4}		8	4	4	*	144	*	1	1		F ₄ / B ₂ = 1152/8 = 144
A ₂ A ₁	{3}		3	0	3	*	*	96	0	2		F ₄ /A ₂ A ₁ = 1152/6/2 = 96
B3	t{4,3}	f ₃	24	24	12	8	6	0	24	*	（）	F ₄ / B ₃ = 1152/48 = 24
B3	t{4,3}	f ₃	24	12	24	0	6	8	*	24	（）	F ₄ / B ₃ = 1152/48 = 24

座標

辺の長さが 2 であるビット切り詰められた 24 セルの直交座標は、次の座標と符号の順列です。

(0, 2+√2, 2+√2, 2+2√2)

(1, 1+√2, 1+√2, 3+2√2)

投影

2次元への投影

正投影図
鋸歯状平面	F ₄	B ₄
グラフ
二面対称性	[[12]] = [24]	[8]
コクセター平面	B ₃ / A ₂	B ₂ / A ₃
グラフ
二面対称性	[6]	[[4]] = [8]

3次元への投影

正投影	透視図
以下のアニメーションは、ビットトランケートされた24個のセルを3次元に正投影したものです。アニメーション自体は、静止した3D画像から2Dへの透視投影であり、構造をより明確にするために回転が加えられています。48個の切り取られた立方体の画像は、次のように配置されています中央の切り取られた立方体は4D視点に最も近いセルであり、見やすくするために強調表示されています。視覚的な煩雑さを軽減するため、この中央の切り取られた立方体上の頂点と辺は省略されています。この中央の切頂立方体を囲むように、八角形の面で接続された6つの切頂立方体と、三角形の面で接続された8つの切頂立方体が配置されています。これらのセルは透明になっており、中央のセルが見えるようになっています。投影エンベロープの外側の 6 つの正方形の面は、別の 6 つの切頂立方体の像であり、投影エンベロープの 12 個の長方形の八角形の面は、さらに別の 12 個の切頂立方体の像です。残りのセルは、ビットトランケートされた24セルの反対側に位置し、4D視点からは見えないため、カリングされました。これには、ハイライト表示されたトランケートされた立方体と同じ体積に投影されるはずの反対側のトランケートされた立方体が含まれます。この立方体は、その周囲に八角形の面で接続された6つのトランケートされた立方体と、三角形の面で接続された8つのトランケートされた立方体で構成されています。	以下のアニメーションは、ビットトランケートされた24セルをセルファースト透視投影法で3次元に投影した様子を示しています。透視投影による短縮が見られる点を除けば、構造は前のアニメーションと同じです。

立体投影

二蝶形面の288細胞

二蝶形面の288細胞
型	完全^[2]多クローン
シンボル	f _1,2 F ₄^[2] (1,0,0,0) _{F ₄} ⊕ (0,0,0,1) _{F ₄}^[3]
コクセター
細胞	288個の合同な正方二蝶形骨
顔	576個の合同な二等辺面（2つの短辺）
辺	336	長さ192、長さ144 $\scriptstyle 1$ $\scriptstyle {\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}$
頂点	48
頂点図形	（三角八面体）
双対	24セルの二分円
コクセター群	Aut (F ₄ ), [[3,4,3]], 位数 2304
軌道ベクトル	(1, 2, 1, 1)
特性	凸状、等容積状

蝶形上288細胞は、二分円状24細胞の双対です。これは24細胞から派生した4次元多面体（またはポリクロロン）です。これは24細胞を2倍にして回転させ、凸包を構築することで構築されます。

一様多角形の双対であるため、セル推移的であり、288個の合同な正方二蝶形から構成される。さらに、群Aut(F _{4 )の下で}頂点推移的である。^[3]

画像

正射影
コクセター	B2	B3	F ₄
蝶形骨上 288細胞
截頭型 24細胞

幾何学

288胞体の頂点は、ノルムが2乗1の24個のフルヴィッツ単位四元数と、ノルムが2乗2の双対24胞体の24個の頂点を結合し、単位三次元球面に投影したものです。これらの48個の頂点は、2元八面体群2Oまたは<2,3,4>、位数48に対応します

したがって、288セルは、無限に存在する二環式群（二元二面体群と同じ）を除けば、四元群の凸包となる唯一の非正規4次元多面体である。正規な多面体は、 24セル（≘ 2Tまたは <2,3,3>、位数24）と600セル（≘ 2Iまたは <2,3,5>、位数120）である。（16セルは、二元二面体群 2D ₂または <2,2,2>、位数16に対応する。）

内接する 3 次元球面の半径は 1/2+ √ 2 /4 ≈ 0.853553 であり、双対二分円 24 セルの頂点である 288 個の四面体の中心で 288 セルに接します。

頂点は2色、例えば赤と黄色で着色することができ、24個のハーヴィッツ単位は赤色、24個の双対は黄色で着色されます。黄色の24セルは赤色のものと合同です。したがって、2つの同色の四元数の積は赤色、2つの混合色の四元数の積は黄色です。

地域	レイヤー	緯度	赤		黄
北半球	3	1	1	$1$	0
	2	√2 / 2	0		6	${\tfrac {\sqrt {2}}{2}}\{\;\;\;1\pm \mathrm {i} ,\;\;\;1\pm \mathrm {j} ,\;\;\;1\pm \mathrm {k} \}$
	1	1/2	8	${\tfrac {1}{2}}\{1\pm \mathrm {i} \pm \mathrm {j} \pm \mathrm {k} \}$	0
赤道	0	0	6	$\{\pm \mathrm {i} 、\pm \mathrm {j} 、\pm \mathrm {k} \}$	12	${\tfrac {\sqrt {2}}{2}}\{\,\pm \mathrm {i} \pm \mathrm {j} ,\,\pm \mathrm {i} \pm \mathrm {k} ,\,\pm \mathrm {j} \pm \mathrm {k} \}$
南半球	–1	–1/2	8	$-{\tfrac {1}{2}}\{1\pm \mathrm {i} \pm \mathrm {j} \pm \mathrm {k} \}$	0
	–2	– √ 2/2	0		6	${\tfrac {\sqrt {2}}{2}}\{-1\pm \mathrm {i} ,-1\pm \mathrm {j} ,-1\pm \mathrm {k} \}$
	–3	–1	1	$-1$	0
合計			24		24

北極 (1,0,0,0) に固定された赤い頂点を置くと、次の深い「緯度」 ( √2 / 2 ,x,y,z) に6つの黄色の頂点があり、続いて緯度 (1/2,x,y,z) に8つの赤い頂点があります。完全な座標は、四元数単位の線形結合として与えられ、同時に群2Oの元として取ることができます。次の深い緯度は、6つの赤い頂点と12個の黄色い頂点がある2次元球面内の3次元球面と交差する赤道超平面です $1,\mathrm {i},\mathrm {j},\mathrm {k}$

レイヤー2は、辺の長さが1である正八面体に外接する2次元球面です。頂点が北極である正四面体は、これらの辺のうち1つを長辺とし、その2つの頂点は短辺によって北極に接続されています。もう1つの長辺は北極からレイヤー1に伸び、そこから2つの短辺がレイヤー2に伸びています。

同じ色を結ぶ長さ 1 の長い辺が 192 本、混合色を結ぶ長さ√ 2 - √ 2 ≈ 0.765367の短い辺が 144 本あります。長い辺は 192*2/48 = 8 本、短い辺は 144*2/48 = 6 本で、合計 14 本の辺が任意の頂点で交わります。

576面は、1つの長辺と2つの短辺を持つ二等辺三角形で、すべて合同です。底角はarccos( √4 + √8 /4)≈49.210°です。頂点では576*3/48 = 36面が接し、長辺では576*1/192 = 3面、短辺では576*2/144 = 8面が接します。

288個のセルは、4本の短辺と2本の対蹠的で垂直な長辺を持つ四面体です。長辺のうち1本は、赤色の頂点2つと黄色の頂点2つを繋いでいます。すべてのセルは合同です。288*4/48 = 24個のセルが頂点で接しています。288*2/192 = 3個のセルが長辺で接し、288*4/144 = 8個のセルが短辺で接しています。288*4/576 = 2個のセルが三角形で接しています。

参考文献

^ リチャード・クリッツィング著「o3x4x3o - 続き」
^ ab 完全4次元多面体についてガボール・ゲヴェ代数と幾何学への貢献第43巻（2002年）、第1号、243-259 ] 表2、252ページ
^ ab W(F4)多面体の四元数的構成、その双対多面体および部分群W(B4)とW(B3)による分岐 × W(A1) Mehmet Koca 1, Mudhahir Al-Ajmi 2 and Nazife Ozdes Koca 3 Department of Physics, College of Science, Sultan Qaboos University PO Box 36, Al-Khoud 123, Muscat, Sultanate of Oman, p.18. 5.7 多面体(0, 1, 1, 0)F ₄ = W(F ₄ )(ω ₂ +ω ₃ )の双対多面体

HSMコクセター：
- 万華鏡：HSMコクセター選集、F.アーサー・シャーク、ピーター・マクマレン、アンソニー・C・トンプソン、アジア・アイビック・ワイス編、ワイリー・インターサイエンス出版、1995年、ISBN 978-0-471-01003-6[1]
  - （論文22）HSM Coxeter,正則多面体と半正則多面体 I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10]
  - （論文23）HSM Coxeter,正則多面体と半正則多面体II , [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
  - （論文24）HSM Coxeter,正則多面体と半正則多面体III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
ノーマン・ジョンソン 『均一多面体』、原稿（1991年）
- NWジョンソン：均一多面体とハニカムの理論、Ph.D.（1966）
Klitzing, Richard. 「4D 均一多面体 (ポリコラ)」x3x4o3o=x3x3x4o - ティコ、o3x4x3o - 続き
3. イコシトラコロン（24 細胞）に基づく凸均一多核細胞 - モデル 24、27、George Olshevsky。

[1] リチャード・クリッツィング著「o3x4x3o - 続き」

[Gevay-2] 完全4次元多面体についてガボール・ゲヴェ代数と幾何学への貢献第43巻（2002年）、第1号、243-259 ] 表2、252ページ

[Koca-3] W(F4)多面体の四元数的構成、その双対多面体および部分群W(B4)とW(B3)による分岐 × W(A1) Mehmet Koca 1, Mudhahir Al-Ajmi 2 and Nazife Ozdes Koca 3 Department of Physics, College of Science, Sultan Qaboos University PO Box 36, Al-Khoud 123, Muscat, Sultanate of Oman, p.18. 5.7 多面体(0, 1, 1, 0)F ₄ = W(F ₄ )(ω ₂ +ω ₃ )の双対多面体

D ₄均一多面体


{3,3 ^1,1 } h{4,3,3}	2r{3,3 ^1,1 } h ₃ {4,3,3}	t{3,3 ^1,1 } h ₂ {4,3,3}	2t{3,3 ^1,1 } h _2,3 {4,3,3}	r{3,3 ^1,1 } {3 ^1,1,1 }={3,4,3}	rr{3,3 ^1,1 } r{3 ^1,1,1 }=r{3,4,3}	tr{3,3 ^1,1 } t{3 ^1,1,1 }=t{3,4,3}	sr{3,3 ^1,1 } s{3 ^1,1,1 }=s{3,4,3}

B4対称多面体
名前	四次元方陣	修正四次元方陣	切頂四次元方位	切頂四次元方位	ランシネーテッド・テッセラクト	ビットランシネーテッド・テッセラクト	切頂四次元方陣	切頂四次元方陣	截頭四次元方陣
コクセター図		＝				＝
シュレーフリ記号	{4,3,3}	t ₁ {4,3,3} r{4,3,3}	t _0,1 {4,3,3} t{4,3,3}	t _0,2 {4,3,3} rr{4,3,3}	t _0,3 {4,3,3}	t _1,2 {4,3,3} 2t{4,3,3}	t _0,1,2 {4,3,3} tr{4,3,3}	t _0,1,3 {4,3,3}	t _0,1,2,3 {4,3,3}
シュレーゲル図
B ₄

名前	16セル	整流 16セル	切断 16セル	カンテレーション 16セル	ランシネート 16セル	ビットランケート 16セル	カンティトランケート 16セル	ランシトランケーテッド 16細胞	オムニトランケーテッド 16細胞
コクセター図	＝	＝	＝	＝		＝	＝
シュレーフリ記号	{3,3,4}	t ₁ {3,3,4} r{3,3,4}	t _0,1 {3,3,4} t{3,3,4}	t _0,2 {3,3,4} rr{3,3,4}	t _0,3 {3,3,4}	t _1,2 {3,3,4} 2t{3,3,4}	t _0,1,2 {3,3,4} tr{3,3,4}	t _0,1,3 {3,3,4}	t _0,1,2,3 {3,3,4}
シュレーゲル図
B ₄

24細胞族多面体
名前	24細胞	切断された24細胞	切り詰められた24細胞	整流24セル	キャンタレート24セル	ビットトランケート24セル	キャンティトランケート24セル	ランシネート24細胞	ランシトランケート24細胞	オムニトランケート24細胞
シュレーフリ記号	{3,4,3}	t _0,1 {3,4,3} t{3,4,3}	s{3,4,3}	t ₁ {3,4,3} r{3,4,3}	t _0,2 {3,4,3} rr{3,4,3}	t _1,2 {3,4,3} 2t{3,4,3}	t _0,1,2 {3,4,3} tr{3,4,3}	t _0,3 {3,4,3}	t _0,1,3 {3,4,3}	t _0,1,2,3 {3,4,3}
コクセター図
シュレーゲル図
F ₄
B ₄
B ₃ (a)
B ₃ (b)
B2

24セルを切り捨て

切断された24細胞

構築

ゾノトープ

直交座標

構造

投影

画像

関連する多面体

切断された24細胞

別名

構造

座標

投影

2次元への投影

3次元への投影

関連する正歪多面体

二蝶形面の288細胞

画像

幾何学

関連する多面体

参考文献