立方体（代数）

Number raised to the third power

1 ≤ x ≤ 25の値の場合、 y = x ³。

算術と代数学において、数nの立方とは、その3乗、つまりnを3つ掛け合わせた結果のことです。数nの立方をn ³と表記し、上付き文字の3を用いて表します（例：2 ³ = 8）。立方^演算は、他の任意の数式（例：( x + 1) ^{3 ）}にも定義できます。

立方数は、数の平方倍でもあります。

n ³ = n × n ² = n × n × n。

立方関数は、数をその立方数に写像する関数 x ↦ x ³（しばしばy = x ³と表記される）である。これは奇関数であり、

(−n ) 3 ⁼ −( n3 )^です。

幾何学的な立方体の体積は、その辺の長さの3乗であるため、その名前が付けられました。その逆の操作、つまり立方数がnとなる数を求めることは、nの立方根を求めることと呼ばれます。これは、与えられた体積の立方体の辺の長さを決定します。また、 nの3分の1乗でもあります。

3次関数のグラフは3次放物線として知られています。3次関数は奇関数であるため、この曲線は原点に対称中心を持ちますが、対称軸は持ちません。

整数で

立方数（りかくすうぞく、英: cube number ）は、整数の立方数である。60 ³までの非負の完全立方数は以下の通りである（ OEISのシーケンスA000578）。

0 3 =	0
1 3 =	1	11 3 =	1331	21 3 =	9261	31 3 =	29,791	41 3 =	68,921	51 3 =	132,651
2 3 =	8	12 3 =	1728	22 3 =	10,648	32 3 =	32,768	42 3 =	74,088	52 3 =	140,608
3 3 =	27	13 3 =	2197	23 3 =	12,167	33 3 =	35,937	43 3 =	79,507	53 3 =	148,877
4 3 =	64	14 3 =	2744	24 3 =	13,824	34 3 =	39,304	44 3 =	85,184	54 3 =	157,464
5 3 =	125	15 3 =	3375	25 3 =	15,625	35 3 =	42,875	45 3 =	91,125	55 3 =	166,375
6 3 =	216	16 3 =	4096	26 3 =	17,576	36 3 =	46,656	46 3 =	97,336	56 3 =	175,616
7 3 =	343	17 3 =	4913	27 3 =	19,683	37 3 =	50,653	47 3 =	103,823	57 3 =	185,193
8 3 =	512	18 3 =	5832	28 3 =	21,952	38 3 =	54,872	48 3 =	110,592	58 3 =	195,112
9 3 =	729	19 3 =	6859	29 3 =	24,389	39 3 =	59,319	49 3 =	117,649	59 3 =	205,379
10 3 =	1000	20 3 =	8000	30 3 =	27,000	40 3 =	64,000	50 3 =	12万5000	60 3 =	21万6000

幾何学的に言えば、正の整数mが完全立方体であるためには、m 個の立体単位立方体をより大きな立体立方体に並べることができることが必要です。例えば、27 個の小さな立方体を3 × 3 × 3 = 27とすると、ルービックキューブのような大きな立方体になります。

連続する整数の立方間の差は次のように表すことができます。

n ³ − ( n − 1) ³ = 3( n − 1) n + 1です。

または

( n + 1) ³ − n ³ = 3( n + 1) n + 1 .

負の整数の立方数は負なので、最小の完全立方数は存在しません。例えば、(−4) × (−4) × (−4) = −64 です。

10進数

完全平方数とは異なり、完全立方数では下 2 桁の可能性は少なくありません。5 で割り切れる立方数では下 2 桁が25、75、00のみとなり、下 2 桁が奇数である任意の数字のペアが完全立方数の下 2 桁となり得ます。偶数立方数の場合はかなりの制限があり、00、o 2、e 4、o 6、e 8のみが完全に立方数の下 2 桁となり得ます ( o は任意の奇数、eは任意の偶数を表します)。一部の立方数は平方数でもあります。たとえば、 64 は平方数(8 × 8)であり、かつ立方数(4 × 4 × 4)でもあります。これは、数が完全な 6 乗 (この場合は 2 ⁶ )の場合に限り発生します。

各 3 乗の最後の桁は次のとおりです。

0

1

8

7

4

5

6

3

2

9

しかし、ほとんどの数は完全立方数ではないことは簡単に示せます。なぜなら、すべての完全立方数は必ず数値根が 1、8、または9になるからです。つまり、9を法とする値は0、1、8のいずれかになります。さらに、任意の数の立方数の数値根は、その数を3で割ったときの余りによって決定できます。

• 数xが3で割り切れる場合、その立方根は9となる。つまり、

  ${\displaystyle {\text{if}}\quad x\equiv 0{\pmod {3}}\quad {\text{then}}\quad x^{3}\equiv 0{\pmod {9}}{\text{ (actually}}\quad 0{\pmod {27}}{\text{)}};}$

• 3で割ったときに余りが1の場合、その立方数は1のデジタルルートを持ちます。つまり、

  ${\displaystyle {\text{if}}\quad x\equiv 1{\pmod {3}}\quad {\text{then}}\quad x^{3}\equiv 1{\pmod {9}};}$

• 3で割ったときに2の余りがある場合、その立方根は8です。つまり、

  ${\displaystyle {\text{if}}\quad x\equiv 2{\pmod {3}}\quad {\text{then}}\quad x^{3}\equiv 8{\pmod {9}}.}$

2つの立方数の合計

3つの立方体の合計

±4を法として9と合同でないすべての整数（正または負）は、3つの（正または負の）立方数の和として無限通り書き表すことができると予想されます。^[1]たとえば、±4を法として9と合同な整数は、3つの立方数の和として書き表すことができないため除外されます。 ${\displaystyle 6=2^{3}+(-1)^{3}+(-1)^{3}}$

このような和が知られていない最小の整数は114である。2019年9月には、3立方和が知られていない最小の整数である42がこの式を満たすことがわかった。^[2]

${\displaystyle 42=(-80538738812075974)^{3}+80435758145817515^{3}+12602123297335631^{3}.}$

の1つの解は、 n ≤ 78、かつnが9を法として4または5と合同でない場合、以下の表に示されている。選択される解は、原始的（gcd( x , y , z ) = 1 ）であり、または（解の無限族であるため）の形ではなく、 0 ≤ | x | ≤ | y | ≤ | z |を満たし、| z |と| y |の値が最小である（この順序でテストされる）ものである。^{[3] [4] [5]} ${\displaystyle x^{3}+y^{3}+z^{3}=n}$ ${\displaystyle c^{3}+(-c)^{3}+n^{3}=n^{3}}$ ${\displaystyle (n+6nc^{3})^{3}+(n-6nc^{3})^{3}+(-6nc^{2})^{3}=2n^{3}}$

非原始解はnの値が小さい場合の解から容易に推定できるため、原始解のみが選択されます。例えばn = 24の場合、解は全ての解に を掛け合わせた解から得られます。したがって、これも選択される解です。同様にn = 48の場合、解( x , y , z ) = (−2, −2, 4)は除外されるため、選択される解( x , y , z ) = (−23, −26, 31)となります。 ${\displaystyle 2^{3}+2^{3}+2^{3}=24}$ ${\displaystyle 1^{3}+1^{3}+1^{3}=3}$ ${\displaystyle 8=2^{3}.}$

nが 1 から 78 まで  の原始解
n	×	y	z		n	×	y	z
1	9	10	−12		39	117 367	134 476	−159 380
2	1 214 928	3 480 205	−3 528 875		42	12 602 123 297 335 631	80 435 758 145 817 515	−80 538 738 812 075 974
3	1	1	1		43	2	2	3
6	−1	−1	2		44	−5	−7	8
7	0	−1	2		45	2	−3	4
8	9	15	−16		46	−2	3	3
9	0	1	2		47	6	7	−8
10	1	1	2		48	−23	−26	31
11	−2	−2	3		51	602	659	−796
12	7	10	−11		52	23 961 292 454	60 702 901 317	−61 922 712 865
15	−1	2	2		53	−1	3	3
16	−511	−1609	1626		54	−7	−11	12
17	1	2	2		55	1	3	3
18	−1	−2	3		56	−11	−21	22
19	0	−2	3		57	1	−2	4
20	1	−2	3		60	−1	−4	5
21	−11	−14	16		61	0	−4	5
24	−2 901 096 694	−15 550 555 555	15 584 139 827		62	2	3	3
25	−1	−1	3		63	0	−1	4
26	0	−1	3		64	−3	−5	6
27	−4	−5	6		65	0	1	4
28	0	1	3		66	1	1	4
29	1	1	3		69	2	−4	5
30	−283 059 965	−2 218 888 517	2 220 422 932		70	11	20	−21
33	−2 736 111 468 807 040	−8 778 405 442 862 239	8 866 128 975 287 528		71	−1	2	4
34	−1	2	3		72	7	9	−10
35	0	2	3		73	1	2	4
36	1	2	3		74	66 229 832 190 556	283 450 105 697 727	−284 650 292 555 885
37	0	−3	4		75	4 381 159	435 203 083	−435 203 231
38	1	−3	4		78	26	53	−55

フェルマーの最終定理（立方体）

方程式x ³ + y ³ = z ³は整数において非自明な解（すなわちxyz ≠ 0）を持たない。実際、アイゼンシュタイン整数においてもこの方程式は存在しない。^[6]

これらの記述は両方とも方程式^[7] x ³ + y ³ = 3 z ³にも当てはまります。

最初の合計nキューブ

最初のn個の立方体の合計は、 n番目の三角数の2 乗です。

${\displaystyle 1^{3}+2^{3}+\dots +n^{3}=(1+2+\dots +n)^{2}=\left({\frac {n(n+1)}{2}}\right)^{2}.}$

1 ³ + 2 ³ + 3 ³ + 4 ³ + 5 ³ = (1 + 2 + 3 + 4 + 5) ²であることの視覚的な証明。

証明。チャールズ・ホイートストン （1854）は、各立方数を連続する奇数の集合に展開することで、特に簡単な導出を示した。彼はまず、

${\displaystyle n^{3}=\underbrace {\left(n^{2}-n+1\right)+\left(n^{2}-n+1+2\right)+\left(n^{2}-n+1+4\right)+\cdots +\left(n^{2}+n-1\right)} _{n{\text{ consecutive odd numbers}}}.}$

この恒等式は、次のように三角数と関係があります。 ${\displaystyle T_{n}}$

${\displaystyle n^{3}=\sum _{k=T_{n-1}+1}^{T_{n}}(2k-1),}$

そして、 を形成する加数は、までのすべての前の値を形成する加数の直後から始まります。この性質を、もう1つのよく知られた恒等式と併せて適用すると、次のようになります。 ${\displaystyle n^{3}}$ ${\displaystyle 1^{3}}$ ${\displaystyle (n-1)^{3}}$

${\displaystyle n^{2}=\sum _{k=1}^{n}(2k-1),}$

次のような導出が得られる。

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=1}^{n}k^{3}&=1+8+27+64+\cdots +n^{3}\\&=\underbrace {1} _{1^{3}}+\underbrace {3+5} _{2^{3}}+\underbrace {7+9+11} _{3^{3}}+\underbrace {13+15+17+19} _{4^{3}}+\cdots +\underbrace {\left(n^{2}-n+1\right)+\cdots +\left(n^{2}+n-1\right)} _{n^{3}}\\&=\underbrace {\underbrace {\underbrace {\underbrace {1} _{1^{2}}+3} _{2^{2}}+5} _{3^{2}}+\cdots +\left(n^{2}+n-1\right)} _{\left({\frac {n^{2}+n}{2}}\right)^{2}}\\&=(1+2+\cdots +n)^{2}\\&={\bigg (}\sum _{k=1}^{n}k{\bigg )}^{2}.\end{aligned}}}$

三角数の平方は立方数の合計に等しいことを視覚的に示します。

より最近の数学文献では、スタイン（1971）がこれらの数の長方形計算による解釈を用いて恒等式の幾何学的証明を行っている（ベンジャミン、クイン＆ワーツ 2006 も参照）。スタインは、この証明は帰納法によっても容易に（しかし情報量は少ないものの）証明できると指摘し、トゥープリッツ（1963）が「興味深い古いアラビア語による証明」を提供していると述べている。カニム（2004）は純粋に視覚的な証明を、ベンジャミン＆オリソン（2002）は2つの追加的な証明を、ネルセン（1993）は7つの幾何学的証明を提供している。

例えば、最初の5つの立方数の合計は5番目の三角数の2乗です。

${\displaystyle 1^{3}+2^{3}+3^{3}+4^{3}+5^{3}=15^{2}}$

最初のy個の 奇数立方の合計についても同様の結果が得られる。

${\displaystyle 1^{3}+3^{3}+\dots +(2y-1)^{3}=(xy)^{2}}$

しかし、x、y は負のペル方程式 x ² − 2 y ² = −1を満たさなければならない。例えば、y = 5および29の場合、

${\displaystyle 1^{3}+3^{3}+\dots +9^{3}=(7\cdot 5)^{2}}$

${\displaystyle 1^{3}+3^{3}+\dots +57^{3}=(41\cdot 29)^{2}}$

以下同様。また、最小の偶数を除くすべての完全 数は、最初の2つの^{⁠ p −1 / 2 ⁠}
奇数立方体（p = 3、5、7、...）

${\displaystyle 28=2^{2}(2^{3}-1)=1^{3}+3^{3}}$

${\displaystyle 496=2^{4}(2^{5}-1)=1^{3}+3^{3}+5^{3}+7^{3}}$

${\displaystyle 8128=2^{6}(2^{7}-1)=1^{3}+3^{3}+5^{3}+7^{3}+9^{3}+11^{3}+13^{3}+15^{3}}$

等差数列の立方数の和

プラトンの数の一つの解釈、3 ³ + 4 ³ + 5 ³ = 6 ³

等差数列の数の立方体のうち、和が立方体になる例がいくつかあります。

${\displaystyle 3^{3}+4^{3}+5^{3}=6^{3}}$

${\displaystyle 11^{3}+12^{3}+13^{3}+14^{3}=20^{3}}$

${\displaystyle 31^{3}+33^{3}+35^{3}+37^{3}+39^{3}+41^{3}=66^{3}}$

最初の数は、時に謎めいたプラトン数として認識される。等差数列におけるn個の数の立方体の和を求める 公式Fは 、公差dと最初の立方体a ³である。

${\displaystyle F(d,a,n)=a^{3}+(a+d)^{3}+(a+2d)^{3}+\cdots +(a+dn-d)^{3}}$

は次のように与えられる。

${\displaystyle F(d,a,n)=(n/4)(2a-d+dn)(2a^{2}-2ad+2adn-d^{2}n+d^{2}n^{2})}$

パラメトリックソリューション

${\displaystyle F(d,a,n)=y^{3}}$

は、1829年にパグリアーニによって発見された、d = 1 、つまり連続立方体の特殊なケースで知られています。 ^[8]

連続する奇数の和としての立方体

奇数のシーケンス 1、3、5、7、9、11、13、15、17、19、... では、最初の整数は立方数 ( 1 = 1 ³ ) であり、次の2 つの合計は次の立方数 ( 3 + 5 = 2 ³ )であり、次の3 つの合計は次の立方数 ( 7 + 9 + 11 = 3 ³ ) であり、以下同様に続きます。

立方体に関するウォーリングの問題

すべての正の整数は、9個（またはそれ以下）の正の立方数の和で表すことができます。この9個の立方数の上限は、例えば23は9個未満の正の立方数の和で表すことができないため、減らすことはできません。

23 = 2 ³ + 2 ³ + 1 ³ + 1 ³ + 1 ³ + 1 ³ + 1 ³ + 1 ³ + 1 ³。

有理数では

すべての正の有理数は3つの正の有理数の立方数の和である^[9]。また、2つの有理数の立方数の和ではない有理数も存在する^{[10] 。}

実数、他の体、環において

y = x ³を直交平面上にプロットする

実数では、立方関数は順序を保存します。つまり、数が大きいほど、立方体も大きくなります。言い換えると、立方体は（厳密に）単調に増加します。また、その共域は実数直線全体です。関数x ↦ x ³  : R → Rは全射です（すべての可能な値を取ります）。それ自身の立方体に等しい数は、−1、0、1の 3 つだけです。−1 < x < 0または1 < xの場合、x ³ > xです。x < −1または0 < x < 1の場合、x ³ < xです。前述のすべての特性は、実数の任意の高次の奇数乗（x ⁵、x ⁷、...）にも当てはまります。等式と不等式は、任意の順序付き環においても成り立ちます。

類似のユークリッド立体の体積は、その線形サイズの立方体として関係しています。

複素数において、純虚数の3乗も純虚数です。例えば、i ³ = − iです。

x ³の導関数は3 x ²になります。

立方体は他の体でも射影的性質を持つことが時々ある。例えば、p ≠ 1 (mod 3)となるような素数pに対してF _{p が}^{射影的性質を持つ[11]}が、必ずしもそうではない。前述の有理数に関する反例を参照のこと。また、F ₇では、7つの元のうち、0、±1の3つだけが完全立方体である。 −1、0、1はどこでも完全立方体であり、体の元の中でそれらの立方体と等しいのはこれらだけである：x ³ − x = x ( x − 1)( x + 1)。

歴史

大きな数の立方を求めることは、多くの古代文明で非常に一般的でした。メソポタミアの数学者は、古バビロニア時代（紀元前20世紀から16世紀）までに、立方と立方根を計算するための表を記した楔形文字の粘土板を作成しました。 ^{[12] [13]}三次方程式は、古代ギリシャの数学者ディオファントスにも知られていました。^[14] アレクサンドリアのヘロンは、西暦1世紀に立方根を計算する方法を考案しました。^[15]三次方程式を解いて立方根を抽出する方法は、紀元前2世紀頃に編纂され、西暦3世紀に劉徽によって注釈が付けられた中国の数学書である『九章算術』^{に記載されています。 [16]}

参照

• タクシー番号
• 三次方程式
• 立方体を2倍にする
• 第八の力
• オイラーのべき乗和予想
• 第五の力
• 第四の力
• ケプラーの惑星運動の法則#第三法則
• モンキーサドル
• 完璧なパワー
• 第七の力
• 第六の力
• 四角
• タクシー番号

注記

1. Unicodeの上付き文字³もタイプセットに使用できます: n ³。

参考文献

1. Huisman, Sander G. (2016年4月27日). 「3つの立方体の新しい和」. arXiv : 1604.07746 [math.NT].
2. Booker, Andrew R.; Sutherland, Andrew V. (2021). 「Mordellの問題について」. Proceedings of the National Academy of Sciences . 118 (11) e2022377118. arXiv : 2007.01209 . Bibcode :2021PNAS..11822377B. doi : 10.1073/pnas.2022377118 . PMC 7980389. PMID  33692126 . 
3. OEISの配列A060465、A060466、A060467
4. スリーキューブス
5. n = x^3 + y^3 + z^3
6. ハーディ＆ライト、Thm. 227
7. ハーディ＆ライト、Thm. 232
8. ベネット、マイケル・A.；パテル、ヴァンディタ；シクセク、サミール（2017）、「連続する立方体の和である完全累乗」、Mathematika、63（1）：230–249、ar​​Xiv：1603.08901、doi：10.1112/S0025579316000231、MR  3610012
9. ハーディ＆ライト、Thm. 234
10. ハーディ＆ライト、Thm. 233
11. F _pの乗法群はp − 1 の位数巡回群であり、3で割り切れない場合、立方体は群の自己同型を定義します。
12. クック、ロジャー（2012年11月8日）『数学の歴史』ジョン・ワイリー・アンド・サンズ、63ページ。ISBN 978-1-118-46029-0。
13. ネメト・ネジャット、カレン・レア（1998年）『古代メソポタミアの日常生活』グリーンウッド出版グループ、306ページ。ISBN 978-0-313-29497-6。
14. Van der Waerden、『古代文明の幾何学と代数』、第 4 章、チューリッヒ、1983 ISBN 0-387-12159-5
15. Smyly, J. Gilbart (1920). 「Heronの立方根公式」. Hermathena . 19 (42). トリニティ・カレッジ・ダブリン: 64–67 . JSTOR  23037103.
16. クロスリー、ジョン、W.-C. ルン、アンソニー (1999). 『数学の技巧に関する9つの章：解説と解説』オックスフォード大学出版局. pp. 176, 213. ISBN 978-0-19-853936-0。

出典

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• ベンジャミン, アーサー・T.; クイン, ジェニファー・J.; ワーツ, カリッサ (2006年11月1日). 「立方体の和を長方形の数で割る」.カレッジ数学ジャーナル. 37 (5): 387– 389. doi :10.2307/27646391. JSTOR  27646391.
• ハーディ, GH ;ライト, EM (1980). 『数論入門』（第5版）. オックスフォード:オックスフォード大学出版局. ISBN 978-0-19-853171-5。
• カニム、キャサリン（2004年10月1日）「言葉なしの証明：立方体の和：アルキメデスの平方和の拡張」『数学マガジン』77 (4): 298-299 . doi :10.2307/3219288. JSTOR  3219288.
• ネルセン、ロジャー・B. (1993). 『言葉に頼らない証明：視覚的思考の練習』ケンブリッジ大学出版局. ISBN 978-0-88385-700-7。
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