位相エントロピー

システムの複雑さを表す数値

数学において、位相的動的システムの位相エントロピーは、システムの複雑さの尺度となる非負の拡張実数です。位相的エントロピーは、1965年にアドラー、コンハイム、マクアンドリューによって初めて導入されました。彼らの定義は、コルモゴロフ・シナイ、あるいは計量エントロピーの定義をモデルにしています。後に、ディナバーグとルーファス・ボーエンは、ハウスドルフ次元を思わせる、異なる、より弱い定義を与えました。2番目の定義は、位相的エントロピーの意味を明確にしました。反復関数によって与えられたシステムの場合、位相的エントロピーは反復の区別可能な軌道の数の指数的増加率を表します。重要な変分原理は、位相的エントロピーと測度論的エントロピーの概念に関連しています。

意味

位相力学系は、ハウスドルフ位相空間 X （通常はコンパクトであると仮定される）と連続自己写像f  :  X  →  Xから構成される。その位相エントロピーは非負の拡張実数であり、様々な方法で定義することができ、それらは同値であることが知られている。

アドラー、コンハイム、マクアンドリューの定義

X をコンパクトハウスドルフ位相空間とする。Xの任意の有限開被覆 Cに対し、Xを覆うCの元数の最小値の対数（通常は底が2）をH ( C ) とする。^[1] 2つの被覆CとDに対し、それらの（最小の）共通精緻化を とする。これはCの集合とDの集合の空でない交差すべてから成り、多重被覆についても同様である。 ${\displaystyle C\vee D}$

任意の連続写像 f : X  →  Xに対して、次の極限が存在する。

${\displaystyle H(f,C)=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}H(C\vee f^{-1}C\vee \ldots \vee f^{-n+1}C).}$

このとき、 fの位相エントロピー（ h ( f )と表記）は、 Xのすべての可能な有限被覆C上のH ( f , C )の最大値として定義されます。

解釈

Cの部分は、X内の点xの位置を（部分的に）記述する記号として考えることができます。つまり、すべての点x ∈ C _iには記号C _iが割り当てられます。 xの位置が特定のデバイスによって（不完全に）測定され、Cの各部分が測定の可能な結果の 1 つに対応するとします。次に、 fの下での最初のn − 1 回の反復の挙動に従ってXの点をエンコードするために必要な長さnの「ワード」の最小数の対数、または別の言い方をすれば、分割Cによって「見られる」これらの反復の挙動の「シナリオ」の総数を表します。したがって、位相エントロピーは、マップfの長い反復を記述するために必要な情報の平均（反復あたり）量です。 ${\displaystyle H(C\vee f^{-1}C\vee \ldots \vee f^{-n+1}C)}$

ボーエンとディナバーグの定義

この定義^{[2] [3] [4]は、} X上の計量（実際には一様構造で十分である）を用いる。これはAdler、Konheim、McAndrew ^[5]の定義よりも狭い定義である。なぜなら、位相空間上の計量構造を追加する必要があるからである（ただし、与えられた位相を生成する計量の選択とは無関係である）。しかしながら、実際には、Bowen-Dinaburg位相エントロピーの方が計算がはるかに容易であることが多い。

( X , d ) をコンパクト 計量空間とし、f : X  →  Xを連続写像とする。各自然数 nに対して、 X上に新たな計量dn_が以下の式で定義される。

${\displaystyle d_{n}(x,y)=\max\{d(f^{i}(x),f^{i}(y)):0\leq i<n\}.}$

ε > 0 かつn ≥ 1 の任意の場合、 Xの2点の最初のn回の反復がε近傍であれば、この測定基準に関してε近傍である。この測定基準により、軌道の近傍において、反復中に互いに離れる点と、一緒に移動する点を区別することができる。Xの部分集合Eは、 Eの各異なる点のペアが測定基準d _nにおいて少なくともε離れている場合、 ( n , ε ) 分離されているという。 ( n , ε ) 分離集合の最大濃度をN ( n , ε )と表記する。写像fの位相エントロピーは次のように定義される。

${\displaystyle h(f)=\lim _{\epsilon \to 0}\left(\limsup _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\log N(n,\epsilon )\right).}$

解釈

Xはコンパクトなので、N ( n , ε ) は有限であり、長さnの識別可能な軌道セグメントの数を表します（ε内の点は互いに区別できないと仮定）。簡単な議論により、 h ( f ) を定義する極限は常に拡張された実数直線上に存在することがわかります（ただし、無限大になる可能性もあります）。この極限は、識別可能な軌道セグメントの数の平均指数関数的増加の尺度として解釈できます。この意味で、これは位相的動的システム ( X、f ) の複雑さを測るものです。Rufus Bowen はこの位相エントロピーの定義を拡張し、写像fが一様連続であるという仮定の下でXが非コンパクトになることを許容しました。

プロパティ

• 位相エントロピーは位相動的システムの不変量であり、位相共役性によって保存されることを意味します。
• をコンパクト計量空間の拡大同相写像とし、を位相生成元とする。このとき、に対するの位相エントロピーは の位相エントロピーに等しい。すなわち、 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle h(f)=H(f,C).}$

• をコンパクト計量空間の連続変換とし、をに関する測度論的エントロピーとし、をX上のすべての -不変ボレル確率測度の集合とする。このとき、エントロピーの変分原理^[6]は次のように述べている。 ${\displaystyle f:X\rightarrow X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle h_{\mu }(f)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle M(X,f)}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle h(f)=\sup _{\mu \in M(X,f)}h_{\mu }(f)}$。

• 一般に、集合上の量の最大値は達成されませんが、さらにエントロピー マップが上側半連続である場合、最大エントロピーの測度、つまり内の測度が存在します。 ${\displaystyle h_{\mu }}$ ${\displaystyle M(X,f)}$ ${\displaystyle \mu \mapsto h_{\mu }(f):M(X,f)\rightarrow \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle M(X,f)}$ ${\displaystyle h_{\mu }(f)=h(f)}$
• が最大エントロピー の一意の尺度 を持つ場合、 はに関してエルゴードです。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mu }$

例

• によって記号 上の完全な両側kシフトを表すものとする。を長さ1の円筒に分割することを表すものとする。すると、 はすべての に対しての分割となり、集合の数はそれぞれ となる。分割は開被覆であり、は位相生成子である。したがって ${\displaystyle \sigma :\Sigma _{k}\rightarrow \Sigma _{k}}$ ${\displaystyle x_{n}\mapsto x_{n-1}}$ ${\displaystyle \{1,\dots ,k\}}$ ${\displaystyle C=\{[1],\dots ,[k]\}}$ ${\displaystyle \Sigma _{k}}$ ${\displaystyle \bigvee _{j=0}^{n-1}\sigma ^{-j}(C)}$ ${\displaystyle \Sigma _{k}}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle k^{n}}$ ${\displaystyle C}$

${\displaystyle h(\sigma )=H(\sigma ,C)=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {1}{n}}\log k^{n}=\log k}$ベルヌーイ測度の測度論的エントロピーもまた である。したがって、これは最大エントロピーの測度である。さらに、最大エントロピーの測度は他に存在しないことが示される。 ${\displaystyle \left({\frac {1}{k}},\dots ,{\frac {1}{k}}\right)}$ ${\displaystyle \log k}$

• を の要素を持つ既約行列とし、 を有限型 の対応する部分シフトとします。このとき、の最大の正の固有値は です。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle k\times k}$ ${\displaystyle \{0,1\}}$ ${\displaystyle \sigma :\Sigma _{A}\rightarrow \Sigma _{A}}$ ${\displaystyle h(\sigma )=\log \lambda }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle A}$

注記

1. Xはコンパクトであるため、H ( C ) は常に有限であり、これはC が無限被覆であっても同じである。任意の被覆を用いても同じエントロピー値が得られる。
2. Bowen, Rufus (1971). 「群準同型写像と同質空間のエントロピー」.アメリカ数学会誌. 153 : 401–414 . doi : 10.1090/S0002-9947-1971-0274707-X . ISSN  0002-9947.
3. Bowen, Rufus (1971). 「公理Aの微分同相写像における周期点と測度」アメリカ数学会誌. 154 : 377–397 . doi :10.2307/1995452. ISSN  0002-9947. JSTOR  1995452.
4. ディナバーグ、エフィム (1970)。 「トポロジカルエントロピーとメトリックエントロピーの関係」。ドクラディ・アカデミ・ナウクSSSR。170：19
5. Adler, RL; Konheim, AG; McAndrew, MH (1965). 「位相エントロピー」.アメリカ数学会誌. 114 (2): 309. doi : 10.1090/S0002-9947-1965-0175106-9 . ISSN  0002-9947.
6. Goodman, TNT (1971). 「位相エントロピーと測度エントロピーの関係」 .ロンドン数学会報. 3 (2): 176– 180. doi :10.1112/blms/3.2.176. ISSN  1469-2120.

参照

• ミルナー・サーストン混練理論
• 位相的秩序を持つシステムにおける相関の尺度については、位相的エンタングルメントエントロピーを参照のこと。
• 平均寸法

参考文献

• Adler, RL; Konheim, Allan G.; McAndrew, MH (1965). 「位相エントロピー」.アメリカ数学会誌. 114 (2): 309– 319. doi : 10.2307/1994177 . JSTOR  1994177. Zbl  0127.13102.
• ドミトリ・アノソフ(2001) [1994]、「位相エントロピー」、数学百科事典、EMSプレス
• Roy Adler、Tomasz Downarowicz、Michał Misiurewicz、 Scholarpediaの位相エントロピー
• ウォルターズ、ピーター (1982).エルゴード理論入門.大学院数学テキスト. 第79巻.シュプリンガー・フェアラーク. ISBN 0-387-95152-0. Zbl  0475.28009。

外部リンク

• http://www.scholarpedia.org/article/Topological_entropy

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