6-オルソプレックス

6-オルソプレックスヘキサクロス
ペトリー多角形内の直交投影
タイプ	正6多面体
家族	正多面体
シュレーフリ記号	{3,3,3,3,4} {3,3,3,3 ^1,1 }
コクセター・ディンキン図	＝
5面体	64 {3 ⁴ }
4面	192 {3 ³ }
セル	240 {3,3}
面	160 {3}
エッジ	60
頂点	12
頂点図形	五面体
ペトリー多角形	十二角形
コクセター群	B ₆ , [4,3 ⁴ ] D ₆ , [3 ^3,1,1 ]
二重	6次元立方体
性質	凸面、ハンナー多面体

幾何学において、6 直交多面体、または 6交差多面体とは、12個の頂点、60 個の辺、160 個の三角形面、240 個の四面体セル、192 個の5 セル 4 面、および 64 個の5 面を持つ正6 多面体です。

これには 2 つの構成形式があり、1 つ目はSchläfli 記号{3 ^{4 ,4} を持つ正規形式、2 つ目は Schläfli 記号 {3,3,3,3}^1,1 } またはCoxeter 記号 3 ₁₁を持つ、交互にラベル付けされた (チェッカーボード状の) 面を持つ形式です。

これは、交差多面体または正多面体と呼ばれる無限の多面体族の一部です。双対多面体は6次元超立方体、またはヘキセラクトです。

別名

ヘキサクロスは、ギリシャ語で6次元を意味するhexとcross polytope（十字多面体）を組み合わせたものです
64面体 6 次元多面体としてのヘキサコンタテトラペトン。
頭字語: gee (Jonathan Bowers)

配置として

この配置行列は6-オルソプレックスを表しています。行と列は頂点、辺、面、セル、4面、5面に対応しています。対角の数字は、6-オルソプレックス全体に各要素がいくつ出現するかを示します。非対角の数字は、列の要素が行の要素内またはその要素にいくつ出現するかを示します。^[1]^[2]

${\begin{bmatrix}{\begin{matrix}12&10&40&80&80&32\\2&60&8&24&32&16\\3&3&160&6&12&8\\4&6&4&240&4&4\\5&10&10&5&192&2\\6&15&20&15&6&64\end{matrix}}\end{bmatrix}}$

構成

6-オルソプレックスに関連するコクセター群は3つあります。1つはC6または[4,3,3,3,3]コクセター群とのヘキセラクトの正則双対、もう1つは_D6または[ ^3,3,1,1 ]コクセター群との5-単体面の2つのコピーが交互に配置された半対称です。最も対称性の低い構成は、 _6-オルソトープの双対、つまり6-フュシルに基づいています

名前	シュレーフリ	対称性	秩序
通常の6-オルソプレックス	{3,3,3,3,4}	[4,3,3,3,3]	46080
準規則性6-オルソプレックス	{3,3,3,3 ^1,1 }	[3,3,3,3 ^1,1 ]	23040
6連銃	{3,3,3,4}+{}	[4,3,3,3,3]	7680
	{3,3,4}+{4}	[4,3,3,2,4]	3072
	2{3,4}	[4,3,2,4,3]	2304
	{3,3,4}+2{}	[4,3,3,2,2]	1536
	{3,4}+{4}+{}	[4,3,2,4,2]	768
	3{4}	[4,2,4,2,4]	512
	{3,4}+3{}	[4,3,2,2,2]	384
	2{4}+2{}	[4,2,4,2,2]	256
	{4}+4{}	[4,2,2,2,2]	128
	6{}	[2,2,2,2,2]	64

直交座標

原点を中心とする6次元直交複体の頂点の直交座標は

(±1,0,0,0,0,0), (0,±1,0,0,0,0), (0,0,±1,0,0,0), (0,0,0,0,±1,0), (0,0,0,0,0,±1)

対角を除くすべての頂点ペアは、辺によって接続されます。

画像

正投影図
鋸歯状平面	B6	B ₅	B ₄
グラフ
二面対称性	[12]	[10]	[ 8]
コクスタープレーン	B3	B ₂
グラフ
二面対称性	[6]	[4]
コクスタープレーン	A ₅	A ₃
グラフ
二面対称性	[6]	[4]

関連する多面体

6次元正複合体は、正二十面体の頂点に3次元に投影することができます。^[3]

2次元		3次元
正20面体 {3,5} = H ₃コークスター平面	6-オルソプレックス {3,3,3,3 ^1,1 } = D ₆コクセター機	二十面体	六面体正六面体
この構成は、幾何学的には、6次元正複体の12頂点を正二十面体の頂点として3次元に投影したものと見ることができます。これは、D 6 から H 3 までのコクセター群の幾何学的折り畳み_を表し_ています。へ。左側の2次元コクセター平面の直交投影図では、重なり合う2つの中心頂点がこの写像の3番目の軸を定義しています。6次元直交複合体のすべての頂点のペアは、反対側の頂点を除いて接続されています。30本の辺はイコサヘドロンと共有され、さらに30本の辺が6次元直交複合体からイコサヘドロンの内部に投影されています

これは、コクセターによって_3k1級数として表現された、一様な多面体とハニカムの次元級数である。（退化した4次元の例としては、3球面タイリング、正四面体ホソヘドロンがある。）

3k _1次元図形
空間	有限				ユークリッド	双曲的
n	4	5	6	7	8	9
コクセターグループ	A3 _A1	A ₅	D ₆	E ₇	${\tilde {E}}_{7}$ =E ₇⁺	${\bar {T}}_{8}$ =E ₇⁺⁺
コクセター図
対称性	[3 ^−1,3,1 ]	[3 ^0,3,1 ]	[[3 ^1,3,1 ]] = [4,3,3,3,3]	[3 ^2,3,1 ]	[3 ^3,3,1 ]	[3 ^4,3,1 ]
注文	48	720	46,080	2,903,040	∞
グラフ					-	-
名前	3 _1,-1	3月_10日	3月11日	3月21_日	3_月31日	341

この多面体は、B6コクセター平面から生成される63個の均一な6次元多面体のうちの1つであり_、正6次元立方体または6次元正多面体も含まれます

B6多面体
β6	t ₁ β ₆	t ₂ β ₆	t ₂ γ ₆	t ₁ γ ₆	γ ₆	t _0,1 β ₆	t _0,2 β ₆
t _1,2 β ₆	t _0,3 β ₆	t _1,3 β ₆	t _2,3 γ ₆	t _0,4 β ₆	t _1,4 γ ₆	t _1,3 γ ₆	t _1,2 γ ₆
t _0,5 γ ₆	t _0,4 γ ₆	t _0,3 γ ₆	t _0,2 γ ₆	t _0,1 γ ₆	t _0,1,2 β ₆	t _0,1,3 β ₆	t _0,2,3 β ₆
t _1,2,3 β ₆	t _0,1,4 β ₆	t _0,2,4 β ₆	t _1,2,4 β ₆	t _0,3,4 β ₆	t _1,2,4 γ ₆	t _1,2,3 γ ₆	t _0,1,5 β ₆
t _0,2,5 β ₆	t _0,3,4 γ ₆	t _0,2,5 γ ₆	t _0,2,4 γ ₆	t _0,2,3 γ ₆	t _0,1,5 γ ₆	t _0,1,4 γ ₆	t _0,1,3 γ ₆
t _0,1,2 γ ₆	t _0,1,2,3 β ₆	t _0,1,2,4 β ₆	t _0,1,3,4 β ₆	t _0,2,3,4 β ₆	t _1,2,3,4 γ ₆	t _0,1,2,5 β ₆	t _0,1,3,5 β ₆
t _0,2,3,5 γ ₆	t _0,2,3,4 γ ₆	t _0,1,4,5 γ ₆	t _0,1,3,5 γ ₆	t _0,1,3,4 γ ₆	t _0,1,2,5 γ ₆	t _0,1,2,4 γ ₆	t _0,1,2,3 γ ₆
t _0,1,2,3,4 β ₆	t _0,1,2,3,5 β ₆	t _0,1,2,4,5 β ₆	t _0,1,2,4,5 γ ₆	t _0,1,2,3,5 γ ₆	t _0,1,2,3,4 γ ₆	t _0,1,2,3,4,5 γ ₆

参考文献

HSMコクセター：
- HSM Coxeter, Regular Polytopes , 第3版, Dover New York, 1973
- 万華鏡：HSMコクセター選集、F・アーサー・シャーク、ピーター・マクマレン、アンソニー・C・トンプソン、アジア・アイビック・ワイス編、Wiley-Interscience Publication、1995年、wiley.com、ISBN 978-0-471-01003-6
  - （論文22）HSMコクセター、『正則多面体と半正則多面体 I』[Math. Zeit. 46 (1940) 380–407, MR 2,10]
  - （論文23）HSM Coxeter,正則多面体と半正則多面体II , [Math. Zeit. 188 (1985) 559–591]
  - （論文24）HSM Coxeter,正則多面体と半正則多面体III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3–45]
ノーマン・ジョンソン 『均一多面体』、原稿（1991年）
- NWジョンソン：均一多面体とハニカムの理論、Ph.D. 1966
Klitzing、リチャード。「6D 均一多面体 (ポリペタ) x3o3o3o3o4o - gee」。

具体的な

^ コクセター著『正多面体』第1.8節「配置」
^ コクセター『複素正多面体』p.117
^ 準結晶と幾何学、マージョリー・セネシャル、1996年、ケンブリッジ大学出版、p. 64。2.7.1 I ₆結晶

外部リンク

オルシェフスキー、ジョージ. 「交差多面体」.ハイパースペース用語集. 2007年2月4日時点のオリジナルよりアーカイブ
様々な次元の多面体
多次元用語集

v t e 2～10次元における基本的な凸正則多面体と一様多面体
家族	$A n$	$B n$	$I 2 (p)$ / $D n$	$E 6$ / $E 7$ / $E 8$ / $F 4$ / $G 2$	$H n$
正多角形	三角形	正方形	p角形	六角形	五角形
一様多面体	四面体	八面体•立方体	正十二面体		正二十面体
均一多面体	ペンタコロン	16細胞・四次元体	二次元体	24細胞	120細胞・600細胞
均一な5次元多面体	5-単体	5-正方体・5-立方体	5-半立体
一様6次元多面体	6次元単体	6次元正多面体・6次元立方体	6次元半立方体	1 ₂₂ • 2 ₂₁
一様7次元多面体	7-単体	7-正複合体・7-立方体	7-半立体	1 ₃₂ • 2 ₃₁ • 3 ₂₁
一様8次元多面体	8次元単体	8次元正多面体・8次元立方体	8デミキューブ	1 ₄₂ • 2 ₄₁ • 4 ₂₁
一様9次元多面体	9次元単体	9次元正多面体・9次元立方体	9次元半立方体
一様10次元多面体	10次元単体	10次元正多面体・10次元立方体	10デミキューブ
一様n多面体	n単体	n -オルソプレックス• n -キューブ	n -デミキューブ	1 _k2 • 2 _k1 • k ₂₁	n -五角形多面体
トピック:多面体族•正多面体•正多面体と複合多面体の一覧•多面体の演算

[1] コクセター著『正多面体』第1.8節「配置」

[2] コクセター『複素正多面体』p.117

[3] 準結晶と幾何学、マージョリー・セネシャル、1996年、ケンブリッジ大学出版、p. 64。2.7.1 I ₆結晶