プリンプトン 322

Babylonian clay tablet of numbers in Pythagorean triples

プリンプトン 322
楔形文字で数字が書かれたプリンプトン322粘土板
身長	9センチ
幅	13センチ
作成	紀元前1800年頃
現在地	ニューヨーク市、ニューヨーク州、アメリカ合衆国

プリンプトン322は、紀元前1800年頃に書かれたと考えられているバビロニアの 粘土板で、楔形文字で書かれた数表が収められています。数表の各行はピタゴラスの三つ組、つまりピタゴラスの定理（直角三角形の辺の平方の和は斜辺の平方に等しいという規則）を満たす三つ組の整数に対応しています。プリンプトン322が書かれた時代は、ギリシャにおける幾何学における主要な発見がなされた時代よりおよそ13世紀から15世紀前です。 ${\displaystyle (s,l,d)}$ ${\displaystyle s^{2}+l^{2}=d^{2}}$

1940年代にオットー・ノイゲバウアーとアブラハム・ザックスが初めてこの粘土板の数学的意義に気づいた当時、ピタゴラスの定理を用いた古バビロニアの粘土板が既にいくつか知られていました。^[1]メソポタミアの写字生がこの定理を知り、使用していたという更なる証拠に加え、プリンプトン322は、ピタゴラスの定理の中には非常に大きなものもあり、場当たり的な方法で発見された可能性は低いことから、彼らがピタゴラスの定理を生成するための体系的な方法を持っていたことを強く示唆しました。例えば、表の4行目は、(12709,13500,18541)の定理に関連します。

表には、長い方の辺（粘土板には記されていない）が正則な数、つまり素因数が 2、3、5 のいずれかである 3 辺のみが記載されている。結果として、長い方の辺に対する他の 2 辺の比と は、メソポタミア人の60 進法（基数 60）における正確な終端表現を持つ。最初の列には、後者の比 の 2 乗 が含まれる可能性が高く、降順になっており、2 に近い数、つまり角度 、 、 の直角二等辺三角形の値から始まり、おおよそ角度、、の三角形の比で終わる。しかし、バビロニア人は測定角度の概念を使用していなかったと考えられている。2列目と 3 列目には、短辺と斜辺が含まれると最も一般的には解釈されている。表に多少の誤りがあり、粘土板が損傷しているため、直角三角形に関連して、異なる解釈が存在する可能性がある。 ${\displaystyle (s,l,d)}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle s/l}$ ${\displaystyle d/l}$ ${\displaystyle d^{2}/l^{2}}$ ${\displaystyle 45^{\circ }}$ ${\displaystyle 45^{\circ }}$ ${\displaystyle 90^{\circ }}$ ${\displaystyle 32^{\circ }}$ ${\displaystyle 58^{\circ }}$ ${\displaystyle 90^{\circ }}$

プリンプトン 322 の目的は不明である。ノイゲバウアーとサックスはプリンプトン 322 をピタゴラス方程式の整数解の研究とみなし、数論的な動機を示唆した。彼らは、この表はユークリッドが『原論』で用いた規則に類似した規則によって作成されたと提唱した。^{[2] [3]}後代の多くの学者は、 1 より大きい数 で、分子と分母が規則的な数 を用いて量 を形成するという、異なる提案を支持した。この量は有限の 60 進数表現を持ち、それを 2 乗して 1 を引くと、やはり有限の 60 進数表現を持つ有理数平方根が得られるという重要な性質を持つ。この平方根は実際には に等しい。その結果、 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\left(x+{\tfrac {1}{x}}\right)}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\left(x-{\tfrac {1}{x}}\right)}$

${\displaystyle \left({\frac {1}{2}}\left(x-{\frac {1}{x}}\right),1,{\frac {1}{2}}\left(x+{\frac {1}{x}}\right)\right)}$

は有理数ピタゴラス数列であり、これを再スケーリングすることで整数ピタゴラス数列を得ることができる。粘土板の列見出し、そして関連する計算を含む粘土板YBC 6967、MS 3052、MS 3971の存在は、この提案を裏付けている。

現在の学者のほとんどは、バビロニア数学全体について知られていることから、数論的な動機は時代錯誤だと考えている。プリムプトン 322 が三角関数の表であるという説も、バビロニア人は角度の測定の概念を持っていなかったと思われることから、同様の理由で否定されている。この粘土板には建築や測量の実際的な目的があった、数学的な興味から生まれた幾何学的調査だった、教師が生徒に問題を出せるようにパラメータをまとめたものだった、など様々な説がなされてきた。最後の説に関して、クレイトン・バックは、未発表の DL ヴォイルズの研究を報告し、この粘土板は直角三角形とは偶然の関係しかない可能性を提起している。その主な目的は、現代の二次方程式の問題に似た、逆数ペアに関する問題を出題することである。ヨラン・フリバーグやエレノア・ロブソンなど、教師の補助という解釈を支持する他の学者は、意図された問題はおそらく直角三角形に関連していたと述べている。^{[4] [5]}

起源と年代

プリンプトン322は一部破損しており、幅約13cm（5.1インチ）、高さ約9cm（3.5インチ）、厚さ約2cm（0.8インチ）です。ニューヨークの出版者ジョージ・アーサー・プリンプトンは、1922年頃に考古学商エドガー・J・バンクスからこの粘土板を購入し、1930年代半ばに他のコレクションと共にコロンビア大学に遺贈しました。バンクスによると、この粘土板はイラク南部の古代都市ラルサに相当するセンケレ遺跡から出土したとのことです。^[6]

この粘土板は、楔形文字の筆跡から判断して、紀元前1800年頃（中期紀年法）に書かれたと考えられています^[7]。ロブソン（2002）は、この筆跡は「4000年から3500年前のイラク南部の文書に典型的」であると記しています。より具体的には、ラルサで発見され、日付が明確に記されている他の粘土板との書式の類似性から、プリンプトン322は紀元前1822年から1784年頃のものである可能性が高いと指摘しています^{[8] 。}ロブソンは、プリンプトン322は当時の数学文書ではなく、他の行政文書と同じ書式で書かれていると指摘しています^{[9] 。}

コンテンツ

プリンプトン322の主な内容は、バビロニア式六十進法で書かれた4列15行の数字表です。4列目は1から15までの行番号のみで、現存する粘土板では2列目と3列目が完全に確認できます。しかし、1列目の端は折れており、欠落した数字については2つの一貫した推定が存在します。これらの解釈は、各数字が1に等しい追加の数字で始まるかどうかのみで異なります。

括弧内に異なる外挿を示し、第1列と第4列の内容が推測される破損部分は斜体で示し、6つの推定エラーは太字で示し、その下に角括弧内に一般的に提案されている修正とともに、これらの数字は

幅が上がるように 1を引き裂いた対角線のキルタム	ÍB.SI 8幅 ​	対角線のÍB.SI 8	その ライン
（1）59 00 15	1 59	2 49	1位
（１）56 56 58 14 56 15 （１）56 56 58 14 [50 06] 15	56 07	3 12 01 [1 20 25]	2位
（1）55 07 41 15 33 45	1 16 41	1 50 49	3位
（1）5 3 10 29 32 52 16	3 31 49	5 09 01	4番目
（1）48 54 01 40	1 05	1 37	5番目
（1）47 06 41 40	5 19	8月1日	6番目
（1）43 11 56 28 26 40	38 11	59 01	7日
（1）41 33 59 03 45 （1）41 33 [45 14] 03 45	13 19	20 49	8日
（1）38 33 36 36	9 01 [8] 01	12 49	9日
（1）35 10 02 28 27 24 26 40	1 22 41	2 16 01	10日
（1）33 45	45	1 15	11日
（1）29 21 54 02 15	27 59	48 49	12日
（1）27 00 03 45	7 12 01 [2 41]	4 49	13日
（1）25 48 51 35 06 40	29 31	53 49	14日
（1）23 13 46 40	56 56 [28] （代替）	53 [1 46] 53 (代替)	15日

行 15 の修正には 2 つの可能な選択肢があります。3 列目の 53 をその値の 2 倍である 1.46 に置き換えるか、2 列目の 56 をその値の半分である 28 に置き換えるかのいずれかです。

これらの柱の左側の粘土板の折れた部分には、追加の柱が存在していた可能性があります。バビロニアの六十進記法では、各数値を60で乗じるという規定がなかったため、これらの数値の解釈は曖昧です。2列目と3列目の数値は一般的に整数と解釈されます。1列目の数値は分数としてしか理解できず、その値はすべて1から2までの範囲となります（最初の1が存在する場合。1が存在しない場合には0から1までの範囲となります）。

これらの分数は正確な値であり、切り捨てや四捨五入された近似値ではありません。これらの仮定に基づく石板の十進法による変換を以下に示します。最初の列の正確な60進法分数のほとんどは、小数点以下を展開する余地がなく、小数点以下7桁に丸められています。

${\displaystyle d^{2}/l^{2}}$または ${\displaystyle s^{2}/l^{2}}$	ショートサイド ${\displaystyle s}$	対角線 ${\displaystyle d}$	行 ＃
（1）9834028	119	169	1
（1）9491586	3,367	4,825	2
（1）9188021	4,601	6,649	3
（1）8862479	12,709	18,541	4
（1）8150077	65	97	5
（1）7851929	319	481	6
（1）7199837	2,291	3,541	7
（1）6927094	799	1,249	8
（1）6426694	481	769	9
（1）5861226	4,961	8,161	10
（1）5625	45 *	75 *	11
（1）4894168	1,679	2,929	12
（1）4500174	161	289	13
（1）4302388	1,771	3,229	14
（1）3871605	56 *	106 *	15

^*前回と同様に、15行目の別の修正案として、2列目に28、3列目に53が挙げられます。11行目の2列目と3列目の項は、おそらく15行目を除く他のすべての行とは異なり、共通の因数を含んでいます。45と1/15は、3/4と5/4と理解される可能性があり、これはバビロニア数学でよく知られている直角三角形(3,4,5)の標準的なスケーリング(0.75,1,1.25)と一致しています。

各行において、2列目の数値は直角三角形の短辺、3列目の数値は斜辺と解釈できます。いずれの場合も、長辺も整数であり、ピタゴラス数列の2つの要素を構成します。1列目の数値は、分数（「1」を含まない場合）または分数（「1」を含む場合）のいずれかです。いずれの場合も、長辺は正規の数、つまり60の累乗の整数約数、または2、3、5の累乗の積です。整数を正規の数で割ると、終端の60進数が生成されるため、1列目の数値は正確です。例えば、表の1行目は、短辺が119、斜辺が169の三角形を表していると解釈でき、長辺 は正規の数（2 ³ ·3 ·5）であることを意味します。列 1 の数字は (169/120) ²または (119/120) ^{2 の}いずれかです。 ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle d}$ ${\textstyle s^{2}/l^{2}}$ ${\textstyle {\frac {d^{2}}{l^{2}}}\,=\,1+{\frac {s^{2}}{l^{2}}}}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle {\sqrt {169^{2}-119^{2}}}=120}$

列見出し

各列にはアッカド語で書かれた見出しがあります。一部の単語はシュメール語の表意文字で、読者はアッカド語の単語を表わすと理解していたでしょう。例えば、 ÍB.SI _{8はアッカド語の}mithartum（正方形）、MU.BI.IM はアッカド語のšumšu（その線）、SAG はアッカド語のpūtum（幅）を表します。4列目の各数字の前にはシュメール文字 KI が付いており、Neugebauer & Sachs (1945) によれば、これは「序数としての性質を与えている」とのことです。上記の60進法表において、イタリック体で書かれた単語および単語の一部は、粘土板の損傷や判読不能のために判読不能となったテキストの一部であり、現代の学者によって復元されたものです。ÍB.SI ₈および takiltum という用語は、その正確な意味について議論が続いているため、翻訳されていません。

列 2 と 3 の見出しは、「幅の 2 乗」と「対角線の 2 乗」と翻訳できますが、Robson (2001) (pp. 173–174) は、ÍB.SI ₈という用語は正方形の面積または正方形の辺のどちらにも言及できると主張しており、この場合は「『正方形の辺』またはおそらく『平方根』」と理解されるべきだと主張しています。同様に、ブリトン、プルースト、シュナイダー（2011）（p. 526）は、この用語が、現在では二次方程式として理解されるものを解くために平方完成法が用いられる問題で頻繁に登場することを指摘している。その文脈では、この用語は完成した平方の辺を指すが、「線形寸法または線分を意味する」ことを示す場合もある。一方、ノイゲバウアーとサックス（1945）（pp. 35, 39）は、この用語が多種多様な数学演算の結果を指す例を示し、「幅（または対角線）の数を解く」という翻訳を提案している。同様に、フリバーグ（1981）（p. 300）は「根」という翻訳を提案している。

第1列では、見出しの両行の最初の部分が破損している。ノイゲバウアーとサックス（1945）は、最初の単語を「takilti」 （ 「takiltum」の変形）と復元し、この読み方はその後の多くの研究者に受け入れられている。この見出しは、一般的に翻訳不可能とされていたが、ロブソン（2001）が第2行の切れた部分に「1」を挿入することを提案し、判読不能な最後の単語を解読することに成功し、上記の表に示す読み方を導き出した。ロブソンは詳細な言語分析に基づき、「takiltum」を「四角形を持つ」と訳すことを提案している。^[10]

Britton、Proust、Shnider (2011) は、古代バビロニア数学におけるこの語の比較的少ない既知の出現を調査している。彼らは、ほとんどの場合、この語は図形を完成する過程で加えられる補助正方形の線形寸法を指し、二次方程式を解く最後の段階で減算される量であると指摘しているが、この場合、正方形の面積を指すと理解すべきであるという Robson の見解に同意している。一方、Friberg (2007) は、見出しtakiltumの途切れた部分において、前にa-ša (面積)が付いていた可能性があると提唱している。現在では、この見出しは長さ (長辺) が 1 の長方形の幅 (短辺) と対角線上の正方形の関係を記述するものであり、対角線上の正方形から面積 1 を減算 (「引き裂く」) すると、幅方向の正方形の面積が残るという見解が広く受け入れられている。

エラー

上の表に示されているように、ほとんどの学者は、この粘土板には6つの誤りがあると考えています。15行目の2つの訂正の可能性を除いて、正しい値については広く合意が得られています。しかし、誤りがどのように発生したか、そして粘土板の計算方法に関してそれが何を示唆しているかについては、あまり合意が得られていません。以下に誤りの概要を示します。

第2行第1列の誤り（50と6の間に1と10の不足分を空け忘れている）と第9行第2列の誤り（8を9と書いてある）は、作業用タブレット（あるいはおそらくは以前のタブレットの写本）からの写し書きにおける軽微な誤りであると広く考えられている。第8行第1列の誤り（60進数の2桁45と14をその合計59に置き換えている）は、タブレットに関する初期の論文の一部では気づかれていなかったようである。これは、作業用タブレットから写し書きする過程で筆写者が犯した単純なミスであると解釈されることもあった（例えばRobson (2001)）。

しかし、Britton、Proust、Shnider (2011) で論じられているように、多くの学者は、この誤りは、例えば筆記者が掛け算を行う際に、中央のゼロ（ゼロを表す空白）を見落としたなど、その数字に至るまでの計算過程における誤りとして説明する方がはるかに妥当であると主張しています。この誤りの説明は、表の作成方法に関する主要な2つの提案と整合しています（下記参照）。

残りの3つの誤りは、この計算方法に影響を及ぼす。13行2列目の7 12 1という数値は、正しい値である2 41の平方である。2列目の長さが、対応する正方形の面積の平方根をとって計算されたか、長さと面積が一緒に計算されたと仮定すると、この誤りは平方根を取らなかったか、作業用タブレットから間違った数値をコピーしたためと説明できるだろう。^[11]

15行目の誤りが、第2列に28ではなく56と書いたものと理解されるならば、この誤りは、後述する逆数対を用いて表を計算した場合に必要な、末尾部分アルゴリズムの不適切な適用の結果であると説明できる。この誤りは、第2列と第3列の数値に共通する規則的な因数を、いずれかの列において不適切な回数だけ除去する反復手順を適用したことに相当する。^[12]

2行3列目の数字は正しい数字と明確な関係がなく、この数字の導き方に関する説明はすべて複数の誤りを前提としている。ブルーインズ（1957）は、3 12 01は3 13の単純な書き写しである可能性があると指摘した。もしそうだとすれば、誤った数字である3 13の説明は、15行目の誤りの説明と似ている。^[13]

一般的な見解とは異なる例外として、Friberg (2007) がある。この研究では、同じ著者による以前の分析 (Friberg (1981)) とは異なり、15行目の数字は誤りではなく、意図通りに表記されたという仮説が立てられている。また、2行3列目の唯一の誤りは、3 13 を 3 12 01 と誤って表記したことである、という仮説も立てられている。この仮説に基づくと、2列目と3列目を「前面と対角線の因数削減コア」として再解釈する必要がある。数の因数削減コアとは、完全平方の正因数が除去された数であり、因数削減コアの計算は、古代バビロニア数学における平方根の計算プロセスの一部であった。フリバーグによれば、「プリンプトン322の著者は、正規化された対角線の三つ組（それぞれの長さが1に等しい）の系列を、対応する原始的な対角線の三つ組（前線、長さ、対角線が共通因数のない整数に等しい）の系列に縮小することを決して意図していなかった。」^[14]

テーブルの構築

これらの数字がどのように生成されたかについては、学者の間でも意見が分かれています。Buck (1980) と Robson (2001) はともに、表の作成方法として主に2つの提案を挙げています。Neugebauer & Sachs (1945) が提案したペア生成法と、Bruins ^{[15]が提案し、Voils [16]}、Schmidt (1980)、Friberg ^[17]が発展させた逆ペア法です。

ペアを生成する

現代の用語を用いると、と が自然数で となる場合、はピタゴラス数列を形成します。この数列は原始数、つまり三角形の3辺に共通因数が存在しない、つまりとが互いに素で、かつ両方とも奇数ではないことを意味します。ノイゲバウアーとザックスは、この石板は と が互いに素である正数（ただし両方とも奇数となる可能性もある。15行目を参照）を選択し、、 、（したがっても正数）を計算することによって生成されたと提唱しています。 ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle p>q}$ ${\displaystyle (p^{2}-q^{2},2pq,p^{2}+q^{2})}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle d=p^{2}+q^{2}}$ ${\displaystyle s=p^{2}-q^{2}}$ ${\displaystyle l=2pq}$ ${\displaystyle l}$

例えば、1行目はと を設定することで生成される。バックとロブソンはともに、この提案における第1列の存在は構成に何ら影響を与えず不可解であると指摘し、この提案では表の行が、例えばまたはの値に従って並べられるのではなく、なぜこのように並べられているのかを説明していないとも述べている。この仮説によれば、この値は粘土板の破断部分の左側の列に記載されていた可能性がある。ロブソンはまた、この提案では表の誤りがどのようにして生じたのかを説明しておらず、当時の数学文化にそぐわないとも主張している。^[18] ${\displaystyle p=12}$ ${\displaystyle q=5}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$

相互ペア

逆数対の提案では、出発点は単一の正六十進分数xとその逆数 1/ xです。「正六十進分数」とは、x が（負の場合もある）2、3、5 の累乗であることを意味します。すると、( x −1/ x )/2、1、( x +1/ x )/2 という量は、現在では有理数ピタゴラス数列と呼ばれるものを形成します。さらに、3辺はすべて有限の60進数表現を持ちます。

この提案の支持者は、規則的な逆数の対 ( x ,1/ x )は、プリンプトン 322 とほぼ同じ時期と場所の別の問題、つまり、長辺が短辺より指定された長さcだけ大きい面積 1 の長方形の辺を求める問題 (今日では、二次方程式 の解として計算されるかもしれません) に現れると指摘しています。Robson (2002) は、このような問題が中間値のシーケンスv ₁ = c /2、v ₂ = v ₁ ²、v ₃ = 1 + v ₂、およびv ₄ = v ₃ ^1/2を計算することによって解かれる粘土板 YBC 6967を分析し、そこからx = v ₄ + v ₁および 1/ x = v ₄ − v ₁を計算できます。 ${\textstyle x-{\tfrac {1}{x}}=c}$

v ₃の平方根を計算する必要があるため、一般には有限の 60 進数表現を持たない答えが得られますが、 YBC 6967 の問題は、cの値が適切に選択され、適切な答えが得られるように設定されています。実際、これが、 x が通常の 60 進分数であるという上記の指定の起源です。このようにx を選択すると、 xと 1/ x の両方が有限の 60 進数表現を持つことが保証されます。適切な答えが得られる問題を設計するには、問題作成者はそのようなx を選択し、初期データc をx − 1/ xに等しくするだけで済みます。副作用として、これにより、v ₁と 1 を脚、v ₄を斜辺とする有理ピタゴラス数列が生成されます。

ロブソンは、YBC 6967の問題は実際には方程式 を解くものであり、これは上記のv ₃の式をv ₃ = 60 + v _{2に置き換えることを必要とすると指摘している。これにより、辺が}v ₁、、v ₄となるため、有理数三辺形を得るという副作用は失われる。この提案では、バビロニア人がこの問題の両方の変種に精通していたと仮定する必要がある。^[19] ${\textstyle x-{\tfrac {1\ 00}{x}}=x-{\tfrac {60}{x}}=c}$ ${\displaystyle {\sqrt {60}}}$

ロブソンは、プリンプトン 322 の柱は次のように解釈できると主張しています。

最初の列では、v ₃ = (( x + 1/ x )/2) ² = 1 + ( c /2) ^{2であり、}

a · v ₁ = a ·( x − 1/ x )/2 であり、第2列に適切な乗数aがあり、

３列目ではa · v ₄ = a ·( x + 1/ x )/2です。

この解釈によれば、xと1/ x（あるいはv ₁とv ₄）は、粘土板上の第1列の左側の途切れた部分に記されていたことになる。したがって、第1列の存在は計算の中間段階として説明され、行の順序はx（またはv ₁）の降順となっている。第2列​​と第3列の値を計算するために使用される乗数aは、辺の長さのスケーリングと考えることができるが、「末尾部分アルゴリズム」の適用から生じる。このアルゴリズムでは、両方の値に、両方の最後の60進数の桁に共通する任意の規則的な因数の逆数を繰り返し乗じ、そのような共通因数がなくなるまで繰り返す。^[20]

上述のように、このタブレットの誤りはすべて、逆数対の提案によって自然に説明できる。一方で、ロブソンは、この提案では第2列と第3列の役割と乗数aの必要性が説明されていないことを指摘し、タブレットの作者の目的はYBC 6967で解かれたような二次方程式の問題ではなく、「ある種の直角三角形の問題」のパラメータを提供することだったと示唆している。また、彼女は、この表の作成方法と、その表の本来の用途は必ずしも同じである必要はないと指摘している。^[21]

粘土板上の数字が逆数対を用いて生成されたという説を強く裏付けるものとして、Schøyenコレクションに所蔵されている2枚の粘土板、MS 3052とMS 3971が挙げられる。ヨラン・フリベリはこれら2枚の粘土板を翻訳・分析し、どちらも逆数対を起点として長方形の対角線と辺の長さを計算する例が含まれていることを発見した。これら2枚の粘土板はどちらも古バビロニア時代のもので、プリンプトン粘土板322とほぼ同時代のものであり、ラルサ近郊のウルクで発見されたと考えられている。^[22]

2つの粘土板のさらなる分析は、Britton、Proust、Shnider (2011) によって行われた。MS 3971には5つの問題が列挙されており、その3番目の問題は「5つの対角線を見るために」で始まり、「5つの対角線」で終わる。問題の5つの部分それぞれに与えられたデータは、逆数のペアで構成されている。各部分について、長方形の対角線と幅（短辺）の両方の長さが計算される。長さ（長辺）は明記されていないが、計算から1とみなされることが示唆されている。現代の言葉で言えば、計算は次のように進む。xと1/ xが与えられたとき、まず対角線である( x +1/ x )/2を計算する。次に、

${\displaystyle {\sqrt {\left[{\frac {1}{2}}\left(x+{\frac {1}{x}}\right)\right]^{2}-1}},}$

幅。5つの部分のうち最初の部分を収めた粘土板の部分が損傷したため、この部分の問題記述と解答は、初期データの痕跡を除いて失われている。他の4つの部分はほぼ無傷で、すべて非常によく似た文章が含まれている。対角線を逆数の和の半分とする理由は、無傷の文章には記載されていない。幅の計算は( x −1/ x )/2と等しいが、このより直接的な計算方法は用いられておらず、対角線の2乗を辺の2乗の和に関連付ける規則が優先されている。

MS 3052の第2問のテキストもひどく損傷しているが、残っている部分はMS 3971第3問の5つの部分と同様の構造になっている。この問題には図形が含まれており、フリバーグによれば、これはおそらく「対角線のない長方形」である。 ^[23]ブリトン、プルースト、シュナイダー（2011）は、保存されているテキスト部分では長さが1であると明示的に示されており、幅を長さの2乗として計算する過程で、対角線の2乗から差し引かれる1を明示的に計算していることを強調している。2枚の粘土板に記された6つの問題の初期データと計算された幅と対角線は、以下の表に示されている。

問題	×	1/ x	幅	長さ	対角線
MS 3052 § 2	2	1/2	3/4	1	5/4
MS 3971 § 3a	16/15(?)	15/16(?)	31/480(?)	1	481/480(?)
MS 3971 § 3b	5/3	3/5	8月15日	1	17/15
MS 3971 § 3c	3/2	2/3	5月12日	1	13/12
MS 3971 § 3d	4/3	3/4	7月24日	1	25/24
MS 3971 § 3e	6/5	5/6	11/60	1	61/60

MS 3971 § 3a のパラメータは、タブレットの損傷により不確かです。MS 3052 の問題のパラメータは、標準の (3, 4, 5) 直角三角形の再スケーリングに対応しており、これは Plimpton 322 の行 11 に示されています。MS 3971 の問題のパラメータは、いずれも Plimpton 322 の行と一致しません。後述するように、Plimpton 322 のすべての行はx ≥9/5 ですが、MS 3971 のすべての問題はx <9/5 です。しかし、MS 3971 のパラメータはすべて、後述する de Solla Price が提案した Plimpton 322 の表の拡張の行と一致します。

YBC 6967の問題における逆数対の役割は、MS 3052およびMS 3971（ひいてはPlimpton 322）の問題とは異なります。YBC 6967の問題では、逆数対の要素は面積1の長方形の辺の長さです。xと1/ xの幾何学的な意味は、 MS 3052およびMS 3971の問題の現存するテキストには記載されていません。目的は、有限の60進法の幅と対角線を持つ長方形を作成するための既知の手順を適用することだったようです。^{[24]これらの問題では、}辺の長さのスケーリングにトレーリングポイントアルゴリズムは使用されていません。

提案の比較

逆数対提案における量xは、生成対提案における比p  /  qに対応する。実際、2つの提案は計算方法が異なっているものの、 pとqが両方とも奇数の場合に全体の係数が2になる点を除けば、どちらも同じ3つ組を生成するため、結果に数学的な違いはほとんどない。（残念ながら、タブレットでこれが発生するのは行15のみで、この行には誤りがあるため、2つの提案を区別することはできない。）逆数対提案の支持者は、xが基礎となるpとqから計算され、タブレット計算で使用されるp  /  qとq  /  pの組み合わせのみに基づいているのか^[25]、それとも逆数表などの他の情報源から直接得られたのかで意見が分かれている^{[26] 。}

後者の仮説の難しさの一つは、必要なxまたは 1/ xの値の一部が4桁の60進数であり、4桁の逆数表が知られていないことです。実際、ノイゲバウアーとサックスは元の研究において逆数対の使用の可能性に言及していましたが、この理由からそれを却下しました。しかしロブソンは、古バビロニア時代の既知の資料と計算方法によって、使用されたすべてのxの値を説明できると主張しています。

ペアの選択

ノイゲバウアーとザックスは、石版に描かれた三角形の寸法が、ほぼ二等辺三角形（短辺が119で長辺が120とほぼ等しい）から、鋭角が30°と60°に近い直角三角形までの範囲に及んでいること、そして角度が約1°ずつほぼ均一に減少していることを指摘している。彼らは、pとqのペアが、この目的を念頭に置いて意図的に選択されたと示唆している。

de Solla Price (1964) は、生成対の枠組みの中で、表のすべての行は1 ≤  q <60 を満たすqによって生成されること、つまりqは常に一桁の60進数であることを観察しました。比p / q は表の行 1 で最大値 12/5=2.4 をとるため、常に 未満になります。この条件は、p ²  −  q ²が三角形の長辺、2 pqが短辺であることを保証し、現代の言葉で言えば、長さp ²  −  q ²の辺の反対側の角度が45° 未満であることを意味します。 ${\displaystyle {\sqrt {2}}+1\approx 2.414}$

比率が最小となるのは15行目で、p / q = 9/5となり、角度は約31.9°となる。さらに、9/5から12/5までの間に、qが一桁の60進数である正規の比率は正確に15個存在し、これらは石板の行と一対一に対応している。彼はまた、数字の均等間隔は意図的なものではなく、表で対象としている数字の範囲内に正規の比率が密集していることから生じた可能性もあると指摘している。

デ・ソラ・プライスは、この比の自然な下限は1であり、これは角度0°に相当すると主張した。彼は、qが1桁の60進数であるという条件を維持すると、粘土板に記された数に加えて23組のペアが存在し、合計38組になることを発見した。彼は粘土板の列間の縦の刻み目が裏面まで続いていることを指摘し、筆写者が表を拡張する意図を持っていた可能性を示唆している。彼は、利用可能なスペースには23行を追加できるはずだと主張している。逆数ペア提案の支持者もこの方式を支持している。^[27]

ロブソン（2001）はこの提案に直接言及していないものの、表が「完全」ではなかったことには同意している。彼女は、逆数対の提案では、タブレットに表されるすべてのxは最大で4桁の60進数であり、その逆数も最大で4桁であり、 xと1/ xを合わせた桁数は7を超えないことを指摘している。これらの特性を要件とすると、タブレットにはxの値が3つだけ「欠落」しており、彼女は、これらの値は様々な点で魅力に欠けているために省略された可能性があると主張している。彼女は、この方式が「驚くほど場当たり的」であることを認めており、これは主に、タブレットの作者の選択基準を推測しようとするあらゆる試みを批判するための修辞的手段に過ぎない。^[28]

目的と著者

オットー E. ノイゲバウアー (1957) は数論的解釈を主張したが、表の項目は、指定された範囲内で第 1 列の値がかなり規則的に減少することを目指した意図的な選択プロセスの結果であると信じていた。

バック（1980）とロブソン（2002）はどちらも三角法による説明の存在に言及しているが、ロブソンはそれを様々な一般史や未発表の著作の著者に帰しているが、それはノイゲバウアーとサックス（1945）の観察から派生したものかもしれない。その観察では、最初の列の値は各行で表される直角三角形の短辺の反対側の角度の2乗セカントまたはタンジェント（欠落している数字によって異なる）として解釈でき、行はこれらの角度によって約1度刻みでソートされている。^[29]

言い換えれば、1列目の数値から(1)を差し引いてその平方根を求め、それを2列目の数値で割ると、三角形の長辺の長さが得られます。したがって、1列目の数値（から1を引いたもの）の平方根は、今日で言う短辺と反対側の角度の正接に相当します。(1)を含めると、その数値の平方根は正接となります。

ロブソン（2002）は、これらの初期の粘土板の説明とは対照的に、歴史的、文化的、言語的証拠の全てが、粘土板が「正則な 相互関係の ペアのリスト」から構築された可能性が高いことを示していると主張している。^[30]ロブソンは言語学的な根拠から、三角法理論は「概念的に時代錯誤的」であると主張している。それは、当時のバビロニア数学の記録には存在しない、あまりにも多くの他の概念に依存しているからである。2003年、MAA（数学者協会）はロブソンの研究に対しレスター・R・フォード賞を授与し、「プリンプトン322の著者がプロの数学者でもアマチュアの数学者でもなかった可能性は低い。むしろ、彼は教師であり、プリンプトン322は一連の演習であった可能性が高い」と述べている。^{[31]ロブソンは、現代用語で言えば}代数的と特徴付けられるアプローチを採用しているが、それを具体的な幾何学用語で説明し、バビロニア人もこのアプローチを幾何学的に解釈したであろうと主張している。

したがって、この粘土板は、一連の演習問題を記述したものと解釈できる。当時の書記学校で典型的な数学的手法が用いられており、当時の行政官が用いていた文書形式で書かれている。 ^[32]そのため、ロブソンは、著者はおそらくラルサの書記官、つまり官僚であったと主張している。^[33]この粘土板、そしてBM 80209のような類似の粘土板に見られる反復的な数学的構成は、教師が同じ形式で異なるデータを用いて問題を出題するのに役立ったと考えられる。

参照

• IM 67118
• モスクワ数学パピルス
• リンド数学パピルス
• YBC 7289

注記

1. Høyrup（1999）、396ページ。
2. ノイゲバウアーとザックス (1945)、p. 40.
3. ノイゲバウアー (1957)、36–40 ページ。
4. Robson (2001), p. 202, 「さらに、Plimpton 322 が学校の数学問題の設定を支援するためのパラメータのリストとして意図されていたと信じるならば（そして類型論的証拠はそれがそうであることを示唆している）、質問「この石板はどのように計算されたのか？」は質問「この石板はどのような問題を設定しているのか？」と同じ答えである必要はない。前者への回答は、半世紀前に最初に提案されたように、逆数対によって最も満足のいく答えが得られ、後者への回答はある種の直角三角形の問題によって得られる。」
5. Friberg (2007)、448ページ。Fribergは、長さ1の長方形の対角線を逆数のペアから計算し、次に幅をピタゴラスの定理を使用して計算するという、石板MS 3971の問題3のような問題をPlimpton 322を使用して設定できると主張しています。
6. ロブソン（2002年）、109ページ。
7. 異なる情報源の年代を比較する際には、Wikipediaの古代世界に関する記事の多くは短紀体系を採用しているのに対し、数学史の文献の多くは中紀体系を採用している点に注意してください。例外として、Britton, Proust & Shnider (2011) は長紀体系を採用しています。
8. ロブソン（2002）、111ページ。
9. ロブソン（2002）、110ページ。
10. ロブソン（2001）、191ページ
11. フリーベルグ (1981)、p. 298;ロブソン (2001)、p. 192;ブリットン、プルースト、シュナイダー (2011)、p、538
12. フリーベルグ (1981)、p. 298;ロブソン (2001)、p. 193;ブリットン、プルースト、シュナイダー (2011)、p、538
13. Friberg (1981)、298-299頁、Robson (2001)、193頁、Britton, Proust & Shnider (2011)、537-538頁も参照。
14. フリバーグ（2007年）、449ページ
15. ブルーインズ（1949）、ブルーインズ（1951）、ブルーインズ（1957）
16. 未発表だが、Buck (1980) に記載されている
17. フリーベルク (1981)、フリーベルク (2007)
18. ロブソン（2001）、179ページ
19. ロブソン（2001）、184ページ
20. フリバーグ（2007年）、24ページ
21. ロブソン（2001）、201～202ページ
22. フリーベルグ (2007)、245、255 ページ
23. フリバーグ（2007年）、275ページ
24. ブリトン、プルースト、シュナイダー（2011年）、559ページ
25. フリーベルク (1981)、ブリットン、プルースト & シュナイダー (2011)
26. ブルーインズ（1957）、ロブソン（2001）
27. フリーベルク (1981)、ブリットン、プルースト & シュナイダー (2011)
28. ロブソン（2001）、199ページ
29. ジョイス、デイヴィッド・E.（1995）、プリンプトン322も参照およびマオール、エリ（1993）、「プリンプトン322：最古の三角関数表？」、三角関数の喜び、プリンストン大学出版、pp.  30- 34、ISBN 978-0-691-09541-7、2010年8月5日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2010年11月28日閲覧。
30. ロブソン（2002）、116ページ。
31. MathFest 2003 賞と表彰、アメリカ数学会、2003年
32. ロブソン（2002年）、117-118頁。
33. ロブソン（2002）、118ページ。

参考文献

• ブリトン、ジョン・P.；プルースト、クリスティン；シュナイダー、スティーブ（2011）「プリンプトン322：レビューと異なる視点」、正確科学史アーカイブ、65（5）：519–566、doi：10.1007/s00407-011-0083-4、S2CID  120417550
• ブルーインズ、エバート M. ( 1949)、「プリンプトン 322、バビロニア数学におけるピタゴラス数について」、Koninklijke Nederlandse Akademie van Wetenschappen Proceedings、52 : 629–632
• ブルーインズ、エバート・M.（1951）「バビロニア数学におけるピタゴラスの三位一体：プリンプトン322の誤り」、サマー、11：117-121
• ブルーインズ, EM (1957)、「バビロニア数学におけるピタゴラスの三元数」、数学雑誌、41 (335): 25– 28、doi :10.2307/3611533、JSTOR  3611533、S2CID  126382606
• Buck, R. Creighton (1980)、「バビロンのシャーロック・ホームズ」（PDF）、アメリカ数学月刊誌、87 (5)、アメリカ数学協会: 335– 345、doi :10.2307/2321200、JSTOR  2321200
• Friberg, Jöran (1981)、「バビロニア数学の方法と伝統：Plimpton 322. ピタゴラスの三つ組とバビロニアの三角形のパラメータ方程式」、Historia Mathematica、8：277-318、doi：10.1016/0315-0860(81)90069-0
• Friberg, Jöran (2007)、『バビロニア数学テキストの注目すべきコレクション：Schøyenコレクションの写本、楔形文字テキストI、数学と物理科学の歴史における資料と研究』、ベルリン：Springer
• ホイラップ、イェンス(1999)。 「ピタゴラスの「規則」と「定理」 – バビロニア数学とギリシャ数学の関係を映す鏡」。レンガー、ヨハネス編（編）。バビロン: メソポタミッシャー ゲシヒテ、ヴィーゲ フライヤー ゲレアーサムケイト、現代神話に焦点を当てます。 2. 東洋ドイツ国際コロキウム 24.–26.メルツ 1998 ベルリン(PDF)。ベルリン: Deutsche Orient-Gesellschaft / ザールブリュッケン: SDV Saarbrücker Druckerei und Verlag。393–407ページ 。
• オットー、ノイゲバウアー(1957)、「古代の正確な科学」、Acta Historica Scientiarum Naturalium et Medicinalium、9、Dover Publications: 36–40、ISBN 978-0-486-22332-2、PMID  14884919 {{citation}}: ISBN / Date incompatibility (help)
• ノイゲバウアー, O. ; サックス, AJ (1945), 『数学楔形文字テキスト』アメリカ東洋叢書, 第29巻, ニューヘイブン: アメリカ東洋協会およびアメリカ東洋研究学派, pp.  38– 41
• ロブソン、エレノア（2001年8月）「シャーロック・ホームズでもバビロンでもない：プリンプトン322の再評価」、数学史、28（3）：167-206、doi：10.1006/hmat.2001.2317、MR  1849797
• ロブソン、エレノア（2002年2月）、「言葉と絵：プリンプトン322の新たな光」（PDF）、アメリカ数学月刊誌、109（2）、アメリカ数学会誌：105-120、doi：10.2307/2695324、JSTOR  2695324、MR  1903149
• de Solla Price, Derek J. (1964年9月)、「バビロニアの『ピタゴラスの三角形』のタブレット」、Centaurus、10 (1): 1– 13、Bibcode :1964Cent...10....1D、doi :10.1111/j.1600-0498.1964.tb00385.x、MR  0172779
• シュミット、オラフ（1980）「プリンプトン322について。バビロニア数学におけるピタゴラス数」、ケンタウラス、24（1）：4– 13、Bibcode：1980Cent...24....4S、doi：10.1111/j.1600-0498.1980.tb00363.x

さらに読む

• Abdulaziz, Abdulrahman Ali (2010), The Plimpton 322 Tablet and the Babylonian Method of Generating Pythagorean Triples , arXiv : 1004.0025 , Bibcode :2010arXiv1004.0025A
• カッセルマン、ビル（2003）「バビロニアの粘土板 プリンプトン322」ブリティッシュコロンビア大学
• カービー、ローレンス（2011）、プリンプトン322：現代数学の古代のルーツ（30分のビデオドキュメンタリー）、ニューヨーク市立大学バルークカレッジ
• [1]イェンス・クレブ、「プリンプトン322の1-15行目下、間、上の270個の有効なトリプル」CDLN 2023:5、楔形文字デジタル図書館ノート、2023年2月22日 ISSN: 1546-6566

展示会

• 「ピタゴラス以前: 古代バビロニアの数学文化」、ニューヨーク大学古代世界研究所、2010 年 11 月 12 日～12 月 17 日。Plimpton 322 の写真と説明が含まれます。
• ロススタイン、エドワード（2010年11月27日）「古代バビロンの数学の巨匠たち」ニューヨーク・タイムズ。 2010年11月28日閲覧。「Before Pythagoras」展のレビュー。Plimpton 322 をめぐる論争について言及。
• 「彼女の王冠の宝石: コロンビア大学図書館の特別コレクションからの宝物」、コロンビア大学貴重書・原稿図書館、2004 年 10 月 8 日 - 2005 年 1 月 28 日。アイテム 158: プリンプトン楔形文字 322 の写真と説明。

外部リンク

• 高品質のデジタル画像を含む楔形文字デジタル図書館イニシアチブ(CDLI) カタログ:
  • プリンプトン 322、CDLI ウィキ記事
  • YBC 6967
  • MS 3052
  • MS 3971

Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Plimpton_322&oldid=1322995591"