同型性

乗法における1の5乗根群は、合成における正五角形の回転群と同型です

数学において、同型性とは、同じ型の2つの構造の間にある、構造を保持する写像または射であり、逆写像によって反転できるものです。2つの数学的構造の間に同型性が存在する場合、それらは同型であり、これはしばしば⁠ ⁠と表記されます。この言葉は、古代ギリシャ語のἴσος (isos) 「等しい」とμορφή (morphe) 「形、形状」に由来します。 $A\cong B$

同型性の興味深い点は、2つの同型オブジェクトが同じ特性（追加の構造やオブジェクトの名前などの追加情報は除く）を持つという事実にあります。したがって、同型構造は構造のみの観点からは区別できず、多くの場合同一視されます。数学用語では、2つのオブジェクトは同型性がある点において同一であると言います。同型構造を同一視できない一般的な例としては、その構造がより大きな構造の部分構造である場合が挙げられます。例えば、ベクトル空間の次元1の部分空間はすべて同型であり、同一視できません。

自己同型とは、ある構造からそれ自身への同型です。2つの構造間の同型は、2つの構造間に同型が1つしかない場合（普遍的性質の解の場合など）、または同型が他の同型よりもはるかに自然である場合（ある意味で）、標準同型（同型である標準写像）と呼ばれます。例えば、すべての素数 $p$ に対して、 $p$ 個の元を持つすべての体は標準同型であり、同型は一意です。同型定理は、一意ではない標準同型を提供します。

同型という用語は、主に代数構造とカテゴリに使用されます。代数構造の場合、写像は準同型と呼ばれ、準同型が同型である場合は、それが全単射である場合に限ります。

数学のさまざまな分野では、同型は対象となる構造の種類に応じて専門的な名前が付けられています。例えば、

等長写像は、距離空間の同型写像です。
同相写像は、位相空間の同型写像です。
微分同相写像は、微分構造を備えた空間、典型的には微分可能多様体の同型写像です。
シンプレクト同相写像は、シンプレクティック多様体の同型写像です。
順列は、集合の自己同型写像です
幾何学では、同型性と自己同型性は、しばしば変換と呼ばれます。たとえば、剛体変換、アフィン変換、射影変換などです。

構造間の写像の概念の形式化と見ることができる圏論は、基本的な考え方のこれらの異なる側面へのアプローチを統一するために使用できる言語を提供します。

例

対数と指数

を正の実数の乗法群とし、を実数の加法群とします。 $\mathbb {R} ^{+}$ $\mathbb {R}$

対数関数はすべてのに対してを満たすので、群準同型です。指数関数はすべてのに対してを満たすので、これも準同型です。 $\log :\mathbb {R} ^{+}\to \mathbb {R}$ $\log(xy)=\log x+\log y$ $x,y\in \mathbb {R} ^{+},$ $\exp :\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{+}$ $\exp(x+y)=(\exp x)(\exp y)$ $x,y\in \mathbb {R} ,$

恒等式とから、とが互いに逆であることがわかります。したがって、は互いに逆である群同型です。 $\log \exp x=x$ $\exp \log y=y$ $\log$ $\exp$ $\exp :\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{+}\quad {\text{and}}\quad \log :\mathbb {R} ^{+}\to \mathbb {R}$

関数は、正の実数の乗算を実数の加算に変換する同型です。この機能により、定規と対数表、または対数目盛り付きの計算尺を使用して実数を乗算することが可能になります。 $\log$

6を法とする整数

6を法とする加算と乗算を伴う0から5までの整数の環を考えます。また、最初の要素が2を法とする整数で、2番目の要素が3を法とする整数で、2と3を法とする成分ごとの加算と乗算を伴う、順序付きペアの環も考えます。 $\mathbb {Z} _{6}$ $\mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{3}$

これらの環は、次の写像の下で同型です。または一般に ${\begin{alignedat}{4}(0,0)&\mapsto 0\\(1,1)&\mapsto 1\\(0,2)&\mapsto 2\\(1,0)&\mapsto 3\\(0,1)&\mapsto 4\\(1,2)&\mapsto 5\\\end{alignedat}}$ $(a,b)\mapsto (3a+4b)\mod 6.$

例えば、これは他の体系では次のように翻訳されます。 $(1,1)+(1,0)=(0,1),$ $1+3=4.$

これは、と $m$ が互いに素 $n$ な整数である場合、を法とする整数の環は、を法とする整数とを法とする整数の $mn$ 直積と同型であると主張する中国剰余定理の特別な場合です $m$ 。 $n$

関係保存同型

一方のオブジェクトが二項関係Rを持つ集合Xで構成され、もう一方のオブジェクトが二項関係Sを持つ集合Yで構成されている場合、 XからYへの同型性は、次の条件を満たす全単射関数です。^[1] $f:X\to Y$ $\operatorname {S} (f(u),f(v))\quad {\text{ if and only if }}\quad \operatorname {R} (u,v)$

S が反射的、非反射的、対称的、反対称的、非対称的、推移的、全的、三分的、半順序、全順序、整列順序、厳密な弱順序、全前順序（弱順序）、同値関係、またはその他の特別な性質を持つ関係である場合、かつその場合のみ、R はそうである。

例えば、R が順序≤ であり、S が順序である場合、 XからYへの同型は、次を満たす全単射関数である。このような同型は、順序同型、または（あまり一般的ではないが）同調同型と呼ばれる。 $\scriptstyle \sqsubseteq ,$ $f:X\to Y$ $f(u)\sqsubseteq f(v)\quad {\text{ if and only if }}\quad u\leq v.$

ならば、これは関係保存自己同型である。 $X=Y,$

応用

代数学では、同型はすべて代数構造に対して定義されています。いくつかはより具体的に研究されています。例えば、

ベクトル空間間の線型同型。これらは可逆行列によって指定されます
群間の群同型。有限群の同型類の分類は未解決問題です。
環間の環同型。
体同型は体間の環同型と同じです。それらの研究、より具体的には体の自己同型の研究は、ガロア理論の重要な部分です。

代数構造の自己同型が群を形成するのと同様に、共通の構造を共有する2つの代数間の同型はヒープを形成します。特定の同型で2つの構造を識別させると、このヒープは群になります。

数学的解析において、ラプラス変換は難しい微分方程式をより簡単な代数方程式に写像する同型です

グラフ理論において、2つのグラフGとH間の同型性は、Gの頂点からHの頂点への全単射写像fであり、 Gに頂点uから頂点vへの辺が存在する場合とHに頂点uから頂点vへの辺が存在する場合に限り、「辺構造」を保存します。グラフ同型を参照してください。 $f(u)$ $f(v)$

順序理論において、2つの半順序集合PとQ間の同型性は、 PからQへの全単射写像であり、 Pの任意の元とに対して、PがQより小さい場合とQがQより小さい場合に限り、順序構造を保存します。例えば、is -a-factor-of関係で順序付けられた整数の集合{1,2,3,6}は、 can-donate-to関係で順序付けられた血液型の集合{ O , A , B , AB }と同型です。順序同型を参照してください $f$ $x$ $y$ $x$ $y$ $f(x)$ $f(y)$

数学的解析において、2つのヒルベルト空間間の同型性は、加法、スカラー倍、内積を保存する一対一関係です。

論理的原子論の初期の理論では、事実と真の命題の間の形式的な関係は、バートランド・ラッセルとルートヴィヒ・ヴィトゲンシュタインによって同型であると理論化されました。この考え方の例は、ラッセルの『数理哲学入門』に見ることができます。

サイバネティクスでは、グッド・レギュレーター定理またはコナント・アシュビー定理は、「システムのすべてのグッド・レギュレーターは、そのシステムのモデルでなければならない」と述べられています。レギュレーターが自己レギュレーターであるか自己レギュレーターであるかにかかわらず、システムのレギュレーターと処理部分の間には同型性が必要です。

圏論的見解

圏論では、圏 Cが与えられたとき、同型とは逆射を持つ射であり、 $f:a\to b$ $g:b\to a,$ $fg=1_{b}$ $gf=1_{a}.$

2つのカテゴリ $C$ と $D は$ 、互いに逆関数、つまり ( $D$ 上の恒等関数) と( $C$ 上の恒等関数)が存在する場合、同型です。 $F:C\to D$ $G:D\to C$ $FG=1_{D}$ $GF=1_{C}$

同型 vs. 全単射

位相空間のカテゴリや代数的対象のカテゴリ（群のカテゴリ、環のカテゴリ、加群のカテゴリなど）などの具体的なカテゴリ（大まかに言えば、対象が集合（場合によっては追加の構造を持つ）であり、射が構造保存関数であるカテゴリ）では、同型は基礎集合上で全単射でなければなりません。代数的カテゴリ（具体的には、普遍代数の意味での多様体のカテゴリ）では、同型は基礎集合上で全単射である準同型と同じです。ただし、全単射が必ずしも同型ではない具体的なカテゴリがあります（位相空間のカテゴリなど）。

同型類

同型写像の合成は同型写像であり、恒等写像も同型写像であり、同型写像の逆も同型写像であるため、2つの数学的対象が同型であるという関係は同値関係です。同型写像によって与えられる同型類は、一般的に同型写像類と呼ばれます。^[2]

例

同型写像類の例は数学に豊富にあります。

2つの集合は、それらの間に一対一の関係がある場合、同型です。有限集合の同型写像類は、それに含まれる要素の数を表す非負の整数と同一視できます。
有限次元ベクトル空間の同型写像類は、その次元を表す非負の整数と同一視できます。
有限単純群の分類は、すべての有限単純群の同型写像類を列挙します。
閉曲面の分類は、すべての連結された閉曲面の同型写像類を列挙します
順序数は直感的に、整列集合の同型類に対応します（ただし、集合論的な技術的な問題はあります）。
2×2実行行列M(2, R )の平面部分代数には、3つの同型類があります。

しかし、オブジェクトの同型類がそのオブジェクトに関する重要な情報を隠している場合があります

数学的構造が与えられた場合、2つの部分構造が同じ同型類に属することはよくあることです。しかし、それらが同一視されてしまうと、全体の構造にどのように含まれるかを研究することはできません。例えば、有限次元ベクトル空間では、同じ次元の部分空間はすべて同型ですが、それらの交差や和などを考慮するには、それらを区別する必要があります。
ホモトピー理論において、点における空間の基本群は、技術的には基点への依存性を強調するために記されるものの、しばしばが経路連結である場合に単にと簡略化して記される。これは、2点間に経路が存在することで、一方のループをもう一方のループと同一視できるためである。しかし、がアーベル的でない限り、この同型は一意ではない。さらに、被覆空間の分類はの特定の部分群を厳密に参照し、特に同型だが共役な部分群を区別するため、同型類の要素を単一の特徴のないオブジェクトに統合すると、理論によって提供される詳細レベルが大幅に低下する。 $X$ $p$ $\pi _{1}(X,p)$ $\pi _{1}(X)$ $X$ $\pi _{1}(X,p)$ $\pi _{1}(X,p)$

等式との関係

同型オブジェクトが等しいと見なせる場合もありますが、等式と同型性を区別する必要があります。^[3]等式とは、2つのオブジェクトが同じであり、したがって一方のオブジェクトについて真であるすべてのことが他方のオブジェクトについても真である場合です。一方、同型性は何らかの構造に関連しており、2つの同型オブジェクトはこの構造に関連する特性のみを共有します。

例えば、集合は等しいです。これらは単に異なる表現です。最初のものは内包的表現（集合構築記法）、2番目のものは外延的表現（明示的な列挙による）であり、整数の同じ部分集合の表現です。対照的に、集合とは同じ要素を持たないため、等しくありません。これらは集合としては同型ですが、それらの間には多くの同型性の選択肢（実際には6つ）があります。1つの同型は $A=\left\{x\in \mathbb {Z} \mid x^{2}<2\right\}\quad {\text{ and }}\quad B=\{-1,0,1\}$ $\{4,5,6\}$ $\{1,2,3\}$

{\text{4}}\mapsto 1,{\text{5}}\mapsto 2,{\text{6}}\mapsto 3,

もう1つは

{\text{4}}\mapsto 3,{\text{5}}\mapsto 2,{\text{6}}\mapsto 1,

であり、どの同型も本質的に他の同型よりも優れているわけではありません。^{[注 1]}

また、整数と偶数は順序集合やアーベル群（加法の場合）として同型ですが、一方が他方の真部分集合であるため、等しい集合とは見なされません。

一方、集合（またはその他の数学的対象）が、その要素の性質を考慮せずに、その性質のみによって指定される場合、それらは等しいと見なすことがよくあります。これは、普遍的性質の解の場合に一般的に当てはまります。例えば、多項式環、、は、同じ普遍的 $\mathbb {Z} [X,Y]$ 性質を持つため、等しいと見なされ $\mathbb {Z} [Y,X]$ ます $(\mathbb {Z} [X])[Y]$

例えば、有理数は整数のペアの同値類として正式に定義されていますが、有理数を集合（同値類）と考える人はいません。有理数の普遍的な性質は、本質的に、整数を含み、適切な部分体を含まない体を形成することです。これらの性質を持つ2つの体が与えられた場合、それらの間には一意の体同型が存在します。これにより、一方の体のすべての性質を同型を通して他方の体に転送できるため、これら2つの体を識別できます。整数の商として表現できる実数は、実数の最小の部分体を形成します。したがって、この実数の部分体から同値類によって定義される有理数への一意の同型が存在します。したがって、有理数は実数のサブセットの要素と同一視できます。ただし、一部のコンテキストでは、この同一視は許可されません。たとえば、コンピュータ言語や型理論では、実数と有理数は異なる表現を持ち、この同一視は型変換に置き換える必要があります。

表記法

2つのオブジェクトAとBが同型であることを示す最も一般的な表記法はであり、AをBに同型に写す場合はと書くこともできます。ただし、文脈によっては、同型を示すために、、 = などの記号を使用する場合もあります。 $A\cong B$ $f:A\to B$ $f:A{\overset {\sim }{\to }}B$ $\simeq$ $\approx$

参照

注記

^ と⁠ ⁠はどちらも整数の通常の順序を持ちます。順序付き集合として見ると、それらの間には1つの同型性しかありません。 $4,5,6$ $1,2,3$ $4\mapsto 1,5\mapsto 2,6\mapsto 3.$

参考文献

^ Vinberg, Ėrnest Borisovich (2003). A Course in Algebra. American Mathematical Society. p. 3. ISBN 9780821834138。
^ Awodey, Steve (2006). "Isomorphisms". Category theory . Oxford University Press. p. 11. ISBN 9780198568612。
^ Mazur 2007

参考文献

Mazur, Barry (2007年6月12日) 「ある物が他の物と等しいのはいつですか？」(PDF)

外部リンク

「同型性」、数学百科事典、EMS Press、2001年 [1994]
Weisstein, Eric W.「同型性」、MathWorld

[4] と⁠ ⁠はどちらも整数の通常の順序を持ちます。順序付き集合として見ると、それらの間には1つの同型性しかありません。 $4,5,6$ $1,2,3$ $4\mapsto 1,5\mapsto 2,6\mapsto 3.$

[1] Vinberg, Ėrnest Borisovich (2003). A Course in Algebra. American Mathematical Society. p. 3. ISBN 9780821834138。

[2] Awodey, Steve (2006). "Isomorphisms". Category theory . Oxford University Press. p. 11. ISBN 9780198568612。

[3] Mazur 2007

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