四面体対称性
 反転対称性 C s、 (*) [ ] =  |  周期対称性 C nv , (*nn) [n] =   |  二面対称性 D nh , (*n22) [n,2] =  | |
| 多面体群, [n,3], (*n32) | |||
|---|---|---|---|
 四面体対称性 T d、 (*332) [3,3] =  |  八面体対称性 O h、 (*432) [4,3] =  |  正20面体対称性 I h、 (*532) [5,3] =  | |
正四面体には12 の回転対称性 (または方向保存対称性) があり、反射と回転を組み合わせた変換を含めて 24 の対称順序があります。
すべての対称性（必ずしも向きを保存するとは限らない）の群は、4つのオブジェクトの順列の対称群であるS 4と同型である。なぜなら、正四面体の頂点の順列ごとに、このような対称性がちょうど1つ存在するからである。向きを保存する対称性の集合は、S 4の交代部分群A 4と呼ばれる群を形成する。
詳細
キラル対称性と完全対称性（あるいはアキラルな四面体対称性とピリトヘドロン対称性）は離散点対称性（あるいは球面対称性と同義）であり、立方晶系の結晶学的点群に含まれる。
C 3 | C 3 | C 2 |
| 2 | 2 | 3 |
立体投影図で見ると、正六面体の辺は平面上で6つの円（または中心放射状の線）を形成します。これらの6つの円はそれぞれ、正四面体対称性の鏡映線を表しています。これらの円の交点は、2次および3次の回転点で交わります。
| 直交 | 立体投影 | ||
|---|---|---|---|
| 4倍 | 3倍 | 2倍 | |
カイラル四面体対称性、T、（332）、 [3,3] + = [1 + ,4,3 + ]、 ＝ | |||
 |  |  |  |
| ピリトヘドロン対称性、T h、(3*2)、[4,3 + ]、 | |||
 |  |  |  |
| 非キラル四面体対称性、T d、(*332)、[3,3] = [1 + 4,3]、＝ | |||
|  |  |  |
カイラル四面体対称性
基本領域を持つ四面体回転群T。三面体四面体については以下を参照。後者は1つの完全な面である。 |  正四面体は回転だけで12通りの異なる位置に配置できます。これらは上のサイクルグラフ形式で示されており、180°の辺（青い矢印）と120°の頂点（赤い矢印）の回転によって、正四面体がこれらの位置を順に移動することも示されています。 |  テトラキス六面体では、1 つの完全な面が基本領域です。面の方向を調整することで、同じ対称性を持つ他の立体を取得できます。たとえば、選択した面のサブセットを平坦化して各サブセットを 1 つの面に結合したり、各面を複数の面や曲面に置き換えたりすることができます。 |
T、 332、[3,3] +、または23、位数12 –カイラルまたは回転四面体対称性。カイラル二面体対称性 D 2または222 と同様に、3つの直交する2回回転軸があり、さらに3つの直交方向の間を中心とする4つの3回軸が。この群は、4つの元の交代群であるA 4と同型です。実際、これは4つの3回軸の偶数順列の群です：e、(123)、(132)、(124)、(142)、(134)、(143)、(234)、(243)、(12)(34)、(13)(24)、(14)(23)。
T の共役類は次のとおりです。
- 身元
- 4 × 時計回りに120°回転（頂点から見て）: (234), (143), (412), (321)
- 反時計回りに120°回転（4回）（同上）
- 3 × 180°回転
180°回転は恒等回転と合わせて、Dih 2型の正規部分群を形成し、その商群はZ 3型となる。後者の3つの要素は恒等回転、「時計回り回転」、および「反時計回り回転」であり、これらは3つの直交2回軸の向きを保ったまま順列化したものである。
A 4は、ラグランジュの定理の逆は一般には成り立たないことを示す最小の群です。有限群Gと| G | の約数dが与えられた場合、位数dのGのサブグループが必ずしも存在するわけではありません。群G = A 4には位数 6 のサブグループはありません。これは一般に抽象群の特性ですが、キラル四面体対称性の等長変換群から明らかです。キラリティーのため、サブグループは C 6または D 3である必要がありますが、どちらも当てはまりません。
カイラル四面体対称性の部分群
| ショー。 | コクセター | オーブ。 | フム | 発電機 | 構造 | サイク | 注文 | 索引 | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| T | [3,3] + | ＝   | 332 | 23 | 2 | A4 |  | 12 | 1 |
| D2 | [2,2] + |  ＝ | 222 | 222 | 3 | D4 |  | 4 | 3 |
| C 3 | [3] + | | 33 | 3 | 1 | Z 3 |  | 3 | 4 |
| C 2 | [2] + | | 22 | 2 | 1 | Z 2 |  | 2 | 6 |
| C 1 | [ ] + | | 11 | 1 | 1 | Z 1 |  | 1 | 12 |
アキラル四面体対称性
T d , *332 , [3,3] または4 3m、位数 24 –アキラルまたは完全な正四面体対称性、(2,3,3)三角形群とも呼ばれます。この群は T と同じ回転軸を持ちますが、6 つの鏡面があり、それぞれが 2 つの 3 倍軸を通ります。2 倍軸は S 4 ( 4 ) 軸になります。T dと O は抽象群として同型です。つまり、どちらも 4 つのオブジェクトの対称群である S 4 に対応します。T d は、Tと、O \ Tの各要素を反転して組み合わせることによって得られるセットの和集合です。正四面体の等長変換も参照してください。
T dの共役類は次のとおりです。
- 身元
- 8 × 120°回転（C 3）
- 3 × 180°回転（C 2）
- 2つの回転軸を通る平面での6×反射（C s）
- 6 × 90°回転反射（S 4）
アキラル四面体対称性の部分群
| ショー。 | コクセター | オーブ。 | フム | 発電機 | 構造 | サイク | 注文 | 索引 | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| T d | [3,3] |  | *332 | 4 3m | 3 | S4 |  | 24 | 1 |
| C 3v | [3] | | *33 | 3メートル | 2 | D 6 =S 3 |  | 6 | 4 |
| C 2v | [2] | | *22 | mm2 | 2 | D4 | | 4 | 6 |
| Cs | [ ] | | * | 2またはm | 1 | Z 2 = D 2 | | 2 | 12 |
| D 2d | [2 + ,4] | | 2*2 | 4 2m | 2 | D8 |  | 8 | 3 |
| C4 | [2 +、4 + ] |  | 2× | 4 | 1 | Z4 |  | 4 | 6 |
| T | [3,3] + | | 332 | 23 | 2 | A4 | | 12 | 2 |
| D2 | [2,2] + | | 222 | 222 | 2 | D4 | | 4 | 6 |
| C 3 | [3] + | | 33 | 3 | 1 | Z 3 = A 3 | | 3 | 8 |
| C 2 | [2] + | | 22 | 2 | 1 | Z 2 | | 2 | 12 |
| C 1 | [ ] + | | 11 | 1 | 1 | Z 1 | | 1 | 24 |
ピリトヘドロン対称性
T h , 3*2 , [4,3 + ] または m 3、位数 24 –ピリトヘドロン対称性。[1]この群は T と同じ回転軸を持ち、直交方向の 2 つを通る鏡面を持ちます。 3 倍軸はS 6 ( 3 ) 軸になり、中心反転対称性があります。 T hはT × Z 2と同型です。つまり、 T hのすべての要素は、T の要素か、反転と組み合わされた要素のいずれかです。 これらの 2 つの正規部分群とは別に、Dih 2 × Z 2 = Z 2 × Z 2 × Z 2型の正規部分群 D 2h (直方体のもの) もあります。これは、 T の正規部分群 (上記参照) とC iとの直積です。商群は上記と同じで、 Z 3型です。後者の 3 つの要素は、恒等式、「時計回りの回転」、および「反時計回りの回転」であり、方向を維持しながら、3 つの直交 2 倍軸の順列に対応します。
これは立方体の対称性で、各面には面を 2 つの等しい長方形に分割する線分があり、隣接する面の線分は端で交わりません。対称性は、体の対角線の均等な順列と、反転を組み合わせたものに対応します。これはまた、説明した立方体に非常によく似たピリトヘドロンの対称性でもあり、各長方形が 1 つの対称軸と 4 つの等しい辺と 1 つの異なる辺 (立方体の面を分割する線分に対応する辺) を持つ五角形に置き換えられています。つまり、立方体の面は分割線で膨らみ、そこから狭くなります。これは、10 個の 3 次軸のうち 4 つを持つ、完全な20 面体対称群 (抽象グループとしてだけでなく等長グループとして) のサブグループです。
T hの共役類には、T の共役類と 4 の 2 つの類が組み合わされ、それぞれが反転したものが含まれます。
- 身元
- 8 × 120°回転（C 3）
- 3 × 180°回転（C 2）
- 反転（S 2）
- 8 × ローター反射 60° (S 6 )
- 3 × 平面反射 (C s )
黄鉛面体対称性の部分群
| ショー。 | コクセター | オーブ。 | フム | 発電機 | 構造 | サイク | 注文 | 索引 | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| T h | [3 + ,4] | | 3*2 | メートル3 | 2 | A 4 × Z 2 |  | 24 | 1 |
| D 2時間 | [2,2] | | *222 | うーん | 3 | D 4 × D 2 |  | 8 | 3 |
| C 2v | [2] | | *22 | mm2 | 2 | D4 | | 4 | 6 |
| Cs | [ ] | | * | 2またはm | 1 | D2 | | 2 | 12 |
| C 2時間 | [2 + ,2] | | 2* | 2/m | 2 | Z 2 × D 2 | | 4 | 6 |
| S2 | [2 + ,2 + ] | | × | 1 | 1 | Z 2 | | 2 | 12 |
| T | [3,3] + | | 332 | 23 | 2 | A4 | | 12 | 2 |
| D3 | [2,3] + | | 322 | 3 | 2 | D6 | | 6 | 4 |
| D2 | [2,2] + | | 222 | 222 | 3 | D8 | | 4 | 6 |
| C 3 | [3] + | | 33 | 3 | 1 | Z 3 | | 3 | 8 |
| C 2 | [2] + | | 22 | 2 | 1 | Z 2 | | 2 | 12 |
| C 1 | [ ] + | | 11 | 1 | 1 | Z 1 | | 1 | 24 |
キラル四面体対称性を持つ固体
スナブ四面体として色付けされた二十面体は、キラル対称性を持ちます。
完全な四面体対称性を持つ固体
| クラス | 名前 | 写真 | 顔 | エッジ | 頂点 |
|---|---|---|---|---|---|
| プラトン立体 | 四面体 | | 4 | 6 | 4 |
| アルキメデス立体 | 切頂四面体 |  | 8 | 18 | 12 |
| カタルーニャの堅実さ | トリアキス四面体 |  | 12 | 18 | 8 |
| ニアミスジョンソンソリッド | 切頂三角四面体 |  | 16 | 42 | 28 |
| 四面体十二面体 |  | 28 | 54 | 28 | |
| 均一な星型多面体 | 四半六面体 |  | 7 | 12 | 6 |
参照
引用
- ^ Kocaら 2016.
参考文献
- ピーター・R・クロムウェル『多面体』（1997年）、295ページ
- 物事の対称性2008年、ジョン・H・コンウェイ、ハイディ・バーギエル、チャイム・グッドマン＝ストラウス、ISBN 978-1-56881-220-5
- 万華鏡： HSMコクセター選集、F・アーサー・シャーク、ピーター・マクマレン、アンソニー・C・トンプソン、アジア・アイビック・ワイス編、ワイリー・インターサイエンス出版、1995年、ISBN 978-0-471-01003-6[1] 2016年7月11日にWayback Machineにアーカイブ
- NWジョンソン：幾何学と変換、（2018）ISBN 978-1-107-10340-5第11章有限対称群、11.5 球面コクセター群
- Koca, Nazife; Al-Mukhaini, Aida; Koca, Mehmet; Al Qanobi, Amal (2016-12-01). 「ピリトヘドロンおよび格子の対称性」. Sultan Qaboos University Journal for Science . 21 (2): 139. doi : 10.24200/squjs.vol21iss2pp139-149 .
外部リンク
- ワイススタイン、エリック・W.「四面体群」。MathWorld。
Wikiversityの対称群S4に関する学習教材
