1 42 多面体

均一な8次元多面体

4 21	1 42	2 41
修正 4 21	修正1 42	修正2 41
複直線化 4 21	三連複 4 21
E 6 コクセター平面における直交投影

8 次元幾何学では、1 ₄₂はE ₈群の対称性の範囲内で構築された均一な 8 次元多面体です。

コクセター記号は1 ₄₂で、 1 ノード シーケンスの端に 1 つのリングを持つ分岐コクセター-ディンキン図を表します。

平行化された 1 ₄₂は、 1 ₄₂の中間辺の点によって構成され、二重平行化された 2 ₄₁および四重平行化された 4 ₂₁と同じになります。

これらの多面体は、8次元の255（2 ⁸  − 1）個の凸一様多面体族の一部であり、一様多面体面と頂点図形で構成され、このコクセター・ディンキン図の環の空でない組み合わせすべてによって定義されます。。

1₄₂多面体

1 42
タイプ	一様8次元多面体
家族	1 k 2多面体
シュレーフリ記号	{3,3 4,2 }
コクセターシンボル	1 42
コクセター図
7つの顔	2400: 240 1 32 2160 1 41
6面	106080: 6720 1 22 30240 1 31 69120 {3 5 }
5面	725760: 60480 1 12 181440 1 21 483840 {3 4 }
4面	2298240: 241920 1 02 604800 1 11 1451520 {3 3 }
細胞	3628800: 1209600 1 01 2419200 {3 2 }
顔	2419200 {3}
エッジ	483840
頂点	17280
頂点図形	t 2 {3 6 }
ペトリー多角形	30角形
コクセターグループ	E 8 , [3 4,2,1 ]
プロパティ	凸状

1 ₄₂は2400面体から構成され、そのうち240は1 ₃₂多面体、2160は7次元半立方体である（1 ₄₁）。その頂点図形は7次元単体の双平行化図形である。

この多面体は、半八面体とともに、記号1 ₅₂で表される 8 次元空間と、コクセター・ディンキン図をモザイク状に並べることができます。。

別名

• EL Elte (1912)は、この多面体が6面体の2種類以上あるため、半正多面体のリストから除外しましたが、彼の命名規則では、17280の頂点を持つためV ₁₇₂₈₀と呼ばれます。^[1]
• コクセターは、1 ノードの枝の端に単一のリングを持つ分岐コクセター・ディンキン図にちなんで、これを1 _{42と名付けました。}
• ディアコシトラコンタ・ディスキリアヘクトヘキサコンタ・ゼットン（略称：bif） - 240-2160面体ポリゼットン（ジョナサン・バウアーズ）^[2]

座標

17280 個の頂点は、次の符号と位置の順列として定義できます。

すべての符号の組み合わせ（32）: （280×32=8960頂点）

(4、2、2、2、2、0、0、0)

符号の組み合わせの半分（128）: ((1+8+56)×128=8320頂点)

（2、2、2、2、2、2、2、2、2）

（5、1、1、1、1、1、1、1、1）

（3、3、3、1、1、1、1、1）

この座標系では辺の長さは 2 √ 2であり、多面体の半径は 4 √ 2である。

工事

これは、8 次元空間内の 8 つの超平面ミラーのセットに基づくWythoff 構成によって作成されます。

ファセット情報は、Coxeter-Dynkin 図から抽出できます。。

2長枝の端のノードを除去すると、7デミキューブ、1 ₄₁が残ります。。

4長枝の端のノードを削除すると、1 ₃₂が残ります。。

頂点図形は、環状ノードを除去し、隣接するノードを環状にすることで決定される。これにより、双平行化7単体、0 ₄₂、。

配置行列で見ると、要素数はミラー除去とコクセター群の順序の比によって導くことができる。^[3]

	構成マトリックス
E8​		k面	f k	f 0	f 1	f 2	f 3		f 4			f 5			f 6			f 7		k桁	注記
A7​		（）	f 0	17280	56	420	280	560	70	280	420	56	168	168	28	56	28	8	8	2r{3 6 }	E 8 / A 7 = 192*10!/8! = 17280
A 4 A 2 A 1		{ }	f 1	2	483840	15	15	30	5	30	30	10	30	15	10	15	3	5	3	{3}×{3,3,3}	E 8 /A 4 A 2 A 1 = 192*10!/5!/2/2 = 483840
A 3 A 2 A 1		{3}	f 2	3	3	2419200	2	4	1	8	6	4	12	4	6	8	1	4	2	{3.3}v{ }	E 8 /A 3 A 2 A 1 = 192*10!/4!/3!/2 = 2419200
A 3 A 3		1 10	f 3	4	6	4	1209600	*	1	4	0	4	6	0	6	4	0	4	1	{3,3}v( )	E 8 /A 3 A 3 = 192*10!/4!/4! = 1209600
A 3 A 2 A 1				4	6	4	*	2419200	0	2	3	1	6	3	3	6	1	3	2	{3}v{ }	E 8 /A 3 A 2 A 1 = 192*10!/4!/3!/2 = 2419200
A 4 A 3		1 20	f 4	5	10	10	5	0	241920	*	*	4	0	0	6	0	0	4	0	{3,3}	E 8 /A 4 A 3 = 192*10!/4!/4! = 241920
D 4 A 2		1 11		8	24	32	8	8	*	604800	*	1	3	0	3	3	0	3	1	{3}v( )	E 8 /D 4 A 2 = 192*10!/8/4!/3! = 604800
A 4 A 1 A 1		1 20		5	10	10	0	5	*	*	1451520	0	2	2	1	4	1	2	2	{ }v{ }	E 8 /A 4 A 1 A 1 = 192*10!/5!/2/2 = 1451520
D 5 A 2		1 21	f 5	16	80	160	80	40	16	10	0	60480	*	*	3	0	0	3	0	{3}	E 8 /D 5 A 2 = 192*10!/16/5!/3! = 40480
D 5 A 1				16	80	160	40	80	0	10	16	*	181440	*	1	2	0	2	1	{ }v()	E 8 /D 5 A 1 = 192*10!/16/5!/2 = 181440
A 5 A 1		1 30		6	15	20	0	15	0	0	6	*	*	483840	0	2	1	1	2		E 8 /A 5 A 1 = 192*10!/6!/2 = 483840
E 6 A 1		1 22	f 6	72	720	2160	1080	1080	216	270	216	27	27	0	6720	*	*	2	0	{ }	E 8 /E 6 A 1 = 192*10!/72/6!/2 = 6720
D6​		1 31		32	240	640	160	480	0	60	192	0	12	32	*	30240	*	1	1		E 8 / D 6 = 192*10!/32/6! = 30240
A 6 A 1		1 40		7	21	35	0	35	0	0	21	0	0	7	*	*	69120	0	2		E 8 /A 6 A 1 = 192*10!/7!/2 = 69120
E 7		1 32	f 7	576	10080	40320	20160	30240	4032	7560	12096	756	1512	2016	56	126	0	240	*	（）	E 8 /E 7 = 192*10!/72/8! = 240
D7​		1 41		64	672	2240	560	2240	0	280	1344	0	84	448	0	14	64	*	2160		E 8 / D 7 = 192*10!/64/7! = 2160

予測

E8 [30]	E7 [18]	E6 [12]
（1）	（1,3,6）	(8,16,24,32,48,64,96)
[20]	[24]	[6]
		(1,2,3,4,5,6,7,8,10,11,12,14,16,18,19,20)

多面体半径を持つE ₈コクセター平面 (別名ペトリー投影)への1 ₄₂の投影を以下に示します。長さ 483,840 辺のうち、内部で 53% が削減されて 226,444 辺のみになっています。 ${\displaystyle 4{\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle 2{\sqrt {2}}}$

_{E 8の部分}対称性、すなわちE ₇、 E ₆、 B ₈、 B ₇、 B ₆、 B ₅、 B 4 、 B ₃、B ₂、 A ₇、 A ₅コクセター平面、およびさらに 20 次と 24 次の₂ つの対称平面の正投影図が表示されます。頂点は円で表示され、各投影平面での重なりの順序によって色分けされています。

D3 / B2 / A3 [4]	D4 / B3 / A2 [6]	D5 / B4 [8]
（32,160,192,240,480,512,832,960）	（72,216,432,720,864,1080）	(8,16,24,32,48,64,96)
D6 / B5 / A4 [10]	D7 / B6 [12]	D8 / B7 / A6 [14]
B8 [16/2]	A5 [6]	A7 [8]

w = (0, 1, φ , 0, −1, φ ,0,0) }} 投影された17280個の1× ₄₂多面体頂点は、3Dノルムでソート・集計され、各ノルムの集合ごとに透明度が増す包が生成されます。最後の2つの外側の包は、2つの重ね合わせた正十二面体 (40) と非一様菱形十二面体 (60) の組み合わせであることに注目してください。

関連する多面体とハニカム

n次元の1k2図形​​
空間	有限						ユークリッド	双曲線
n	3	4	5	6	7	8	9	10
コクセター グループ	E 3 =A 2 A 1	E 4 =A 4	E 5 =D 5	E 6	E 7	E8​	E 9 = = E 8 + ${\displaystyle {\tilde {E}}_{8}}$	E 10 = = E 8 ++ ${\displaystyle {\bar {T}}_{8}}$
コクセター 図
対称性 （秩序）	[3 −1,2,1 ]	[3 0,2,1 ]	[3 1,2,1 ]	[[3 2,2,1 ]]	[3 3,2,1 ]	[3 4,2,1 ]	[3 5,2,1 ]	[3 6,2,1 ]
注文	12	120	1,920	103,680	2,903,040	6億9672万9600	∞
グラフ							-	-
名前	1 −1,2	1 02	1 12	1 22	1 32	142	1 52	1 62

修正1₄₂多面体

修正1 42
タイプ	一様8次元多面体
シュレーフリ記号	t 1 {3,3 4,2 }
コクセターシンボル	0 421
コクセター図
7つの顔	19680
6面	382560
5面	2661120
4面	9072000
細胞	16934400
顔	16934400
エッジ	7257600
頂点	483840
頂点図形	{3,3,3}×{3}×{}
コクセターグループ	E 8 , [3 4,2,1 ]
プロパティ	凸状

平行化された 1 _{42 は}、 1 _{42多面体の}平行化であり、頂点が 1 ₄₂の中央の辺に位置することからその名が付けられました。また、長さ 4、2、1 の 3 つの枝の中心に環を持つ0 ₄₂₁多面体とも呼ばれます。

別名

• 0 ₄₂₁多面体
• 双平行化2 ₄₁多面体
• 四辺形化された4 ₂₁多面体
• 整流された240-2160面体ポリゼットン（頭字語：バフィー）としての整流されたジアコシトラコンタ-ディスキリアヘクトヘキサコンタ-ゼットン（Jonathan Bowers）^[4]

工事

これは、8 次元空間内の 8 つの超平面ミラーのセットに基づくWythoff 構成によって作成されます。

ファセット情報は、Coxeter-Dynkin 図から抽出できます。。

長さ1の枝の端のノードを削除すると、7-単体の双対枝が残ります。

長さ2の枝の端のノードを削除すると、7次元立方体が残ります。。

3長枝の端のノードを削除すると、整流された1 ₃₂が残ります。。

頂点図形は、環状ノードを除去し、隣接するノードを環状にすることで決定されます。これにより、5セル三角形のデュオプリズムプリズムが作られます。。

配置行列で見ると、要素数はミラー除去とコクセター群の順序の比によって導くことができる。^[3]

	構成マトリックス
E8​		k面	f k	f 0	f 1	f 2			f 3					f 4						f 5						f 6					f 7			k桁
A 4 A 2 A 1		（）	f 0	483840	30	30	15	60	10	15	60	30	60	5	20	30	60	30	30	10	20	30	30	15	6	10	10	15	6	3	5	2	3	{3,3,3}x{3,3}x{}
A 3 A 1 A 1		{ }	f 1	2	7257600	2	1	4	1	2	8	4	6	1	4	8	12	6	4	4	6	12	8	4	1	6	4	8	2	1	4	1	2
A 3 A 2		{3}	f 2	3	3	4838400	*	*	1	1	4	0	0	1	4	4	6	0	0	4	6	6	4	0	0	6	4	4	1	0	4	1	1
A 3 A 2 A 1				3	3	*	2419200	*	0	2	0	4	0	1	0	8	0	6	0	4	0	12	0	4	0	6	0	8	0	1	4	0	2
A 2 A 2 A 1				3	3	*	*	9676800	0	0	2	1	3	0	1	2	6	3	3	1	3	6	6	3	1	3	3	6	2	1	3	1	2
A 3 A 3		0 200	f 3	4	6	4	0	0	1209600	*	*	*	*	1	4	0	0	0	0	4	6	0	0	0	0	6	4	0	0	0	4	1	0
		0 110		6	12	4	4	0	*	1209600	*	*	*	1	0	4	0	0	0	4	0	6	0	0	0	6	0	4	0	0	4	0	1
A 3 A 2				6	12	4	0	4	*	*	4838400	*	*	0	1	1	3	0	0	1	3	3	3	0	0	3	3	3	1	0	3	1	1
A 3 A 2 A 1				6	12	0	4	4	*	*	*	2419200	*	0	0	2	0	3	0	1	0	6	0	3	0	3	0	6	0	1	3	0	2
A 3 A 1 A 1		0 200		4	6	0	0	4	*	*	*	*	7257600	0	0	0	2	1	2	0	1	2	4	2	1	1	2	4	2	1	2	1	2
A 4 A 3		0 210	f 4	10	30	20	10	0	5	5	0	0	0	241920	*	*	*	*	*	4	0	0	0	0	0	6	0	0	0	0	4	0	0
A 4 A 2				10	30	20	0	10	5	0	5	0	0	*	967680	*	*	*	*	1	3	0	0	0	0	3	3	0	0	0	3	1	0
D 4 A 2		0 111		24	96	32	32	32	0	8	8	8	0	*	*	604800	*	*	*	1	0	3	0	0	0	3	0	3	0	0	3	0	1
A 4 A 1		0 210		10	30	10	0	20	0	0	5	0	5	*	*	*	2903040	*	*	0	1	1	2	0	0	1	2	2	1	0	2	1	1
A 4 A 1 A 1				10	30	0	10	20	0	0	0	5	5	*	*	*	*	1451520	*	0	0	2	0	2	0	1	0	4	0	1	2	0	2
A 4 A 1		0 300		5	10	0	0	10	0	0	0	0	5	*	*	*	*	*	2903040	0	0	0	2	1	1	0	1	2	2	1	1	1	2
D 5 A 2		0 211	f 5	80	480	320	160	160	80	80	80	40	0	16	16	10	0	0	0	60480	*	*	*	*	*	3	0	0	0	0	3	0	0	{3}
A 5 A 1		0 220		20	90	60	0	60	15	0	30	0	15	0	6	0	6	0	0	*	483840	*	*	*	*	1	2	0	0	0	2	1	0	{ }v()
D 5 A 1		0 211		80	480	160	160	320	0	40	80	80	80	0	0	10	16	16	0	*	*	181440	*	*	*	1	0	2	0	0	2	0	1
A5​		0 310		15	60	20	0	60	0	0	15	0	30	0	0	0	6	0	6	*	*	*	967680	*	*	0	1	1	1	0	1	1	1	( )v( )v()
A 5 A 1				15	60	0	20	60	0	0	0	15	30	0	0	0	0	6	6	*	*	*	*	483840	*	0	0	2	0	1	1	0	2	{ }v()
		0 400		6	15	0	0	20	0	0	0	0	15	0	0	0	0	0	6	*	*	*	*	*	483840	0	0	0	2	1	0	1	2
E 6 A 1		0 221	f 6	720	6480	4320	2160	4320	1080	1080	2160	1080	1080	216	432	270	432	216	0	27	72	27	0	0	0	6720	*	*	*	*	2	0	0	{ }
A6​		0 320		35	210	140	0	210	35	0	105	0	105	0	21	0	42	0	21	0	7	0	7	0	0	*	138240	*	*	*	1	1	0
D6​		0 311		240	1920	640	640	1920	0	160	480	480	960	0	0	60	192	192	192	0	0	12	32	32	0	*	*	30240	*	*	1	0	1
A6​		0 410		21	105	35	0	140	0	0	35	0	105	0	0	0	21	0	42	0	0	0	7	0	7	*	*	*	138240	*	0	1	1
A 6 A 1				21	105	0	35	140	0	0	0	35	105	0	0	0	0	21	42	0	0	0	0	7	7	*	*	*	*	69120	0	0	2
E 7		0 321	f 7	10080	120960	80640	40320	120960	20160	20160	60480	30240	60480	4032	12096	7560	24192	12096	12096	756	4032	1512	4032	2016	0	56	576	126	0	0	240	*	*	（）
A7​		0 420		56	420	280	0	560	70	0	280	0	420	0	56	0	168	0	168	0	28	0	56	0	28	0	8	0	8	0	*	17280	*
D7​		0 411		672	6720	2240	2240	8960	0	560	2240	2240	6720	0	0	280	1344	1344	2688	0	0	84	448	448	448	0	0	14	64	64	*	*	2160

予測

_{B 6}、 B ₅、 B ₄、 B ₃、 B ₂、 A ₇、および A ₅ コクセター平面の部分対称性の正射影が示されている。頂点は円で示され、各射影平面における重なり順に応じて色分けされている。

（E ₈： E ₇、 E ₆、 B ₈、 B ₇、[24]の平面は大きすぎて表示できないため表示されていません。）

D3 / B2 / A3 [4]	D4 / B3 / A2 [6]	D5 / B4 [8]
D6 / B5 / A4 [10]	D7 / B6 [12]	[6]
A5 [6]	A7 [8]	[20]

参照

• E8多面体のリスト

注記

1. Elte, EL (1912), The Semiregular Polytopes of the Hyperspaces , Groningen: University of Groningen
2. クリッツィング、(o3o3o3x *c3o3o3o3o - bif)。
3. Coxeter, Regular Polytopes, 11.8 6次元、7次元、8次元のゴセット図形、p. 202–203
4. クリッツィング、(o3o3x3o *c3o3o3o3o - バフィー)。

参考文献

• HSM Coxeter著『Regular Polytopes』第3版、ドーバー、ニューヨーク、1973年
• 万華鏡：HSMコクセター選集、F・アーサー・シャーク、ピーター・マクマレン、アンソニー・C・トンプソン、アジア・アイビック・ワイス編、Wiley-Interscience Publication、1995年、wiley.com、ISBN 978-0-471-01003-6
  • （論文24）HSM Coxeter,正則多面体と半正則多面体III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3–45]
• Klitzing, Richard. 「頭字語付き 8D 均一多面体 (ポリゼッタ)」o3o3o3x *c3o3o3o3o - ビフ、o3o3x3o *c3o3o3o3o - バフィー

v t e 2～10次元の基本凸正則多面体と一様多面体
家族	アン​	B n	I 2 ( p ) / D n	E 6 / E 7 / E 8 / F 4 / G 2	H n
正多角形	三角形	四角	p角形	六角形	五角形
均一な多面体	四面体	八面体•立方体	デミキューブ		十二面体•二十面体
均一ポリクロロン	ペンタコロン	16セル• Tesseract	デミテッセラクト	24セル	120セル• 600セル
一様5次元多面体	5単体	5-オルソプレックス• 5-キューブ	5デミキューブ
一様6次元多面体	6単体	6-オルソプレックス• 6-キューブ	6デミキューブ	1 22 • 2 21
一様7次元多面体	7単体	7-オルソプレックス• 7-キューブ	7デミキューブ	1 32 • 2 31 • 3 21
一様8次元多面体	8単体	8-オルソプレックス• 8-キューブ	8デミキューブ	142 • 2 41 • 4 21
一様9次元多面体	9単体	9-オルソプレックス• 9-キューブ	9デミキューブ
一様10次元多面体	10単体	10-オルソプレックス• 10-キューブ	10デミキューブ
一様n多面体	n -単体	n -オルソプレックス• n -キューブ	n -デミキューブ	1 k2 • 2 k1 • k 21	n -五角形多面体
トピック:多面体族•正多面体•正多面体と複合多面体の一覧•多面体の演算

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