特殊な直角三角形
特殊直角三角形とは、三角形上での計算を容易にするいくつかの注目すべき特徴を備えた直角三角形、または簡単な数式が存在する 直角三角形です。
このような三角形の角度と辺の間のさまざまな関係により、より高度な方法に頼ることなく、 幾何学の問題におけるいくつかの有用な量を素早く計算することができます。
角度ベース
角度に基づく特殊直角三角形とは、三角形の3つの角度の大きさの間に特別な関係がある三角形です。これらの三角形の角度は、大きい方の角（直角）が90度またはπ/2ラジアンは、他の 2 つの角度の合計に等しくなります。
これらの三角形の辺の長さは、単位円に基づいて、または他の幾何学的手法を使用して推測できます。また、これらのアプローチを拡張して、以下の表に示すように、いくつかの一般的な角度 の三角関数の値を生成することもできます。
| 度 | ラジアン | ゴンズ | ターン | 罪 | コス | 日焼け | コタン |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0° | 0 | 0グラム | 0 | √0/2 = 0 | √4/2 = 1 | 0 | 未定義 |
| 30° | π/6 | 33+1/3 g | 1/12 | √1/2 = 1/2 | √3/2 | 1/√3 | √3 |
| 45° | π/4 | 50グラム | 1/8 | √2/2 = 1/√2 | √2/2 = 1/√2 | 1 | 1 |
| 60° | π/3 | 66+2/3 g | 1/6 | √3/2 | √1/2 = 1/2 | √3 | 1/√3 |
| 90° | π/2 | 100グラム | 1/4 | √4/2 = 1 | √0/2 = 0 | 未定義 | 0 |
45°–45°–90° 三角形、30°–60°–90° 三角形、および正三角形/正角三角形 (60°–60°–60°) は、平面内にある3 つのメビウスの三角形であり、辺の反射によって平面をモザイク状に分割することを意味します。 「三角形グループ」を参照してください。
45°–45°–90°の三角形
平面幾何学では、正方形を対角線に沿って分割すると、それぞれが直角（90°、π/2ラジアン）と、それぞれが直角の半分（45°、またはπ/4ラジアン）。この三角形の辺の比は 1 : 1 : √ 2であり、これはピタゴラスの定理から直ちに導かれます。
すべての直角三角形の中で、45°-45°-90°度の三角形は、斜辺と脚の長さの和の比が最も小さく、すなわち√2/2 . [ 1 ] : p. 282, p. 358 そして、斜辺からの高さと脚の長さの合計の比が最大となる。すなわち、 √2/4 . [ 1 ] : p.282
これらの角度を持つ三角形は、ユークリッド幾何学において二等辺三角形でもある唯一の直角三角形です。しかし、球面幾何学と双曲幾何学においては、直角二等辺三角形には無限の異なる形状が存在します。
30°–60°–90°の三角形
もう一つの特殊な直角三角形は、30°-60°-90°の三角形です。これは、これらの3つの角度の比が1:2:3である三角形を指します。
このような三角形の便利な特性は、辺の長さの比率が 1 : √ 3 : 2 であることです。この特性は三角法、または以下の幾何学的証明 によって証明できます。
辺の長さが2で、線分BCの中点を点Mとする正三角形ABCを描きます。AからMまで高度線を描きます。すると、ABMは斜辺の長さが2、底辺BMの長さが1である30°-60°-90°の三角形になります。
残りの辺AM の長さが√3であるという事実は、ピタゴラスの定理から直ちに分かります。
30°-60°-90°の三角形は、角度が等差数列になっている唯一の直角三角形です。この事実の証明は簡単で、α、α + δ、α + 2 δが等差数列の角度である場合、角度の和は3 α + 3 δ = 180° であるという事実から導き出されます。3で割ると、角度α + δは60°になります。直角は90°なので、残りの角度は30°です。
サイドベース
ピタゴラス三角錐と呼ばれる、辺の長さが整数である直角三角形は、その角度が全て有理数度になることはない。[ 2 ] （これはニーヴンの定理から導かれる。）ピタゴラス三角錐は覚えやすく、どの辺の倍数でも同じ関係になるという点で非常に有用である。ユークリッドのピタゴラス三角錐を生成する公式を用いると、辺の比は
- m 2 − n 2 : 2 mn : m 2 + n 2
ここで、mとnは、 m > nとなる任意の正の整数です。
一般的なピタゴラスの三つ組
ピタゴラスの三つ組には、その比率が次のものも含め、よく知られているものがいくつかあります。
3 : 4 : 5 5 : 12 : 13 8： 15 : 17 7 : 24 : 25 9 : 40 : 41
3:4:5の三角形は、等差数列の辺を持つ唯一の直角三角形です。ピタゴラス数列に基づく三角形はヘロン数列であり、面積と辺の 長さが整数です。
古代エジプトで 3 : 4 : 5 の三角形が使われていた可能性、そしてその三角形を描くために結び目のついたロープが使われていたとされる説、そして当時ピタゴラスの定理が知られていたかどうかについては、盛んに議論されてきた。[ 3 ]この仮説は、 1882年に歴史家モーリッツ・カントールによって初めて提唱された。 [ 3 ]古代エジプトでは直角が正確に描かれていたこと、測量士が測定にロープを使用していたことが知られている。[ 3 ] プルタルコスは『イシスとオシリス』 （紀元後100年頃）の中で、エジプト人が 3 : 4 : 5 の三角形を称賛していたと記録している。 [ 3 ] また、紀元前1700年以前のエジプト中王国時代のベルリン・パピルス6619には、「100の正方形の面積は、2つの小さな正方形の面積に等しい。1辺は1/2 + 1/4 他方の側にある。」[ 4 ]数学史家ロジャー・L・クックは、「ピタゴラスの定理を知らずにこのような条件に興味を持つ人がいるとは想像しがたい」と述べている。[ 3 ] これに対し、クックは紀元前300年以前のエジプトの文献には、三角形の辺の長さを求めるためにこの定理を使ったという記述はなく、直角を作るより簡単な方法があると指摘している。クックはカントルの予想は不確かなままであると結論付けている。彼は古代エジプト人がピタゴラスの定理を知っていた可能性は高いが、「直角を作るためにそれを使ったという証拠はない」と推測している。[ 3 ]
以下は、斜辺以外の両方の辺が 256 未満である、最小形式で表現されたすべてのピタゴラス三重比です (上記のリストの最小形式での 5 つの最小値を超えるもの)。
11 : 60 : 61 12 : 35 : 37 13 : 84 : 85 15 : 112 : 113 16 : 63 : 65 17 : 144 : 145 19 : 180 : 181 20 : 21 : 29 20 : 99 : 101 21 : 220 : :221
| 24 : | 143 : | 145 |
| 28 : | 45 : | 53 |
| 28 : | 195 : | 197 |
| 32 : | 255 : | 257 |
| 33 : | 56 : | 65 |
| 36 : | 77 : | 85 |
| 39 : | 80 : | 89 |
| 44 : | 117 : | 125 |
| 48 : | 55 : | 73 |
| 51 : | 140 : | 149 |
| 52 : | 165 : | 173 |
| 57 : | 176 : | 185 |
| 60 : | 91 : | 109 |
| 60 : | 221 : | 229 |
| 65 : | 72 : | 97 |
| 84 : | 187 : | 205 |
| 85 : | 132 : | 157 |
| 88 : | 105 : | 137 |
| 95 : | 168 : | 193 |
| 96 : | 247 : | 265 |
| 104 : | 153 : | 185 |
| 105 : | 208 : | 233 |
| 115 : | 252 : | 277 |
| 119 : | 120 : | 169 |
| 120 : | 209 : | 241 |
| 133 : | 156 : | 205 |
| 140 : | 171 : | 221 |
| 160 : | 231 : | 281 |
| 161 : | 240 : | 289 |
| 204 : | 253 : | 325 |
| 207 : | 224 : | 305 |
ほぼ二等辺のピタゴラス数列
二等辺直角三角形は、斜辺と他の辺の比が√2であり、√2を2つの整数の比として表すことができないため、整数値を持つ辺を持つことはできません。しかし、ほぼ二等辺直角三角形は無限に存在します。これらは、斜辺以外の辺の長さが1だけ異なる整数辺を持つ直角三角形です。[ 5 ] [ 6 ]このようなほぼ二等辺直角三角形は再帰的に得ることができます。
- a 0 = 1、b 0 = 2
- a n = 2 b n −1 + a n −1
- b n = 2 a n + b n −1
nは斜辺の長さで、n = 1, 2, 3, .... 同様に、
ここで、{ x , y }はペル方程式x 2 − 2 y 2 = −1の解であり、斜辺yはペル数1 , 2, 5 , 12, 29 , 70, 169 , 408 , 985 , 2378...（ OEISのシーケンスA000129 ）の奇数項である。結果として得られる最小のピタゴラス数列は次のとおりである。[ 7 ]
3 : 4 : 5 20 : 21 : 29 119 : 120 : 169 696 : 697 : 985
| 4,059 : | 4,060 : | 5,741 |
| 23,660 : | 23,661 : | 33,461 |
| 137,903 : | 137,904 : | 195,025 |
| 803,760 : | 803,761 : | 1,136,689 |
あるいは、同じ三角形を平方三角数から導くこともできる。[ 8 ]
等差数列と幾何級数
ケプラーの三角形は、辺が等比数列をなす直角三角形です。辺が等比数列a , ar , ar 2で形成される場合、その公比rはr = √ φで与えられます。ここでφは黄金比です。したがって、ケプラーの三角形の辺の比は1 : √ φ : φです。したがって、ケプラーの三角形の形状は、辺が等比数列をなすという要件によって（縮尺係数を除いて）一意に決定されます。
3-4-5三角形は、（スケーリングを除いて）辺が等差数列になっている唯一の直角三角形です。[ 9 ]
正多角形の辺
を単位円に内接する正十角形の辺の長さとし、 は黄金比とする。を単位円内の正六角形の辺の長さとし、を単位円内の正五角形の辺の長さとする。するととなり、これら3つの長さが直角三角形の辺を形成する。[ 10 ]同じ三角形が黄金長方形の半分を形成する。これは辺の長さが の正二十面体内にも存在する。任意の頂点からその5つの近傍の平面までの最短線分の長さは であり、この線分の端点と の任意の近傍の端点を合わせると、辺が、、 の直角三角形の頂点となる。[ 11 ]
参照
参考文献
- ^ a bポサマンティエ, アルフレッド・S.、レーマン, イングマール. 『三角形の秘密』プロメテウス・ブックス, 2012年.
- ^ワイスタイン、エリック・W. 「Rational Triangle」。マスワールド。
- ^ a b c d e fクック、ロジャー・L. (2011). 『数学の歴史：簡潔な講座』（第2版）. ジョン・ワイリー・アンド・サンズ. pp. 237– 238. ISBN 978-1-118-03024-0。
- ^ギリングス、リチャード・J. (1982). 『ファラオの時代の数学』ドーバー、p. 161 .
- ^ Forget, TW; Larkin, TA (1968)、「再帰シーケンスで記述されたx、x + 1、z形式のピタゴラスの三元数」 (PDF)、Fibonacci Quarterly、6 (3): 94– 104、doi : 10.1080/00150517.1968.12431232。
- ^ Chen, CC; Peng, TA (1995)、「ほぼ二等辺直角三角形」(PDF)、The Australasian Journal of Combinatorics、11 : 263– 267、MR 1327342 。
- ^ ( OEISの配列A001652 )
- ^ Nyblom, MA (1998)、「ほぼ二等辺直角三角形の集合に関する注記」（PDF）、The Fibonacci Quarterly、36 (4): 319– 322、doi : 10.1080/00150517.1998.12428915、MR 1640364 。
- ^ Beauregard, Raymond A.; Suryanarayan, ER (1997)、「算術三角形」、Mathematics Magazine、70 (2): 105– 115、doi : 10.2307/2691431、JSTOR 2691431、MR 1448883 。
- ^ユークリッドの『原論』第13巻、命題10。
- ^ nLab: 五角形 十角形 六角形の同一性。
外部リンク
- 3 : 4 : 5 三角形
- 30–60–90の三角形
- 45–45–90 三角形 – インタラクティブアニメーション付き
