メルテンス関数

Summatory function of the Möbius function

メルテンス関数のn  = 1万

メルテンス関数のn  = 1000万​

数論では、メルテンス関数はすべての正の整数 nに対して次のように定義される。

${\displaystyle M(n)=\sum _{k=1}^{n}\mu (k),}$

ここではメビウス関数です。この関数はフランツ・メルテンスにちなんで名付けられました。この定義は次のように正の実数に拡張できます。 ${\displaystyle \mu (k)}$

${\displaystyle M(x)=M(\lfloor x\rfloor ).}$

より正確に言えば、xまでの平方自由整数のうち、素因数が偶数であるものの数から、奇数であるものの数を引いたものです。 ${\displaystyle M(x)}$

最初の143個のM ( n )値は（ OEISの配列A002321） である。

M ( n )	+0	+1	+2	+3	+4	+5	+6	+7	+8	+9	+10	+11
0歳以上		1	0	−1	−1	−2	−1	−2	−2	−2	−1	−2
12歳以上	−2	−3	−2	−1	−1	−2	−2	−3	−3	−2	−1	−2
24歳以上	−2	−2	−1	−1	−1	−2	−3	−4	−4	−3	−2	−1
36歳以上	−1	−2	−1	0	0	−1	−2	−3	−3	−3	−2	−3
48歳以上	−3	−3	−3	−2	−2	−3	−3	−2	−2	−1	0	−1
60歳以上	−1	−2	−1	−1	−1	0	−1	−2	−2	−1	−2	−3
72歳以上	−3	−4	−3	−3	−3	−2	−3	−4	−4	−4	−3	−4
84歳以上	−4	−3	−2	−1	−1	−2	−2	−1	−1	0	1	2
96歳以上	2	1	1	1	1	0	−1	−2	−2	−3	−2	−3
108+	−3	−4	−5	−4	−4	−5	−6	−5	−5	−5	−4	−3
120以上	−3	−3	−2	−1	−1	−1	−1	−2	−2	−1	−2	−3
132+	−3	−2	−1	−1	−1	−2	−3	−4	−4	−3	−2	−1

メルテンス関数は平均とピーク値の両方でゆっくりと正と負の方向に増加し、nが次の値を持つ ときにゼロを通過する、一見無秩序な方法で振動します。

2、39、40、58、65、93、101、145、149、150、159、160、163、164、166、214、231、232、235、236、238、254、329、331、332、333、353、355、356、358、362、363、364、366、393、401、403、404、405、407、408、413、414、419、420、422、423、424、425、427、 428、...（OEISの配列A028442）。

メビウス関数は-1、0、+1の値しか取らないため、メルテンス関数はゆっくりと動き、| M ( x )| >  xとなるようなxは存在しない。H. Davenport ^{[1]は、任意の固定}hに対して、

${\displaystyle \sum _{n=1}^{x}\mu (n)\exp(i2\pi n\theta )=O\left({\frac {x}{\log ^{h}x}}\right)}$

において均一である。これは、 ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \theta =0}$

${\displaystyle M(x)=O\left({\frac {x}{\log ^{h}x}}\right)\ .}$

メルテンス予想はさらに進んで、メルテンス関数の絶対値がxの平方根を超えるx は存在しない、としました。メルテンス予想は、1985年にアンドリュー・オドリツコとヘルマン・テ・リーレによって誤りであることが証明されました。しかし、リーマン予想は、 M ( x )の増加に関するより弱い予想、つまりM ( x ) = O ( x ^{1/2 + ε} ) と同等です。M ( x ) の高い値は少なくとも と同じ速さで増加するため、これはその増加率にかなり厳しい制限を課します。ここで、Oは大きな O 表記を指します。 ${\displaystyle {\sqrt {x}}}$

M ( x )の真の成長率は不明である。スティーブ・ゴネックの未発表の予想によれば、

${\displaystyle 0<\limsup _{x\to \infty }{\frac {|M(x)|}{{\sqrt {x}}(\log \log \log x)^{5/4}}}<\infty .}$

この予想に対する確率論的証拠はネイサン・ンによって与えられている。^[2]特に、ンはその関数が上で極限分布を持つことを条件付きで証明している。つまり、実数上の すべての有界リプシッツ連続関数に対して、 ${\displaystyle e^{-y/2}M(e^{y})}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle \lim _{Y\to \infty }{\frac {1}{Y}}\int _{0}^{Y}f{\big (}e^{-y/2}M(e^{y}){\big )}\,dy=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,d\nu (x),}$

リーマンゼータ関数についてのさまざまな予想を仮定すると、

表現

積分として

オイラー積を用いると、

${\displaystyle {\frac {1}{\zeta (s)}}=\prod _{p}(1-p^{-s})=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}},}$

ここではリーマンゼータ関数であり、積は素数で取られる。そして、このディリクレ級数をペロンの公式と用いると、次式が得られる。 ${\displaystyle \zeta (s)}$

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }{\frac {x^{s}}{s\zeta (s)}}\,ds=M(x),}$

ここでc > 1 です。

逆にメリン変換は

${\displaystyle {\frac {1}{\zeta (s)}}=s\int _{1}^{\infty }{\frac {M(x)}{x^{s+1}}}\,dx,}$

これは に当てはまります。 ${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>1}$

メルテンス自身が示した第2チェビシェフ関数に関する興味深い関係は、

${\displaystyle \psi (x)=M\left({\frac {x}{2}}\right)\log 2+M\left({\frac {x}{3}}\right)\log 3+M\left({\frac {x}{4}}\right)\log 4+\cdots .}$

リーマンゼータ関数に複数の非自明な零点がないと仮定すると、留数定理によって「正確な式」が得られる。

${\displaystyle M(x)=\sum _{\rho }{\frac {x^{\rho }}{\rho \zeta '(\rho )}}-2+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}(2\pi )^{2n}}{(2n)!n\zeta (2n+1)x^{2n}}}.}$

ワイルはメルテンス関数が近似関数微分方程式を満たすと予想した。

${\displaystyle {\frac {y(x)}{2}}-\sum _{r=1}^{N}{\frac {B_{2r}}{(2r)!}}D_{t}^{2r-1}y\left({\frac {x}{t+1}}\right)+x\int _{0}^{x}{\frac {y(u)}{u^{2}}}\,du=x^{-1}H(\log x),}$

ここで、H ( x )はヘヴィサイドステップ関数、Bはベルヌーイ数、 tに関するすべての導関数はt  = 0で評価されます。

メビウス関数とリーマンゼータ関数の零点の和を含む次のようなトレース公式もある。

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{\sqrt {n}}}g(\log n)=\sum _{\gamma }{\frac {h(\gamma )}{\zeta '(1/2+i\gamma )}}+2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2\pi )^{2n}}{(2n)!\zeta (2n+1)}}\int _{-\infty }^{\infty }g(x)e^{-x(2n+1/2)}\,dx,}$

ここで、右辺の最初の和はリーマンゼータ関数の非自明な零点についてとられ、（g、  h ）はフーリエ変換によって次のように関係付けられる。

${\displaystyle 2\pi g(x)=\int _{-\infty }^{\infty }h(u)e^{iux}\,du.}$

ファレイ列の和として

メルテンス関数の別の式は次の通りである。

${\displaystyle M(n)=-1+\sum _{a\in {\mathcal {F}}_{n}}e^{2\pi ia},}$

ここで、 n次のファレイ数列です。 ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{n}}$

この式はフランネル・ランダウの定理の証明に使われる。^[3]

決定要因として

M ( n ) はn  ×  nレッドヘッファー行列の行列式です。レッドヘッファー行列は(0, 1) 行列で 、 jが 1 かiがj を割り切る場合、 a _ijは 1 になります。

以下のポイントの合計としてn次元双曲面

${\displaystyle M(x)=1-\sum _{2\leq a\leq x}1+{\underset {ab\leq x}{\sum _{a\geq 2}\sum _{b\geq 2}}}1-{\underset {abc\leq x}{\sum _{a\geq 2}\sum _{b\geq 2}\sum _{c\geq 2}}}1+{\underset {abcd\leq x}{\sum _{a\geq 2}\sum _{b\geq 2}\sum _{c\geq 2}\sum _{d\geq 2}}}1-\cdots }$

メルテンス関数を拡張したこの定式化^{[要出典]は}、ピルツの除数問題を考慮することによって得られる漸近境界を示唆しており、これは、除数関数の和関数の漸近推定値を計算するディリクレの除数問題を一般化します。

その他の特性

^[4]から、

${\displaystyle \sum _{d=1}^{n}M(\lfloor n/d\rfloor )=1\ .}$

さらに、^[5]

${\displaystyle \sum _{d=1}^{n}M(\lfloor n/d\rfloor )d=\Phi (n)\ ,}$

ここで、 はトーティエント総和関数です。 ${\displaystyle \Phi (n)}$

計算

前述のいずれの方法も、メルテンス関数を計算する実用的なアルゴリズムには至っていない。素数計算に用いられる篩法と同様の方法を用いることで、メルテンス関数はxの範囲が増加するまでのすべての整数に対して計算されている。^{[6] [7]}

人	年	制限
メルテンス	1897	10 4
フォン・スターネック	1897	1.5 × 105
フォン・スターネック	1901	5 × 105
フォン・スターネック	1912	5 × 106
ノイバウアー	1963	10 8
コーエンとドレス	1979	7.8 × 109
ドレス	1993	10 12
リオエンとヴァン・デル・ルーン	1994	10 13
コトニックとファン・デル・ルーン	2003	10 14
ボンコンパーニ	2011年[8]	10 17
クズネツォフ	2012年[8]	10 22
ヘルフゴットとトンプソン	2021年[8]	10 23

xまでのすべての整数値に対するメルテンス関数は、O ( x log log x )時間で計算できます。1870 年からErnst Meissel、^{[9] 、} Lehmer、^{[10] 、} Lagarias - Miller - Odlyzko、^[11]、Deléglise-Rivat ^{[12]によって段階的に組み合わせアルゴリズムが開発され、} M ( x )の孤立値をO ( x ^2/3 (log log x ) ^1/3 )時間で計算します。2021年にHarald Helfgottと Lola Thompson がさらに改良を加え、これをO ( x ^3/5 (log x ) ^3/5+ε )にまで改善しました。^{[13]また、Lagarias と Odlyzko による}リーマンゼータ関数の積分に基づくアルゴリズムでは、実行時間がO ( x ^1/2+ε )です。^[14]

10の累乗におけるM ( x )の値についてはOEIS :A084237を参照してください。

既知の上限

Ngは、リーマン予想（RH）は

${\displaystyle M(x)=O\left({\sqrt {x}}\exp \left({\frac {C\cdot \log x}{\log \log x}}\right)\right),}$

正の定数に対してである。他の上限は、マイヤー、モンゴメリー、サウンダラジャンによって、RHが以下を含むと仮定して得られている。 ${\displaystyle C>0}$

${\displaystyle {\begin{aligned}|M(x)|&\ll {\sqrt {x}}\exp \left(C_{2}\cdot (\log x)^{\frac {39}{61}}\right)\\|M(x)|&\ll {\sqrt {x}}\exp \left({\sqrt {\log x}}(\log \log x)^{14}\right).\end{aligned}}}$

RHを仮定しない既知の明示的な上限は次のように与えられる: ^[15]

${\displaystyle {\begin{aligned}|M(x)|&<{\frac {12590292\cdot x}{\log ^{236/75}(x)}},\ {\text{ for }}x>\exp(12282.3)\\|M(x)|&<{\frac {0.6437752\cdot x}{\log x}},\ {\text{ for }}x>1.\end{aligned}}}$

上記の表現を、次のように、より制限が少なく、わかりやすい形に簡略化することができます。

${\displaystyle {\begin{aligned}M(x)=O\left({\frac {x}{\log ^{\pi }(x)}}\right).\end{aligned}}}$

参照

• ペロンの式
• リウヴィル関数

注記

1. Davenport, H. (1937年11月). 「算術関数を含むいくつかの無限級数について (II)」.季刊数学誌. オリジナルシリーズ. 8 (1): 313– 320. doi :10.1093/qmath/os-8.1.313.
2. Nathan Ng (2018年10月25日). 「メビウス関数の和関数の分布」. arXiv : math/0310381 .
3. エドワーズ、第12章2節。
4. Lehman, RS (1960). 「リウヴィル関数について」. Math. Comput . 14 : 311–320 .
5. 金光、S.吉本正史（1996）。 「フェアリー級数とリーマン予想」。アクタ算術。75 (4): 351–374 .土井: 10.4064/aa-75-4-351-374。
6. Kotnik, Tadej; van de Lune, Jan (2003年11月). 「メビウス関数の加法関数に関するさらなる体系的計算」.モデリング、分析、シミュレーション. MAS-R0313.
7. Hurst, Greg (2016). 「メルテンス関数の計算とメルテンス予想の改良された境界値」arXiv : 1610.08551 [math.NT].
8. Sloane, N. J. A. (編). 「シーケンスA084237」.整数シーケンスのオンライン百科事典. OEIS財団.
9. エルンスト、マイセル (1870)。 「Ueber die Bestimmung der Primzahlenmenge innerhalb gegebener Grenzen」。Mathematische Annalen (ドイツ語)。2 (4): 636–642。土井:10.1007/BF01444045。ISSN  0025-5831。S2CID  119828499。
10. レーマー、デリック・ヘンリー（1958年4月1日）「与えられた限界値よりも小さい素数の正確な数について」イリノイ数学ジャーナル3 ( 3): 381-388。2017年2月1日閲覧。
11. ラガリアス、ジェフリー;ミラー、ビクター。オドリズコ、アンドリュー（1985年4月11日）。 「π ( x ) {\displaystyle \pi (x)} の計算: マイセル・レーマー法」(PDF)。計算の数学。44 (170): 537–560。土井: 10.1090/S0025-5718-1985-0777285-5 。2016 年9 月 13 日に取得。
12. Rivat, Joöl; Deléglise, Marc (1996). 「メビウス関数の和の計算」.実験数学. 5 (4): 291– 295. doi :10.1080/10586458.1996.10504594. ISSN  1944-950X. S2CID  574146.
13. Helfgott, Harald; Thompson, Lola (2023). 「μ ( n ) {\displaystyle \mu (n)} の加算：より高速な基本アルゴリズム」.数論研究. 9 (1): 6. doi :10.1007/s40993-022-00408-​​8. ISSN  2363-9555. PMC 9731940. PMID 36511765  . 
14. ラガリアス、ジェフリー;オドリズコ、アンドリュー（1987年6月）。「π ( x ) {\displaystyle \pi (x)} の計算: 解析手法」。アルゴリズムのジャーナル。8 (2): 173–191。土井:10.1016/0196-6774(87)90037-X。
15. エル・マラキ、M. (1995)。 "Fonction sommatoire de la fonction de Möbius、3. 漸近効果的効果の多数派"。ボルドーの貴族雑誌。7 (2)。

参考文献

• エドワーズ、ハロルド（1974）『リーマンのゼータ関数』ミネオラ、ニューヨーク：ドーバー、ISBN 0-486-41740-9。
• メルテンス、F. (1897)。 「「Über eine zahlentheoretische Funktion」、 Akademie Wissenschaftlicher Wien Mathematik-Naturlich」。クライネ・シッツングスベル、IIA。106 : 761–830 .
• オドリズコ, 午前中;テ・リエール、ハーマン(1985)。 「メルテンス予想の反証」(PDF)。数学に関するジャーナル。357：138～ 160
• ワイスタイン、エリック W.「メルテンス関数」。マスワールド。
• Sloane, N. J. A. (編). 「シーケンスA002321（メルテンス関数）」.オンライン整数シーケンス百科事典. OEIS財団.
• Deléglise, M. and Rivat, J. "Computing the summation of the Möbius Function." Experiment. Math. 5, 291-295, 1996. メビウス関数の和の計算
• ハースト、グレッグ (2016). 「メルテンス関数の計算とメルテンス予想の改良された境界値」arXiv : 1610.08551 [math.NT].
• ネイサン・ン、「メビウス関数の加法関数の分布」、ロンドン数学会誌 (3) 89 (2004) 361-389. [1]

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