6単体

6単体
タイプ	均一なポリペトン
シュレーフリ記号	{3 ⁵ }
コクセター図
要素	f ₅ = 7、f ₄ = 21、C = 35、F = 35、E = 21、V = 7 (χ=0)
コクセターグループ	A ₆、[3 ⁵ ]、命令5040
Bowersの名前と（頭字語）	ヘプタペトン（ホップ）
頂点図形	5単体
円周半径	${\sqrt {\tfrac {3}{7}}}$ 0.654654 ^[1]
プロパティ	凸、等角自己双対

幾何学において、6単体は自己双対な正 6次元多面体です。7つの頂点、21の辺、35の三角形面、35の四面体セル、21の5セル4面、7の5単体5面を持ちます。二面角はcos ⁻¹ (1/6)、つまり約80.41°です。

別名

6次元の7面体多面体として、ヘプタペトン、あるいはヘプタ6トープとも呼ばれる。ヘプタペトンという名称は、ギリシャ語で7面体を意味するheptaと、 5次元面を持つことを意味する-peta 、そして-onに由来する。ジョナサン・バウアーズはヘプタペトンにホップという頭字語を与えた。^[2]

構成として

この配置行列は6次元単体を表す。行と列は、頂点、辺、面、セル、4面体、5面体に対応する。対角数は、各要素が6次元単体全体にいくつ出現するかを表す。非対角数は、列の要素が行の要素内またはその位置にいくつ出現するかを表す。この自己双対単体の行列は、180度回転したものと同一である。^[3]^[4]

${\begin{bmatrix}{\begin{matrix}7&6&15&20&15&6\\2&21&5&10&10&5\\3&3&35&4&6&4\\4&6&4&35&3&3\\5&10&10&5&21&2\\6&15&20&15&6&7\end{matrix}}\end{bmatrix}}$

座標

辺の長さが 2 である原点中心の正七面体の直交座標は次のとおりです。

\left({\sqrt {1/21}},\ {\sqrt {1/15}},\ {\sqrt {1/10}},\ {\sqrt {1/6}},\ {\sqrt {1/3}},\ \pm 1\right)

\left({\sqrt {1/21}},\ {\sqrt {1/15}},\ {\sqrt {1/10}},\ {\sqrt {1/6}},\ -2{\sqrt {1/3}},\ 0\right)

\left({\sqrt {1/21}},\ {\sqrt {1/15}},\ {\sqrt {1/10}},\ -{\sqrt {3/2}},\ 0,\​​ 0\right)

\left({\sqrt {1/21}},\ {\sqrt {1/15}},\ -2{\sqrt {2/5}},\ 0,\​​ 0,\​​ 0\right)

\left({\sqrt {1/21}},\ -{\sqrt {5/3}},\ 0,\​​ 0,\​​ 0,\​​ 0\right)

\left(-{\sqrt {12/7}},\ 0,\​​ 0,\​​ 0,\​​ 0,\​​ 0\right)

6 次元単体の頂点は、次の順列として 7 次元空間に簡単に配置できます。

(0,0,0,0,0,0,1)

この構成は、7-オルソプレックスのファセットに基づいています。

画像

正投影図
A _k コクセター平面	A6	A5	A4
グラフ
二面対称性	[7]	[6]	[5]
A _kコクセター平面	A3	A ₂
グラフ
二面対称性	[4]	[3]

注記

^ リチャード・クリッツィング、「ヘプタペトン」、bendwavy.org。
^ Klitzing, Richard. 「6D 均一多面体 (ポリペタ) x3o3o3o3o3o — ホップ」。
^ Coxeter 1973, §1.8 構成
^ Coxeter, HSM (1991). Regular Complex Polytopes (第2版). Cambridge University Press. p. 117. ISBN 9780521394901。

参考文献

コクセター、HSM：
- — (1973). 「表I (iii): 正多面体、n次元の3つの正多面体 (n≥5)」.正多面体（第3版）. ドーバー. 296ページ. ISBN 0-486-61480-8。
- シャーク、F・アーサー、マクマレン、ピーター、トンプソン、アンソニー・C・ワイス、アジア・アイヴィック編（1995年）。『万華鏡：H・S・M・コクセター選集』ワイリー社、ISBN 978-0-471-01003-6。
  - (論文22) — (1940). 「正多面体と半正多面体 I」 . Math. Zeit . 46 : 380–407 . doi :10.1007/BF01181449. S2CID 186237114.
  - (論文23) — (1985). 「正則多面体と半正則多面体 II」 . Math. Zeit . 188 (4): 559– 591. doi :10.1007/BF01161657. S2CID 120429557.
  - (論文24) — (1988). 「正則多面体と半正則多面体III」 . Math. Zeit . 200 : 3–45 . doi :10.1007/BF01161745. S2CID 186237142.
コンウェイ、ジョン・H.、バーギエル、ハイディ、グッドマン＝シュトラウス、チャイム (2008). 「26. ヘミキューブ: 1 _n1」『事物の対称性』p. 409. ISBN 978-1-56881-220-5。
ジョンソン、ノーマン(1991). 「均一多面体」（原稿）. ノーマン・ジョンソン（数学者）.
- ジョンソン, NW (1966). 『一様多面体とハニカムの理論』（博士号）. トロント大学. OCLC 258527038.

外部リンク

オルシェフスキー、ジョージ. 「シンプレックス」.ハイパースペース用語集. 2007年2月4日時点のオリジナルよりアーカイブ。
様々な次元の多面体
多次元用語集

v t e 2～10次元の基本凸正則多面体と一様多面体
家族	$アン $	$B n$	$I 2 (p)$ / $D n$	$E 6$ / $E 7$ / $E 8$ / $F 4$ / $G 2$	$H n$
正多角形	三角形	四角	p角形	六角形	五角形
均一な多面体	四面体	八面体•立方体	デミキューブ		十二面体•二十面体
均一ポリクロロン	ペンタコロン	16セル• Tesseract	デミテッセラクト	24セル	120セル• 600セル
一様5次元多面体	5単体	5-オルソプレックス• 5-キューブ	5デミキューブ
一様6次元多面体	6単体	6-オルソプレックス• 6-キューブ	6デミキューブ	1 ₂₂ • 2 ₂₁
一様7次元多面体	7単体	7-オルソプレックス• 7-キューブ	7デミキューブ	1 ₃₂ • 2 ₃₁ • 3 ₂₁
一様8次元多面体	8単体	8-オルソプレックス• 8-キューブ	8デミキューブ	1 ₄₂ • 2 ₄₁ • 4 ₂₁
一様9次元多面体	9単体	9-オルソプレックス• 9-キューブ	9デミキューブ
一様10次元多面体	10単体	10-オルソプレックス• 10-キューブ	10デミキューブ
一様n多面体	n -単体	n -オルソプレックス• n -キューブ	n -デミキューブ	1 _k2 • 2 _k1 • k ₂₁	n -五角形多面体
トピック:多面体族•正多面体•正多面体と複合多面体の一覧•多面体の演算

[klitzing_hop-1] リチャード・クリッツィング、「ヘプタペトン」、bendwavy.org。

[2] Klitzing, Richard. 「6D 均一多面体 (ポリペタ) x3o3o3o3o3o — ホップ」。

[3] Coxeter 1973, §1.8 構成

[4] Coxeter, HSM (1991). Regular Complex Polytopes (第2版). Cambridge University Press. p. 117. ISBN 9780521394901。

A6多面体
t0	t ₁	t ₂	t _0,1	t _0,2	t _1,2	t _0,3	t _1,3	t _2,3
t _0,4	t _1,4	t _0,5	t _0,1,2	t _0,1,3	t _0,2,3	t _1,2,3	t _0,1,4	t _0,2,4
t _1,2,4	t _0,3,4	t _0,1,5	t _0,2,5	t _0,1,2,3	t _0,1,2,4	t _0,1,3,4	t _0,2,3,4	t _1,2,3,4
t _0,1,2,5	t _0,1,3,5	t _0,2,3,5	t _0,1,4,5	t _0,1,2,3,4	t _0,1,2,3,5	t _0,1,2,4,5	t _0,1,2,3,4,5

6単体

別名

構成として

座標

画像

関連する均一6次元多面体

注記

参考文献

外部リンク