共振

減衰が減少し、周波数が駆動減衰単振動子の共振周波数に近づくにつれて振幅が増加する。^{[ 1 ] [ 2 ]}

共振とは、物体またはシステムが、そのシステムの共振周波数（または共振周波数）と 一致する周波数の外力または振動を受けたときに発生する現象です。共振周波数とは、システム内で最大振幅応答を生成する周波数と定義されます。これが発生すると、物体またはシステムは外力からエネルギーを吸収し、より大きな振幅で振動し始めます。共振は、機械システム、電気システム、音響システムなど、さまざまなシステムで発生する可能性があり、楽器やラジオ受信機などの特定の用途では望ましい場合が多いです。しかし、共振は有害な場合もあり、過度の振動や場合によっては構造的な破損につながることもあります。^{[ 3 ]}

分子系や粒子を含むすべてのシステムは、その構造に応じて固有振動数で振動する傾向があります。減衰がほとんどない場合、この周波数は共振周波数とほぼ等しくなりますが、わずかに高くなります。振動力、つまり外部振動が動的システム、物体、または粒子の共振周波数に加えられると、その外部振動は、同じ力が他の非共振周波数に加えられた場合よりも、より高い振幅（より大きな力）でシステムを振動させます。^{[ 4 ]}

システムの共振周波数は、外部振動に対する応答がシステム内で相対的に最大の振幅を生み出すときに識別できます。 ^{[ 4 ]}システムの共振周波数に近い小さな周期的な力は、振動エネルギーの蓄積により、システムに大きな振幅の振動を生み出す可能性があります。

共鳴現象はあらゆる種類の振動や波動で発生します。機械共鳴、軌道共鳴、音響共鳴、電磁共鳴、核磁気共鳴（NMR）、電子スピン共鳴（ESR）、量子波動関数の共鳴などがあります。共鳴システムは、特定の周波数の振動（例：楽器）を生成したり、多くの周波数を含む複雑な振動（例：フィルター）から特定の周波数を取り出したり できます。

共鳴という言葉（ラテン語のresonantia（エコー）とresonare（響き渡る）に由来）は音響学の分野、特に楽器で観察される共鳴（例えば、ある弦を弾いた後に別の弦が振動して音を出すなど）に由来しています。

概要

共振は、システムが2つ以上の異なるエネルギーを蓄積し、それらの間で容易にエネルギーを伝達できる場合に発生します（例えば、単振り子の場合の運動エネルギーと位置エネルギー）。しかし、サイクルごとに減衰と呼ばれる損失が生じます。減衰が小さい場合、共振周波数はシステムの固有振動数（強制されていない振動の周波数）とほぼ等しくなります。システムによっては、複数の異なる共振周波数を持つものもあります。

例

ブランコに乗っている人を押すことは、共鳴のよくある例です。荷重のかかったブランコ、つまり振り子は、固有振動数、つまり共振周波数を持ち、それより速い速度または遅い速度で押されることに抵抗します。

身近な例としては、振り子のような働きをする遊び場のブランコが挙げられます。ブランコに乗っている人をブランコの自然な振動間隔（共振周波数）に合わせて押すと、ブランコはどんどん高く（最大振幅）上がります。一方、ブランコを速くまたは遅く押そうとすると、弧を描く角度は小さくなります。^{[ 5 ] : p.2–24} これは、押す力がブランコ​​の自然な振動と一致した時に、ブランコが吸収するエネルギーが最大化されるためです。

共鳴は自然界に広く見られ、多くの機器で利用されています。これは、事実上すべての正弦波や振動が生成されるメカニズムです。例えば、金属、ガラス、木材などの硬い物体に衝撃を与えると、物体は短時間の共鳴振動を起こします。^{[ 5 ]：p.2–24} 光やその他の短波長の電磁波は、原子内の電子など、原子スケールでの共鳴によって生成されます。共鳴の他の例としては、以下のものがあります。

• 現代の時計の計時機構、例えば機械式時計のテンプやクオーツ時計の水晶振動子など
• ファンディ湾の潮汐共鳴
• 楽器と人間の発声器官の音響共鳴
• 正しい音程（共鳴周波数）の音にさらされるとクリスタルワイングラスが割れる
• 摩擦式固有音、例えばガラス製品（ガラス、瓶、花瓶）の縁を指先でこすって振動させるなど
• ラジオやテレビの同調回路の電気共振により、無線周波数を選択的に受信できる。
• レーザー空洞内の光共鳴によるコヒーレント光の生成
• 太陽系の巨大惑星のいくつかの衛星やプルティノのような共鳴群に代表される軌道共鳴
• 原子スケールの物質共鳴は、凝縮物質物理学で使用されるいくつかの分光技術の基礎となっている。
  • 電子スピン共鳴
  • メスバウアー効果
  • 核磁気共鳴

線形システム

共振は、多くの線形および非線形システムにおいて、平衡点を中心とした振動として現れます。システムが正弦波の外部入力によって駆動されると、システムの測定出力がそれに応じて振動することがあります。出力の定常振動の振幅と入力の振動の比はゲインと呼ばれ、ゲインは正弦波の外部入力の周波数の関数となります。特定の周波数におけるゲインのピークは共振に対応し、測定出力の振動の振幅が不釣り合いに大きくなります。

振動する多くの線形および非線形システムは、平衡点付近では調和振動子としてモデル化されるため、ここでは駆動減衰調和振動子の共振周波数の導出を示します。RLC回路を用いて、共振とシステムの伝達関数、周波数応答、極、零点との関係を示します。RLC回路の例を基に、複数の入出力を持つ高次線形システムにおけるこれらの関係を一般化します。

駆動減衰調和振動子

外部から正弦波状の力を受けて駆動されるばね上の減衰質量を考えてみましょう。ニュートンの第二法則は次のようになります。

$${\displaystyle m{\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}=F_{0}\sin(\omega t)-kx-c{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}},}$$

1

ここで、 mは質量、xは平衡点からの質量の変位、F ₀は駆動振幅、ωは駆動角周波数、kはバネ定数、cは粘性減衰係数である。これは次のように書き直すことができる。

$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}+2\zeta \omega _{0}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}+\omega _{0}^{2}x={\frac {F_{0}}{m}}\sin(\omega t),}$$

2

どこ

• ${\textstyle \omega _{0}={\sqrt {k/m}}}$振動子の非減衰角周波数または固有周波数と呼ばれる。
• ${\displaystyle \zeta ={\frac {c}{2{\sqrt {mk}}}}}$は減衰比と呼ばれます。

多くの文献では、 ω _0を共振周波数と呼んでいます。しかし、以下に示すように、変位x ( t ) の振動を解析する場合、共振周波数はω ₀に近いものの、同じではありません。一般的に、共振周波数は固有周波数に近いですが、必ずしも同じではありません。^{[ 6 ]}次のセクションのRLC回路の例では、同じシステムにおける異なる共振周波数の例を示しています。

式( 2 )の一般解は、初期条件に依存する過渡解と、初期条件に依存せず駆動振幅F ₀、駆動周波数ω、非減衰角周波数ω ₀、および減衰比ζのみに依存する定常解の和である。過渡解は比較的短時間で減衰するため、共振を研究するには定常解のみを考慮すれば十分である。

x ( t )の定常解を、誘起位相変化φを伴う駆動力に比例する関数として表すことが可能です。

$${\displaystyle x(t)={\frac {F_{0}}{m{\sqrt {\left(2\omega \omega _{0}\zeta \right)^{2}+(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2})^{2}}}}}\sin(\omega t+\varphi ),}$$

3

どこ ${\displaystyle \varphi =\arctan \left({\frac {2\omega \omega _{0}\zeta }{\omega ^{2}-\omega _{0}^{2}}}\right)+n\pi .}$

位相値は通常 -180° から 0 の間とされるため、arctan 引数の正の値と負の値の両方に対する位相遅れを表します。

駆動された単振動子の相対周波数と減衰による振幅の定常変化 ${\displaystyle \omega /\omega _{0}}$ ${\displaystyle \zeta }$

共振は、特定の駆動周波数において、 x ( t )の定常振幅が他の駆動周波数における振幅と比較して大きい場合に発生します。バネ上の質量の場合、共振は物理的には、特定の駆動周波数において質量の振動がバネの平衡位置から大きく変位することに対応します。x ( t ) の振幅を駆動周波数 ω の関数として見ると、振幅は駆動周波数で最大になります 。 $${\displaystyle \omega _{r}=\omega _{0}{\sqrt {1-2\zeta ^{2}}}.}$$

ω _rはこのシステムの共振周波数です。繰り返しますが、共振周波数は振動子の減衰されていない角周波数ω ₀とは等しくありません。これらは比例関係にあり、減衰比がゼロになると等しくなりますが、減衰比がゼロでない場合は同じ周波数にはなりません。図に示すように、共振はω ₀を含む共振周波数付近の他の周波数でも発生する可能性がありますが、最大応答は共振周波数で発生します。

また、ω _rは の場合にのみ実数かつ非ゼロとなるため、このシステムは調和振動子が著しく減衰不足の場合にのみ共振します。減衰比が非常に小さく、駆動周波数が共振周波数に近いシステムでは、定常振動は非常に大きくなる可能性があります。 ${\textstyle \zeta <1/{\sqrt {2}}}$

振り子

共振周波数ω0、減衰D=0.05の3つの同一の振り子を、ω=2/3ω0、ω=ω0、ω=4/3ω0の周波数で駆動する。位相差はそれぞれ異なり、共振周波数で駆動される中央の振り子の振れ幅が最も大きい。

バネの質量の例と全く同じ運動方程式を持たない、他の駆動減衰調和振動子の場合、共振周波数は維持される が、 ω ₀とζ の定義はシステムの物理的性質に基づいて変化する。長さℓと小さな変位角θの振り子の場合、式( 1 )は次のようになる 。 $${\displaystyle \omega _{r}=\omega _{0}{\sqrt {1-2\zeta ^{2}}},}$$ $${\displaystyle m\ell {\frac {\mathrm {d} ^{2}\theta }{\mathrm {d} t^{2}}}=F_{0}\sin(\omega t)-mg\theta -c\ell {\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}}$$

そしてそれゆえ

• ${\displaystyle \omega _{0}={\sqrt {\frac {g}{\ell }}},}$
• ${\displaystyle \zeta ={\frac {c}{2m}}{\sqrt {\frac {\ell }{g}}}.}$

RLC直列回路

RLC直列回路

抵抗Rの抵抗、インダクタンスLのインダクタ、容量Cのコンデンサが直列に接続され、電流i ( t )が流れ、電圧v in ( _t )の電圧源によって駆動される回路を考える。回路の電圧降下は

${\displaystyle L{\frac {di(t)}{dt}}+Ri(t)+V(0)+{\frac {1}{C}}\int _{0}^{t}i(\tau )d\tau =v_{\text{in}}(t).}$

4

このセクションでは、上記のバネ質量の例のようにこの方程式の候補解を分析するのではなく、この回路の周波数応答を解析します。式( 4 ) のラプラス変換を取ります。 ここで_、 I ( s )とVin ( s )はそれぞれ電流と入力電圧のラプラス変換であり、sはラプラス領域における 複素周波数パラメータです。項を整理すると、 $${\displaystyle sLI(s)+RI(s)+{\frac {1}{sC}}I(s)=V_{\text{in}}(s),}$$ $${\displaystyle I(s)={\frac {s}{s^{2}L+Rs+{\frac {1}{C}}}}V_{\text{in}}(s).}$$

コンデンサの両端の電圧

直列接続されたRLC回路では、出力電圧を測定する場所がいくつか存在します。対象となる出力電圧がコンデンサ両端の電圧降下であると仮定します。上に示したように、ラプラス領域ではこの電圧 は $${\displaystyle V_{\text{out}}(s)={\frac {1}{sC}}I(s)}$$ $${\displaystyle V_{\text{out}}={\frac {1}{LC(s^{2}+{\frac {R}{L}}s+{\frac {1}{LC}})}}V_{\text{in}}(s).}$$

この回路の固有振動数と減衰比を定義する。 $${\displaystyle \omega _{0}={\frac {1}{\sqrt {LC}}},}$$ $${\displaystyle \zeta ={\frac {R}{2}}{\sqrt {\frac {C}{L}}}.}$$

出力電圧と入力電圧の比は $${\displaystyle H(s)\triangleq {\frac {V_{\text{out}}(s)}{V_{\text{in}}(s)}}={\frac {\omega _{0}^{2}}{s^{2}+2\zeta \omega _{0}s+\omega _{0}^{2}}}}$$

H ( s ) は入力電圧と出力電圧間の伝達関数である。この伝達関数は2つの極（伝達関数の分母の多項式の根） を持ち、

$${\displaystyle s=-\zeta \omega _{0}\pm i\omega _{0}{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}}$$

5

伝達関数の分子には多項式の根である零点は存在しない。さらに、ζ ≤ 1の場合、これらの極の大きさは固有振動数ω _{0であり、調和振動子の例における共振の条件である}ζ < 1/ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$の場合、極は実軸よりも虚軸に近くなる。

H ( s ) を虚軸s = iωに沿って評価すると、伝達関数はこの回路の周波数応答を記述します。同様に、周波数応答はラプラス変換の代わりに式( 4 )のフーリエ変換を行うことで解析できます。伝達関数も複素数であり、ゲインと位相として表すことができます。 $${\displaystyle H(i\omega )=G(\omega )e^{i\Phi (\omega )}.}$$

RLC直列回路の素子間の電圧のボード線図。固有周波数ω ₀ = 1 rad/s、減衰比ζ = 0.4。コンデンサ電圧は回路の固有周波数より低い周波数でピークに達し、インダクタ電圧は固有周波数より高い周波数でピークに達し、抵抗器電圧は固有周波数でピークに達し、ピークゲインは1である。直列接続されたコンデンサとインダクタの両端の電圧のゲインは反共振を示し、固有周波数でゲインはゼロになる。

周波数ωの正弦波入力電圧は、同じ周波数でG ( ω ) でスケーリングされ、位相シフトΦ ( ω ) を持つ出力電圧を生成します。ゲインと位相は、ボード線図上で周波数に対してプロットできます。RLC回路のコンデンサ電圧の場合、伝達関数H ( iω ) のゲインは

$${\displaystyle G(\omega )={\frac {\omega _{0}^{2}}{\sqrt {\left(2\omega \omega _{0}\zeta \right)^{2}+(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2})^{2}}}}.}$$

6

ここでのゲインと式( 3 )の振幅の類似性に注目してください。ここでもゲインは共振周波数で最大になります。 $${\displaystyle \omega _{r}=\omega _{0}{\sqrt {1-2\zeta ^{2}}}.}$$

ここで、共振は、他の駆動周波数での振幅と比較して、コンデンサ両端の電圧の定常振動の振幅が比較的大きいことに物理的に対応します。

インダクタの両端の電圧

共振周波数は必ずしも上記の例のような形をとる必要はありません。RLC回路の場合、対象となる出力電圧はインダクタの両端の電圧であると仮定します。上に示したように、ラプラス領域ではインダクタの両端の電圧は $${\displaystyle V_{\text{out}}(s)=sLI(s),}$$ $${\displaystyle V_{\text{out}}(s)={\frac {s^{2}}{s^{2}+{\frac {R}{L}}s+{\frac {1}{LC}}}}V_{\text{in}}(s),}$$ $${\displaystyle V_{\text{out}}(s)={\frac {s^{2}}{s^{2}+2\zeta \omega _{0}s+\omega _{0}^{2}}}V_{\text{in}}(s),}$$

前の例と同じω ₀とζの定義を用いる。V in ₍ s )とこの新しいV _out ( s )の間のインダクタを介し た伝達関数は $${\displaystyle H(s)={\frac {s^{2}}{s^{2}+2\zeta \omega _{0}s+\omega _{0}^{2}}}.}$$

この伝達関数は、前の例の伝達関数と同じ極を持ちますが、分子のs = 0に2つの零点も持ちます。H ( s )を虚軸に沿って評価すると、そのゲインは次のようになります。 $${\displaystyle G(\omega )={\frac {\omega ^{2}}{\sqrt {\left(2\omega \omega _{0}\zeta \right)^{2}+(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2})^{2}}}}.}$$

コンデンサ電圧を出力として用いた式（ 6 ）の利得と比較すると、この利得は分子に ω ^{2の係数を持ち、したがって利得を最大化する共振周波数が異なります。その周波数は} $${\displaystyle \omega _{r}={\frac {\omega _{0}}{\sqrt {1-2\zeta ^{2}}}},}$$

したがって、同じ RLC 回路でインダクタの両端の電圧を出力とすると、共振周波数は固有周波数よりも大きくなりますが、減衰率がゼロに近づくにつれて、共振周波数は依然として固有周波数に近づきます。同じ回路で出力の選択によって異なる共振周波数を持つことができることは矛盾ではありません。式 ( 4 ) に示すように、回路の両端の電圧降下は 3 つの回路要素に分割され、各要素はそれぞれ異なるダイナミクスを持ちます。コンデンサの電圧は、電流を時間の経過とともに積分することによってゆっくりと増加するため、より低い周波数に対してより敏感ですが、インダクタの電圧は電流が急激に変化すると増加するため、より高い周波数に対してより敏感です。回路全体には振動する傾向がある固有周波数がありますが、各回路要素の異なるダイナミクスにより、各要素はわずかに異なる周波数で共振します。

抵抗器の両端の電圧

対象となる出力電圧が抵抗器の両端の電圧であると仮定します。ラプラス領域では、抵抗器の両端の電圧は $${\displaystyle V_{\text{out}}(s)=RI(s),}$$ $${\displaystyle V_{\text{out}}(s)={\frac {Rs}{L\left(s^{2}+{\frac {R}{L}}s+{\frac {1}{LC}}\right)}}V_{\text{in}}(s),}$$

コンデンサの例と同じ固有振動数と減衰比を用いると、伝達関数は次のようになる。 $${\displaystyle H(s)={\frac {2\zeta \omega _{0}s}{s^{2}+2\zeta \omega _{0}s+\omega _{0}^{2}}}.}$$

この伝達関数も、前のRLC回路の例と同じ極を持ちますが、分子の零点はs = 0の1つだけです。この伝達関数のゲインは $${\displaystyle G(\omega )={\frac {2\zeta \omega _{0}\omega }{\sqrt {\left(2\omega \omega _{0}\zeta \right)^{2}+(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2})^{2}}}}.}$$

このゲインを最大化する共振周波数は で あり、この周波数でのゲインは 1 なので、抵抗器の両端の電圧は回路の固有周波数で共振し、この周波数では抵抗器の両端の電圧の振幅は入力電圧の振幅と等しくなります。 $${\displaystyle \omega _{r}=\omega _{0},}$$

反共鳴

一部のシステムは反共振を示しますが、これは共振と同じ方法で解析できます。反共振とは、特定の周波数におけるシステムの応答振幅が、不釣り合いに大きくなるのではなく、むしろ不釣り合いに小さくなる現象です。RLC回路の例では、インダクタとコンデンサの両方を組み合わせて解析することで、この現象を観察できます。

RLC回路で対象となる出力電圧は、直列に接続されたインダクタとコンデンサの両端の電圧であると仮定します。式（4）は、3つの回路素子の両端の電圧の合計が入力電圧になることを示しており、インダクタとコンデンサの両端の電圧の合計として出力電圧を測定すると、v _{in から}抵抗器の両端の電圧降下を差し引いた値と同じになります。前の例では、システムの固有周波数において、抵抗器の両端の電圧降下の振幅がv _inの振幅に等しいため、インダクタとコンデンサの両端の電圧の振幅はゼロになることを示しました。これは伝達関数で示すことができます。

インダクタとコンデンサの電圧の合計は $${\displaystyle V_{\text{out}}(s)=(sL+{\frac {1}{sC}})I(s),}$$ $${\displaystyle V_{\text{out}}(s)={\frac {s^{2}+{\frac {1}{LC}}}{s^{2}+{\frac {R}{L}}s+{\frac {1}{LC}}}}V_{\text{in}}(s).}$$

前の例と同じ固有振動数と減衰比を使用すると、伝達関数は次のようになります。 $${\displaystyle H(s)={\frac {s^{2}+\omega _{0}^{2}}{s^{2}+2\zeta \omega _{0}s+\omega _{0}^{2}}}.}$$

この転送は前の例と同じ極を持ちますが、零点は

$${\displaystyle s=\pm i\omega _{0}.}$$

7

虚軸に沿って伝達関数を評価すると、そのゲインは $${\displaystyle G(\omega )={\frac {\omega _{0}^{2}-\omega ^{2}}{\sqrt {\left(2\omega \omega _{0}\zeta \right)^{2}+(\omega _{0}^{2}-\omega ^{2})^{2}}}}.}$$

共振、すなわちゲインのピークを探すのではなく、抵抗器の電圧解析と一致する、ω = ω _{0でゲインがゼロになることに注目してください。これは}反共振と呼ばれ、共振とは逆の効果をもたらします。この出力を選択した回路は、この周波数で出力が不釣り合いに大きくなるのではなく、この周波数では全く応答しません。フィルタリングされる周波数は、式( 7 )に示され虚軸上にある伝達関数のゼロと正確に一致します。

RLC直列回路例における共振と周波数応答の関係

これらのRLC回路の例は、共振がシステムの周波数応答とどのように関係しているかを示しています。具体的には、以下のことを示しています。

• システムの入出力間の伝達関数のゲインのピークを探すことで共振周波数を見つける方法（例えば、ボード線図）
• 単一システムの共振周波数がシステム出力の選択によってどのように異なるか
• システムの固有振動数、システムの減衰比、システムの共振周波数の関係
• 式（ ５ ）で指摘されているシステムの固有振動数と伝達関数の極の大きさとの関係、したがって極と共振周波数との関係
• 伝達関数のゼロと周波数の関数としてのゲインの形状との関係、したがってゼロとゲインを最大化する共振周波数との関係
• 伝達関数の零点と反共振の関係

次のセクションでは、これらの概念を一般線形システムにおける共鳴に拡張します。

線形システムの共鳴と反共鳴の一般化

次に、複数の入力と出力を持つ任意の線形システムを考えてみましょう。例えば、状態空間表現では、3入力2出力の3次線形時不変システムは次のように表されます。 ここで、 u _i ( t ) は入力、x _i ( t ) は状態変数、 y _i ( t ) は出力、A、B、C、Dは変数間のダイナミクスを記述する行列です。 $${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\dot {x}}_{1}\\{\dot {x}}_{2}\\{\dot {x}}_{3}\end{bmatrix}}=A{\begin{bmatrix}x_{1}(t)\\x_{2}(t)\\x_{3}(t)\end{bmatrix}}+B{\begin{bmatrix}u_{1}(t)\\u_{2}(t)\\u_{3}(t)\end{bmatrix}},}$$ $${\displaystyle {\begin{bmatrix}y_{1}(t)\\y_{2}(t)\end{bmatrix}}=C{\begin{bmatrix}x_{1}(t)\\x_{2}(t)\\x_{3}(t)\end{bmatrix}}+D{\begin{bmatrix}u_{1}(t)\\u_{2}(t)\\u_{3}(t)\end{bmatrix}},}$$

このシステムには伝達関数行列があり、その要素は様々な入力と出力間の伝達関数である。例えば、 $${\displaystyle {\begin{bmatrix}Y_{1}(s)\\Y_{2}(s)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}H_{11}(s)&H_{12}(s)&H_{13}(s)\\H_{21}(s)&H_{22}(s)&H_{23}(s)\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}U_{1}(s)\\U_{2}(s)\\U_{3}(s)\end{bmatrix}}.}$$

各H _ij ( s )は、入力の1つを出力の1つに結び付けるスカラー伝達関数です。上記のRLC回路の例では、入力電圧は1つで、4つの出力電圧（コンデンサ、インダクタ、抵抗、コンデンサとインダクタの直列接続）が考えられ、それぞれ独自の伝達関数を持ちます。RLC回路がこれら4つの出力電圧すべてを測定するように設定された場合、そのシステムは単一の入力を4つの出力それぞれに結び付ける4×1の伝達関数行列を持つことになります。

虚軸に沿って評価すると、各H _ij ( iω )はゲインと位相シフトとして表すことができ、 $${\displaystyle H_{ij}(i\omega )=G_{ij}(\omega )e^{i\Phi _{ij}(\omega )}.}$$

システムが安定していると仮定すると、特定の周波数でのゲインのピークは、その伝達関数の入力と出力間の共振に対応します。

各伝達関数H _ij ( s )は、分子と分母がsの多項式である分数として表すこともできます。 $${\displaystyle H_{ij}(s)={\frac {N_{ij}(s)}{D_{ij}(s)}}.}$$

分子の複素根は零点、分母の複素根は極と呼ばれる。安定なシステムの場合、複素平面上のこれらの極と零点の位置は、システムが共振するか反共振するか、またどの周波数で共振するかを示す指標となる。特に、安定または限界安定な、虚数成分を持つ複素共役極のペアは、 式（5）のように、固有振動数と減衰比で表すことができる。その極の固有振動数ω0_は、複素平面上の極の位置の大きさであり、その極の減衰比は、その振動が減衰する速度を決定する。一般に、^{[ 6 ]} $${\displaystyle s=-\zeta \omega _{0}\pm i\omega _{0}{\sqrt {1-\zeta ^{2}}},}$$

• 虚軸近傍の複素共役極対は、極の固有振動数付近の周波数応答におけるピークまたは共振に対応します。極対が虚軸上にある場合、その周波数におけるゲインは無限大となります。
• 虚軸近傍の複素共役零点対は、零点の周波数近傍、すなわち零点の振幅に等しい周波数において、周波数応答におけるノッチまたは反共振に対応する。零点対が虚軸上にある場合、その周波数におけるゲインはゼロとなる。

RLC回路の例では、極と共振を関連付ける最初の一般化は式( 5 )に見られます。零点と反共振を関連付ける2番目の一般化は式( 7 )に見られます。調和振動子、RLC回路のコンデンサ電圧、およびRLC回路のインダクタ電圧の例では、「虚軸近くの極」は、ζ < 1/ という著しく減衰の少ない条件に対応します。 ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

定在波

バネ上の質量は自由度が1つなので、1つの固有振動数を持ちます。

物理システムは、その自由度と同じ数の固有振動数を持つことができ、それぞれの固有振動数付近で共鳴することができます。自由度が1つのバネに取り付けられた質量は、1つの固有振動数を持ちます。自由度が2つの二重振り子は、2つの固有振動数を持つことができます。結合した調和振動子の数が増えるにつれて、ある振動子から次の振動子へエネルギーを伝達するのにかかる時間は大きくなります。自由度が非常に大きいシステムは、離散的な振動子を持つのではなく、 連続的な振動子を持つものと考えることができます。

エネルギーは、ある振動子から次の振動子へと波の形で伝達されます。例えば、ギターの弦やボウルの中の水面は、小さな振動子が結合した連続体としてモデル化でき、波はそれらに沿って伝わります。多くの場合、これらのシステムは特定の周波数で共鳴し、固定された位置で大きな振幅の振動を伴う定在波を形成する可能性があります。定在波の形での共鳴は、楽器の音、レーザーや電子レンジに用いられる電磁空洞、原子のエネルギー準位など、多くの身近な現象の根底にあります。

弦の定在波

定在波（黒）は、左右から移動する2つの波が出会って重なり合うことで発生します。

一定の長さの弦を特定の周波数で駆動すると、弦に沿って同じ周波数の波が伝播します。波は弦の両端で反射し、最終的に両方向に波が伝播する定常状態に達します。波形は波の重ね合わせです。 ^{[ 7 ]}

特定の周波数では、定常波形は弦に沿って移動しないように見える。弦は節と呼ばれる固定位置では変位しない。弦は節の間で振動し、節と節のちょうど中間、つまり腹と呼ばれる位置では振動が最大振幅となる。^{[ 8 ] [ 9 ] [ 10 ]}

弦の定在波 –基本モードと最初の 5 つの高調波。

固定端を持つ長さの弦の場合、時間における軸に垂直な弦の変位は^{[ 7 ]}である。 ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle y(x,t)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle t}$ $${\displaystyle y(x,t)=2y_{\text{max}}\sin(kx)\cos(2\pi ft),}$$

どこ

• ${\displaystyle y_{\text{max}}}$左波と右波が干渉して定在波を形成する振幅である。
• ${\displaystyle k}$は波数であり、
• ${\displaystyle f}$は周波数です。

共鳴して定在波を形成する周波数は弦の長さと関係があり、^{[ 11 ] [ 9 ]} $${\displaystyle f={\frac {nv}{2L}},}$$ $${\displaystyle n=1,2,3,\dots }$$

ここでは波の速度であり、整数 は異なるモードまたは高調波を表します。n = 1の定在波は基本周波数で振動し、その波長は弦の長さの2倍です。振動の可能なモードは高調波列を形成します。^{[ 11 ]} ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle n}$

種類

機械

学校の共鳴質量実験

機械共振とは、機械システムの振動周波数がシステムの固有振動数と一致すると、他の周波数よりも多くのエネルギーを吸収する傾向のことです。橋梁、建物、列車、航空機など、不適切に建設された構造物では、激しい揺れや壊滅的な破損を引き起こす可能性があります。物体を設計する際には、エンジニアは 構成部品の機械共振周波数がモーターやその他の振動部品の駆動振動周波数と一致しないようにする必要があります。この現象は共振災害と呼ばれます。

共鳴災害の回避は、あらゆる建物、塔、橋梁建設プロジェクトにおいて重要な課題です。対策として、ショックマウントを設置して共振周波数を吸収し、吸収されたエネルギーを消散させることが考えられます。台北101ビルは、660トン（730ショートトン）の振り子（同調質量ダンパー）を用いて共振を打ち消しています。さらに、この構造は、通常は発生しない周波数で共振するように設計されています。地震帯にある建物は、多くの場合、予想される地盤動の振動周波数を考慮して建設されます。さらに、エンジンを搭載した物体を設計するエンジニアは、構成部品の機械的共振周波数が、モーターやその他の強く振動する部品の駆動振動周波数と一致しないようにする必要があります。

時計は、テンプ、振り子、または水晶の機械的共鳴によって時間を計ります。

ランナーの歩調は、下肢に蓄えられた弾性エネルギーとランナーの質量との共鳴により、エネルギー的に好ましいものになるという仮説が立てられている。^{[ 12 ]}

国際宇宙ステーション

国際宇宙ステーション（ISS）のロケットエンジンは自動操縦装置によって制御されています。通常、ズヴェズダ・モジュールのエンジン制御システムを制御するためのアップロードされたパラメータによって、ロケットエンジンは国際宇宙ステーションをより高い軌道へと押し上げます。ロケットエンジンはヒンジで取り付けられており、通常、乗組員はその動作に気づきません。しかし、2009年1月14日、アップロードされたパラメータによって自動操縦装置はロケットエンジンを0.5Hzの周波数で徐々に大きく揺らしました。この振動はビデオに記録されており、142秒間続きました。^{[ 13 ]}

音響

音響共鳴は機械的共鳴の一分野であり、人間の聴覚の周波数範囲、すなわち音の周波数範囲全体にわたる機械的振動に関係しています。人間の聴覚は通常、約20  Hzから20,000 Hz（20  kHz）の周波数に限られています。^{[ 14 ]} 多くの物体や材料はこの範囲内の共鳴周波数を持つ共鳴器として機能し、叩かれると機械的に振動し、周囲の空気を押して音波を生成します。これが、私たちが耳にする多くの打楽器音の源です。

ほとんどのアコースティック楽器は、バイオリンの弦や本体、フルートの管の長さ、ドラムの膜の形状や張力など、 共鳴器を使用しているため、音響共鳴は楽器製作者にとって重要な考慮事項です。

機械的共振と同様に、音響共振も共振時に物体の壊滅的な破壊を引き起こす可能性があります。その典型的な例としては、ワイングラスをそのグラスの共振周波数と正確に一致する音で割るというものがあります。ただし、これは実際には困難です。^{[ 15 ]}

電気

コンデンサ(C)とインダクタ(L)が接続された同調回路における電気共振を示すアニメーション。電荷はインダクタを通してコンデンサの極板間を行き来します。エネルギーはコンデンサの電界( E )とインダクタの磁界( B )の間を行き来します。

電気共振は、電気回路において、特定の共振周波数において、直列回路では回路のインピーダンスが最小値、並列回路では最大値（通常は伝達関数の絶対値がピークとなるとき）で発生します。回路における共振は、テレビ、携帯電話、ラジオなどの無線通信の送受信に利用されています。

光学

光空洞（光共振器とも呼ばれる）は、光波の定在波空洞共振器を形成する鏡の配置です。光空洞はレーザーの主要構成要素であり、利得媒体を取り囲み、レーザー光のフィードバックを提供します。また、光パラメトリック発振器や一部の干渉計にも使用されます。空洞内に閉じ込められた光は複数回反射し、特定の共振周波数の定在波を生成します。生成される定在波のパターンは「モード」と呼ばれます。縦モードは周波数のみが異なるのに対し、横モードは周波数によって異なり、ビーム断面全体にわたって異なる強度パターンを持ちます。リング共振器やウィスパリングギャラリーは、定在波を形成しない光共振器の例です。

共振器の種類は、2枚の鏡の焦点距離と鏡間の距離によって区別されます。平面鏡は、正確な位置合わせが難しいため、あまり使用されません。ビームが安定するように、つまり、反射のたびにビームサイズが大きくなりすぎないように、共振器の形状（種類）を選択する必要があります。共振器の種類は、ビームウェストが最小であることや、共振器内に焦点がないこと（つまり、その点に強い光が当たらない）など、他の基準も満たすように設計されます。

光共振器は非常に大きなQ値を持つように設計されています。^{[ 16 ]}ビームはほとんど減衰することなく多数回反射するため、ビームの周波数線幅はレーザーの周波数に比べて小さくなります。

その他の光共鳴としては、導波モード共鳴と表面プラズモン共鳴があり、これらは共鳴時に異常反射と高いエバネッセント場をもたらします。この場合、共鳴モードは導波路の導波モード、または誘電体-金属界面の表面プラズモンモードです。これらのモードは通常、サブ波長格子によって励起されます。

軌道

天体力学では、軌道共鳴は、 2 つの軌道物体が互いに規則的で周期的な重力の影響を及ぼし合うときに発生します。これは通常、それらの軌道周期が2 つの小さな整数の比で関連していることが原因です。軌道共鳴により、物体の相互の重力影響が大幅に強化されます。ほとんどの場合、これは不安定な相互作用をもたらし、物体は運動量を交換し、共鳴が存在しなくなるまで軌道を移動します。状況によっては、共鳴システムが安定して自己修正されるため、物体は共鳴状態を維持できます。例として、木星の衛星ガニメデ、エウロパ、イオの 1:2:4 共鳴や、冥王星と海王星の 2:3 共鳴が挙げられます。土星の内側の衛星との不安定な共鳴により、土星の環に隙間が生じます。 1:1 共鳴（同様の軌道半径を持つ天体間）の特殊なケースでは、太陽系の大きな天体が、その周囲にあるほぼすべてのものを放出することで、その軌道の周囲を一掃します。この効果は、現在の惑星の定義に使用されています。

原子、粒子、分子

英国バーミンガムにあるHWB-NMRのNMR磁石。21.2テスラの強力な磁場中では、陽子共鳴周波数は900MHzである。

核磁気共鳴（NMR）は、外部磁場を印加した原子核の特定の量子力学的磁気特性を観測する物理的な共鳴現象に付けられた名称です。多くの科学技術において、NMR現象は分子物理学、結晶、非結晶材料をNMR分光法によって研究するために利用されています。また、 NMRは磁気共鳴画像法（MRI） などの高度な医療画像技術にも日常的に利用されています。

奇数の核子を含むすべての原子核は、固有の角運動量と磁気モーメントを持っています。NMRの重要な特徴は、特定の物質の共鳴周波数が印加磁場の強度に正比例することです。この特徴はイメージング技術で利用されています。試料を不均一な磁場中に置くと、試料中の核の共鳴周波数は磁場内の位置に依存します。したがって、共鳴周波数によって粒子の位置を非常に正確に特定することができます。

電子常磁性共鳴（ESR）は、電子スピン共鳴とも呼ばれ、NMRに似た分光法ですが、不対電子を用います。この手法を適用できる物質は、不対スピンと常磁性の両方を持つ必要があるため、はるかに限定されます。

メスバウアー効果とは、固体状に結合した原子による ガンマ線光子の共鳴および反跳のない放出と吸収です。

粒子物理学における共鳴は、量子力学および量子場の理論のレベルで、古典物理学と同様の状況で現れる。共鳴は不安定粒子とも考えられ、本稿の「普遍共鳴曲線」の節で示した式は、 Γが粒子の崩壊率、 が粒子の質量Mのときに適用される。この場合、式は粒子の伝播関数から得られ、その質量は複素数M  +  iΓに置き換えられる。この式は、光学定理によって粒子の崩壊率とさらに関連付けられる。 ${\displaystyle \omega _{0}}$

デメリット

狭く構造的に柔軟な橋の上を兵士たちが規則的な足取りで行進すると、橋は危険なほど大きな振幅で揺れる可能性がある。1831年4月12日、イギリスのサルフォード近郊にあるブロートン吊橋は、イギリス兵の一団が渡河中に崩落した。^{[ 17 ]}それ以来、イギリス軍は、兵士たちが通常の行進パターンで橋を渡る際に歩幅を一定に保つよう、常時命令を出している。これは、通常の行進パターンによる共振が橋に影響を及ぼすのを避けるためである。^{[ 18 ] [ 19 ]}

モーターやエンジンの振動は、支持構造の固有振動数がエンジンの振動数に近い場合、支持構造に共振振動を引き起こす可能性があります。よくある例としては、バスの車体がエンジンをアイドリングさせたときに発生するガタガタという音があります。

風によって引き起こされる吊橋の構造共振は、壊滅的な崩壊につながる可能性があります。ヨーロッパとアメリカ合衆国の初期の吊橋のいくつかは、中程度の風によって引き起こされた構造共振によって破壊されました。1940年11月7日のタコマ・ナローズ橋の崩壊は、物理学において共振の典型的な例として特徴づけられています。^{[ 20 ]}ロバート・H・スキャンランらは、この崩壊は空力弾性フラッター、つまり橋とそこを通過する風との間の複雑な相互作用によって引き起こされたと主張しています。これは自己振動、あるいは非線形振動理論で言及される一種の「自立振動」の一例です。^{[ 21 ]}

Q係数

高Q値と低Q値

Q値または品質係数は、発振器または共振器の減衰不足を表す無次元パラメータであり、中心周波数に対する共振器の帯域幅を特徴づける。 ^{[ 22 ] [ 23 ]} Q 値が高いほど、蓄積されたエネルギーに対するエネルギー損失率が低いことを示し、つまりシステムの減衰が小さいことを示す。このパラメータは次式で定義される 。^{[ 24 ]} $${\displaystyle Q=2\pi {\text{ }}{\frac {\text{ maximum energy stored}}{\text{total energy lost per cycle at resonance}}}}$$

Q値が高いほど、共振周波数における振幅は大きくなり、帯域幅、つまり共振周波数付近の周波数範囲は狭くなります。電気共振において、ラジオ受信機における高Q回路は同調が難しくなりますが、選択性が高くなるため、他局からの信号をフィルタリングする能力が向上します。高Q発振器はより安定しています。^{[ 24 ]}

通常、Q値が低い例としては、ドアクローザー（Q=0.5）が挙げられます。Q値が高いシステムとしては、 音叉（Q=1000）、原子時計、レーザー（Q≈10 ¹¹）などがあります。^{[ 25 ]}

普遍共鳴曲線

「ユニバーサル共振曲線」は、共振回路の正規化された応答の対称近似です。横軸は中心周波数からの偏差（中心周波数を2Qで割った値）です。縦軸は相対振幅と位相（サイクル単位）です。破線は、 Q値が5の場合の実際の2極回路の応答範囲を比較したものです。Q値が高いほど、ユニバーサル曲線からの偏差は小さくなります。十字は3dB帯域幅の端（ゲイン0.707、位相シフト45°または0.125サイクル）を示します。

共振の正確な応答、特に共振周波数から離れた周波数に対する応答は、物理システムの詳細に依存し、通常は上記の単純な調和振動子で示されているように、共振周波数に関して正確に対称ではありません。

共振周波数を持つ軽度減衰線形振動子の場合、駆動周波数で駆動されたときの振動の強度は、通常、共振周波数を中心に対称な次の式で近似されます。^{[ 26 ]} ${\displaystyle \omega _{0}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \omega }$ $${\displaystyle I(\omega )\equiv |\chi |^{2}\propto {\frac {1}{(\omega -\omega _{0})^{2}+\left({\frac {\Gamma }{2}}\right)^{2}}}.}$$

磁化率は振動子の振幅と周波数空間における駆動力を結び付けます。^{[ 27 ]} ${\displaystyle \chi (\omega )}$ $${\displaystyle x(\omega )=\chi (\omega )F(\omega )}$$

強度は振動の振幅の2乗として定義されます。これはローレンツ関数、あるいはコーシー分布であり、この応答は共鳴系を含む多くの物理的状況で見られます。Γは振動子の減衰に依存するパラメータであり、共鳴の線幅として知られています。減衰の大きい振動子は線幅が広くなる傾向があり、共鳴周波数付近のより広い駆動周波数範囲に応答します。線幅は共鳴の鋭さの尺度である Q値に反比例します。

無線工学や電子工学では、この近似対称応答は普遍共振曲線として知られており、これは1932年にフレデリック・E・ターマンによって導入された概念で、さまざまな中心周波数とQ値を持つ無線回路のおおよその解析を簡素化するものでした。^{[ 28 ] [ 29 ]}

参照

• サイマティクス
• 駆動調和運動
• 地震工学
• 電気双極子スピン共鳴
• フォルマント
• 大脳辺縁系共鳴
• 非線形共鳴
• 通常モード
• 肯定的なフィードバック
• シューマン共振
• 単振動
• 確率共鳴
• 共鳴弦
• 共鳴（化学）
• フェルミ共鳴
• 共鳴（素粒子物理学）

注記

1. 緒方 2005 , 617頁。
2. ガタック 2005、6.10ページ。
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外部リンク

• ファインマン物理学講義 第1巻 第23章 共鳴
• 共鳴アーカイブ2017-01-03 at the Wayback Machine - オンライン教科書の一章
• ブライアン・グリーン、「弦楽器の共鳴」。『エレガントな宇宙』NOVA（PBS）
• 共鳴概念に関する超物理学セクション
• 共鳴と共鳴（用語の使用）
• チェンバロにおける木と空気の共鳴
• 音とともにガラスが割れるアーカイブ2008-12-02 at the Wayback Machine、ガラスが割れる高速映像を含む

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