4次六角形タイリング

幾何学において、4次六角形タイリングは双曲平面の正則タイリングです。シュレーフリ記号は{6,4}です。

対称性

このタイリングは、正六角形の基本領域を定義する6つの鏡面からなる双曲型万華鏡を表しています。オービフォールド記法によるこの対称性は、6つの次数2の鏡面交差を持つ*222222と呼ばれます。コクセター記法では[6 ^* ,4]と表すことができ、3つの鏡面のうち2つ（六角形の中心を通る）を削除します。六角形の基本領域の2つの頂点を通る二分鏡を追加すると、台形*4422対称性が定義されます。頂点を通る3つの二分鏡を追加すると、*443対称性が定義されます。辺を通る3つの二分鏡を追加すると、*3222対称性が定義されます。6つの二分鏡をすべて追加すると、完全な *642対称性になります。

*222222	*443	*3222	*642

4次の六角形タイルには、 7つの異なる均一彩色があります。これらは正方タイルの7つの均一彩色と似ていますが、2次の回転対称性を持つ2つのケースは除きます。そのうち4つは鏡映構成とコクセター図を持ち、残りの3つは下彩色です。

6.6.6.6の均一構成
	1色	2色	3色と2色		4色、3色、2色
均一彩色	(1111)	(1212)	(1213)	(1113)	(1234)	(1123)	(1122)
対称性	[6,4] ( *642 )	[6,6] ( *662 ) =	[(6,6,3)] = [6,6,1 ⁺ ] ( *663 ) =		[1 ⁺ ,6,6,1 ⁺ ] ( *3333 ) ==
記号	{6,4}	r{6,6} = {6,4} 1/2	r(6,3,6) = r{6,6} ^1/2		r{6,6} _1/4
図		=	=		==

正則写像{ 6,4} ₃または {6,4} _(4,0)は、{6,4} タイリング上の 4 色彩として見ることができます。また、ペトリ八面体{3,4} ^$π$として表現することもできます。これは、八面体の頂点と辺を持ち、代わりに 4 つのペトリー多角形の面で接続された抽象的な多面体です。

このタイリングは、六角形タイリング、シュレーフリ記号{6,n}、コクセター図から始まる、六角形の面を持つ正則タイリングのシーケンスの一部として位相的に関連しています。、無限に続きます。

*正則タイリングのn 62 対称性変異: {6, n } v t e
球面	ユークリッド	双曲型タイリング
{6,2}	{6,3}	{6,4}	{6,5}	{6,6}	{6,7}	{6,8}	…	{6,∞}

このタイリングは、正多面体と頂点ごとに4面を持つタイリングの列の一部として位相的にも関連しており、正八面体、シュレーフリ記号{n,4}、コクセター図で始まります。nは無限大に向かって増加します。

均一な正六角形タイリング v t e
*対称性：[6,4]、(642 )** ([6,6](662)、[(4,3,3)](443)、[∞,3,∞](3222) 指数2部分対称性を含む) (および[(∞,3,∞,3)](3232) 指数4部分対称性を含む)
＝＝＝	＝	＝＝＝	＝	＝＝＝	＝

{6,4}	t{6,4}	r{6,4}	t{4,6}	{4,6}	rr{6,4}	tr{6,4}
一様双対


V6 ⁴	V4.12.12	V(4.6) ²	V6.8.8	V46	V4.4.4.6	V4.8.12
交代
[1 ⁺ ,6,4] (*443)	[6 ⁺ ,4] (6*2)	[6,1 ⁺ ,4] (*3222)	[6,4 ⁺ ] (4*3)	[6,4,1 ⁺ ] (*662)	[(6,4,2 ⁺ )] (2*32)	[6,4] ⁺ (642)
＝	＝	＝	＝	＝	＝

h{6,4}	s{6,4}	hr{6,4}	s{4,6}	h{4,6}	hrr{6,4}	sr{6,4}

John H. Conway、Heidi Burgiel、Chaim Goodman-Strauss著、『The Symmetries of Things』 2008年、ISBN 978-1-56881-220-5（第19章双曲的アルキメデスのモザイク細工）
「第10章双曲的空間における正則ハニカム」『幾何学の美：12のエッセイ』ドーバー出版、1999年、ISBN 0-486-40919-8 LCCN 99035678