敗血症方程式

Polynomial equation of degree 7

7次多項式のグラフ。7つの実根 （x軸の交点）と6つの臨界点を持つ。最小値と最大値の数と垂直位置に応じて、セプティックは7、5、3、または1つの実根とその重複度を持つ。複素非実根の数は、7から実根の数を引いた数である。

代数学において、セプティック方程式とは次のような形式の方程式である。

${\displaystyle ax^{7}+bx^{6}+cx^{5}+dx^{4}+ex^{3}+fx^{2}+gx+h=0,\,}$

ここでa ≠ 0 です。

浄化槽の機能は次の形式の機能である。

${\displaystyle f(x)=ax^{7}+bx^{6}+cx^{5}+dx^{4}+ex^{3}+fx^{2}+gx+h\,}$

ここでa ≠ 0です。言い換えれば、これは7次多項式です。a = 0の場合、 fは6次関数（b ≠ 0）、5次関数（b = 0, c ≠ 0）などとなります。

この方程式は、関数f ( x ) = 0と設定することによって得られます。

係数a、b、c、d、e、f、g、hは、 整数、有理数、実数、複素数、またはより一般的には任意の体または環のメンバーになります。

セプティック関数は奇数次であるため、グラフに描くと五次関数や三次関数に似た形になります。ただし、セプティック関数には極大値と極小値（最大3つまで）が存在する場合があります。セプティック関数の導関数は六次関数です。ただし、係数を含む環の標数が7で割り切れる場合は例外です。

溶解性浄化槽

7次方程式の中には根号因数分解で解けるものもありますが、そうでないセプティック方程式もあります。エヴァリスト・ガロアは、与えられた方程式が根号因数分解で解けるかどうかを判定する手法を開発し、これがガロア理論の分野を生み出しました。既約だが解けるセプティック方程式の例として、解けるド・モアブル 五次方程式を一般化すると、次のようになります。

${\displaystyle x^{7}+7\alpha x^{5}+14\alpha ^{2}x^{3}+7\alpha ^{3}x+\beta =0\,}$、

ここで補助方程式は

${\displaystyle y^{2}+\beta y-\alpha ^{7}=0\,}$。

これは、 x = u + v、 uv + α = 0、u ⁷ + v ⁷ + β = 0の間でuとv を消去することによって分離子が得られることを意味します。

腐敗の7つの根は次のように与えられる。

${\displaystyle x_{k}=\omega _{k}{\sqrt[{7}]{y_{1}}}+\omega _{k}^{6}{\sqrt[{7}]{y_{2}}}}$

ここで、ω _kは 7 つの 7乗根のいずれかです。この septic のガロア群は、位数 42 の最大可解群です。これは、必ずしも素数である必要はなく、他の任意の次数kにも容易に一般化できます。

もう一つの解ける族は、

${\displaystyle x^{7}-2x^{6}+(\alpha +1)x^{5}+(\alpha -1)x^{4}-\alpha x^{3}-(\alpha +5)x^{2}-6x-4=0\,}$

その要素はクルーナーの数値体データベースに載っている。その判別式は

${\displaystyle \Delta =-4^{4}\left(4\alpha ^{3}+99\alpha ^{2}-34\alpha +467\right)^{3}\,}$

これらの分離群のガロア群は、位数 14 の二面体群です。

一般的な六次方程式は、交代ガロア群または対称 ガロア群 A ₇またはS ₇で解くことができます。^[1]このような方程式を解くには、種数3の超楕円関数とそれに関連するシータ関数が必要です。^[1]しかし、これらの方程式は、代数方程式の解を研究していた19世紀の数学者によって特に研究されませんでした。なぜなら、六次方程式の解は、コンピュータなしでは計算能力の限界に達していたからです。^[1]

セプティック方程式は、その解が2変数の 連続関数の合成によって得られるかどうかが自明ではない、最も低次の方程式です。ヒルベルトの第13の問題は、7次方程式の一般の場合、この解は不可能であるという予想でした。ウラジミール・アーノルドは1957年にこれを解決し、これが常に可能であることを実証しました。^[2] しかし、アーノルド自身は、セプティック方程式の解が2変数の代数関数の重ね合わせによって得られるかどうかが真のヒルベルト問題であると考えていました。^[3] 2023年現在、この問題は未解決です。

ガロア群

ファノプレーン

分離群には7つのガロア群がある: ^[4]

• 根号で解けるセプティック方程式は、7次の巡回群、14次の二面体群、21次のメタ巡回群、または42次のメタ巡回群のいずれかのガロア群を持つ。^[1]
• L (3, 2)ガロア群（位数168）は、ファノ平面上の7本の「直線」を保存する7つの頂点ラベルの順列 によって形成される。^[1]このガロア群L (3, 2)を持つセプティック方程式の解には楕円関数が必要であるが、超楕円関数は必要ない。 ^[1]
• そうでなければ、分離群のガロア群は、順序の交代群か順序の対称群のいずれかである。 ${\displaystyle 7!/2=2520}$ ${\displaystyle 7!=5040.}$

環状五角形または六角形の面積の平方方程式

環状五角形の面積の二乗は、その係数が五角形の辺の対称関数である二乗方程式の根である。 ^[5]環状六角形の面積の二乗についても同様である。^[6]

参照

• 3次関数
• 四次関数
• 五次関数
• 六次方程式
• ラボの浄化槽

参考文献

1. R. ブルース・キング（2009年1月16日）「四次方程式を超えて」ビルハウザー、143～144ページ、ISBN 9780817648497
2. Vasco Brattka (2007年9月13日)、「コルモゴロフの重ね合わせ定理」、コルモゴロフの数学における遺産、Springer、ISBN 9783540363514
3. VI Arnold, ヒルベルトの重ね合わせ問題から力学系へ, p. 4
4. http://galoisdb.math.upb.de/groups?deg=7 数体データベース
5. Weisstein, Eric W. 「Cyclic Pentagon」 MathWorld（Wolfram Web Resource）より [1]
6. Weisstein, Eric W. 「Cyclic Hexagon」 MathWorld（Wolfram Web Resource）より [2]

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