7単体

通常のオクタエクソン（7シンプレックス）
ペトリー多角形内の直交投影
タイプ	正7次元多面体
家族	単体
シュレーフリ記号	{3,3,3,3,3,3,3}
コクセター・ディンキン図
6面	8 6シンプレックス
5面	28 5単体
4面	56 5セル
細胞	70四面体
顔	56三角形
エッジ	28
頂点	8
頂点図形	6単体
ペトリー多角形	八角形
コクセターグループ	A ₇ [3,3,3,3,3,3,3]
デュアル	自己双対
プロパティ	凸状

7次元幾何学において、7単体は自己双対な正 7次元多面体である。7単体は8つの頂点、28の辺、56の三角形面、70の四面体セル、56の5セル5面、28の5単体6面、8の6単体7面を持つ。二面角はcos ⁻¹ (1/7)、つまり約81.79°である。

別名

これは7次元の8面体多面体として、オクタエクソン、あるいはオクタ7トープとも呼ばれる。オクタエクソンという名称は、ギリシャ語で8面体を意味するoctaと、6次元面を持つことを意味する-ex 、そして-onに由来する。ジョナサン・バウアーズはオクタエクソンにocaという頭字語を与えた。^[1]

構成として

この配置行列は7次元単体を表す。行と列は頂点、辺、面、セル、4面、5面、6面に対応する。対角数は、各要素が7次元単体全体にいくつ出現するかを表す。非対角数は、列の要素が行の要素内またはその位置にいくつ出現するかを表す。この自己双対単体の行列は、180度回転したものと同じである。^[2]^[3]

${\begin{bmatrix}{\begin{matrix}8&7&21&35&35&21&7\\2&28&6&15&20&15&6\\3&3&56&5&10&10&5\\4&6&4&70&4&6&4\\5&10&10&5&56&3&3\\6&15&20&15&6&28&2\\7&21&35&35&21&7&8\end{matrix}}\end{bmatrix}}$

対称

対称 2D 正投影プロジェクトにおける 2 つの直交四面体の結合としての 7 単体: 2⋅{3,3} または {3,3}∨{3,3}、6 つの赤いエッジ、6 つの青いエッジ、および 16 の黄色い交差エッジ。	7次元単体を4つの直交線分の結合として3次元立方体に投影したもの：4⋅{ } = { }∨{ }∨{ }∨{ }。28本の辺は、立方体の12本の黄色の辺、12本の立方体面の対角線（薄緑色）、4本の対角線（赤色）として示されています。この分割は、四面体、つまり2つの二面体の結合と考えることができます。

7 単体には、対称性の低い構成が数多くあります。

いくつかのものは、2つ以上の下側単体の結合分割として表現されます。各結合の対称位数は、要素の対称位数の積であり、同一の要素が交換可能な場合はさらに大きくなります。

参加する	シンボル	対称	注文	拡張fベクトル（因数分解）
通常の7単体	{3,3,3,3,3,3,3}	[3、3、3、3、3、3]	8! = 40320	（1 ,8,28,56,70,56,28,8, 1）
6単体点結合（ピラミッド）	{3,3,3,3,3}∨( )	[3,3,3,3,3,1]	7!×1! = 5040	( 1 ,7,21,35,35,21,7, 1 )*( 1 , 1 )
5単体セグメント結合	{3,3,3,3}∨{ }	[3,3,3,3,2,1]	6!×2! = 1440	( 1 ,6,15,20,15,6, 1 )*( 1 ,2, 1 )
5セル -三角形結合	{3,3,3}∨{3}	[3,3,3,2,3,1]	5!×3! = 720	( 1 ,5,10,10,5, 1 )*( 1 ,3,3, 1 )
三角形-三角形-セグメントの結合	{3}∨{3}∨{ }	[[3,2,3],2,1,1]	（（3！）² ×2！）×2！＝144	( 1 ,3,3, 1 ) ² *( 1 ,2, 1 )
四面体-四面体結合	2⋅{3,3} = {3,3}∨{3,3}	[[3,3,2,3,3],1]	(4!) ² × 2! = 1052	（1、4、6、4、1）2
4セグメント結合	4⋅{ } = { }∨{ }∨{ }∨{ }	[4[2,2,2],1,1,1]	（2!）⁴ × 4! = 384	（1、2、1）⁴
8点結合	8⋅（）	[8[1,1,1,1,1,1]]	(1!) ⁸ × 8! = 40320	（1、1）⁸

座標

辺の長さが 2 である原点中心の正八角形頂点の直交座標は次のとおりです。

\left({\sqrt {1/28}},\ {\sqrt {1/21}},\ {\sqrt {1/15}},\ {\sqrt {1/10}},\ {\sqrt {1/6}},\ {\sqrt {1/3}},\ \pm 1\right)

\left({\sqrt {1/28}},\ {\sqrt {1/21}},\ {\sqrt {1/15}},\ {\sqrt {1/10}},\ {\sqrt {1/6}},\ -2{\sqrt {1/3}},\ 0\right)

\left({\sqrt {1/28}},\ {\sqrt {1/21}},\ {\sqrt {1/15}},\ {\sqrt {1/10}},\ -{\sqrt {3/2}},\ 0,\ 0\right)

\left({\sqrt {1/28}},\ {\sqrt {1/21}},\ {\sqrt {1/15}},\ -2{\sqrt {2/5}},\ 0,\ 0,\ 0\right)

\left({\sqrt {1/28}},\ {\sqrt {1/21}},\ -{\sqrt {5/3}},\ 0,\ 0,\ 0,\ 0\right)

\left({\sqrt {1/28}},\ -{\sqrt {12/7}},\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0\right)

\left(-{\sqrt {7/4}},\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0\right)

より単純に言えば、 7次元単体の頂点は、8次元空間において(0,0,0,0,0,0,0,0,1)の順列として配置することができます。この構成は、8次元直交複体の面に基づいています。

画像

3Dの7シンプレックス
トリアキス四面体エンベロープ内のボールとスティックのモデル	7-単体をアンプリチュヘドロン面として	7次元から3次元へのカメラ視点で、2次元ペトリー投影のヒントを示す

正投影図

正投影図
A _k コクセター平面	A7	A6	A5
グラフ
二面対称性	[8]	[7]	[6]
A _kコクセター平面	A4	A3	A ₂
グラフ
二面対称性	[5]	[4]	[3]

注記

^ Klitzing, Richard. 「7D 均一多面体 (polyexa) x3o3o3o3o3o3o — oca」.
^ Coxeter, HSM (1973). 「§1.8 配置」.正多面体（第3版）. ドーバー. ISBN 0-486-61480-8。
^ Coxeter, HSM (1991). Regular Complex Polytopes (第2版). Cambridge University Press. p. 117. ISBN 9780521394901。

外部リンク

ハイパースペースの用語集、ジョージ・オルシェフスキー著。
様々な次元の多面体
多次元用語集

v t e 2～10次元の基本凸正則多面体と一様多面体
家族	$アン $	$B n$	$I 2 (p)$ / $D n$	$E 6$ / $E 7$ / $E 8$ / $F 4$ / $G 2$	$H n$
正多角形	三角形	四角	p角形	六角形	五角形
均一な多面体	四面体	八面体•立方体	デミキューブ		十二面体•二十面体
均一ポリクロロン	ペンタコロン	16セル• Tesseract	デミテッセラクト	24セル	120セル• 600セル
一様5次元多面体	5単体	5-オルソプレックス• 5-キューブ	5デミキューブ
一様6次元多面体	6単体	6-オルソプレックス• 6-キューブ	6デミキューブ	1 ₂₂ • 2 ₂₁
一様7次元多面体	7単体	7-オルソプレックス• 7-キューブ	7デミキューブ	1 ₃₂ • 2 ₃₁ • 3 ₂₁
一様8次元多面体	8単体	8-オルソプレックス• 8-キューブ	8デミキューブ	1 ₄₂ • 2 ₄₁ • 4 ₂₁
一様9次元多面体	9単体	9-オルソプレックス• 9-キューブ	9デミキューブ
一様10次元多面体	10単体	10-オルソプレックス• 10-キューブ	10デミキューブ
一様n多面体	n -単体	n -オルソプレックス• n -キューブ	n -デミキューブ	1 _k2 • 2 _k1 • k ₂₁	n -五角形多面体
トピック:多面体族•正多面体•正多面体と複合多面体の一覧•多面体の演算

[1] Klitzing, Richard. 「7D 均一多面体 (polyexa) x3o3o3o3o3o3o — oca」.

[2] Coxeter, HSM (1973). 「§1.8 配置」.正多面体（第3版）. ドーバー. ISBN 0-486-61480-8。

[3] Coxeter, HSM (1991). Regular Complex Polytopes (第2版). Cambridge University Press. p. 117. ISBN 9780521394901。

A7多面体
t0	t ₁	t ₂	t ₃	t _0,1	t _0,2	t _1,2	t _0,3
t _1,3	t _2,3	t _0,4	t _1,4	t _2,4	t _0,5	t _1,5	t _0,6
t _0,1,2	t _0,1,3	t _0,2,3	t _1,2,3	t _0,1,4	t _0,2,4	t _1,2,4	t _0,3,4
t _1,3,4	t _2,3,4	t _0,1,5	t _0,2,5	t _1,2,5	t _0,3,5	t _1,3,5	t _0,4,5
t _0,1,6	t _0,2,6	t _0,3,6	t _0,1,2,3	t _0,1,2,4	t _0,1,3,4	t _0,2,3,4	t _1,2,3,4
t _0,1,2,5	t _0,1,3,5	t _0,2,3,5	t _1,2,3,5	t _0,1,4,5	t _0,2,4,5	t _1,2,4,5	t _0,3,4,5
t _0,1,2,6	t _0,1,3,6	t _0,2,3,6	t _0,1,4,6	t _0,2,4,6	t _0,1,5,6	t _0,1,2,3,4	t _0,1,2,3,5
t _0,1,2,4,5	t _0,1,3,4,5	t _0,2,3,4,5	t _1,2,3,4,5	t _0,1,2,3,6	t _0,1,2,4,6	t _0,1,3,4,6	t _0,2,3,4,6
t _0,1,2,5,6	t _0,1,3,5,6	t _0,1,2,3,4,5	t _0,1,2,3,4,6	t _0,1,2,3,5,6	t _0,1,2,4,5,6	t _{0,1,2,3,4,5,6}

7単体

別名

構成として

対称

座標

画像

正投影図

関連する多面体

注記

外部リンク