72の法則

金融においては、72の法則、 70の法則[ ^1]、69.3の法則が投資の倍増時間を推定する方法として用いられます。法則の数値（例えば72）を期間（通常は年）あたりの利率で割ることで、倍増に必要な期間のおおよその計算期間数が得られます。科学計算用電卓や表計算ソフトには正確な倍増時間を求める機能が備わっていますが、これらの法則は暗算や基本的な電卓しか利用できない場合に便利です。^[2]

これらの規則は指数関数的増加に適用されるため、単利計算ではなく複利計算に用いられます。また、減衰計算にも用いられ、半減期を求めることができます。数値の選択は主に好みの問題です。69は連続複利計算に適しており、72は普通利計算に適しており、割り切れやすいため、より適しています。

正確性を向上させるルールにはいくつかのバリエーションがあります。定期複利の場合、期間あたりrパーセントの金利の正確な倍加時間は

t={\frac {\ln(2)}{\ln(1+r/100)}}\approx {\frac {72}{r}},

ここで、tは必要な期間数です。上記の式は、倍増時間の計算以外にも使用できます。例えば、3倍増時間を知りたい場合は、分子の定数2を3に置き換えます。別の例として、初期値が50%上昇するのにかかる期間数を知りたい場合は、定数2を1.5に置き換えます。

複利期間を推定するためのルールの使用

当初の投資額を 2 倍にするために必要な期間数を見積もるには、最も便利な「ルール量」を、パーセンテージで表される予想成長率で割ります。

たとえば、年利 9% の複利で 100 ドルを投資する場合、72 の法則により、投資額が 200 ドルになるには 72/9 = 8 年かかります。正確な計算では、ln(2) /ln(1+0.09) = 8.0432 年となります。

同様に、特定の割合でお金の価値が半分になるまでにかかる時間を決定するには、ルール量をその割合で割ります。

貨幣の購買力が半減するまでの期間を決定するために、金融家はルール量をインフレ率で割ります。したがって、 70のルールを用いると、インフレ率が3.5%の場合、通貨単位の価値が半減するには約70/3.5 = 20年かかります。^[1]

追加手数料（例えば、投資信託の手数料と費用、変額ユニバーサル生命保険の投資ポートフォリオへの上乗せ手数料と費用）が金融商品に与える影響を見積もるには、72を手数料で割ります。例えば、ユニバーサル生命保険が、基礎となる投資ファンドのコストに加えて年間3%の手数料を課す場合、全く同じ投資を保険契約外で保有した場合と比較して、口座残高は72÷3＝24年で50%に減少し、さらに48年で25%に減少します。

ルールの選択

72 という値は、1、2、3、4、6、8、9、12 という小さな約数が多いため、分子として選択すると便利です。この値は、年間複利計算や、一般的な利率 (6% ～ 10%) での複利計算に適した近似値となりますが、金利が高い場合、近似値は精度が低くなります。

連続複利計算の場合、 ln (2) は約69.3%であるため、69はどの利率でも正確な結果をもたらします（以下の導出を参照）。日次複利計算は連続複利計算に十分近いため、ほとんどの場合、日次複利計算では72よりも69、69.3、または70の方が適しています。また、上記よりも低い年利率の場合、69.3の方が72よりも正確です。 ^[3]年利率が高い場合は、78の方が正確です。

レート	実際の年数	率 × 実年数	72の法則	70のルール	69.3の法則
0.25%	277.605	69.401	288,000	28万	277.200
0.5％	138.976	69.488	144,000	14万	138.600
1％	69.661	69.661	72,000	7万	69.300
2％	35.003	70.006	36,000	35,000	34.650
3％	23.450	70.349	24,000	23.333	23.100
4％	17.673	70.692	18,000	17.500	17.325
5％	14.207	71.033	14.400	14,000	13.860
6％	11.896	71.374	12,000	11.667	11.550
7％	10.245	71.713	10.286	10,000	9.900
8％	9.006	72.052	9.000	8.750	8.663
9％	8.043	72.389	8.000	7.778	7.700
10％	7.273	72.725	7.200	7.000	6.930
11％	6.642	73.061	6.545	6.364	6.300
12％	6.116	73.395	6.000	5.833	5.775
15％	4.959	74.392	4.800	4.667	4.620
18％	4.188	75.381	4.000	3.889	3.850
20％	3.802	76.036	3.600	3.500	3.465
25％	3.106	77.657	2.880	2.800	2.772
30％	2.642	79.258	2.400	2.333	2.310
40％	2.060	82.402	1.800	1.750	1.733
50％	1.710	85.476	1.440	1.400	1.386

注: 各行の最も正確な値は太字で表示されます。

歴史

この法則に関する初期の言及は、ルカ・パチョーリ（1445–1514）の『算術大全』（ヴェネツィア、1494年、巻末181、注44）に見られる。パチョーリは投資の倍増期間の推定に関する議論の中でこの法則を提示しているが、その導出や説明は行っていない。そのため、この法則はパチョーリよりも以前から存在していたと推測される。

A voler sapere ogni quantità a Tanto per 100 l'anno、in quanti anni sarà tornata doppia tra utile e Capitale、tieni per regola 72、amente、il quale semper partirai per l'interesse、e quello che ne viene、in tanti anni sarà raddoppiato。 Esempio: Quando l'interesse è a 6 per 100 l'anno、dico che si parta 72 per 6; ne vien 12、e in 12 anni sarà raddoppiato il Capitale。 (強調を追加)。

大まかに翻訳すると：

特定の年利率で、元本に利息を加えた場合、何年で元本が倍になるかを知りたい場合は、原則として72という数字を念頭に置いてください。この数字を利息で割ると、何年で元本が倍になります。例えば、利息が年6%の場合、72を6で割ると12となり、12年で元本が倍になります。

導出

定期複利

定期複利の場合、将来価値は次のように求められます。

FV=PV\cdot (1+r/100)^{t}

ここで、は現在価値、は期間数、は期間あたりの利率を表します。 $PV$ $t$ $r$

次の場合、将来価値は現在価値の 2 倍になります。

FV=2\cdot PV

これは次の条件です。

(1+r/100)^{t}=2\,

この方程式は簡単に解けます。 $t$

{\begin{aligned}\ln((1+r/100)^{t})&=\ln 2\\t\cdot \ln(1+r/100)&=\ln 2\\t&={\frac {\ln 2}{\ln(1+r/100)}}.\end{aligned}}

簡単な並べ替えで

{\frac {\ln 2}{\ln(1+r/100)}}={\frac {\ln 2}{r/100}}\cdot {\frac {r/100}{\ln(1+r/100)}}.

が小さい場合、はほぼに等しくなります（これはテイラー級数の最初の項です）。つまり、がゼロに近づくと、後者の係数は緩やかに増加します。 $r/100$ $\ln(1+r/100)$ $r/100$ $r$

この後者の因子をと呼ぶ。関数は、のとき、小さな正の利子率に対してを近似することが示される（以下の導出を参照）。であり、したがって、時間を次のように近似する。 $(r/100)/\ln(1+r/100)=f(r)$ $f(r)$ $t$ $r=8$ $f(8)\approx 1.03949$ $t$

t(r)={\frac {\ln 2}{r/100}}\cdot f(8)\approx {\frac {0.72}{r/100}}={\frac {72}{r}}.

この近似値は、利息の複利が継続するにつれて精度が増します(以下の導出を参照)。

より正確な調整を導くために、（テイラー級数の第2項を用いて）はより近似できることに注意されたい。そして、テイラー近似によってさらに簡略化することができる。^[4] $\ln(1+r/100)$ $r/100-{\tfrac {1}{2}}(r/100)^{2}$ $0.693/\left(r/100-{\tfrac {1}{2}}(r/100)^{2}\right)$

{\begin{aligned}t(r)={}&{\frac {0.693}{r/100-{\tfrac {1}{2}}(r/100)^{2}}}={\frac {69.3}{r-r^{2}/200}}={\frac {69.3}{r}}{\frac {1}{1-r/200}}\approx {\frac {69.3}{r}}(1+r/200)={\frac {69.3}{r}}+{\frac {69.3}{200}}\\[8pt]t(r)={}&{\frac {69.3}{r}}+0.3465.\end{aligned}}

を7.79に置き換えると、分子は72になります。これは、72の法則が8%前後の定期複利で最も正確であることを示しています。同様に、を2.02に置き換えると、分子は70になります。これは、70の法則が2%前後の定期複利で最も正確であることを示しています。 $r$ $r/200$ $r$ $r/200$

より正確な近似値を得るための洗練された数学的手法として、関数は点におけるローラン級数に展開される。[ ^5]最初の2つの項から次の式が得られる。 $t(r)=\ln(2)/\ln(1+r/100)$ $r=0$

{\begin{aligned}t(r)\approx {}&{\frac {100\cdot \ln 2}{r}}+{\frac {\ln 2}{2}}\\[8pt]t(r)\approx {}&{\frac {69.3147}{r}}+0.346574,{\text{ or rounded:}}\\[8pt]t(r)\approx {}&{\frac {69}{r}}+0.35.\end{aligned}}

連続複利

理論的な連続複利の場合、導出はより単純になり、より正確な規則が得られます。

{\begin{aligned}\exp \left({\frac {r}{100}}\cdot t\right)&={\frac {FV}{PV}}=2\\[6pt]{\frac {r}{100}}\cdot t&=\ln 2\\[6pt]t&={\frac {100\cdot \ln 2}{r}}\approx {\frac {69.3147}{r}}\end{aligned}}

参照

参考文献

^ ab Donella Meadows、『Thinking in Systems: A Primer』、Chelsea Green Publishing、2008 年、33 ページ (ボックス「強化フィードバックループと倍増時間に関するヒント」)。
^ スレイヴィン、スティーブ (1989). 『あなたが必要なすべての数学』ジョン・ワイリー・アンド・サンズpp. 153–154. ISBN 0-471-50636-2。
^ Kalid Azad著「自然対数（ln）の謎を解く」BetterExplainedより
^ 「1/(1-r/200)のテイラー級数」WolframAlpha . 2025年1月3日閲覧。
^ 「ローラン級数ln(2) / ln(1 + r/100)」. WolframAlpha . 2025年1月2日閲覧。

出典

グールド, ジョン・P.; ウェイル, ローマン・L. (1974). 「69の法則」.ジャーナル・オブ・ビジネス. 47 (3): 397– 398. doi :10.1086/295653.
ブリーフ、リチャード・P. (1977). 「『再発見』と69のルールに関する覚書」会計レビュー. 52 (4): 810–812 .

外部リンク

70 のスケール – 72 のルールを固定率成長を超えて、プラスとマイナスの率を含む変動率複利成長に拡張します。

[Meadows-1] Donella Meadows、『Thinking in Systems: A Primer』、Chelsea Green Publishing、2008 年、33 ページ (ボックス「強化フィードバックループと倍増時間に関するヒント」)。

[2] スレイヴィン、スティーブ (1989). 『あなたが必要なすべての数学』ジョン・ワイリー・アンド・サンズpp. 153–154. ISBN 0-471-50636-2。

[3] Kalid Azad著「自然対数（ln）の謎を解く」BetterExplainedより

[4] 「1/(1-r/200)のテイラー級数」WolframAlpha . 2025年1月3日閲覧。

[5] 「ローラン級数ln(2) / ln(1 + r/100)」. WolframAlpha . 2025年1月2日閲覧。