スケールの高さ

大気科学、地球科学、および惑星科学において、スケールハイトは、通常大文字のHで表され、物理量が e (自然対数の底、約 2.718)の係数で減少する距離 (垂直方向または半径方向)です。

単純な大気圧モデルで使用されるスケール高さ

惑星大気の場合、スケールハイトとは、大気圧がe倍に減少する高度の増加量である。スケールハイトは特定の温度では一定である。これは^[1]^[2]または同等の式で計算できる。 $H={\frac {k_{\text{B}}T}{mg}},$ $H={\frac {RT}{Mg}},$

k _B =ボルツマン定数=1.381 × 10 ⁻²³ J⋅K ⁻¹ ‍ [^3]

R =モル気体定数= 8.31446 J⋅K ⁻¹ ⋅mol ⁻¹

T =ケルビン単位の平均大気温度=地球の場合250 K ^[4]

m = 分子の平均質量

M = 大気粒子の平均モル質量= 地球の場合 0.029 kg/mol

g =現在の位置における重力加速度

特定の高度における圧力（単位面積あたりの力）は、その上にある大気の重さによって決まります。高度zにおける大気の密度が ρ、圧力がPであるとすると、無限小の高さdzだけ上昇すると、圧力はdPだけ減少します。これは、厚さdzの大気層の重さに等しい値です。

ここで、 gは重力加速度である。dzが小さい場合、gは一定であると仮定することができる。負の符号は、高度が増加するにつれて圧力が減少することを示す。したがって、平均分子量Mの理想気体の温度Tにおける状態方程式を用いると、密度は次のように表される。 ${\frac {dP}{dz}}=-g\rho ,$ $\rho ={\frac {MP}{RT}}.$

これらの式を組み合わせると、温度が変化しない限り変化しない、つまり、圧力が上昇するにつれて、圧力が上昇することがわかります。これを上記のHの式と組み合わせると、温度が変化しない限り変化しない、という式が得られます。上記の式を積分し、 P _0を高さz = 0（海面気圧）における圧力と仮定すると、高さzにおける圧力は次のように表すことができます。これは、圧力が高度とともに指数関数的に減少することを意味します。 ^[5] ${\frac {dP}{P}}={\frac {-dz}{{k_{\text{B}}T}/{mg}}},$ ${\frac {dP}{P}}=-{\frac {dz}{H}},$ $P=P_{0}\exp \left(-{\frac {z}{H}}\right).$

地球の大気では、海面気圧P ₀は平均して約1.01 × 10 ⁵ Pa、乾燥空気の平均分子量は28.964 Da、したがってm =28.964日×1.660 × 10 ⁻²⁷ kg/Da =4.808 × 10 ⁻²⁶ kg。温度の関数として、地球の大気のスケールハイトはH / T = k _B / mg =1.381 × 10 ⁻²³ J⋅K ⁻¹ / (4.808 × 10 ⁻²⁶ kg ×9.81 m⋅s ⁻² ) =29.28 m/K。これにより、代表的な気温のスケール高は次のようになります。

温度= 290 K、高度= 8500 m、

温度= 273 K、高度= 8000 m、

温度= 260 K、高さ= 7610 m、

T = 210 K、H = 6000 m。

これらの数値は、 NRLMSISE-00にプロットされた地球の大気の温度と密度と比較する必要があります。NRLMSISE -00では、空気密度が海面での1200 g/m ^{3から 70 km で 0.125 g/m}³に低下しており、これは 9600 倍です。これは平均スケール高度が 70 / ln(9600) = 7.64 km であることを示しています。これは、その範囲での平均気温が 260 K 近くであることと一致しています。

注記：

密度は理想気体の法則によって圧力と関連しています。したがって、密度は海面のρ ₀から高度とともに指数関数的に減少します。ρ 0はほぼ1.2 kg⋅m ⁻³。
高度 100 km を超えると、大気は十分に混合されなくなり、各化学物質は独自のスケール高さを持ちます。
ここでは温度と重力加速度は一定であると仮定しましたが、どちらも距離が長くなると変化する可能性があります。

惑星の例

選択された太陽系天体の大気スケール高度のおおよその値:


太陽系体	雰囲気のあるスケール高（km）	平均温度（K）^[6]	平均分子重量（g/モル）^[6]	表面重力（g_地球）^[6]
金星	15.9 ^[7]	229	44.01	0.91
地球	8.5 ^[8]	225	28.96	1.00
火星	11.1 ^[9]	210	44.01	0.38
木星	27 ^[10]	124	2.22	2.48
土星	59.5 ^[11]	95	2.14	1.02
タイタン	21 ^[12]	85	28.67	0.13
天王星	27.7 ^[13]	59	2.30	0.90
ネプチューン	19.1–20.3 ^[14]	59	2.30	1.13
冥王星	約50 ^[15]

薄いディスクのスケール高さ

例えば原始星のような凝縮した中心天体の周囲を回るガス円盤の場合、惑星のスケールハイトに似た円盤スケールハイトを導くことができます。中心天体に対して質量が小さいガス円盤から始めます。円盤は恒星からの重力のZ成分と静水圧平衡状態にあると仮定します。重力成分は円盤の中心面を指しています。ここで ${\frac {dP}{dz}}=-{\frac {GM_{*}\rho z}{(r^{2}+z^{2})^{3/2}}},$

G =ニュートンの重力定数≈6.674 × 10 ⁻¹¹ m ³ ⋅kg ⁻¹ ⋅s ⁻² ‍ [^16]

r =星または中心に凝縮された物体の中心からの距離を表す放射状円筒座標

z =円盤の中心面（または星の中心）からの距離を表す高度円筒座標

M _* = 恒星/中心凝縮天体の質量

P = ディスク内のガスの圧力

\rho

= ディスク内のガス質量密度

薄円板近似、および静水力平衡において、方程式は $z\ll r$ ${\frac {dP}{dz}}\approx -{\frac {GM_{*}\rho z}{r^{3}}}.$

ガス圧力を決定するには、理想気体の法則を使用することができる。 $P={\frac {\rho k_{\text{B}}T}{\bar {m}}}$

T = ディスク内のガス温度。温度はrの関数だが、zには依存しない。

{\bar {m}}

= ガスの平均分子量

理想気体の法則と静水力平衡方程式を用いると、次の式が得られます。この式の解は、星の中心から距離rにある円盤の中央面でのガス質量密度、円盤のスケール高、太陽質量、天文単位、ダルトンです。 ${\frac {d\rho }{dz}}\approx -{\frac {GM_{*}{\bar {m}}\rho z}{k_{\text{B}}Tr^{3}}},$ $\rho =\rho _{0}\exp \left(-\left({\frac {z}{h_{\text{D}}}}\right)^{2}\right),$ $\rho _{0}$ $h_{\text{D}}$ $h_{\text{D}}={\sqrt {\frac {2k_{\text{B}}Tr^{3}}{GM_{*}{\bar {m}}}}}\approx 0.0306{\sqrt {\frac {(T/100~{\text{K}})(r/1~{\text{au}})^{3}}{(M_{*}/M_{\odot })({\bar {m}}/2~{\text{Da}})}}}~{\text{au}},$ $M_{\odot }$ ${\text{au}}$ ${\text{Da}}$

説明的な近似として、温度の半径方向の変化を無視すると、中心の物体から半径方向に離れるにつれてディスクの高度が上昇することがわかります。 $T$ $h_{\text{D}}\propto r^{3/2}$

ディスク内のガス温度Tはzに依存しないという仮定により、等温ディスクスケール高と呼ばれることもあります^{[17] 。} $h_{\text{D}}$

磁場中のディスクスケール高さ

中心物体の周りの薄いガス円盤内の磁場は、円盤のスケールハイトを変化させる可能性がある。^[18]^[19]^[20]例えば、非完全伝導円盤がポロイダル磁場（すなわち、初期磁場が円盤面に対して垂直）の中を回転している場合、円盤内にトロイダル磁場（すなわち、円盤面に対して平行な磁場）が生成され、円盤が挟まれて圧縮される。この場合、円盤のガス密度は^[20]であり、カットオフ密度は次の式で表される。 $\rho (r,z)=\rho _{0}(r)\exp \left(-\left({\frac {z}{h_{\text{D}}}}\right)^{2}\right)-\rho _{\text{cut}}(r)\left[1-\exp \left(-\left({\frac {z}{h_{\text{D}}}}\right)^{2}\right)\right],$ $\rho _{\text{cut}}$ $\rho _{\text{cut}}(r)=(\mu _{0}\sigma _{\text{D}}r)^{2}{\frac {B_{z}^{2}}{\mu _{0}}}\left({\frac {\Omega _{*}}{\Omega _{\text{K}}}}-1\right)^{2},$

\mu _{0}

自由空間の透過性である

\sigma _{\text{D}}

ディスクの電気伝導率

B_{z}

はポロイダル磁場の方向の磁束密度である。

z

\Omega _{*}

中心物体の回転角速度である（ポロイダル磁場が中心物体から独立している場合はゼロに設定できる）

\Omega _{*}

\Omega _{\text{K}}

中心物体からの距離における円盤のケプラーの角速度です。

r

これらの式は、磁化されたディスクの最大高さを次のように与え、 e折りの磁気スケールの高さは $H_{\text{B}}=h_{\text{D}}{\sqrt {\ln \left(1+\rho _{0}/\rho _{\text{cut}}\right)}},$ $h_{\text{B}}=h_{\text{D}}{\sqrt {\ln \left(1+{\frac {1-1/e}{1/e+\rho _{\text{cut}}/\rho _{0}}}\right)}}.$

参照

時定数

参考文献

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