8単体

Convex regular 8-polytope

通常のエニアゼットン （8単体）
ペトリー多角形 内の直交投影
タイプ	正8次元多面体
家族	単体
シュレーフリ記号	{3、3、3、3、3、3、3、3}
コクセター・ディンキン 図
7つの顔	9 7単体
6面	36 6シンプレックス
5面	84 5シンプレックス
4面	126 5セル
細胞	126四面体
顔	84三角形
エッジ	36
頂点	9
頂点図形	7単体
ペトリー多角形	七角形
コクセターグループ	A 8 [3,3,3,3,3,3,3,3]
デュアル	自己双対
プロパティ	凸状

幾何学において、8単体は自己双対な正 8次元多面体である。8単体は9つの頂点、36の辺、84の三角形面、126の四面体セル、126の5セル4面、84の5単体5面、36の6単体6面、9の7単体7面を持つ。二面角はcos ⁻¹ (1/8)、つまり約82.82°である。

これは、8次元の9面体多面体として、エニアゼットン（enneazetton）またはエニア-8-トープ（ennea-8-tope）とも呼ばれます。エニアゼットンという名称は、ギリシャ語で9面体を意味するenneaと、7次元面体を意味する-zettaに接尾辞-onを付加したものに由来しています。ジョナサン・バウアーズは、この多面体にeneという頭字語を与えました。^[1]

構成として

この配置行列は8次元単体を表す。行と列は頂点、辺、面、セル、4面、5面、6面、7面に対応する。対角数は、各要素が8次元単体全体にいくつ出現するかを表す。非対角数は、列の要素が行の要素内またはその要素にいくつ出現するかを表す。この自己双対単体の行列は、180度回転したものと同じである。^{[2] [3]}

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\begin{matrix}9&8&28&56&70&56&28&8\\2&36&7&21&35&35&21&7\\3&3&84&6&15&20&15&6\\4&6&4&126&5&10&10&5\\5&10&10&5&126&4&6&4\\6&15&20&15&6&84&3&3\\7&21&35&35&21&7&36&2\\8&28&56&70&56&28&8&9\end{matrix}}\end{bmatrix}}}$

座標

辺の長さが2である原点中心の正多角形エネアゼットンの頂点の直交座標は次のとおりです。

${\displaystyle \left(1/6,\ {\sqrt {1/28}},\ {\sqrt {1/21}},\ {\sqrt {1/15}},\ {\sqrt {1/10}},\ {\sqrt {1/6}},\ {\sqrt {1/3}},\ \pm 1\right)}$

${\displaystyle \left(1/6,\ {\sqrt {1/28}},\ {\sqrt {1/21}},\ {\sqrt {1/15}},\ {\sqrt {1/10}},\ {\sqrt {1/6}},\ -2{\sqrt {1/3}},\ 0\right)}$

${\displaystyle \left(1/6,\ {\sqrt {1/28}},\ {\sqrt {1/21}},\ {\sqrt {1/15}},\ {\sqrt {1/10}},\ -{\sqrt {3/2}},\ 0,\ 0\right)}$

${\displaystyle \left(1/6,\ {\sqrt {1/28}},\ {\sqrt {1/21}},\ {\sqrt {1/15}},\ -2{\sqrt {2/5}},\ 0,\ 0,\ 0\right)}$

${\displaystyle \left(1/6,\ {\sqrt {1/28}},\ {\sqrt {1/21}},\ -{\sqrt {5/3}},\ 0,\ 0,\ 0,\ 0\right)}$

${\displaystyle \left(1/6,\ {\sqrt {1/28}},\ -{\sqrt {12/7}},\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0\right)}$

${\displaystyle \left(1/6,\ -{\sqrt {7/4}},\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0\right)}$

${\displaystyle \left(-4/3,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0,\ 0\right)}$

より単純に言えば、 8次元単体の頂点は、9次元空間において(0,0,0,0,0,0,0,0,0,1)の順列として配置することができます。この構成は、9次元直交複体の面に基づいています。

もう一つの原点中心の構築では、辺の長さ√2に対して(1,1,1,1,1,1,1,1)/3と(1,1,1,1,1,1,1,-11)/12の順列を使用します。

画像

スケルトンは、長さによって色分けされた、回転伸長四角錐の 9 つの頂点に投影できます。

正投影図

A k コクセター平面	A8​	A7​	A6​	A5​
グラフ
二面対称性	[9]	[8]	[7]	[6]
A kコクセター平面	A4​	A3​	A 2
グラフ
二面対称性	[5]	[4]	[3]

関連する多面体とハニカム

この多面体は均一なモザイク分割の面であり、それぞれコクセター・ディンキン図を持つ2 ₅₁、5 ₂₁である。

、

この多面体は、A _{8対称性を持つ 135 個}の均一な 8 次元多面体のうちの 1 つです。

A8多面体
t0	t 1	t 2	t 3	t 01	t 02	12歳	t 03	t 13	t 23	t 04	t 14	t 24	t 34	t 05
15歳	t 25	t 06	16歳	t 07	t 012	t 013	t 023	t 123	t 014	t 024	t 124	t 034	t 134	t 234
t015	t025	t 125	t035	t 135	t235	t045	t 145	t016	t026	t126	t036	t136	t046	t056
t017	t027	t037	t 0123	t 0124	t 0134	t 0234	1234年	t0125	t0135	t0235	1235年	t0145	t0245	1245年
t0345	1345年	2345年	t0126	t0136	t0236	t1236	t0146	t0246	t1246	t0346	t1346	t0156	t0256	t1256
t0356	t0456	t0127	t0137	t0237	t0147	t0247	t0347	t0157	t0257	t0167	t 01234	t01235	t01245	t01345
t02345	t 12345	t01236	t01246	t01346	t02346	t12346	t01256	t01356	t02356	t12356	t01456	t02456	t03456	t01237
t01247	t01347	t02347	t01257	t01357	t02357	t01457	t01267	t01367	t012345	t012346	t012356	t012456	t013456	t023456
t123456	t012347	t012357	t012457	t013457	t023457	t012367	t012467	t013467	t012567	t0123456	t0123457	t0123467	t0123567	01234567​

参考文献

1. クリッツィング、(x3o3o3o3o3o3o3o – ene)
2. Coxeter 1973, §1.8 構成
3. Coxeter, HSM (1991). Regular Complex Polytopes (第2版). Cambridge University Press. p. 117. ISBN 9780521394901。

• コクセター、HSM：
  • — (1973). 「表I (iii): 正多面体、n次元の3つの正多面体（n ≥ 5）」.正多面体（第3版）. ドーバー. 296ページ. ISBN 0-486-61480-8。
  • シャーク、F・アーサー、マクマレン、ピーター、トンプソン、アンソニー・C・ワイス、アジア・アイヴィック編（1995年）。『万華鏡：H・S・M・コクセター選集』ワイリー社、ISBN 978-0-471-01003-6。
    • (論文22) — (1940). 「正多面体と半正多面体 I」 . Math. Zeit . 46 : 380–407 . doi :10.1007/BF01181449. S2CID  186237114.
    • (論文23) — (1985). 「正則多面体と半正則多面体 II」 . Math. Zeit . 188 (4): 559– 591. doi :10.1007/BF01161657. S2CID  120429557.
    • (論文24) — (1988). 「正則多面体と半正則多面体III」 . Math. Zeit . 200 : 3–45 . doi :10.1007/BF01161745. S2CID  186237142.
• コンウェイ、ジョン・H.、バーギエル、ハイディ、グッドマン＝シュトラウス、チャイム (2008). 「26. ヘミキューブ: 1 _n1」『事物の対称性』p. 409. ISBN 978-1-56881-220-5。
• ジョンソン、ノーマン(1991). 「均一多面体」（原稿）. ノーマン・ジョンソン（数学者）.
  • ジョンソン, NW (1966). 『一様多面体とハニカムの理論』（博士号）. トロント大学. OCLC  258527038.
• Klitzing, Richard. 「頭字語付き 8D 均一多面体 (ポリゼータ)」（x3o3o3o3o3o3o3o3o – エネ）

外部リンク

• ハイパースペースの用語集、ジョージ・オルシェフスキー著。
• 様々な次元の多面体
• 多次元用語集

v t e 2～10次元の基本凸正則多面体と一様多面体
家族	アン​	B n	I 2 ( p ) / D n	E 6 / E 7 / E 8 / F 4 / G 2	H n
正多角形	三角形	四角	p角形	六角形	五角形
均一な多面体	四面体	八面体•立方体	デミキューブ		十二面体•二十面体
均一ポリクロロン	ペンタコロン	16セル• Tesseract	デミテッセラクト	24セル	120セル• 600セル
一様5次元多面体	5単体	5-オルソプレックス• 5-キューブ	5デミキューブ
一様6次元多面体	6単体	6-オルソプレックス• 6-キューブ	6デミキューブ	1 22 • 2 21
一様7次元多面体	7単体	7-オルソプレックス• 7-キューブ	7デミキューブ	1 32 • 2 31 • 3 21
一様8次元多面体	8単体	8-オルソプレックス• 8-キューブ	8デミキューブ	1 42 • 2 41 • 4 21
一様9次元多面体	9単体	9-オルソプレックス• 9-キューブ	9デミキューブ
一様10次元多面体	10単体	10-オルソプレックス• 10-キューブ	10デミキューブ
一様n多面体	n -単体	n -オルソプレックス• n -キューブ	n -デミキューブ	1 k2 • 2 k1 • k 21	n -五角形多面体
トピック:多面体族•正多面体•正多面体と複合多面体の一覧•多面体の演算

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