E n（リー代数）

ディンキン図
有限
E ₃ = A ₂ A ₁
E ₄ = A ₄
E ₅ = D ₅
E ₆
E ₇
E8
アフィン（拡張）
E ₉またはE^（1）₈またはE⁺⁸
双曲線（過度に拡張）
E ₁₀またはE^{（1）^}₈またはE⁺⁺₈
ロレンツ型（非常に拡張された）
E ₁₁またはE⁺⁺⁺₈
カック・ムーディ
E ₁₂またはE⁺⁺⁺⁺₈
...

数学、特にリー理論において、E _{n は}カック・ムーディ代数であり、そのディンキン図は長さ 1、2、kの 3 つの枝（ k = n − 4 ）を持つ分岐グラフです。

古い書籍や論文の中には、E ₂とE _4がG ₂とF ₄の名前として使用されているものもあります。

有限次元リー代数

E _n群はA _n群と似ていますが、n番目のノードが3番目のノードに接続されている点が異なります。そのため、カルタン行列も同様に見えます。対角線の上下は-1ですが、最後の行と列を除き、3番目の行と列には-1があります。E _nのカルタン行列の行列式は9 − nです。

E _{3 は}、カルタン行列式が 6 である次元 11 のリー代数A ₁A ₂の別名です。
$\left[{\begin{matrix}2&-1&0\\-1&2&0\\0&0&2\end{matrix}}\right]$
E _{4 は}、カルタン行列式が 5 である次元 24 のリー代数A ₄の別名です。
$\left[{\begin{matrix}2&-1&0&0\\-1&2&-1&0\\0&-1&2&-1\\0&0&-1&2\end{matrix}}\right]$
E _{5 は}、カルタン行列式が 4 である次元 45 のリー代数D ₅の別名です。
$\left[{\begin{matrix}2&-1&0&0&0\\-1&2&-1&0&0\\0&-1&2&-1&-1\\0&0&-1&2&0\\0&0&-1&0&2\end{matrix}}\right]$
E _{6 は}、カルタン行列式が 3 である、次元 78 の例外的なリー代数です
$\left[{\begin{matrix}2&-1&0&0&0&0\\-1&2&-1&0&0&0\\0&-1&2&-1&0&-1\\0&0&-1&2&-1&0\\0&0&0&-1&2&0\\0&0&-1&0&0&2\end{matrix}}\right]$
E ₇は、カルタン行列式が 2 である、次元が 133 の例外的なリー代数です。
$\left[{\begin{matrix}2&-1&0&0&0&0&0\\-1&2&-1&0&0&0&0\\0&-1&2&-1&0&0&-1\\0&0&-1&2&-1&0&0\\0&0&0&-1&2&-1&0\\0&0&0&0&-1&2&0\\0&0&-1&0&0&0&2\end{matrix}}\right]$
E _{8 は}、カルタン行列式が 1 である、次元 248 の例外的なリー代数です。
$\left[{\begin{matrix}2&-1&0&0&0&0&0&0\\-1&2&-1&0&0&0&0&0\\0&-1&2&-1&0&0&0&-1\\0&0&-1&2&-1&0&0&0\\0&0&0&-1&2&-1&0&0\\0&0&0&0&-1&2&-1&0\\0&0&0&0&0&-1&2&0\\0&0&-1&0&0&0&0&2\end{matrix}}\right]$

無限次元リー代数

E ₉は、無限次元アフィンリー代数Ẽ ₈（Eとも呼ばれる）の別名である。⁺⁸またはE^（1）₈E ₈型のリー代数に対応する（1ノードの）拡張E ₈）（またはE ₈格子）として。E ₉は行列式0のカルタン行列を持つ。
$\left[{\begin{matrix}2&-1&0&0&0&0&0&0&0\\-1&2&-1&0&0&0&0&0&0\\0&-1&2&-1&0&0&0&0&-1\\0&0&-1&2&-1&0&0&0&0\\0&0&0&-1&2&-1&0&0&0\\0&0&0&0&-1&2&-1&0&0\\0&0&0&0&0&-1&2&-1&0\\0&0&0&0&0&0&-1&2&0\\0&0&-1&0&0&0&0&0&2\end{matrix}}\right]$
E ₁₀（またはE⁺⁺₈またはE^{（1）^}₈（2ノード）過剰拡張されたE ₈ ）は、根格子が次元10の偶ロレンツユニモジュラー格子II _9,1である無限次元カック・ムーディ代数である。その根の重複度のいくつかは計算されており、小さな根に対しては重複度は適切に振る舞うように見えるが、大きな根に対しては観測されたパターンは崩れる。E ₁₀は、行列式が−1であるカルタン行列を持つ。
$\left[{\begin{matrix}2&-1&0&0&0&0&0&0&0&0\\-1&2&-1&0&0&0&0&0&0&0\\0&-1&2&-1&0&0&0&0&0&-1\\0&0&-1&2&-1&0&0&0&0&0\\0&0&0&-1&2&-1&0&0&0&0\\0&0&0&0&-1&2&-1&0&0&0\\0&0&0&0&0&-1&2&-1&0&0\\0&0&0&0&0&0&-1&2&-1&0\\0&0&0&0&0&0&0&-1&2&0\\0&0&-1&0&0&0&0&0&0&2\end{matrix}}\right]$
E ₁₁（またはE⁺⁺⁺₈（3ノードの）非常に拡張されたE ₈）は、1つの時間的虚数次元を含むロレンツ代数であり、 M理論の対称「群」を生成すると推測されています。
E _n（n ≥ 12）は、あまり研究されていない無限次元Kac-Moody 代数の族です。

ルート格子

E _nのルート格子は行列式9 − nを持ち、ノルムn × 1 2 − 3 2 = n − ⁹のベクトル(1,1,1,1,...,1|3)^に直交するユニモジュラーロレンツ格子Z _{n ,1のベクトル}の格子として構築できます。

E _{7+1 ⁄ 2}

ランズバーグとマニベルは整数nに対するE _nの定義を拡張し、 n = 7の場合も含めた。+1 ⁄ 2 。彼らは、Cvitanovic、Deligne、Cohen、de Manによって観察された_{E n}系列の表現における次元公式の「穴」を埋めるためにこれを行いました_{。E 7}_{+1 ⁄ 2}は次元が 190 ですが、単純なリー代数そのnilradical57 次元のハイゼンベルク代数。

参照

_En Lie 代数に基づくk ₂₁、2 _k1、1 _k2多面体。

参考文献

Kac, Victor G; Moody, RV; Wakimoto, M. (1988). 「E ₁₀について」.理論物理学における微分幾何学的手法 (Como, 1987) . NATO Adv. Sci. Inst. Ser. C Math. Phys. Sci. Vol. 250. ドルドレヒト: Kluwer Academic Publishers Group. pp. 109– 128. MR 0981374 .

さらに読む

West, P. (2001). 「E ₁₁と M 理論」.古典重力と量子重力. 18 (21): 4443–4460 . arXiv : hep-th/0104081 . Bibcode : 2001CQGra..18.4443W . doi : 10.1088/0264-9381/18/21/305 . S2CID 250872099 .クラス. 量子重力. 18 (2001) 4443-4460
ゲベール、RW。ニコライ、H. (1994)。「初心者向けE10」。初心者向けのE ₁₀。物理学の講義ノート。 Vol. 447. pp. 197–210 . arXiv : hep-th/9411188。土井: 10.1007/3-540-59163-X_269。ISBN 978-3-540-59163-4. S2CID 14570784 .ガージー記念会議議事録 '94
Landsberg, JM; Manivel, L. (2006). 「六元数とE _7½」 .数学の進歩. 201 (1): 143– 179. arXiv : math.RT/0402157 . doi : 10.1016/j.aim.2005.02.001 .
カッツ・ムーディ代数とM理論の関係、ポール・P・クック、2006年[1]
ロレンツ・カック・ムーディ代数のクラス、マティアス・R・ガバーディエル、デイヴィッド・I・オリーブ、ピーター・C・ウェスト、2002年[2]