マーラーの尺度

Measure of polynomial height

数学において、複素係数の多項式のマーラー測度 は次のように定義される。 ${\displaystyle M(p)}$ ${\displaystyle p(z)}$

$${\displaystyle M(p)=|a|\prod _{|\alpha _{i}|\geq 1}|\alpha _{i}|=|a|\prod _{i=1}^{n}\max\{1,|\alpha _{i}|\},}$$ここで、複素数上で因数分解すると ${\displaystyle p(z)}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ $${\displaystyle p(z)=a(z-\alpha _{1})(z-\alpha _{2})\cdots (z-\alpha _{n}).}$$

マーラー測度は、高さ関数の一種とみなすことができます。ジェンセンの公式を用いると、この測度は単位円上のの幾何平均（すなわち）にも等しいことが証明できます。 ${\displaystyle |p(z)|}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle |z|=1}$ $${\displaystyle M(p)=\exp \left(\int _{0}^{1}\ln(|p(e^{2\pi i\theta })|)\,d\theta \right).}$$

拡張により、代数的数のマーラー測度は 、上の最小多項式のマーラー測度として定義されます。特に、 がピゾ数またはセーラム数である場合、そのマーラー測度は単に です。 ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$

マーラー測度は、ドイツ生まれのオーストラリアの数学者 、クルト・マーラーにちなんで名付けられました。

プロパティ

• マーラー測度は乗法的です。 ${\displaystyle \forall p,q,\,\,M(p\cdot q)=M(p)\cdot M(q).}$
• ${\textstyle M(p)=\lim _{\tau \to 0}\|p\|_{\tau }}$ここでは のノルムである。^[1] ${\textstyle \,\|p\|_{\tau }=\left(\int _{0}^{1}|p(e^{2\pi i\theta })|^{\tau }d\theta \right)^{1/\tau }}$ ${\displaystyle L_{\tau }}$ ${\displaystyle p}$
• クロネッカーの定理:が を満たす既約単項整数多項式である場合、 またはは円分多項式です。 ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle M(p)=1}$ ${\displaystyle p(z)=z,}$ ${\displaystyle p}$
• (レーマーの予想)が既約整数多項式である場合、 またはとなる定数が存在する。 ${\displaystyle \mu >1}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle M(p)=1}$ ${\displaystyle M(p)>\mu }$
• モニック整数多項式のマーラー測度はペロン数です。

高次元マーラー測度

多変数多項式のマーラー測度は同様に式^{[2]で定義される。} ${\displaystyle M(p)}$ ${\displaystyle p(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]}$

$${\displaystyle M(p)=\exp \left(\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}\cdots \int _{0}^{1}\log {\Bigl (}{\bigl |}p(e^{2\pi i\theta _{1}},e^{2\pi i\theta _{2}},\ldots ,e^{2\pi i\theta _{n}}){\bigr |}{\Bigr )}\,d\theta _{1}\,d\theta _{2}\cdots d\theta _{n}\right).}$$これは、1 変数多項式のマーラー測度の上記の 3 つの特性を継承します。

多変数マーラー測度は、いくつかのケースにおいて、ゼータ関数および-関数の特殊値と関連していることが示されています。例えば、1981年にスミス^[3]は、ディリクレL関数、リーマンゼータ関数の式 を証明しました。ここで は対数マーラー測度と呼ばれます。 ${\displaystyle L}$ $${\displaystyle m(1+x+y)={\frac {3{\sqrt {3}}}{4\pi }}L(\chi _{-3},2)}$$ ${\displaystyle L(\chi _{-3},s)}$ $${\displaystyle m(1+x+y+z)={\frac {7}{2\pi ^{2}}}\zeta (3),}$$ ${\displaystyle \zeta }$ ${\displaystyle m(P)=\log M(P)}$

ロートンとボイドによるいくつかの結果

定義から、マーラー測度はトーラス上の多項式の積分値とみなされる（レーマーの予想も参照）。トーラス上で がゼロの場合、積分の定義の収束は明らかではないが、が収束し、1変数マーラー測度の極限に等しいことが知られている^{[4] 。これは}ボイド^{[5] [6]}によって予想されていた。 ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle (S^{1})^{n}}$ ${\displaystyle M(p)}$ ${\displaystyle M(p)}$

これは次のように定式化される。整数を と書き、 と定義する。 が変数の多項式であり、 1変数の多項式を と定義する。 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{+}^{N}=\{r=(r_{1},\dots ,r_{N})\in \mathbb {Z} ^{N}:r_{j}\geq 0\ {\text{for}}\ 1\leq j\leq N\}}$ ${\displaystyle Q(z_{1},\dots ,z_{N})}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle r=(r_{1},\dots ,r_{N})\in \mathbb {Z} _{+}^{N}}$ ${\displaystyle Q_{r}(z)}$

$${\displaystyle Q_{r}(z):=Q(z^{r_{1}},\dots ,z^{r_{N}})}$$

そして定義する ${\displaystyle q(r)}$ $${\displaystyle q(r):=\min \left\{H(s):s=(s_{1},\dots ,s_{N})\in \mathbb {Z} ^{N},s\neq (0,\dots ,0)~{\text{and}}~\sum _{j=1}^{N}s_{j}r_{j}=0\right\}}$$

どこ。 ${\displaystyle H(s)=\max\{|s_{j}|:1\leq j\leq N\}}$

定理（ロートン）—複素係数を持つN変数の多項式とする。このとき、次の極限が成立する（条件が緩和されている場合でも）。 ${\displaystyle Q(z_{1},\dots ,z_{N})}$ ${\displaystyle r_{i}\geq 0}$ $${\displaystyle \lim _{q(r)\to \infty }M(Q_{r})=M(Q)}$$

ボイドの提案

ボイドは上記の定理よりもより一般的な記述を行った。彼は、すべての根が単位円板の内側にある整数係数の単項多項式を特徴付ける古典的なクロネッカーの定理は、測度がちょうど1である一変数多項式を特徴付けるものとみなすことができ、この結果は多変数多項式にも拡張できることを指摘した。^[6]

拡張円分多項式をの形式の多項式として定義します。ここではm番目の円分多項式、は整数、 は がの多項式となるように最小限に選択されます。を単項式と拡張円分多項式の積である多項式の集合とします。 $${\displaystyle \Psi (z)=z_{1}^{b_{1}}\dots z_{n}^{b_{n}}\Phi _{m}(z_{1}^{v_{1}}\dots z_{n}^{v_{n}}),}$$ ${\displaystyle \Phi _{m}(z)}$ ${\displaystyle v_{i}}$ ${\displaystyle b_{i}=\max(0,-v_{i}\deg \Phi _{m})}$ ${\displaystyle \Psi (z)}$ ${\displaystyle z_{i}}$ ${\displaystyle K_{n}}$ ${\displaystyle \pm z_{1}^{c_{1}}\dots z_{n}^{c_{n}}}$

定理（ボイド）—を整数係数の多項式とする。このとき、が の元である場合に限ります。 ${\displaystyle F(z_{1},\dots ,z_{n})\in \mathbb {Z} [z_{1},\ldots ,z_{n}]}$ ${\displaystyle M(F)=1}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle K_{n}}$

このことからボイドは値の集合と和集合について考察するに至った。彼は、集合がの閉部分集合であるという遠大な予想^[5]を立てた。この予想の直接的な帰結は、明確な下限値がないにもかかわらず、レーマーの予想が真となることである。スミスの結果が であることを示唆しているので、ボイドはさらに次のように予想する 。 $${\displaystyle L_{n}:={\bigl \{}m(P(z_{1},\dots ,z_{n})):P\in \mathbb {Z} [z_{1},\dots ,z_{n}]{\bigr \}},}$$ ${\textstyle {L}_{\infty }=\bigcup _{n=1}^{\infty }L_{n}}$ ${\displaystyle {L}_{\infty }}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle L_{1}\subsetneqq L_{2}}$ $${\displaystyle L_{1}\subsetneqq L_{2}\subsetneqq L_{3}\subsetneqq \ \cdots .}$$

マーラー測度とエントロピー

コンパクト計量化可能アーベル群の自己同型による への作用は、双対性を介して環上の任意の可算な加群に関連付けることができます。^[7]この作用 の位相エントロピー (測度論的エントロピー に等しい)は、マーラー測度(または無限大) によって与えられます。^[8]非ゼロ多項式の巡回加群の場合、リンド、シュミット、ワードによって証明された式はの対数マーラー測度を与えます。一般的な場合、作用のエントロピーは、加群の主要な関連素イデアルの生成元上の対数マーラー測度の和として表現されます。単一のコンパクト群の自己同型の場合にリンドによって以前に指摘されたように、これは、そのような作用のエントロピーの可能な値の集合が、レーマーの問題の解に依存して のすべてまたは可算な集合のいずれかになることを意味します。リンドはまた、無限次元トーラスは、レーマーの問題の解に依存して、有限の正のエントロピーのエルゴード自己同型を持つか、無限のエントロピーの自己同型のみを持つかのどちらかであることを示した。^[9] ${\displaystyle \alpha _{M}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle R=\mathbb {Z} [z_{1}^{\pm 1},\dots ,z_{n}^{\pm 1}]}$ ${\displaystyle h(\alpha _{N})}$ ${\displaystyle M=R/\langle F\rangle }$ ${\displaystyle F(z_{1},\dots ,z_{n})\in \mathbb {Z} [z_{1},\ldots ,z_{n}]}$ ${\displaystyle h(\alpha _{N})=\log M(F)}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle [0,\infty ]}$ ${\displaystyle \mathbb {T} ^{\infty }}$

参照

• ボンビエリノルム
• 多項式の高さ

注記

1. これは の値に対する真の標準ではありません。 ${\displaystyle \tau <1}$
2. シンツェル 2000、224ページ。
3. スミス 2008.
4. ロートン 1983.
5. Boyd 1981a。
6. Boyd 1981b。
7. キッチンズ、ブルース；シュミット、クラウス (1989). 「コンパクト群の自己同型性」エルゴード理論と動的システム. 9 (4): 691– 735. doi : 10.1017/S0143385700005290 .
8. リンド, ダグラス; シュミット, クラウス; ウォード, トム (1990). 「コンパクト群の可換自己同型に対するマーラー測度とエントロピー」. Inventiones Mathematicae . 101 : 593–629 . Bibcode :1990InMat.101..593L. doi : 10.1007/BF01231517 .
9. リンド、ダグラス (1977). 「エルゴード群の自己同型を持つ歪積の構造」.イスラエル数学ジャーナル. 28 (3): 205– 248. doi :10.1007/BF02759810. S2CID  120160631.

参考文献

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• ボイド、デイヴィッド(1981b). 「多変数多項式に対するクロネッカーの定理とレーマーの問題」.整数論ジャーナル. 13 : 116–121 . doi : 10.1016/0022-314x(81)90033-0 .

• ボイド、デイヴィッド(2002a). 「マーラー測度と双曲多様体の不変量」. ベネット、MA (編). 『ミレニアムのための数論』 AKピーターズ. pp.  127– 143.

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• デビッド・ボイド;ロドリゲス・ビジェガス、フェルナンド（2002）。 「マーラーの尺度と二重対数、その 1」。カナダ数学ジャーナル。54 (3): 468–492。土井: 10.4153/cjm-2002-016-9。S2CID  10069657。
• ブルーノー、フランソワ、ズディリン、ワディム (2020). 『マーラーの小節の多様な変奏：永続的な交響曲』ケンブリッジ、イギリス、ニューヨーク：ケンブリッジ大学出版局. ISBN 978-1-108-79445-9. OCLC  1155888228。

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• JL ジェンセン (1899 年)。 「新しい機能と重要な機能」。アクタ・マセマティカ。22 : 359–364。土井: 10.1007/BF02417878。JFM  30.0364.02。

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• シンツェル、アンジェイ（2000）.多項式と特に可約性について. 数学とその応用百科事典. 第77巻.ケンブリッジ大学出版局. ISBN 978-0-521-66225-3. Zbl  0956.12001.

• スミス、クリス (2008). 「代数的数のマーラー測度：概観」. マッキー、ジェームズ、スミス、クリス (編).数論と多項式. ロンドン数学会講演録シリーズ. 第352巻.ケンブリッジ大学出版局. pp.  322– 349. ISBN 978-0-521-71467-9. Zbl  1334.11081。

外部リンク

• MathWorldのマーラー測度
• MathWorldのJensenの公式

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