一様9次元多面体

3つの正則かつ関連する一様多面体のグラフ

9単体
整流9単信

切断9単体
9シンプレックスのカンテレーション

ランシネーテッド9シンプレックス
立体構造9単体

9単体のペンテレーション
六角形9単体

七面体9単体
八面体9単体

9-オルソプレックス
9キューブ

切断型9-オルソプレックス
切り詰められた9立方体

整流9-オルトプレックス
9立方体直角定規

9デミキューブ
切り詰められた9デミキューブ

9次元幾何学において、9次元多面体または9次元多面体とは、 8次元多面体面によって包含される多面体である。7次元多面体の 稜線はそれぞれ、ちょうど2つの8次元多面体 面によって共有される。

一様 9 多面体は、頂点推移的であり、一様 8 多面体 の面から構築されます。

正9次元多面体

正9次元多面体は、シュレーフリ記号{p,q,r,s,t,u,v,w}で表すことができ、各ピークの周囲にはw個の{p,q,r,s,t,u,v}の8次元多面体面があります。

このような凸正9次元多面体は3つだけ存在します。

  1. {3,3,3,3,3,3,3,3,3} - 9単体
  2. {4,3,3,3,3,3,3,3,3} - 9キューブ
  3. {3,3,3,3,3,3,3,3,4} - 9-オルソプレックス

非凸の正則 9 次元多面体は存在しません。

オイラー特性

任意の9次元多面体の位相はベッティ数とねじれ係数によって定義される。[1]

多面体を特徴付けるために使用されるオイラー標数の値は、その基礎となる位相がどのようなものであっても、高次元には有用に一般化できない。高次元における異なる位相を確実に区別するにはオイラー標数が不十分であるというこの事実が、より洗練されたベッティ数の発見につながった。[1]

同様に、多面体の向きの概念だけでは、環状多面体の表面のねじれを特徴付けるには不十分であり、ねじれ係数の使用につながった。[1]

基本コクセター群による一様9次元多面体

反射対称性を持つ均一な9次元多面体は、コクセター・ディンキン図の環の順列で表される次の3つのコクセター群によって生成できます。

コクセターグループコクセター・ディンキン図
A9​[3 8 ]
B9​[4,3 7 ]
D9​[3 6,1,1 ]

各ファミリーから選択された正則かつ均一な 9 次元多面体には次のものが含まれます。

  • 単純型ファミリー: A 9 [3 8 ] -
    • 群図の環の順列として 271 個の均一 9 次元多面体があり、そのうち 1 個は正則多面体である。
      1. {3 8 } - 9単体または109頂点または崩壊オットン-
  • ハイパーキューブ/オルソプレックスファミリー: B 9 [4,3 8 ] -
    • 群図の環の順列として 511 個の均一な 9 次元多面体があり、その中には 2 つの正則多面体も含まれています。
      1. {4,3 7 } - 9キューブまたはエネラクト-
      2. {3 7 ,4} - 9-オルソプレックスまたはエニアクロス-
  • 半超方格D 9族: [3 6,1,1 ] -
    • 群図における環の順列として 383 個の均一 9 次元多面体があり、これには以下が含まれます。
      1. {3 1,6,1 } - 9-デミキューブまたはデミエネラクト、1 61 -; h{4,3 8 }とも呼ばれる。
      2. {3 6,1,1 } - 9-オルソプレックス、6 11 -

A9家族

A 9ファミリーは、順序 3628800 (10 の階乗) の対称性を持ちます。

1つ以上の環を持つコクセター・ディンキン図式のすべての順列に基づくと、256+16-1=271通りの形式が存在します。これらはすべて以下に列挙されています。相互参照のために、Bowers式の頭字語名は括弧内に記載されています。

#グラフコクセター・ディンキン図
シュレーフリ記号
名前		要素数
8面7つの顔6面5面4面細胞顔エッジ頂点
1


t 0 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
9単体（昼）

10451202102522101204510
2


t 1 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
修正9単体（赤日）

36045
3


t 2 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
双平行化9単体（ブレデイ）

1260120
4


t 3 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
三連整流9単体（treday）

2520210
5


t 4 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
四次元整流9単体（icoy）

3150252
6


t 0,1 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
切断9単体（teday）

40590
7


t 0,2 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
9単体のカンテラレーション

2880360
8


t 1,2 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
ビット切り捨て9単体

1620360
9


t 0,3 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
ランシネーテッド9単体

8820840
10


t 1,3 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
双カンテレーション9単体

100801260
11


t 2,3 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
三切断9単体（treday）

3780840
12


t 0,4 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
立体配座9単体

151201260
13


t 1,4 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
二分枝9単体

264602520
14


t 2,4 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
三分円9単体

201602520
15


t 3,4 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
四分円9単体

56701260
16


t 0,5 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
ペンタレート9単体

157501260
17


t 1,5 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
二分9単体

378003150
18


t 2,5 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
三叉9単体

441004200
19


t 3,5 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
四分円9単体

252003150
20


t 0,6 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
六角形9単体

10080840
21


t 1,6 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
双ペンテレーション9単体

315002520
22


t 2,6 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
トリステリケート9単体

504004200
23


t 0,7 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
7面体9単体

3780360
24


t 1,7 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
二六価9単体

151201260
25


t 0,8 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
八分位9単体

72090
26


t 0,1,2 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
片側切断9単体

3240720
27


t 0,1,3 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
ランシトランケーテッド9単体

189002520
28


t 0,2,3 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
ランシカンテラテッド9単体

126002520
29


t 1,2,3 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
双円錐台9単体

113402520
30


t 0,1,4 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
ステリトランケーテッド9単体

478805040
31


t 0,2,4 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
立体配座9単体

604807560
32


t 1,2,4 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
二頭切断型9単体

529207560
33


t 0,3,4 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
不稔化9-単体

277205040
34


t 1,3,4 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
二分円9単体

415807560
35


t 2,3,4 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
三角錐台9単体

226805040
36


t 0,1,5 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
五分円9単体

661506300
37


t 0,2,5 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
五角形9単体

12600012600
38


t 1,2,5 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
双線形切断9単体

10710012600
39


t 0,3,5 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
五分円9単体

10710012600
40


t 1,3,5 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
双立体9単体

15120018900
41


t 2,3,5 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
三分円切断9単体

8190012600
42


t 0,4,5 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
ペンティステリア化9単体

378006300
43


t 1,4,5 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
双晶環化9単体

8190012600
44


t 2,4,5 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
三連星9単体

7560012600
45


t 3,4,5 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
二次切頂9単体

283506300
46


t 0,1,6 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
六切断9単体

529205040
47


t 0,2,6 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
六角形9単体

13860012600
48


t 1,2,6 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
双曲切頭9単体

11340012600
49


t 0,3,6 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
六分円化9単体

17640016800
50


t 1,3,6 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
双五角形9単体

23940025200
51


t 2,3,6 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
トリステリトランケーテッド9単体

12600016800
52


t 0,4,6 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
六元9単体

11340012600
53


t 1,4,6 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
二分二鉄化9単体

22680025200
54


t 2,4,6 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
三重鎖9単体

20160025200
55


t 0,5,6 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
六ペンテル化9単体

327605040
56


t 1,5,6 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
二分ペンテステリケート9単体

9450012600
57


t 0,1,7 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
ヘプチトランケート9単体

239402520
58


t 0,2,7 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
七分枝9単体

831607560
59


t 1,2,7 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
二六切断型9単体

642607560
60


t 0,3,7 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
ヘプチルンシン化9単体

14490012600
61


t 1,3,7 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
二六角形9単体

18900018900
62


t 0,4,7 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
ヘプステリケート9単体

13860012600
63


t 1,4,7 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
二ヘキシルンシネート9単体

26460025200
64


t 0,5,7 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
ヘプチペンテル化9単体

718207560
65


t 0,6,7 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
ヘプチヘキシケート9単体

176402520
66


t 0,1,8 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
八分円9単体

5400720
67


t 0,2,8 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
八分円9単体

252002520
68


t 0,3,8 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
八分円9単体

579605040
69


t 0,4,8 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
八分位9単体

756006300
70


t 0,1,2,3 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
ランシカンティトランケーテッド9単体

226805040
71


t 0,1,2,4 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
立体反転9単体

10584015120
72


t 0,1,3,4 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
ステリルンシトランケート9単体

7560015120
73


t 0,2,3,4 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
ステリルンシカンテラ化9単体

7560015120
74


t 1,2,3,4 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
二頭頂反頭9単体

6804015120
75


t 0,1,2,5 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
ペンティクアンチトランケーテッド9単体

21420025200
76


t 0,1,3,5 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
ペンティルンシトランケーテッド9単体

28350037800
77


t 0,2,3,5 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
ペンティルンシカンテラテッド9単体

26460037800
78


t 1,2,3,5 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
双立体的切断9単体

24570037800
79


t 0,1,4,5 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
ペンティステリ切頭9単体

13860025200
80


t 0,2,4,5 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
ペンティステリカンテレーション9単体

22680037800
81


t 1,2,4,5 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
双晶欠失9単体

18900037800
82


t 0,3,4,5 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
ペンティスターイランシネート9単体

13860025200
83


t 1,3,4,5 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
双晶環型9単体

20790037800
84


t 2,3,4,5 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
三分円錐台9単体

11340025200
85


t 0,1,2,6 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
六角形対切断9単体

22680025200
86


t 0,1,3,6 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
六分円切断9単体

45360050400
87


t 0,2,3,6 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
六分円9単体

40320050400
88


t 1,2,3,6 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
双五面体反切断9単体

37800050400
89


t 0,1,4,6 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
六元切断9単体

40320050400
90


t 0,2,4,6 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
六角形9単体

60480075600
91


t 1,2,4,6 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
二分円錐台9単体

52920075600
92


t 0,3,4,6 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
六価不飽和9単体

35280050400
93


t 1,3,4,6 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
二分円錐9単体

52920075600
94


t 2,3,4,6 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
三次元アンチトランケート9単体

30240050400
95


t 0,1,5,6 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
六角形五角形9単体

15120025200
96


t 0,2,5,6 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
六角形9単体

35280050400
97


t 1,2,5,6 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
双ペンティスターリトランケーテッド9単体

27720050400
98


t 0,3,5,6 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
六方五面体9単体

35280050400
99


t 1,3,5,6 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
二分枝状9単体

49140075600
100


t 2,3,5,6 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
トリステリルンシトランケーテッド9単体

25200050400
101


t 0,4,5,6 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
ヘキシペンテスター化9単体

15120025200
102


t 1,4,5,6 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
二分星鉄二分鎖9単体

32760050400
103


t 0,1,2,7 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
ヘプティックアンチトランケーテッド9単体

12852015120
104


t 0,1,3,7 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
ヘプチルンシトランケート9単体

35910037800
105


t 0,2,3,7 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
ヘプチルンシカンテル化9単体

30240037800
106


t 1,2,3,7 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
二六価アンチトランケーテッド9単体

28350037800
107


t 0,1,4,7 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
ヘプチスターリトランケーテッド9単体

47880050400
108


t 0,2,4,7 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
ヘプステリカンテル化9単体

68040075600
109


t 1,2,4,7 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
二六価クロム切断型9単体

60480075600
110


t 0,3,4,7 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
ヘプスターイルン化9単体

37800050400
111


t 1,3,4,7 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
二六価クロム環化9単体

56700075600
112


t 0,1,5,7 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
ヘプチペルトランケート9単体

32130037800
113


t 0,2,5,7 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
ヘプチペンティカンテル化9単体

68040075600
114


t 1,2,5,7 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
二ヘキシスターイトランケーテッド9単体

56700075600
115


t 0,3,5,7 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
ヘプチペンチルシン化9-単体

64260075600
116


t 1,3,5,7 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
二ヘキシステリカンテル化9単体

907200113400
117


t 0,4,5,7 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
ヘプチペンティステロ化9単体

26460037800
118


t 0,1,6,7 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
ヘプチヘキシトランケート9単体

9828015120
119


t 0,2,6,7 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
ヘプチヘキシカンテル化9単体

30240037800
120


t 1,2,6,7 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
二六面体切断9単体

22680037800
121


t 0,3,6,7 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
ヘプチヘキシルンシン化9-単体

42840050400
122


t 0,4,6,7 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
ヘプチヘキシステリケート9単体

30240037800
123


t 0,5,6,7 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
ヘプチヘキシペンテル化9単体

9828015120
124


t 0,1,2,8 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
八面体反切断9単体

352805040
125


t 0,1,3,8 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
八分円切断9単体

13608015120
126


t 0,2,3,8 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
八分位9単体

10584015120
127


t 0,1,4,8 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
オクテスターリトランケーテッド9単体

25200025200
128


t 0,2,4,8 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
八分位9単体

34020037800
129


t 0,3,4,8 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
オクテスターイルンシネート9単体

17640025200
130


t 0,1,5,8 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
八面体切断9単体

25200025200
131


t 0,2,5,8 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
八面体9単体

50400050400
132


t 0,3,5,8 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
八分円錐形9単体

45360050400
133


t 0,1,6,8 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
八六切断型9単体

13608015120
134


t 0,2,6,8 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
八六角形9単体

37800037800
135


t 0,1,7,8 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
オクチヘプチトランケーテッド9単体

352805040
136


t 0,1,2,3,4 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
ステリルンシカンティトランケーテッド9シンプレックス

13608030240
137


t 0,1,2,3,5 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
ペンティルンシカンティトランケーテッド9単体

49140075600
138


t 0,1,2,4,5 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
ペンティステリカンティトランケーテッド9単体

37800075600
139


t 0,1,3,4,5 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
ペンティスターイルンシトランケーテッド9単体

37800075600
140


t 0,2,3,4,5 {3,3,3,3,3,3,3,3}
ペンティステイルカンテレーション 9 シンプレックス

37800075600
141


t 1,2,3,4,5 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
双晶不整脈反切断9単体

34020075600
142


t 0,1,2,3,6 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
六角形9単体

756000100800
143


t 0,1,2,4,6 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
六元対称9単体

1058400151200
144


t 0,1,3,4,6 {3,3,3,3,3,3,3,3,3} 六
価不均衡切断9単体

982800151200
145


t 0,2,3,4,6 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
六価不飽和9単体

982800151200
146


t 1,2,3,4,6 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
双尖トランシカンティトランケート9単体

907200151200
147


t 0,1,2,5,6 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
六角形対角9単体

554400100800
148


t 0,1,3,5,6 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
六角形五角形切断9単体

907200151200
149


t 0,2,3,5,6 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
六角形9単体

831600151200
150


t 1,2,3,5,6 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
双ペンテステリコアンチトランケーテッド9単体

756000151200
151


t 0,1,4,5,6 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
六角形9単体

554400100800
152


t 0,2,4,5,6 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
六角形五角形9単体

907200151200
153


t 1,2,4,5,6 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
二分円錐台9単体

756000151200
154


t 0,3,4,5,6 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
六角形五価不斉9単体

554400100800
155


t 1,3,4,5,6 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
二分星型9単体

831600151200
156


t 2,3,4,5,6 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
トリステリルンシカンティトランケート9単体

453600100800
157


t 0,1,2,3,7 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
ヘプチルンシカンティトランケート9単体

56700075600
158


t 0,1,2,4,7 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
ヘプチステリカンアンチトランケート9単体

1209600151200
159


t 0,1,3,4,7 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
ヘプチスターイルンシトランケーテッド9単体

1058400151200
160


t 0,2,3,4,7 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
ヘプスティスターイルンシカンテレーション9単体

1058400151200
161


t 1,2,3,4,7 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
二六価クロム酸二切断型9単体

982800151200
162


t 0,1,2,5,7 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
ヘプチペンティックアンチトランケーテッド9単体

1134000151200
163


t 0,1,3,5,7 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
ヘプチペルンシトランケート9単体

1701000226800
164


t 0,2,3,5,7 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
ヘプチペルンシカンテル化9単体

1587600226800
165


t 1,2,3,5,7 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
二ヘキステリシスアンチトランケート9単体

1474200226800
166


t 0,1,4,5,7 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
ヘプチペンティステリトランケーテッド9単体

982800151200
167


t 0,2,4,5,7 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
ヘプチペンティステリカンテル化9単体

1587600226800
168


t 1,2,4,5,7 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
二ヘキスターイルンシトランケート9単体

1360800226800
169


t 0,3,4,5,7 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
ヘプチペンティスターイルン化9-単体

982800151200
170


t 1,3,4,5,7 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
二ヘキスターイルンシカンテレーション9単体

1474200226800
171


t 0,1,2,6,7 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
ヘプチヘキシカンアンチトランケート9単体

45360075600
172


t 0,1,3,6,7 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
ヘプチヘキシルンシトランケート9単体

1058400151200
173


t 0,2,3,6,7 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
ヘプチヘキシルンシカンテル化9単体

907200151200
174


t 1,2,3,6,7 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
二ヘキシペンティックアンチトランケート9単体

831600151200
175


t 0,1,4,6,7 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
ヘプチヘキシスター切断型9単体

1058400151200
176


t 0,2,4,6,7 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
ヘプチヘキシステリカンテル化9単体

1587600226800
177


t 1,2,4,6,7 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
二ヘキシペントランシトランケート9単体

1360800226800
178


t 0,3,4,6,7 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
ヘプチヘキシスターイルン化9-単体

907200151200
179


t 0,1,5,6,7 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
ヘプチヘキシペンティトランケート9単体

45360075600
180


t 0,2,5,6,7 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
ヘプチヘキシペンティカンテル化9単体

1058400151200
181


t 0,3,5,6,7 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
ヘプチヘキシペンチルン化9-単体

1058400151200
182


t 0,4,5,6,7 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
ヘプチヘキシペンティステロ化9-単体

45360075600
183


t 0,1,2,3,8 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
八分円錐台9単体

19656030240
184


t 0,1,2,4,8 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
オクテリシックアンチトランケーテッド9単体

60480075600
185


t 0,1,3,4,8 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
オクテスターイルンシトランケーテッド9単体

49140075600
186


t 0,2,3,4,8 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
八重奏体9単体

49140075600
187


t 0,1,2,5,8 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
八分位対切断9単体

856800100800
188


t 0,1,3,5,8 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
八面体切断型9単体

1209600151200
189


t 0,2,3,5,8 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
八面体9単体

1134000151200
190


t 0,1,4,5,8 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
オクティペンティスターリトランケーテッド9単体

655200100800
191


t 0,2,4,5,8 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
オクティペンティステリカンテリケーテッド9単体

1058400151200
192


t 0,3,4,5,8 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
オクチペンティスターイルンシネート9単体

655200100800
193


t 0,1,2,6,8 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
オクティヘキシンアンチトランケーテッド9単体

60480075600
194


t 0,1,3,6,8 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
オクティヘキシルンシトランケーテッド9単体

1285200151200
195


t 0,2,3,6,8 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
八六価クロム9単体

1134000151200
196


t 0,1,4,6,8 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
オクティヘキシスターイトランケーテッド9単体

1209600151200
197


t 0,2,4,6,8 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
オクティヘキシステリコアンテレーション9単体

1814400226800
198


t 0,1,5,6,8 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
オクティヘキシペンティトランケーテッド9単体

49140075600
199


t 0,1,2,7,8 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
オクティヘプティックアンチトランケーテッド9単体

19656030240
200


t 0,1,3,7,8 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
オクチヘプチルンシトランケート9単体

60480075600
201


t 0,1,4,7,8 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
オクティヘプスティステリトランケーテッド9単体

856800100800
202


t 0,1,2,3,4,5 {3,3,3,3,3,3,3,3}
ペンティステリルンシトランケート 9 シンプレックス

680400151200
203


t 0,1,2,3,4,6 {3,3,3,3,3,3,3,3,3} 六元
双曲対称9単体

1814400302400
204


t 0,1,2,3,5,6 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
六角形五角形切り捨て9単体

1512000302400
205


t 0,1,2,4,5,6 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
ヘキシペンティステリコアンチトランケーテッド9単体

1512000302400
206


t 0,1,3,4,5,6 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
六角形五角形切断9単体

1512000302400
207


t 0,2,3,4,5,6 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
六角形9単体

1512000302400
208


t 1,2,3,4,5,6 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
双ペンティスターイルンシカンティトランケーテッド9単体

1360800302400
209


t 0,1,2,3,4,7 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
ヘプチスターイルンシカンティトランケーテッド9単体

1965600302400
210


t 0,1,2,3,5,7 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
ヘプチペンチルンシカンティトランケート9単体

2948400453600
211


t 0,1,2,4,5,7 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
ヘプチペンティステリクアンチトランケート9単体

2721600453600
212


t 0,1,3,4,5,7 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
ヘプチペンティスターイルンシトランケート9単体

2721600453600
213


t 0,2,3,4,5,7 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
ヘプチペンティスターイルンシカンテレーション9単体

2721600453600
214


t 1,2,3,4,5,7 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
二ヘキシスターイルンシカンティトランケート9単体

2494800453600
215


t 0,1,2,3,6,7 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
ヘプチヘキシルンシカンティトランケート9単体

1663200302400
216


t 0,1,2,4,6,7 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
ヘプチヘキシステリクアンチトランケート9単体

2721600453600
217


t 0,1,3,4,6,7 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
ヘプチヘキシスターイルンシトランケート9単体

2494800453600
218


t 0,2,3,4,6,7 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
ヘプチヘキシスター9単体

2494800453600
219


t 1,2,3,4,6,7 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
二六価ペンチルンシクアンチトランケーテッド9単体

2268000453600
220


t 0,1,2,5,6,7 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
ヘプチヘキシペンチアンチトランケート9単体

1663200302400
221


t 0,1,3,5,6,7 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
ヘプチヘキシペンチルンシトランケート9単体

2721600453600
222


t 0,2,3,5,6,7 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
ヘプチヘキシペンチランシカンテル化9-単体

2494800453600
223


t 1,2,3,5,6,7 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
ビヘキシペンティステリクアンチトランケート9単体

2268000453600
224


t 0,1,4,5,6,7 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
ヘプチヘキシペンティステリトランケーテッド9シンプレックス

1663200302400
225


t 0,2,4,5,6,7 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
ヘプチヘキシペンティステリカンテル化9-単体

2721600453600
226


t 0,3,4,5,6,7 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
ヘプチヘキシペンティスターイルンシネート9-単体

1663200302400
227


t 0,1,2,3,4,8 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
オクテスターイルンシカンティトランケーテッド9単体

907200151200
228


t 0,1,2,3,5,8 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
八分円錐台9単体

2116800302400
229


t 0,1,2,4,5,8 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
オクチペンティステリクアンチトランケーテッド9単体

1814400302400
230


t 0,1,3,4,5,8 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
オクティペンティスターイルンシトランケーテッド9単体

1814400302400
231


t 0,2,3,4,5,8 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
オクティペンティスターイルンシカンテレーション9単体

1814400302400
232


t 0,1,2,3,6,8 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
オクティヘキシルンシカンティトランケーテッド9単体

2116800302400
233


t 0,1,2,4,6,8 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
オクティヘキシステリカンティトランケーテッド9単体

3175200453600
234


t 0,1,3,4,6,8 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
オクティヘキシスターイルンシトランケーテッド9単体

2948400453600
235


t 0,2,3,4,6,8 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
オクティヘキシスターイルンシカンテレーション9単体

2948400453600
236


t 0,1,2,5,6,8 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
オクチヘキシペンティックアンチトランケーテッド9単体

1814400302400
237


t 0,1,3,5,6,8 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
オクチヘキシペントランシトランケート9単体

2948400453600
238


t 0,2,3,5,6,8 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
オクティヘキシペンティルンシカンテル化9単体

2721600453600
239


t 0,1,4,5,6,8 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
オクティヘキシペンティスターリトランケーテッド9シンプレックス

1814400302400
240


t 0,1,2,3,7,8 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
オクティヘプチルンシカンティトランケート9単体

907200151200
241


t 0,1,2,4,7,8 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
オクティヘプステリコアンチトランケーテッド9単体

2116800302400
242


t 0,1,3,4,7,8 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
オクティヘプスティスターイルンシトランケーテッド9単体

1814400302400
243


t 0,1,2,5,7,8 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
オクチヘプチペンチアンチトランケーテッド9単体

2116800302400
244


t 0,1,3,5,7,8 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
オクチヘプチルンシトランケート9単体

3175200453600
245


t 0,1,2,6,7,8 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
オクティヘプチヘキシカンアンチトランケーテッド9単体

907200151200
246


t 0,1,2,3,4,5,6 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
六角形五角形、半円錐台、9単体

2721600604800
247


t 0,1,2,3,4,5,7 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
ヘプチペンティスターイルンシカンティトランケート9単体

4989600907200
248


t 0,1,2,3,4,6,7 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
ヘプチヘキシスターイルンシカンチトランケート9単体

4536000907200
249


t 0,1,2,3,5,6,7 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
ヘプチヘキシペンチルンシカンティトランケート9単体

4536000907200
250


t 0,1,2,4,5,6,7 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
ヘプチヘキシペンティステリクアンチトランケート9単体

4536000907200
251


t 0,1,3,4,5,6,7 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
ヘプチヘキシペンティスターイルンシトランケート9単体

4536000907200
252


t 0,2,3,4,5,6,7 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
ヘプチヘキシペンティスターイルンシカンテル化9-単体

4536000907200
253


t 1,2,3,4,5,6,7 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
二ヘキシペンティスターイルンシカンティトランケーテッド9単体

4082400907200
254


t 0,1,2,3,4,5,8 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
オクティペンティスターイルンシカンティトランケーテッド9単体

3326400604800
255


t 0,1,2,3,4,6,8 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
オクティヘキシスターイルンシカンティトランケーテッド9シンプレックス

5443200907200
256


t 0,1,2,3,5,6,8 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
オクティヘキシペンティルンシクアンチトランケーテッド9単体

4989600907200
257


t 0,1,2,4,5,6,8 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
オクチヘキシペンティステリカンアンチトランケーテッド9単体

4989600907200
258


t 0,1,3,4,5,6,8 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
オクティヘキシペンティスターイルンシトランケーテッド9シンプレックス

4989600907200
259


t 0,2,3,4,5,6,8 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
オクチヘキシペンティスターイルンシカンテレーション9単体

4989600907200
260


t 0,1,2,3,4,7,8 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
オクティヘプスティスターイランシカンティトランケーテッド9単体

3326400604800
261


t 0,1,2,3,5,7,8 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
オクチヘプチペンチルンシクアンチトランケーテッド9単体

5443200907200
262


t 0,1,2,4,5,7,8 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
オクチヘプチペンティステリクアンチトランケート9単体

4989600907200
263


t 0,1,3,4,5,7,8 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
オクチヘプチペンティスターイルンシトランケーテッド9単体

4989600907200
264


t 0,1,2,3,6,7,8 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
オクティヘプチヘキシルンシカンティトランケート9単体

3326400604800
265


t 0,1,2,4,6,7,8 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
オクティヘプチヘキシステリカンティトランケーテッド9単体

5443200907200
266


t 0,1,2,3,4,5,6,7 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
ヘプチヘキシペンティスターイルンシカンティトランケート9単体

81648001814400
267


t 0,1,2,3,4,5,6,8 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
オクティヘキシペンティスターイルンシカンティトランケーテッド9シンプレックス

90720001814400
268


t 0,1,2,3,4,5,7,8 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
オクチヘプチペンティスターイルンシカンティトランケーテッド9シンプレックス

90720001814400
269


t 0,1,2,3,4,6,7,8 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
オクチヘプチヘキシスターイルンシカンティトランケーテッド9単体

90720001814400
270


t 0,1,2,3,5,6,7,8 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
オクチヘプチヘキシペンチルンシカンティトランケート9単体

90720001814400
271


t 0,1,2,3,4,5,6,7,8 {3,3,3,3,3,3,3,3,3}
全切断9単体

163296003628800

B9家族

1 つ以上の環を持つCoxeter-Dynkin 図のすべての順列に基づく形式は 511 個あります。

以下に11のケースを示します。9つは修正形、2つは短縮形です。相互参照のため、Bowers形式の頭字語名は括弧内に記載されています。

#グラフコクセター・ディンキン図
シュレーフリ記号
名前		要素数
8面7つの顔6面5面4面細胞顔エッジ頂点
1
t 0 {4,3,3,3,3,3,3,3}
9-cube (enne)		1814467220164032537646082304512
2
t 0,1 {4,3,3,3,3,3,3,3,3}
切り捨てられた9の立方体（10）		23044608
3
t 1 {4,3,3,3,3,3,3,3,3}
直角9立方体（ren）		184322304
4
t 2 {4,3,3,3,3,3,3,3,3}
9次元立方体（納屋）		645124608
5
t 3 {4,3,3,3,3,3,3,3,3}
三辺形9立方体（ターン）		967685376
6
t 4 {4,3,3,3,3,3,3,3,3}
四角形9立方体（nav）
（四角形9正方体）		806404032
7
t 3 {3,3,3,3,3,3,3,3,4}
三重整流9-オルトプレックス（tarv）		403202016
8
t 2 {3,3,3,3,3,3,3,4}
二重9-オルソプレックス（brav）		12096672
9
t 1 {3,3,3,3,3,3,3,3,4}
整流9-オルトプレックス（riv）		2016144
10
t 0,1 {3,3,3,3,3,3,3,3,4}
切断型9-オルソプレックス（tiv）		2160288
11
t 0 {3,3,3,3,3,3,3,3,4}
9-オルソプレックス（V）		5122304460853764032201667214418

D9家族

D 9族は 92,897,280 次 (9 の階乗× 2 8 ) の対称性を持ちます。

このファミリーには、D 9 コクセター・ディンキン図の1つ以上のノードをマークすることで生成される、3×128−1=383 個のウィソフ一様多面体があります。このうち、255 (2×128−1) 個はB 9ファミリーから重複し、128 個はこのファミリーに固有のもので、1 または 2 の環を持つ 8 つの形式が以下に列挙されています。相互参照のために、Bowers スタイルの頭字語が括弧内に記載されています。

#コクセター平面グラフコクセター・ディンキン図の
シュレーフリ記号		基点
（交互符号）		要素数サーカムラッド
B9​D9​D8​D7​D6​D5​D4​D3​A7​A5​A3​876543210
1
9-デミキューブ（ヘンネ）		(1、1、1、1、1、1、1、1、1)274244898882352036288376322140446082561.0606601
2
切り詰められた9デミキューブ（テンネ）		(1、1、3、3、3、3、3、3、3)6912092162.8504384
3
9角形デミキューブ		(1、1、1、3、3、3、3、3、3)225792215042.6692696
4
ランシネーテッド9デミキューブ		(1、1、1、1、3、3、3、3、3)419328322562.4748735
5
ステリケート9-デミキューブ		(1、1、1、1、1、3、3、3、3)483840322562.2638462
6
9面体半球		(1、1、1、1、1、1、3、3、3)354816215042.0310094
7
六角形の9デミキューブ		(1、1、1、1、1、1、1、3、3)16128092161.7677668
8
七面体9デミキューブ		(1、1、1、1、1、1、1、1、3)4147223041.4577379

規則的で均一なハニカム

コクセター・ディンキン図における族間の対応関係と、図内の高次対称性。各行の同じ色のノードは同一のミラーを表す。黒色のノードは対応関係においてアクティブではない。

8 次元空間で規則的かつ均一なモザイクを生成する 5 つの基本的なアフィンコクセター群があります。

#コクセターグループコクセター図フォーム
1[3 [9] ]45
2[4,3 6,4 ]271
3h[4,3 6 ,4]
[4,3 5 ,3 1,1 ]		383 (新規 128)
4q[4,3 6 ,4]
[3 1,1 ,3 4 ,3 1,1 ]		155（新規15）
5[3 5,2,1 ]511

規則的かつ均一なテッセレーションには次のものが含まれます。

  • 45の独特な環状形態
  • 271のユニークな環状形態
  • : 383の固有の環状形態、255は共通、128は新規
  • , [3 1,1 ,3 4 ,3 1,1 ]: 155個のユニークな環の順列があり、そのうち15個は新しいもので、コクセターはこれを1/4 8立方ハニカムと呼び、q{4,3 6 ,4}、またはqδ 9と表した。
  • 511フォーム

規則的で均一な双曲面ハニカム

階数9のコンパクト双曲型コクセター群、すなわち有限面と有限頂点図を持つハニカムを生成できる群は存在しない。しかし、階数9のパラコンパクト双曲型コクセター群は4つ存在し、それぞれがコクセター図の環の順列として8次元空間に一様ハニカムを生成する。

= [3,3 [8] ]:
= [3 1,1 ,3 3 ,3 2,1 ]:
= [4,3 4 ,3 2,1 ]:
= [3 4,3,1 ]:

参考文献

  1. ^ abc Richeson, D.; Euler's Gem: The Polyhedron Formula and the Birth of Topopology、プリンストン、2008年。
  • T. ゴセット：n次元空間における正則図形と半正則図形について、メッセンジャー・オブ・マスマティクス、マクミラン、1900年
  • A. ブール・ストット(1910)。 「正多面体と空間充填からの半正則の幾何学的演繹」(PDF)。アムステルダムのVerhandelingen der Koninklijke Academy van Wetenschappen。Ⅹ（１）．アムステルダム：ヨハネス・ミュラー。 2025 年 4 月 29 日のオリジナル(PDF)からアーカイブ。
  • HSMコクセター：
    • HSM Coxeter、MS Longuet-Higgins、JCP Miller: Uniform Polyhedra、Philosophical Transactions of the Royal Society of London、ロンドン、1954年
    • HSM Coxeter著『Regular Polytopes』第3版、ドーバー、ニューヨーク、1973年
  • 万華鏡：HSMコクセター選集、F・アーサー・シャーク、ピーター・マクマレン、アンソニー・C・トンプソン、アジア・アイビック・ワイス編、ワイリー・インターサイエンス出版、1995年、ISBN 978-0-471-01003-6[1] 2016年7月11日にWayback Machineにアーカイブ
    • （論文22）HSM Coxeter,正則多面体と半正則多面体I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380–407, MR 2,10]
    • （論文23）HSM Coxeter,正則多面体と半正則多面体II , [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
    • （論文24）HSM Coxeter,正則多面体と半正則多面体III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
  • NWジョンソン：均一多面体とハニカムの理論、博士論文、トロント大学、1966年
  • Klitzing, Richard. 「9D 均一多面体 (ポリヨッタ)」
  • 多面体の名前
  • 様々な次元の多面体、ジョナサン・バウワーズ
  • 多次元用語集
  • ハイパースペースの用語集、ジョージ・オルシェフスキー著。
2～10次元の基本凸正則多面体と一様多面体
家族アン​B nI 2 ( p ) / D nE 6 / E 7 / E 8 / F 4 / G 2H n
正多角形三角形四角p角形六角形五角形
均一な多面体四面体八面体•立方体デミキューブ十二面体•二十面体
均一ポリクロロンペンタコロン16セル• Tesseractデミテッセラクト24セル120セル• 600セル
一様5次元多面体5単体5-オルソプレックス• 5-キューブ5デミキューブ
一様6次元多面体6単体6-オルソプレックス• 6-キューブ6デミキューブ1 22 • 2 21
一様7次元多面体7単体7-オルソプレックス• 7-キューブ7デミキューブ1 32 • 2 31 • 3 21
一様8次元多面体8単体8-オルソプレックス• 8-キューブ8デミキューブ1 42 • 2 41 • 4 21
一様9次元多面体9単体9-オルソプレックス• 9-キューブ9デミキューブ
一様10次元多面体10単体10-オルソプレックス• 10-キューブ10デミキューブ
一様n多面体n -単体n -オルソプレックス• n -キューブn -デミキューブ1 k2 • 2 k1 • k 21n -五角形多面体
トピック:多面体族•正多面体•正多面体と複合多面体の一覧•多面体の演算
2～9次元の基本凸正則ハニカムと一様ハニカム
空間家族/ /
E 2均一なタイリング0 [3]δ 3hδ 3qδ 3六角
E 3均一な凸型ハニカム0 [4]δ 4hδ 4qδ 4
E4​均一な4ハニカム0 [5]δ 5hδ 5qδ 524セルハニカム
E 5均一な5ハニカム0 [6]δ 6hδ 6qδ 6
E 6均一な6ハニカム0 [7]δ 7hδ 7qδ 72 22
E 7均一な7ハニカム0 [8]δ 8hδ 8qδ 81 33 • 3 31
E8​均一な8ハニカム0 [9]δ 9hδ 9qδ 91 52 • 2 51 • 5 21
E9​均一な9ハニカム0 [10]δ 10hδ 10qδ 10
E 10均一な10ハニカム0 [11]δ 11hδ 11qδ 11
E n −1均一な（n −1）ハニカム0 [ n ]δ nhδ nqδ n1 k 2 • 2 k 1 • k 21
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