ARGUSディストリビューション

Probability distribution in physics

アルガス
確率密度関数 c = 1 です。
累積分布関数 c = 1 です。
パラメータ	${\displaystyle c>0}$カットオフ（実数）曲率（実数） ${\displaystyle \chi >0}$
サポート	${\displaystyle x\in (0,c)\!}$
PDF	テキストを参照
CDF	テキストを参照
平均	${\displaystyle \mu =c{\sqrt {\pi /8}}\;{\frac {\chi e^{-{\frac {\chi ^{2}}{4}}}I_{1}({\tfrac {\chi ^{2}}{4}})}{\Psi (\chi )}}}$ ここで、I 1は1 次の第 1 種修正ベッセル関数であり、テキストに示されています。 ${\displaystyle \Psi (x)}$
モード	${\displaystyle {\frac {c}{{\sqrt {2}}\chi }}{\sqrt {(\chi ^{2}-2)+{\sqrt {\chi ^{4}+4}}}}}$
分散	${\displaystyle c^{2}\!\left(1-{\frac {3}{\chi ^{2}}}+{\frac {\chi \phi (\chi )}{\Psi (\chi )}}\right)-\mu ^{2}}$

物理学において、ARGUS分布は、粒子物理学実験ARGUSにちなんで名付けられ、^[1]連続背景における崩壊粒子候補の再構成された不変質量の確率分布です^{[説明が必要]}。

意味

ARGUS 分布の確率密度関数 (pdf) は次のとおりです。

${\displaystyle f(x;\chi ,c)={\frac {\chi ^{3}}{{\sqrt {2\pi }}\,\Psi (\chi )}}\cdot {\frac {x}{c^{2}}}{\sqrt {1-{\frac {x^{2}}{c^{2}}}}}\exp {\bigg \{}-{\frac {1}{2}}\chi ^{2}{\Big (}1-{\frac {x^{2}}{c^{2}}}{\Big )}{\bigg \}},}$

について。ここで、およびは分布のパラメータであり、 ${\displaystyle 0\leq x<c}$ ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle c}$

${\displaystyle \Psi (\chi )=\Phi (\chi )-\chi \phi (\chi )-{\tfrac {1}{2}},}$

ここで、およびはそれぞれ標準正規分布の累積分布関数と確率密度関数です。 ${\displaystyle \Phi (x)}$ ${\displaystyle \phi (x)}$

累積分布関数

ARGUS分布の累積分布関数（cdf ）は

${\displaystyle F(x)=1-{\frac {\Psi \left(\chi {\sqrt {1-x^{2}/c^{2}}}\right)}{\Psi (\chi )}}}$。

パラメータ推定

パラメータcは既知であると仮定する（不変質量分布の運動学的極限）。一方、χはサンプルX ₁ , ..., X _nから最尤法を用いて推定できる。推定値はサンプル二次モーメントの関数であり、非線形方程式の解として与えられる。

${\displaystyle 1-{\frac {3}{\chi ^{2}}}+{\frac {\chi \phi (\chi )}{\Psi (\chi )}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {x_{i}^{2}}{c^{2}}}}$。

右辺が 0.4 より大きい場合、解は存在し、一意です。結果として得られる推定値は一貫性があり、漸近的に正規分布します。 ${\displaystyle \scriptstyle {\hat {\chi }}}$

一般化ARGUS分布

ピークに近い分布を記述するために、より一般的な形式が使用されることもあります。

${\displaystyle f(x)={\frac {2^{-p}\chi ^{2(p+1)}}{\Gamma (p+1)-\Gamma (p+1,\,{\tfrac {1}{2}}\chi ^{2})}}\cdot {\frac {x}{c^{2}}}\left(1-{\frac {x^{2}}{c^{2}}}\right)^{p}\exp \left\{-{\frac {1}{2}}\chi ^{2}\left(1-{\frac {x^{2}}{c^{2}}}\right)\right\},\qquad 0\leq x\leq c,\qquad c>0,\,\chi >0,\,p>-1}$

${\displaystyle F(x)={\frac {\Gamma \left(p+1,\,{\tfrac {1}{2}}\chi ^{2}\left(1-{\frac {x^{2}}{c^{2}}}\right)\right)-\Gamma (p+1,\,{\tfrac {1}{2}}\chi ^{2})}{\Gamma (p+1)-\Gamma (p+1,\,{\tfrac {1}{2}}\chi ^{2})}},\qquad 0\leq x\leq c,\qquad c>0,\,\chi >0,\,p>-1}$

ここでΓ(·)はガンマ関数、Γ(·,·)は上側不完全ガンマ関数である。

ここで、パラメータc、 χ 、  p はそれぞれカットオフ、曲率、および累乗を表します。

モードは次のとおりです:

${\displaystyle {\frac {c}{{\sqrt {2}}\chi }}{\sqrt {(\chi ^{2}-2p-1)+{\sqrt {\chi ^{2}(\chi ^{2}-4p+2)+(1+2p)^{2}}}}}}$

平均は次のとおりです。

${\displaystyle \mu =c\,p\,{\sqrt {\pi }}{\frac {\Gamma (p)}{\Gamma ({\tfrac {5}{2}}+p)}}{\frac {\chi ^{2p+2}}{2^{p+2}}}{\frac {M\left(p+1,{\tfrac {5}{2}}+p,-{\tfrac {\chi ^{2}}{2}}\right)}{\Gamma (p+1)-\Gamma (p+1,\,{\tfrac {1}{2}}\chi ^{2})}}}$

ここでM(·,·,·)はクンマーの合流型超幾何関数である。^{[2] [循環参照]}

差異は次のとおりです。

${\displaystyle \sigma ^{2}=c^{2}{\frac {\left({\frac {\chi }{2}}\right)^{p+1}\chi ^{p+3}e^{-{\tfrac {\chi ^{2}}{2}}}+\left(\chi ^{2}-2(p+1)\right)\left\{\Gamma (p+2)-\Gamma (p+2,\,{\tfrac {1}{2}}\chi ^{2})\right\}}{\chi ^{2}(p+1)\left(\Gamma (p+1)-\Gamma (p+1,\,{\tfrac {1}{2}}\chi ^{2})\right)}}-\mu ^{2}}$

p  = 0.5 の場合、上記の通常の ARGUS になります。

参考文献

1. Albrecht, H. (1990). 「ハドロン的b→u崩壊の探索」. Physics Letters B. 241 ( 2): 278– 282. Bibcode :1990PhLB..241..278A. doi :10.1016/0370-2693(90)91293-K.（より正式にはARGUSコラボレーション、H. Albrechtらによる）本論文では、ビームエネルギーを表すパラメータcとパラメータpを0.5に設定して関数を定義している。正規化とパラメータχはデータから得られた。
2. 合流型超幾何関数

さらに読む

• アルブレヒト, H. (1994). 「B → J/ψK*崩壊における分極の測定」. Physics Letters B. 340 ( 3): 217– 220. Bibcode :1994PhLB..340..217A. doi :10.1016/0370-2693(94)01302-0.
• Pedlar, T.; Cronin-Hennessy, D.; Hietala, J.; Dobbs, S.; Metreveli, Z.; Seth, K.; Tomaradze, A.; Xiao, T.; Martin, L. (2011). 「D D閾値を超えるe ⁺ e ^{−衝突を用いたh} _c (1P)の観測」. Physical Review Letters . 107 (4) 041803. arXiv : 1104.2025 . Bibcode :2011PhRvL.107d1803P. doi :10.1103/PhysRevLett.107.041803. PMID:  21866994. S2CID  : 33751212.
• リーズ、日本。ポワロー、V.プレンシペ、E.ティッセランド、V.ガラ・ティコ、J.グレージュ、E.マルティネリ、M.パラノ、A.パパガロ、M.エイゲン、G.ストゥグ、B.サン、Ｌ．バッタリア、M.ブラウン、DN。フーバーマン、B.カース、LT;コロメンスキー、YG;リンチ、G.イリノイ州オシペンコフ。田辺哲也;ホークス、CM。ソニ、N. AT、ワトソン。コッホ、H.シュローダー、T.アスゲイルソン、DJ。ハーティ、C. TS、マティソン。マッケンナ、JA;他。 （2010年）。 「狭いΥ崩壊における帯電レプトンフレーバー違反の検索」。物理的なレビューレター。104 (15) 151802. arXiv : 1001.1883 . Bibcode :2010PhRvL.104o1802L. doi :10.1103/PhysRevLett.104.151802. PMID  20481982. S2CID  14992286.

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