絶対積分可能な関数

数学において、絶対積分可能関数とは、その絶対値が積分可能な関数であり、領域全体にわたる絶対値の積分が有限であることを意味します。

実数値関数の場合、 $\int |f(x)|\,dx=\int f^{+}(x)\,dx+\int f^{-}(x)\,dx$ $f^{+}(x)=\max(f(x),0),\ \ \ f^{-}(x)=\max(-f(x),0),$

とはどちらも有限でなければならない。ルベーグ積分において、これはまさに任意の測定関数fが積分可能とみなされるための要件であり、その場合の積分はに等しい。したがって、測定関数にとって「絶対積分可能」とは「ルベーグ積分可能」と同じ意味である。 ${\textstyle \int f^{+}(x)\,dx}$ ${\textstyle \int f^{-}(x)\,dx}$ ${\textstyle \int f^{+}(x)\,dx-\int f^{-}(x)\,dx}$

複素数関数についても同様です。とをの実部と虚部と定義します。するととなります。これは、4つの積分（中央）の和が有限となるのは、絶対値の積分が有限となる場合のみであり、関数がルベーグ積分可能であるのは、4つの積分すべてが有限となる場合のみであることを示しています。したがって、絶対値の有限積分を持つことは、関数が「ルベーグ積分可能」であるための条件と等価です。 $f^{+}(x)=\max(\Re f(x),0)$ $f^{-}(x)=\max(-\Re f(x),0)$ $f^{+i}(x)=\max(\Im f(x),0)$ $f^{-i}(x)=\max(-\Im f(x),0)$ $\Re f(x)$ $\Im f(x)$ $f(x)$ $|f(x)|\leq f^{+}(x)+f^{-}(x)+f^{+i}(x)+f^{-i}(x)\leq {\sqrt {2}}\,|f(x)|$ $\int |f(x)|\,dx\leq \int f^{+}(x)\,dx+\int f^{-}(x)\,dx+\int f^{+i}(x)\,dx+\int f^{-i}(x)\,dx\leq {\sqrt {2}}\int |f(x)|\,dx$

外部リンク

「絶対積分可能関数 – 数学百科事典」。 2015年10月9日閲覧。

参考文献

Tao, Terence、『Analysis 2』、第 3 版、『Texts and Readings in Mathematics』、Hindustan Book Agency、ニューデリー。