音響インピーダンス

Opposition that a system presents to an acoustic pressure

音響測定
特性	シンボル
音圧	p、SPL、L PA
粒子速度	v、SVL
粒子変位	δ
音の強さ	私、義理の妹
音響パワー	P、SWL、L WA
音エネルギー	W
音エネルギー密度	わ
音への露出	E、SEL
音響インピーダンス	Z
オーディオ周波数	AF
伝送損失	TL
v t e

音響インピーダンスと比音響インピーダンスは、システムに印加された音圧によって生じる音響流に対するシステムの抵抗の尺度です。音響インピーダンスのSI単位系はパスカル秒/立方メートル（記号Pa·s/m ³）、またはMKS単位系ではレイル/平方メートル（Rayl/m ²）です。一方、比音響インピーダンスのSI単位系はパスカル秒/メートル（Pa·s/m）、またはMKS単位系ではレイル（Rayl）です。^[1]これらは電気インピーダンスと密接な類似点があり、電気インピーダンスはシステムに印加された電圧によって生じる電流に対するシステムの抵抗の尺度です。

数学的な定義

音響インピーダンス

線形時間不変システムの場合、システムに適用される音圧と、その適用点におけるその圧力の方向に垂直な表面を通過する結果として生じる音響体積流量との関係は、次のように表される。 ^{[引用が必要]}

${\displaystyle p(t)=[R*Q](t),}$

または同等に

${\displaystyle Q(t)=[G*p](t),}$

どこ

• pは音圧です。
• Qは音響体積流量です。
• ${\displaystyle *}$畳み込み演算子です。
• Rは時間領域における音響抵抗である。
• G = R ^−1は時間領域における音響コンダクタンスです（R ⁻¹はRの畳み込み逆数です）。

音響インピーダンス（ Zと表記）は、ラプラス変換、またはフーリエ変換、あるいは時間領域音響抵抗の解析的表現である：^[1]

${\displaystyle Z(s){\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}{\mathcal {L}}[R](s)={\frac {{\mathcal {L}}[p](s)}{{\mathcal {L}}[Q](s)}},}$

${\displaystyle Z(\omega ){\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}{\mathcal {F}}[R](\omega )={\frac {{\mathcal {F}}[p](\omega )}{{\mathcal {F}}[Q](\omega )}},}$

${\displaystyle Z(t){\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}R_{\mathrm {a} }(t)={\frac {1}{2}}\!\left[p_{\mathrm {a} }*\left(Q^{-1}\right)_{\mathrm {a} }\right]\!(t),}$

どこ

• ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$はラプラス変換演算子です。
• ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$はフーリエ変換演算子です。
• 下付き文字「a」は解析表現演算子です。
• Q ⁻¹はQの畳み込み逆数です。

音響抵抗（R）と音響リアクタンス（X）は、それぞれ音響インピーダンスの実部と虚部である。 ^{[引用が必要]}

${\displaystyle Z(s)=R(s)+iX(s),}$

${\displaystyle Z(\omega )=R(\omega )+iX(\omega ),}$

${\displaystyle Z(t)=R(t)+iX(t),}$

どこ

• iは虚数単位です。
• Z ( s ) 、R ( s )は時間領域音響抵抗R ( t )のラプラス変換ではありませんが、Z ( s ) は;
• Z ( ω )、R ( ω )は時間領域音響抵抗R ( t )のフーリエ変換ではないが、Z ( ω )は;
• Z ( t )において、R ( t )は時間領域音響抵抗であり、X ( t )は解析表現の定義に従って、時間領域音響抵抗R ( t )のヒルベルト変換である。

誘導性音響リアクタンス（X _L）と容量性音響リアクタンス（X _C ）は、それぞれ音響リアクタンスの正の部分と負の部分である。 ^{[引用が必要]}

${\displaystyle X(s)=X_{L}(s)-X_{C}(s),}$

${\displaystyle X(\omega )=X_{L}(\omega )-X_{C}(\omega ),}$

${\displaystyle X(t)=X_{L}(t)-X_{C}(t).}$

音響アドミタンス（ Yと表記）はラプラス変換、フーリエ変換、または時間領域音響コンダクタンスの解析的表現である：^[1]

${\displaystyle Y(s){\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}{\mathcal {L}}[G](s)={\frac {1}{Z(s)}}={\frac {{\mathcal {L}}[Q](s)}{{\mathcal {L}}[p](s)}},}$

${\displaystyle Y(\omega ){\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}{\mathcal {F}}[G](\omega )={\frac {1}{Z(\omega )}}={\frac {{\mathcal {F}}[Q](\omega )}{{\mathcal {F}}[p](\omega )}},}$

${\displaystyle Y(t){\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}G_{\mathrm {a} }(t)=Z^{-1}(t)={\frac {1}{2}}\!\left[Q_{\mathrm {a} }*\left(p^{-1}\right)_{\mathrm {a} }\right]\!(t),}$

どこ

• Z ⁻¹はZの畳み込み逆数です。
• p ⁻¹はpの畳み込み逆数です。

音響コンダクタンス（G）と音響サセプタンス（B）は、それぞれ音響アドミタンスの実部と虚部である。^{[引用が必要]}

${\displaystyle Y(s)=G(s)+iB(s),}$

${\displaystyle Y(\omega )=G(\omega )+iB(\omega ),}$

${\displaystyle Y(t)=G(t)+iB(t),}$

どこ

• Y ( s )において、G ( s ) は時間領域音響コンダクタンスG ( t ) のラプラス変換ではありませんが、Y ( s ) は;
• Y ( ω )、G ( ω )は時間領域音響コンダクタンスG ( t )のフーリエ変換ではないが、Y ( ω )は;
• Y ( t )において、G ( t )は時間領域音響コンダクタンスであり、B ( t )は解析的表現の定義に従って、時間領域音響コンダクタンスG ( t )のヒルベルト変換である。

音響抵抗は、音波のエネルギー伝達を表します。圧力と運動は同位相であるため、仕事は音波の前の媒体で行われます。音響リアクタンスは、運動と位相がずれている圧力を表し、平均エネルギー伝達は発生しません。^{[引用が必要]}たとえば、オルガンのパイプに接続された密閉された電球には、空気が流入して圧力がかかりますが、位相がずれているため、正味エネルギーは伝達されません。圧力が上昇すると空気が流入し、圧力が低下すると空気が流出しますが、空気が流入するときの平均圧力は流出するときの平均圧力と同じであるため、電力は前後に流れますが、時間平均エネルギー伝達はありません。^{[引用が必要]}さらに電気的な類似例として、電力線に接続されたコンデンサがあります。電流はコンデンサを流れますが、電圧と位相がずれているため、正味電力は伝送されません。

比音響インピーダンス

線形時間不変システムの場合、システムに適用される音圧と、その適用点におけるその圧力の方向の粒子速度との関係は次のように表される。

${\displaystyle p(t)=[r*v](t),}$

または次のように同等です:

${\displaystyle v(t)=[g*p](t),}$

どこ

• pは音圧です。
• vは粒子の速度です。
• rは時間領域における特定の音響抵抗である。
• g = r ^−1は時間領域における比音響コンダクタンスである（r ⁻¹はrの畳み込み逆数である）。^[要出典]

比音響インピーダンス（ zと表記）はラプラス変換、フーリエ変換、または時間領域における比音響抵抗の解析的表現である：^[1]

${\displaystyle z(s){\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}{\mathcal {L}}[r](s)={\frac {{\mathcal {L}}[p](s)}{{\mathcal {L}}[v](s)}},}$

${\displaystyle z(\omega ){\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}{\mathcal {F}}[r](\omega )={\frac {{\mathcal {F}}[p](\omega )}{{\mathcal {F}}[v](\omega )}},}$

${\displaystyle z(t){\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}r_{\mathrm {a} }(t)={\frac {1}{2}}\!\left[p_{\mathrm {a} }*\left(v^{-1}\right)_{\mathrm {a} }\right]\!(t),}$

ここで、v ⁻¹はvの畳み込み逆数です。

比音響抵抗rと比音響リアクタンスxは、それぞれ比音響インピーダンスの実部と虚部である。^{[引用が必要]}

${\displaystyle z(s)=r(s)+ix(s),}$

${\displaystyle z(\omega )=r(\omega )+ix(\omega ),}$

${\displaystyle z(t)=r(t)+ix(t),}$

どこ

• z ( s )、r ( s )は時間領域特定の音響抵抗r ( t )、z ( s )のラプラス変換ではありません。
• z ( ω )、r ( ω )は時間領域の特定の音響抵抗r ( t )のフーリエ変換ではありませんが、z ( ω )は;
• z ( t )において、r ( t )は時間領域特有の音響抵抗であり、x ( t )は解析的表現の定義に従って、時間領域特有の音響抵抗r ( t )のヒルベルト変換である。

比音響誘導リアクタンス（x _L）と比音響容量リアクタンス（x _C）は、それぞれ比音響リアクタンスの正の部分と負の部分である。^{[引用が必要]}

${\displaystyle x(s)=x_{L}(s)-x_{C}(s),}$

${\displaystyle x(\omega )=x_{L}(\omega )-x_{C}(\omega ),}$

${\displaystyle x(t)=x_{L}(t)-x_{C}(t).}$

比音響アドミタンス（ yと表記）は、ラプラス変換、またはフーリエ変換、あるいは時間領域における比音響コンダクタンスの解析的表現である。^[1]

${\displaystyle y(s){\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}{\mathcal {L}}[g](s)={\frac {1}{z(s)}}={\frac {{\mathcal {L}}[v](s)}{{\mathcal {L}}[p](s)}},}$

${\displaystyle y(\omega ){\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}{\mathcal {F}}[g](\omega )={\frac {1}{z(\omega )}}={\frac {{\mathcal {F}}[v](\omega )}{{\mathcal {F}}[p](\omega )}},}$

${\displaystyle y(t){\stackrel {\mathrm {def} }{{}={}}}g_{\mathrm {a} }(t)=z^{-1}(t)={\frac {1}{2}}\!\left[v_{\mathrm {a} }*\left(p^{-1}\right)_{\mathrm {a} }\right]\!(t),}$

どこ

• z ⁻¹はzの畳み込み逆数です。
• p ⁻¹はpの畳み込み逆数です。

比音響コンダクタンス（g）と比音響サセプタンス（b）は、それぞれ比音響アドミタンスの実部と虚部である。^{[引用が必要]}

${\displaystyle y(s)=g(s)+ib(s),}$

${\displaystyle y(\omega )=g(\omega )+ib(\omega ),}$

${\displaystyle y(t)=g(t)+ib(t),}$

どこ

• y ( s )において、g ( s ) は時間領域音響コンダクタンスg ( t )のラプラス変換ではありません。y ( s ) は、
• y ( ω )、g ( ω )は時間領域音響コンダクタンスg ( t )、y ( ω )のフーリエ変換ではありません。
• y ( t )において、g ( t )は時間領域音響コンダクタンスであり、b ( t )は解析的表現の定義に従った時間領域音響コンダクタンスg ( t )のヒルベルト変換である。

比音響インピーダンスZは特定の媒体の強弱特性です（例えば、空気や水のZを指定できます）。一方、音響インピーダンスZは特定の媒体と形状の強弱特性です（例えば、空気で満たされた特定のダクトのZを指定できます）。^[要出典]

音響抵抗

音響抵抗は音響インピーダンスの測定単位です。圧力のSI単位はパスカル、流量のSI単位は立方メートル/秒であるため、音響抵抗は1 Pa·s/m ³に相当します。^[要出典]

音響抵抗は、音響の領域外の流体の流れにも適用できます。このような用途では、同一の定義を持つ水力抵抗が用いられる場合があります。水力抵抗の測定は、水圧と水力体積流量の比となります。

関係

面積Aの開口部を通過する1次元波の場合、音響体積流量Qは、開口部を1秒あたりに通過する媒体の体積です。音響流が距離d x = v d tを移動すると、通過する媒体の体積はd V = A d xとなるため、次の式が成り立ちます。 ^{[引用が必要]}

${\displaystyle Q={\frac {\mathrm {d} V}{\mathrm {d} t}}=A{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=Av.}$

波が1次元の場合、

${\displaystyle Z(s)={\frac {{\mathcal {L}}[p](s)}{{\mathcal {L}}[Q](s)}}={\frac {{\mathcal {L}}[p](s)}{A{\mathcal {L}}[v](s)}}={\frac {z(s)}{A}},}$

${\displaystyle Z(\omega )={\frac {{\mathcal {F}}[p](\omega )}{{\mathcal {F}}[Q](\omega )}}={\frac {{\mathcal {F}}[p](\omega )}{A{\mathcal {F}}[v](\omega )}}={\frac {z(\omega )}{A}},}$

${\displaystyle Z(t)={\frac {1}{2}}\!\left[p_{\mathrm {a} }*\left(Q^{-1}\right)_{\mathrm {a} }\right]\!(t)={\frac {1}{2}}\!\left[p_{\mathrm {a} }*\left({\frac {v^{-1}}{A}}\right)_{\mathrm {a} }\right]\!(t)={\frac {z(t)}{A}}.}$

特性音響インピーダンス

特性音響インピーダンス

一次元における非分散線形音響の構成法則は、応力とひずみの関係を示す。^[1]

${\displaystyle p=-\rho c^{2}{\frac {\partial \delta }{\partial x}},}$

どこ

• pは媒体内の音圧です。
• ρは媒体の体積質量密度である。
• cは媒体中を伝わる音波の速度です。
• δは粒子の変位である。
• xは音波の伝播方向に沿った空間変数です。

この式は流体と固体の両方に当てはまります。

• 流体の場合、ρc ² = K（Kは体積弾性係数を表す）。
• 固体では、縦波の場合はρc ² = K + 4/3 G（Gはせん断弾性係数）、横波の場合はρc ² = Gです。^[要出典]

ニュートンの第二法則を媒体に局所的に適用すると次の式が得られる: ^[2]

${\displaystyle \rho {\frac {\partial ^{2}\delta }{\partial t^{2}}}=-{\frac {\partial p}{\partial x}}.}$

この式を前の式と組み合わせると、1次元波動方程式が得られます。

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\delta }{\partial t^{2}}}=c^{2}{\frac {\partial ^{2}\delta }{\partial x^{2}}}.}$

平面波

${\displaystyle \delta (\mathbf {r} ,\,t)=\delta (x,\,t)}$

この波動方程式の解は、 x軸方向に同じ速度で反対方向に移動する2つの進行平面波の和から構成される。^[要出典]

${\displaystyle \delta (\mathbf {r} ,\,t)=f(x-ct)+g(x+ct)}$

そこから派生できる

${\displaystyle v(\mathbf {r} ,\,t)={\frac {\partial \delta }{\partial t}}(\mathbf {r} ,\,t)=-c{\big [}f'(x-ct)-g'(x+ct){\big ]},}$

${\displaystyle p(\mathbf {r} ,\,t)=-\rho c^{2}{\frac {\partial \delta }{\partial x}}(\mathbf {r} ,\,t)=-\rho c^{2}{\big [}f'(x-ct)+g'(x+ct){\big ]}.}$

進行平面波の場合: ^[要出典]

${\displaystyle {\begin{cases}p(\mathbf {r} ,\,t)=-\rho c^{2}\,f'(x-ct)\\v(\mathbf {r} ,\,t)=-c\,f'(x-ct)\end{cases}}}$

または

${\displaystyle {\begin{cases}p(\mathbf {r} ,\,t)=-\rho c^{2}\,g'(x+ct)\\v(\mathbf {r} ,\,t)=c\,g'(x+ct).\end{cases}}}$

最後に、比音響インピーダンスzは

${\displaystyle z(\mathbf {r} ,\,s)={\frac {{\mathcal {L}}[p](\mathbf {r} ,\,s)}{{\mathcal {L}}[v](\mathbf {r} ,\,s)}}=\pm \rho c,}$

${\displaystyle z(\mathbf {r} ,\,\omega )={\frac {{\mathcal {F}}[p](\mathbf {r} ,\,\omega )}{{\mathcal {F}}[v](\mathbf {r} ,\,\omega )}}=\pm \rho c,}$

${\displaystyle z(\mathbf {r} ,\,t)={\frac {1}{2}}\!\left[p_{\mathrm {a} }*\left(v^{-1}\right)_{\mathrm {a} }\right]\!(\mathbf {r} ,\,t)=\pm \rho c.}$^[要引用]

この比音響インピーダンスの絶対値は、しばしば特性比音響インピーダンスと呼ばれ、z 0と_表記される: ^[1]

${\displaystyle z_{0}=\rho c.}$

この方程式はまた、

${\displaystyle {\frac {p(\mathbf {r} ,\,t)}{v(\mathbf {r} ,\,t)}}=\pm \rho c=\pm z_{0}.}$

温度の影響

温度は音速と質量密度に作用し、したがって比音響インピーダンスにも作用します。^[要出典]

空気の性質に対する温度の影響

摂氏 温度 θ [ °C ]	音速c [ m / s ] ​	空気の密度 ρ [ kg / m 3 ]	特性 音響インピーダンス z 0 [ Pa ⋅ s / m ]
35	351.88	1.1455	403.2
30	349.02	1.1644	406.5
25	346.13	1.1839	409.4
20	343.21	1.2041	413.3
15	340.27	1.2250	416.9
10	337.31	1.2466	420.5
5	334.32	1.2690	424.3
0	331.30	1.2922	428.0
−5	328.25	1.3163	432.1
−10	325.18	1.3413	436.1
−15	322.07	1.3673	440.3
−20	318.94	1.3943	444.6
−25	315.77	1.4224	449.1

特性音響インピーダンス

面積Aの開口部を通過する1次元波の場合、Z = z / Aとなるので、波が進行平面波である場合は、次の式が成り立ちます。^{[引用が必要]}

${\displaystyle Z(\mathbf {r} ,\,s)=\pm {\frac {\rho c}{A}},}$

${\displaystyle Z(\mathbf {r} ,\,\omega )=\pm {\frac {\rho c}{A}},}$

${\displaystyle Z(\mathbf {r} ,\,t)=\pm {\frac {\rho c}{A}}.}$

この音響インピーダンスの絶対値は特性音響インピーダンスと呼ばれ、 Z ₀と表記される。^[1]

${\displaystyle Z_{0}={\frac {\rho c}{A}}.}$

そして、特性音響インピーダンスは

${\displaystyle {\frac {p(\mathbf {r} ,\,t)}{Q(\mathbf {r} ,\,t)}}=\pm {\frac {\rho c}{A}}=\pm Z_{0}.}$

面積Aの開口部をパイプの始点とし、平面波をパイプに送り込むと、開口部を通過する波は反射がない場合には進行する平面波となり、通常、パイプのもう一方の端（開いているか閉じているかに関わらず）からの反射は、一方の端からもう一方の端まで伝わる波の合計となります。^[3]（パイプが非常に長い場合は、反射波が戻るまでに長い時間がかかり、パイプ壁での損失によって減衰するため、反射が全くない可能性もあります。^[3]）このような反射と、その結果生じる定在波は、管楽器の設計と操作において非常に重要です。^[4]

参照

• 音響減衰
• 地震爆弾
• インピーダンスの類推
• 機械インピーダンス

参考文献

1. Kinsler L, Frey A, Coppens A, Sanders J (2000). 『音響の基礎』ホーボーケン: Wiley. ISBN 0-471-84789-5。
2. Attenborough K, Postema M (2008). ポケットサイズの音響学入門. キングストン・アポン・ハル: ハル大学. doi :10.5281/zenodo.7504060. ISBN 978-90-812588-2-1。
3. Rossing TD, Fletcher NH (2004). 『振動と音の原理（第2版）』ハイデルベルグ：シュプリンガー. ISBN 978-1-4757-3822-3. OCLC  851835364。
4. Fletcher NH, Rossing TD (1998).楽器の物理学（第2版）. ハイデルベルク: Springer. ISBN 978-0-387-21603-4. OCLC  883383570。

外部リンク

• 音の波動方程式
• 音響インピーダンスとは何か？そしてなぜ重要なのか？

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