音響理論

Theory of sound waves

音響理論は、音波の記述に関連する科学分野です。流体力学に由来します。工学的なアプローチについては、音響学を参照してください

速度、圧力、密度の任意の大きさの擾乱の音波について、

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \rho '}{\partial t}}+\rho _{0}\nabla \cdot \mathbf {v} +\nabla \cdot (\rho '\mathbf {v} )&=0\qquad {\text{(Conservation of Mass)}}\\(\rho _{0}+\rho '){\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+(\rho _{0}+\rho ')(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} +\nabla p'&=0\qquad {\text{(Equation of Motion)}}\end{aligned}}}$

速度、密度、圧力の変動が小さい場合、これらは次のように近似できます。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \rho '}{\partial t}}+\rho _{0}\nabla \cdot \mathbf {v} &=0\\{\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+{\frac {1}{\rho _{0}}}\nabla p'&=0\end{aligned}}}$

ここで、は流体の摂動速度、は静止流体の圧力、は空間と時間の関数としての系の摂動圧力、は静止流体の密度、は空間と時間にわたる流体の密度の変動です。 ${\displaystyle \mathbf {v} (\mathbf {x} ,t)}$ ${\displaystyle p_{0}}$ ${\displaystyle p'(\mathbf {x} ,t)}$ ${\displaystyle \rho _{0}}$ ${\displaystyle \rho '(\mathbf {x} ,t)}$

速度が非回転（ ）の場合、系を記述する音波方程式が得られます。 ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {v} =0}$

${\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\phi =0}$

ここで、

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {v} &=-\nabla \phi \\c^{2}&=({\frac {\partial p}{\partial \rho }})_{s}\\p'&=\rho _{0}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}\\\rho '&={\frac {\rho _{0}}{c^{2}}}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}\end{aligned}}}$

静止媒体の導出

連続の方程式とオイラーの方程式から始めると、

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \rho \mathbf {v} &=0\\\rho {\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+\rho (\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} +\nabla p&=0\end{aligned}}}$

一定の圧力と密度の小さな摂動を取ると、

${\displaystyle {\begin{aligned}\rho &=\rho _{0}+\rho '\\p&=p_{0}+p'\end{aligned}}}$

系の方程式は

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial t}}(\rho _{0}+\rho ')+\nabla \cdot (\rho _{0}+\rho ')\mathbf {v} &=0\\(\rho _{0}+\rho '){\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+(\rho _{0}+\rho ')(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} +\nabla (p_{0}+p')&=0\end{aligned}}}$

平衡圧力と密度が一定であることに注意すると、これは次のように簡略化されます。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \rho '}{\partial t}}+\rho _{0}\nabla \cdot \mathbf {v} +\nabla \cdot \rho '\mathbf {v} &=0\\(\rho _{0}+\rho '){\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+(\rho _{0}+\rho ')(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} +\nabla p'&=0\end{aligned}}}$

運動する媒体

から始めると

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \rho '}{\partial t}}+\rho _{0}\nabla \cdot \mathbf {w} +\nabla \cdot \rho '\mathbf {w} &=0\\(\rho _{0}+\rho '){\frac {\partial \mathbf {w} }{\partial t}}+(\rho _{0}+\rho ')(\mathbf {w} \cdot \nabla )\mathbf {w} +\nabla p'&=0\end{aligned}}}$

と設定することで、これらの方程式を運動する媒体に適用することができます。ここで、 は乱される前の流体全体の一定速度（運動する観測者に相当）、は流体の速度です。 ${\displaystyle \mathbf {w} =\mathbf {u} +\mathbf {v} }$ ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle \mathbf {v} }$

この場合、方程式は非常に似ています。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \rho '}{\partial t}}+\rho _{0}\nabla \cdot \mathbf {v} +\mathbf {u} \cdot \nabla \rho '+\nabla \cdot \rho '\mathbf {v} &=0\\(\rho _{0}+\rho '){\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+(\rho _{0}+\rho ')(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {v} +(\rho _{0}+\rho ')(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} +\nabla p'&=0\end{aligned}}}$

と設定すると、静止時の方程式が返されることに注意してください。 ${\displaystyle \mathbf {u} =0}$

線形波

上記の静止した媒体の運動方程式から始めましょう。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \rho '}{\partial t}}+\rho _{0}\nabla \cdot \mathbf {v} +\nabla \cdot \rho '\mathbf {v} &=0\\(\rho _{0}+\rho '){\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+(\rho _{0}+\rho ')(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} +\nabla p'&=0\end{aligned}}}$

ここで、 をすべて小さな量とし ましょう ${\displaystyle \mathbf {v} ,\rho ',p'}$

項を1次の順序に保つ場合、連続方程式では、項は0になります。これは、密度摂動と速度の時間微分との積にも同様に当てはまります。さらに、物質微分の空間成分は0になります。したがって、平衡密度を整理すると、次のようになります。 ${\displaystyle \rho '\mathbf {v} }$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \rho '}{\partial t}}+\rho _{0}\nabla \cdot \mathbf {v} &=0\\{\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+{\frac {1}{\rho _{0}}}\nabla p'&=0\end{aligned}}}$

次に、音波が理想流体で発生すると仮定すると、運動は断熱的であり、圧力の小さな変化と密度の小さな変化を次のように関連付けることができます。

${\displaystyle p'=\left({\frac {\partial p}{\partial \rho _{0}}}\right)_{s}\rho '}$

この条件下では、次の式が得られます。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial p'}{\partial t}}+\rho _{0}\left({\frac {\partial p}{\partial \rho _{0}}}\right)_{s}\nabla \cdot \mathbf {v} &=0\\{\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+{\frac {1}{\rho _{0}}}\nabla p'&=0\end{aligned}}}$

系の音速を定義すると、

${\displaystyle c\equiv {\sqrt {\left({\frac {\partial p}{\partial \rho _{0}}}\right)_{s}}}}$

すべては

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial p'}{\partial t}}+\rho _{0}c^{2}\nabla \cdot \mathbf {v} &=0\\{\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+{\frac {1}{\rho _{0}}}\nabla p'&=0\end{aligned}}}$

非回転流体の場合

流体が非回転の場合、つまり の場合、次のように書くことができ、したがって運動方程式は次のように書くことができます。 ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {v} =0}$ ${\displaystyle \mathbf {v} =-\nabla \phi }$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial p'}{\partial t}}-\rho _{0}c^{2}\nabla ^{2}\phi &=0\\-\nabla {\frac {\partial \phi }{\partial t}}+{\frac {1}{\rho _{0}}}\nabla p'&=0\end{aligned}}}$

2番目の式から、

${\displaystyle p'=\rho _{0}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}}$

そして、この式を連続方程式で使用すると、

${\displaystyle \rho _{0}{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial t}}-\rho _{0}c^{2}\nabla ^{2}\phi =0}$

これは次のように簡略化されます

${\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\phi =0}$

したがって、速度ポテンシャルは、小さな擾乱の極限において波動方程式に従います。ポテンシャルを解くために必要な境界条件は、流体の速度が系の固定面に対して垂直でなければならないという事実から生じます。 ${\displaystyle \phi }$

この波動方程式の時間微分を取り、すべての辺に摂動を受けていない密度を掛け、そして、という 事実を用いて、 ${\displaystyle p'=\rho _{0}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}}$

${\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}p'}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}p'=0}$

同様に、であることがわかりました。したがって、上記の方程式を適切に掛け合わせると、 ${\displaystyle p'=\left({\frac {\partial p}{\partial \rho _{0}}}\right)_{s}\rho '=c^{2}\rho '}$

${\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\rho '}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\rho '=0}$

したがって、速度ポテンシャル、圧力、および密度はすべて波動方程式に従います。さらに、他の3つすべてを決定するには、そのような方程式を1つ解くだけで済みます。具体的には、

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {v} &=-\nabla \phi \\p'&=\rho _{0}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}\\\rho '&={\frac {\rho _{0}}{c^{2}}}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}\end{aligned}}}$

移動媒体の場合

ここでも、移動媒体中の音波の小さな擾乱の極限を導くことができます。ここでも、

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \rho '}{\partial t}}+\rho _{0}\nabla \cdot \mathbf {v} +\mathbf {u} \cdot \nabla \rho '+\nabla \cdot \rho '\mathbf {v} &=0\\(\rho _{0}+\rho '){\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+(\rho _{0}+\rho ')(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {v} +(\rho _{0}+\rho ')(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} +\nabla p'&=0\end{aligned}}}$

これを線形化して

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \rho '}{\partial t}}+\rho _{0}\nabla \cdot \mathbf {v} +\mathbf {u} \cdot \nabla \rho '&=0\\{\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {v} +{\frac {1}{\rho _{0}}}\nabla p'&=0\end{aligned}}}$

移動媒体中の非回転流体の場合

であることがわかったので、

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \rho '}{\partial t}}+\rho _{0}\nabla \cdot \mathbf {v} +\mathbf {u} \cdot \nabla \rho '&=0\\{\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {v} +{\frac {1}{\rho _{0}}}\nabla p'&=0\end{aligned}}}$

流体が理想的であり、速度が非回転であるという前述の仮定を置くと、

${\displaystyle {\begin{aligned}p'&=\left({\frac {\partial p}{\partial \rho _{0}}}\right)_{s}\rho '=c^{2}\rho '\\\mathbf {v} &=-\nabla \phi \end{aligned}}}$

これらの仮定の下で、線形化された音波方程式は次のようになります

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial p'}{\partial t}}-\rho _{0}\nabla ^{2}\phi +{\frac {1}{c^{2}}}\mathbf {u} \cdot \nabla p'&=0\\-{\frac {\partial }{\partial t}}(\nabla \phi )-(\mathbf {u} \cdot \nabla )[\nabla \phi ]+{\frac {1}{\rho _{0}}}\nabla p'&=0\end{aligned}}}$

重要なのは、が定数なので となり、2番目の式から ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle (\mathbf {u} \cdot \nabla )[\nabla \phi ]=\nabla [(\mathbf {u} \cdot \nabla )\phi ]}$

${\displaystyle {\frac {1}{\rho _{0}}}\nabla p'=\nabla \left[{\frac {\partial \phi }{\partial t}}+(\mathbf {u} \cdot \nabla )\phi \right]}$

あるいは単に

${\displaystyle p'=\rho _{0}\left[{\frac {\partial \phi }{\partial t}}+(\mathbf {u} \cdot \nabla )\phi \right]}$

この関係を という事実と併用し、項を消去して並べ替えると、 得られる ${\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial p'}{\partial t}}-\rho _{0}\nabla ^{2}\phi +{\frac {1}{c^{2}}}\mathbf {u} \cdot \nabla p'=0}$

${\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\phi +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial }{\partial t}}[(\mathbf {u} \cdot \nabla )\phi ]+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial }{\partial t}}(\mathbf {u} \cdot \nabla \phi )+{\frac {1}{c^{2}}}\mathbf {u} \cdot \nabla [(\mathbf {u} \cdot \nabla )\phi ]=0}$

これを使い慣れた形で書くと

${\displaystyle \left[{\frac {1}{c^{2}}}\left({\frac {\partial }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla \right)^{2}-\nabla ^{2}\right]\phi =0}$

この微分方程式は適切な境界条件で解かなければなりません。設定すると波動方程式が返されることに注意してください。いずれにせよ、この方程式を移動媒体について解くと、 ${\displaystyle \mathbf {u} =0}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {v} &=-\nabla \phi \\p'&=\rho _{0}\left({\frac {\partial }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla \right)\phi \\\rho '&={\frac {\rho _{0}}{c^{2}}}\left({\frac {\partial }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla \right)\phi \end{aligned}}}$

参照

• 音響減衰
• 音
• フーリエ解析

参考文献

• Landau, LD; Lifshitz, EM (1984). Fluid Mechanics (2nd ed.). Butterworth-Heinenann. ISBN 0-7506-2767-0。
• フェッター、アレクサンダー；ワレッカ、ジョン（2003）『流体力学（第1版） 』クーリエ社。ISBN 0-486-43261-0。

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