音波方程式

物理学において、音波方程式は、物質媒質、すなわち定在波場を介した音波の伝播を規定する2階偏微分方程式です。この方程式は、音圧 $p$ または粒子速度 $u$ の変化を、位置 $x$ と時間 $t$ の関数として記述します。この方程式の簡略化された（スカラー）形式は、音波を1次元空間のみで記述しますが、より一般的な形式は3次元の波を記述します。

損失媒質の場合、周波数依存の減衰と位相速度を考慮するために、より複雑なモデルを適用する必要があります。このようなモデルには、分数微分項を組み込んだ音波方程式が含まれます。音響減衰に関する論文またはサーベイ論文も参照してください。 ^[1]

1次元での定義

1次元（位置）の定在波場を記述する波動方程式は $x$

$p_{xx}-{\frac {1}{c^{2}}}p_{tt}=0,$

ここで、は音圧（周囲圧力からの局所的な偏差）であり、は音速であり、偏微分には下付き文字が用いられる。 ^[2] $p$ $c$

導出

理想気体の法則から始める

P=\rho R_{\text{specific}}T,

ここで、気体の絶対温度と比気体定数です。そして、過程が断熱であると仮定すると、圧力は密度の関数と考えることができます。 $T$ $R_{\text{specific}}$ $P(\rho )$ $\rho$

質量保存則と運動量保存則は、2つの方程式の閉じたシステムとして書くことができます^[3]この2つの非線形保存則の結合システムは、ベクトル形式で次のように書くことができます。 ${\begin{aligned}\rho _{t}+(\rho u)_{x}&=0,\\(\rho u)_{t}+(\rho u^{2}+P(\rho ))_{x}&=0.\end{aligned}}$ $q_{t}+f(q)_{x}=0,$ $q={\begin{bmatrix}\rho \\\rho u\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}q_{(1)}\\q_{(2)}\end{bmatrix}},\quad f(q)={\begin{bmatrix}\rho u\\\rho u^{2}+P(\rho )\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}q_{(2)}\\q_{(2)}^{2}/q_{(1)}+P(q_{(1)})\end{bmatrix}}.$

この方程式を線形化するには、^[4]とします。ここで、は（定数）背景状態、は十分に小さい摂動、すなわちのべき乗や積は無視できます。したがって、のテイラー展開は次のようになります。ここで、は線形化された方程式になります。同様に、の成分の小さな摂動は次のように書き直すことができます。つまり、となり、圧力摂動は密度摂動と次のように関連します。つまり、となります。ここでは定数であり、線形音響方程式の別の形が得られます。ここでは圧縮性体積弾性係数です。便宜上チルダを削除すると、線形一次方程式は次のように記述できます。一般に、非ゼロの背景速度が可能ですが（一定強度の風の中での音の伝播を調べる場合など）、と仮定します。すると、線形システムは二次波動方程式に簡約されます。ここで、音速はです。 $q(x,t)=q_{0}+{\tilde {q}}(x,t),$ $q_{0}=(\rho _{0},\rho _{0}u_{0})$ ${\tilde {q}}$ ${\tilde {q}}$ $f(q)$ $f(q_{0}+{\tilde {q}})\approx f(q_{0})+f'(q_{0}){\tilde {q}}$ $f'(q)={\begin{bmatrix}\partial f_{(1)}/\partial q_{(1)}&\partial f_{(1)}/\partial q_{(2)}\\\partial f_{(2)}/\partial q_{(1)}&\partial f_{(2)}/\partial q_{(2)}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&1\\-u^{2}+P'(\rho )&2u\end{bmatrix}}.$ ${\tilde {q}}_{t}+f'(q_{0}){\tilde {q}}_{x}=0\quad \Leftrightarrow \quad {\begin{aligned}{\tilde {\rho }}_{t}+({\widetilde {\rho u}})_{x}&=0\\({\widetilde {\rho u}})_{t}+(-u_{0}^{2}+P'(\rho _{0})){\tilde {\rho }}_{x}+2u_{0}({\widetilde {\rho u}})_{x}&=0\end{aligned}}$ $q$ $\rho u=(\rho _{0}+{\tilde {\rho }})(u_{0}+{\tilde {u}})=\rho _{0}u_{0}+{\tilde {\rho }}u_{0}+\rho _{0}{\tilde {u}}+{\tilde {\rho }}{\tilde {u}}$ ${\widetilde {\rho u}}\approx {\tilde {\rho }}u_{0}+\rho _{0}{\tilde {u}},$ $p=p_{0}+{\tilde {p}}=P(\rho _{0}+{\tilde {\rho }})=P(\rho _{0})+P'(\rho _{0}){\tilde {\rho }}+\dots$ $p_{0}=P(\rho _{0}),\quad {\tilde {p}}\approx P'(\rho _{0}){\tilde {\rho }},$ $P'(\rho _{0})$ ${\begin{aligned}{\tilde {p}}_{t}+u_{0}{\tilde {p}}_{x}+K_{0}{\tilde {u}}_{x}&=0,\\\rho _{0}{\tilde {u}}_{t}+{\tilde {p}}_{x}+\rho _{0}u_{0}{\tilde {u}}_{x}&=0.\end{aligned}}$ $K_{0}=\rho _{0}P'(\rho _{0})$ ${\begin{bmatrix}p\\u\end{bmatrix}}_{t}+{\begin{bmatrix}u_{0}&K_{0}\\1/\rho _{0}&u_{0}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}p\\u\end{bmatrix}}_{x}=0.$ $u_{0}=0$ $p_{tt}=-K_{0}u_{xt}=-K_{0}u_{tx}=K_{0}\left({\frac {1}{\rho _{0}}}p_{x}\right)_{x}=c_{0}^{2}p_{xx},$ $c_{0}={\sqrt {K_{0}/\rho _{0}}}$

したがって、音響方程式は、物理学から直接導かれる1次移流方程式のシステム、すなわち最初の積分から導くことができる。逆に、2次方程式が与えられれば、1次システムは次のように導くことができる。ここで、行列とは相似である。^[5] $q_{t}+Aq_{x}=0,$ $q={\begin{bmatrix}p\\u\end{bmatrix}},\quad A={\begin{bmatrix}0&K_{0}\\1/\rho _{0}&0\end{bmatrix}}.$ $p_{tt}=c_{0}^{2}p_{xx}$ $q_{t}+{\hat {A}}q_{x}=0,$ $q={\begin{bmatrix}p_{t}\\-p_{x}\end{bmatrix}},\quad {\hat {A}}={\begin{bmatrix}0&c_{0}^{2}\\1&0\end{bmatrix}},$ $A$ ${\hat {A}}$

解決

速度が一定で周波数に依存しない場合（分散がない場合）、最も一般的な解は次のようになります。 $c$

p=f(ct-x)+g(ct+x)

ここで、とは任意の2つの2回微分可能な関数である。これは、任意のプロファイルを持つ2つの波形の重ね合わせとして描くことができる。1つは（）x軸を上向きに進み、もう1つは（）x軸を下向きに速度で進む。一方向に進む正弦波の特定のケースは、またはのいずれかを正弦波とし、もう一方をゼロとすることで得られる。 $f$ $g$ $f$ $g$ $c$ $f$ $g$

p=p_{0}\sin(\omega t\mp kx)

。

ここでは波の角周波数、は波数です。 $\omega$ $k$

3次元で

方程式

ファインマン^[6]は、3次元音波の波動方程式を次のように導出している。

\nabla ^{2}p-{1 \over c^{2}}{\partial ^{2}p \over \partial t^{2}}=0,

ここで、はラプラス演算子、は音圧（周囲圧力からの局所的な偏差）、は音速です。 $\nabla ^{2}$ $p$ $c$

似たような波動方程式だが、ベクトル場の粒子速度については次のように表される。

\nabla ^{2}\mathbf {u} \;-{1 \over c^{2}}{\partial ^{2}\mathbf {u} \; \over \partial t^{2}}=0

。

状況によっては、次のような抽象的なスカラー場速度ポテンシャルの波動方程式を解く方が便利な場合がある。

\nabla ^{2}\Phi -{1 \over c^{2}}{\partial ^{2}\Phi \over \partial t^{2}}=0

次に、物理量の粒子速度と音圧を次の方程式（粒子速度の場合は定義）で導出します。

\mathbf {u} =\nabla \Phi \;

、

p=-\rho {\partial \over \partial t}\Phi

。

解決

以下の解は、異なる座標系における変数の分離によって得られる。これらは位相解であり、つまり、という暗黙の時間依存係数を持つ。ここでは角周波数である。明示的な時間依存は次のように与えられる。 $e^{i\omega t}$ $\omega =2\pi f$

p(r,t,k)=\operatorname {Real} \left[p(r,k)e^{i\omega t}\right]

これが波数です。 $k=\omega /c\$

直交座標

p(r,k)=Ae^{\pm ikr}

。

円筒座標

p(r,k)=AH_{0}^{(1)}(kr)+\ BH_{0}^{(2)}(kr)

。

ここで、ハンケル関数の漸近近似は、 $kr\rightarrow \infty$

H_{0}^{(1)}(kr)\simeq {\sqrt {\frac {2}{\pi kr}}}e^{i(kr-\pi /4)}

H_{0}^{(2)}(kr)\simeq {\sqrt {\frac {2}{\pi kr}}}e^{-i(kr-\pi /4)}

。

球座標

p(r,k)={\frac {A}{r}}e^{\pm ikr}

。

選択されたフーリエ変換法に応じて、一方は外向きの進行波を表し、もう一方は非物理的な内向きの進行波を表します。内向きの解波が非物理的なのは、r=0で発生する特異点が存在するためです。内向きの進行波は実際に存在します。

参照

注記

^ SP NäsholmとS. Holm、「分数ゼナー弾性波方程式について」、Fract. Calc. Appl. Anal. Vol. 16, No. 1 (2013), pp. 26-50, DOI: 10.2478/s13540-013--0003-1 電子版へのリンク
^ リチャード・ファインマン『物理学講義』第1巻、第47章「音波方程式」、カリフォルニア工科大学 1963年、2006年、2013年
^ LeVeque 2002、26ページ。
^ LeVeque 2002、27～28頁。
^ LeVeque 2002、33ページ。
^ リチャード・ファインマン、物理学講義、第1巻、1969年、アディソン出版社、アディソン

参考文献

ルヴェック、ランドール・J. (2002).双曲型問題のための有限体積法. ケンブリッジ大学出版局. doi :10.1017/cbo9780511791253. ISBN 978-0-521-81087-6。

[Nasholm2-1] SP NäsholmとS. Holm、「分数ゼナー弾性波方程式について」、Fract. Calc. Appl. Anal. Vol. 16, No. 1 (2013), pp. 26-50, DOI: 10.2478/s13540-013--0003-1 電子版へのリンク

[2] リチャード・ファインマン『物理学講義』第1巻、第47章「音波方程式」、カリフォルニア工科大学 1963年、2006年、2013年

[FOOTNOTELeVeque200226-3] LeVeque 2002、26ページ。

[FOOTNOTELeVeque200227–28-4] LeVeque 2002、27～28頁。

[FOOTNOTELeVeque200233-5] LeVeque 2002、33ページ。

[Feynman_1-6] リチャード・ファインマン、物理学講義、第1巻、1969年、アディソン出版社、アディソン