J準同型

特殊直交群のホモトピー群から球面のホモトピー群へ

数学において、J準同型写像は、特殊直交群のホモトピー群から球面のホモトピー群への写像である。これは、ハインツ・ホップ （1935） の構成を拡張して、ジョージ・W・ホワイトヘッド（1942）によって定義された。

意味

ホワイトヘッドの本来の準同型は幾何学的に定義され、準同型を与える。

${\displaystyle J\colon \pi _{r}(\mathrm {SO} (q))\to \pi _{r+q}(S^{q})}$

整数q、 に対するアーベル群の。（ホップはこれを という特別なケースに対して定義しました。） ${\displaystyle r\geq 2}$ ${\displaystyle q=r+1}$

J準同型は次のように定義される。特殊直交群SO( q )の元は写像とみなすことができる。

${\displaystyle S^{q-1}\rightarrow S^{q-1}}$

そしてホモトピー群は、 r球面からSO( q )への写像のホモトピー類から構成される。したがって、の元は写像 ${\displaystyle \pi _{r}(\operatorname {SO} (q))}$ ${\displaystyle \pi _{r}(\operatorname {SO} (q))}$

${\displaystyle S^{r}\times S^{q-1}\rightarrow S^{q-1}}$

これにホップ構成を適用すると、次のような写像が得られる。

${\displaystyle S^{r+q}=S^{r}*S^{q-1}\rightarrow S(S^{q-1})=S^{q}}$

において、ホワイトヘッドはこれをJ 準同型によるの元の像として定義しました。 ${\displaystyle \pi _{r+q}(S^{q})}$ ${\displaystyle \pi _{r}(\operatorname {SO} (q))}$

qが無限大に近づくにつれて極限をとると、安定ホモトピー理論における安定なJ準同型が得られる。

${\displaystyle J\colon \pi _{r}(\mathrm {SO} )\to \pi _{r}^{S},}$

ここで、 は無限特殊直交群であり、右辺は球面の安定ホモトピー群のr番目の安定幹です。 ${\displaystyle \mathrm {SO} }$

J準同型写像のイメージ

J準同型の像は 、ダニエル・キレン(1971)によって証明されたアダムス (1963) のアダムス予想を仮定して、フランク・アダムス (1966) によって次のように記述されました。群はボット周期性によって与えられます。これは常に巡回であり、r が正であれば、rが 8 を法として0 または 1 のときは位数2、r が 8 を法として 3 または 7 のときは位数無限、それ以外のときは位数 1 です (Switzer 1975、p. 488)。特に、安定したJ準同型の像は巡回です。安定したホモトピー群は、 J準同型の (巡回) 像と、アダムス e 不変量 (Adams 1966) の核、つまり安定なホモトピー群から への準同型写像の直和です。rが 0 または 1 mod 8 かつ正の場合、像の位数は 2 です（したがって、この場合J準同型は単射です）。r が 3 または 7 mod 8 の場合、像は の分母に等しい位数の巡回群です（ただし、はベルヌーイ数です） 。rが 2、4、5、または 6 mod 8の場合、像は自明です。なぜなら、 は自明だからです。 ${\displaystyle \pi _{r}(\operatorname {SO} )}$ ${\displaystyle \pi _{r}^{S}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle B_{2n}/4n}$ ${\displaystyle B_{2n}}$ ${\displaystyle \pi _{r}(\operatorname {SO} )}$

r	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17
${\displaystyle \pi _{r}(\operatorname {SO} )}$	1	2	1	${\displaystyle \mathbb {Z} }$	1	1	1	${\displaystyle \mathbb {Z} }$	2	2	1	${\displaystyle \mathbb {Z} }$	1	1	1	${\displaystyle \mathbb {Z} }$	2	2
${\displaystyle |\operatorname {im} (J)|}$	1	2	1	24	1	1	1	240	2	2	1	504	1	1	1	480	2	2
${\displaystyle \pi _{r}^{S}}$	${\displaystyle \mathbb {Z} }$	2	2	24	1	1	2	240	2 2	2 3	6	504	1	3	2 2	480×2	2 2	2 4
${\displaystyle B_{2n}}$				1 ⁄ 6				− 1 ⁄ 30				1 ⁄ 42				− 1 ⁄ 30

アプリケーション

マイケル・アティヤ（1961）は、球面Xに対して適切な次元におけるJ準同型の像である空間Xの 群J ( X )を導入した。

J準同型写像のコカーネルは、向き付けられたホモトピーn球面のhコボルディズム類のグループΘ _nに現れる(Kosinski (1992))。 ${\displaystyle J\colon \pi _{n}(\mathrm {SO} )\to \pi _{n}^{S}}$

参考文献

• アティヤ、マイケル・フランシス(1961)、「トム複素数」、ロンドン数学会報、第3シリーズ、11 : 291–310、doi :10.1112/plms/s3-11.1.291、MR  0131880
• アダムス、JF（1963）、「群J（X）Iについて」、トポロジー、2（3）：181、doi：10.1016/0040-9383（63）90001-6
• アダムス、JF（1965a）、「群J（X）IIについて」、トポロジー、3（2）：137、doi：10.1016/0040-9383（65）90040-6
• アダムス、JF（1965b）、「群J（X）IIIについて」、トポロジー、3（3）：193、doi：10.1016 / 0040-9383（65）90054-6
• アダムス、JF（1966）、「群J（X）IVについて」、トポロジー、5：21、doi：10.1016/0040-9383（66）90004-8. 「訂正」、トポロジー、7 (3): 331、1968、doi :10.1016/0040-9383(68)90010-4
• ホップ、ハインツ( 1935)、「Über die Abbildungen von Sphären auf Sphäre niedrigerer Dimension」、Fundamenta Mathematicae、25 : 427–440
• コシンスキー、アントニ A. (1992)、微分多様体、サンディエゴ、カリフォルニア州：アカデミックプレス、pp. 195ff、ISBN 0-12-421850-4
• ミルナー、ジョン・W. （2011）「微分位相幾何学の46年後」（PDF）、アメリカ数学会報、58（6）：804-809
• クイレン、ダニエル（1971）、「アダムズ予想」、トポロジー、10：67-80、doi：10.1016/0040-9383(71)90018-8、MR  0279804
• スウィッツァー、ロバート・M.（1975）、代数的位相幾何学—ホモトピーとホモロジー、シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-387-06758-2
• ホワイトヘッド、ジョージ・W. (1942)、「球面と回転群のホモトピー群について」、Annals of Mathematics、第2集、43 (4): 634– 640、doi :10.2307/1968956、JSTOR  1968956、MR  0007107
• ホワイトヘッド、ジョージ W. (1978)、「ホモトピー理論の要素」、ベルリン：シュプリンガー、ISBN 0-387-90336-4、MR  0516508

外部リンク

• nラボにおけるJ準同型性

「https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=J-homomorphism&oldid=1283858235」から取得